陕西师范大学高等代数考研试题汇编(2002-2011)(11有答案,缺09-10)

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陕西师范大学《333教育综合》[专业硕士]历年考研真题汇编（含部分答案）【部分讲解】

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陕西师范2011年高等代数解析

陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 ( )( )−1 ( ) ( ) I 0 I x I x (I + xxT )−1 0 = −xT 1 −xT 1 0 1 0 1 )( ) )( )( )−1 ( ) ( I −x (I + xxT )−1 0 I 0 I x I 0 , = = 0 1 0 1 xT 1 −xT 1 xT 1 )( ) ) ( )( (I + xxT )−1 0 I x I 0 , = 0 1 0 1 xT 1
其中t = xT Q−1 x.由Q正定,从而Q−1 也正定,故t > 0,于是 0< 即结论成立. 六.(15分)(江苏大学04,大连理工02,南京理工08)设V1 , V2 分别为齐次线性方程组 x1 + x2 + · · · + xn = 0 与 x1 = x2 = · · · = xn t < 1. 1+t
Dn+1
解:将Dn+1 的第一行乘以(−x)加到其余各行,得 0 1 1 1 −x 0 = 1 0 −x . . . . . . . . . 1 0 0 ··· ··· ··· . . . ··· 1 0 0 . . . . −x
Dn+1
1 (1)若x ̸= 0,从最后一列开始,每一列乘以加到第一列,可得 x n 1 1 x 0 −x 0 = 0 0 −x . . . . . . . . . 0 0 0 ··· ··· ··· . . . ··· 1 0 0 . . . −x = n(−x)n−1 .
∗ ∗ (A1 B1 )∗ = B1 A1
上式两边矩阵的元素都是x的多项式,且有无穷多x的值使得等号成立.从而等号恒成立.从而x = 0时结论也成立. 五.(20分)设x为n维非零实列向量,证明: 1.I + xxT 是正定矩阵,其中I 是n阶单位矩阵,并求(I + xxT )−1 ; 2.0 < xT (I + xxT )−1 x < 1; 3.如果Q是n阶正定矩阵,是否有结论0 < xT (Q + xxT )−1 x < 1?请说明. 证明:1.易知I + xxT 是实对称矩阵.对任意的非零n维列向量y 有 y T (I + xxT )y = y T y + y T xxT y = y T y + (y T x)2 > 0. 从而I + xxT 是正定矩阵. 由 I xT ( I 0 上两式两边取逆,有 ) (I )−1 ( )( ( I 0 I x I x = −xT 1 −xT 1 0 1 0 0 1 1 + xT x ) ( )( )( ) ( ) 0 I x I −x I 0 = 1 −xT 1 0 1 0 1 + xT x )( )( ) ( ) −x I x I 0 I + xxT 0 = 1 −xT 1 xT 1 0 1

数2--11真题答案

2011年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）C （2）B （3）C （4）C （5）A （6）B （7）D （8）D 二、填空题（9（10）e sin xx − （11）ln(1 （12）1λ（13）712（14）2 三、解答题（15）13α<<. （16）极小值13y =−，极大值1y =，凸区间为1(,)3−∞，凹区间为1(,)3+∞，拐点为11(,)33.（17）11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''++. （18）π()arcsin4x y x =−. （19）略. （20）（Ⅰ）9π4V =.（Ⅱ）27π8W g ρ=. （21）a .（22）（Ⅰ）5=a .（Ⅱ）112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（23）（Ⅰ）1112223331231101,0,1,0,0,1,0110p k p k p k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=−=====≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】C ．【解答】由泰勒展开定理33sin ()3!x x x o x =−+，33(3)sin 33()3!x x x o x =−+.所以，333339()3sin sin 33(3)()4()22x x f x x x x x o x x o x =−=−−−+=+.当0x →时，3()4f x x ，所以选择C.（2）【答案】B ．【解答】2330()2()lim x x f x f x x →−22330()(0)2()2(0)lim x x f x x f f x f x →−−+= 330()(0)()(0)lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤−−=−⎢⎥⎣⎦(0)2(0)(0)f f f '''=−=−. 故应选B. （3）【答案】C ．【解答】(2)(3)(1)(3)(1)(2)()(1)(2)(3)x x x x x x f x x x x −−+−−+−−'=−−−231211(1)(2)(3)x x x x x −+=−−− 令2()31211g x x x =−+，由于2124311120∆=−⨯⨯=>,故()g x 有两个不同的实根，且不是1,2,3，所以()f x 有两个不同的驻点. （4）【答案】C.【解答】由题可知特征方程为 220r λ−=，特征根12r r λλ==−,，则齐次方程通解为12e e x x y C C λλ−=+. 方程2e x y y λλ''−=的特解可设为1e x y x a λ=⋅⋅，方程2e xy y λλ−''−=的特解可设为2exy x b λ−=⋅⋅，则由微分方程解的结构可知，方程2e e xx y y λλλ−''−=+可设特解(e e )x x y x a b λλ−=+.（5）【答案】A ．【解答】由题设条件，(0,0)(0,0)()()(0)(0)0zf xg y f g x ∂''===∂，(0,0)(0,0)()()(0)(0)0zf xg y f g y ∂''===∂.故，(0,0)点为函数()()z f x f y =的驻点.又22(0,0)(0)(0)z A f g x ∂''==∂，2(0,0)(0)(0)0z B f g x y ∂''===∂∂，22(0,0)(0)(0)zC f g y∂''==∂.所以2(0)(0)(0)(0)AC B f g g f ''''−=.如果(0,0)点为函数()()z f x f y =的极小值点，则要求20,0A AC B >−>，已知有()0,(0)0f x g ><，所以，(0)0,g (0)0f ''''<>，故正确答案选A ．（6）【答案】B ．【解答】当π04x <<时,有0sin cos 1cot x x x <<<<,所以ln sin ln cos ln cot x x x <<，由定积分的性质，答案选B ．（7）【答案】D ．【解答】易知100110,001⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A B 100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =E即12,=AP B P B =E ,所以1112121−−−A =P P =P P ,选答案D ．（8）【答案】D ．【解答】易知**,()3,()1r r ==AA =O A A ,*=A x 0的基础解系有3个线性无关的向量,1234,,,αααα是*=A x 0的解；又因为T (1,0,1,0)是方程组0Ax =的一个基础解系，即13+=0αα，所以13,αα线性相关，则方程组*=A x 0的基础解系为234,,ααα，选答案D ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）.【解答】0012121ln 1(1)ln()22limlim 012lim e e 2x x x x x xxxx →→⎡⎤+++−⎢⎥⎢⎥⎣⎦→⎛⎫+== ⎪⎝⎭00212ln 21limