第3章2 流体动力学基础-稳定流动量方程及应用

4Q 1、V1 = = 1.132m / s 2 π d1 p1 V12 p2 V2 2 + = + γ 2g γ 2g
4Q V2 = = 4.527m / s 2 π d2
2、取两个断面列伯努利方程：
p2 = p1 +
ρ
2
(V12 − V2 2 ) = 1.964 × 105 Pa
3、选取控制体列动量方程： x方向：p1 A1 − Fx = ρ Q (0 − V1 ) y方向：Fy − p2 A2 = ρ Q (V2 − 0)
流体动力学基础
稳定流的动量方程及其应用
3.5 稳定流的动量方程及其应用
前面我们讨论了流体动力学的两个重要 方程——连续性方程和伯努利方程 连续性方程和伯努利方程。应用这 连续性方程和伯努利方程 两个方程可以解决许多实际问题。但是，在 工程中还要计算流体与固体相互作用的力。 动量方程提供了流体与固体相互作用的动力 动量方程 学规律。
x
O
y
【解】：设平板对流体的作用力为R’，取坐标系XOY，以A0、 A1、A2断面间水体为控制体。 (1)求流体对平板的作用力 列x方向动量方程：
R ' = ρ Q (0 − ( −V0 sin θ )) R ' = ρ A0V0 2 sin θ
因为平板光滑，作用力垂直平板，所以流体对平板面作用力 的大小为 ρ A0V0 2 sin θ ，方向与R’相反。
F = ρ AV = 2 ρ Agh = 2 Aγ h
2
3、自由射流对挡板的压力
y
根据动量方程，x轴向为： − Rx = ρ Q1u1 cos α1 + ρ Q2u2 cos α 2 − ρ Q0u0 y轴 向 为 ：
R y = ρ Q1u1 sin α 1 − ρ Q 2 u 2 sin α 2 − 0
右端第一项是控制体内的动量随时间的变化率，稳定流时 为零。 右端第二项是单位时间内经过控制面的流体动量的净通量。
→ → → d ∫SV ρ u dV = ∑ F = ∫CS ρ u un dA dt
∑F = ∫ ∑F = ∫ ∑F = ∫
x y z
CS
ρ u x un dA ρ u y un dA ρ uz un dA
解得： Fx = 3663N Fy = 958 N
θ = arctan
Fy Fx
= 14.66°
所以，水流对弯管壁的作用力大小相 等方向相反。
【例3-11】如图所示，一股射流以速度V0水平射到倾斜光 】 滑板上，体积流量为Q0。忽略流体撞击的损失和重力影响， 射流内的压力在前后没有变化，求沿平板面向两侧的分流 流量Q1和Q2，以及流体对平板的作用力。
2、动量方程 、
动量定律：单位时间内物体的动量变化等于作用在物体上的 外力的总和。 流体动量定律：系统内的流体动量的时间变化率等于作用在 系统上的外力的矢量和。即：
→ → d ∫SV ρ u dV = ∑ F dt
作用在系 统上的外 力矢量和
系统内的 流体动量
根据输运公式
→ → → d ∂ ∫SV ρ u dV = ∂t ∫CV ρ u dV + ∫CS ρ u undA dt
2 gh
这一时刻， 这一时刻，容器内的流体在水平方向的动量变化将决定于 单位时间内容器流出来的动量： 单位时间内容器流出来的动量：
ρ QV = ρ AV 2
这一动量变化在大小、方向、 这一动量变化在大小、方向、位置上恰等于器壁 在水平方向加在流体上的合力。 在水平方向加在流体上的合力。流动流体则反过来 对容器壁上作用一个方向与出流速度相反的水平反 推力，这个反推力的大小为： 推力，这个反推力的大小为：
同理对y轴方向有： 同理对y轴方向有：
R y = p2 A sin α + ρ QV sin α
由此可得R的大小和方向： 由此可得R的大小和方向：
R = Rx + R y
2
2
β = arctan
Ry Rx
2、射流的背压（反推力） 射流的背压（反推力）
如图，在容器液面下深度等于h 处有一个比液面面积微小得多 的出流孔，其面积为A。在出流 孔微小的前提下，假使只就一 段很短的时间来看，那出流过 程就可以当做近似的稳定流动。 理想流体的出流速度为： 理想流体的出流速度为： V =
y
z
2
2
x
正确分析受力，未知力设定方向； 3．正确分析受力，未知力设定方向； •重力（水平放置时不考虑） 重力（水平放置时不考虑） 重力 •两端面的压力 两端面的压力 •边界对液流的作用力 边界对液流的作用力 4.(下游断面的动量) 上游断面的动量) 4.(下游断面的动量)-(上游断面的动量) 下游断面的动量
ρQ(v2 y − v1y ) = ∑Fy
ρQ(v2z − v1z ) = ∑Fz
二、动量方程应用 •流体对弯管的作用力 流体对弯管的作用力 •射流的背压 射流的背压 •自由射流对挡板的压力 自由射流对挡板的压力
1
应用动量方程式解决问题的步骤： 应用动量方程式解决问题的步骤：
1
1.选取研究对象（控制体） 1.选取研究对象（控制体） 选取研究对象 2．选取适当的坐标系
R = ρ Q0u0
3)、当α>90º，此时作用在曲面上的力比作用在平面上的力大。 、 >90º，此时作用在曲面上的力比作用在平面上的力大。 =180º时 作用力最大， 当α=180º时，作用力最大，为：
R = 2 ρ Q0u0
三、动量方程应用实例
【例3-10】一个水平放置的90º弯管输送水，已知d1=150mm， 】 d2=75mm。管中流体表压p1=2.06×105Pa，流量Q=0.02m3/s。 不计水头损失，试求水流对弯管的作用力的大小和方向。
(2)求Q1和Q2。列y方向动量方程：
0 = ρ Q1V0 + ( − ρ Q2V0 ) − ρ Q0V0 cos θ Q1 − Q2 − Q0 cos θ = 0
又，根据连续性方程：
Q0 = Q1 + Q2
Q0 (1 + cos θ ) 2 Q 分流流量为： Q2 = 0 (1 − cos θ ) 2
一、稳定流动量方程
1、输运公式 、 系统内所具有的物理量对时间的全导数公式， 系统内所具有的物理量对时间的全导数公式，它把系统 的导数dN/dt转化成适合控制体的形式。 转化成适合控制体的形式。 的导数 转化成适合控制体的形式 设：N为某一瞬时系统内流体所具有的某种物理量总和 为某一瞬时系统内流体所具有的某种物理量总和
ρ Q (V cos α − V )
轴方向的作用力总和为： 沿x轴方向的作用力总和为： 轴方向的作用力总和为
u1 = u2 = V
p1 A − p2 A cos α − Rx
p1 A − p2 A cos α − Rx = ρ Q (V cos α − V )
Rx = ( p1 − p2 cos α）A + ρ QV (1 − cos α )
联立可以解得 Q1 =
本部分小结（流体动力学基础） 本部分小结（流体动力学基础） 基本概念： 基本概念：
缓变流动（特征、水力特性）、泵的扬程、 缓变流动（特征、水力特性）、泵的扬程、有 ）、泵的扬程 效功率
重点： 重点：
欧拉运动微分方程式 伯努利方程式及其应用（一般水力计算、 伯努利方程式及其应用（一般水力计算、节流 式流量计、测速管、喷射泵、泵的计算， 式流量计、测速管、喷射泵、泵的计算，绘制 水头线） 水头线） 流体动量定理及应用（弯管作用力、射流反力、 流体动量定理及应用（弯管作用力、射流反力、 射流对挡板的压力）。 射流对挡板的压力）。
y
R = Rx + R y
2
2
ta n β =
R R
y x
讨论： 讨论： 1)、当α1=α2=α时，β=0，两股射流的动量必然相等 、 =0，
ρ Q1u1 = ρ Q2u2 = ρ Q0u0
1 2
此时的作用力为： 此时的作用力为：R = ρ Q0u0 (1 − cos α ) 2)、当α1=α2=α=90º，此时挡板是平面，而不是曲面。作用 、 =90º，此时挡板是平面，而不是曲面。 力为： 力为：
FG FP2 FR FP1
1、流体作用于弯管的力
一个水平转弯的管路。由于液流在弯道改变了流动方向， 也就改变了动量，于是就会产生压力作用于管壁。因此在 设计管道时，在管路拐弯处就必须考虑这个作用力，并设 法平衡之，以防管道破裂。
O
轴方向的动量变化为： 沿x轴方向的动量变化为： 轴方向的动量变化为
η 为单位质量流体所具有的这种物理量。 为单位质量流体所具有的这种物理量。
则：
dN ∂ = ∫ ρη dV + ∫ ρηun dA CS dt ∂t CV
输运公式物理意义：系统内部 的时间变化率等于控制 输运公式物理意义：系统内部N的时间变化率等于控制 体内的N的时间变化率加上单位时间经过控制面的 的 体内的 的时间变化率加上单位时间经过控制面的N的 的时间变化率加上单位时间经过控制面的 净通量。 净通量。 即系统内流体所具有的某种物理量的总量对时间的全导 数由两部分组成： 数由两部分组成： 当地导数， 当地导数，它等于控制体内这种物理量的总量的 时间变化率； 时间变化率； 迁移导数， 迁移导数，它等于单位时间内通过静止控制面流 出的和流入的这种物理量的差值。 出的和流入的这种物理量的差值。
CS
CS
v2
v1
ρ2Av2v2x −ρ1Av1v1x = ∑Fx 2 1
ρ2 A2v2v2y −ρ1Av1v1y =∑Fy 1
ρ2 A2v2v2z −ρ1Av1v1z =∑Fz 1
由连续性方程： 由连续1v1 = ρQ
得动量方程： 得动量方程：
ρQ(v2x − v1x ) = ∑Fx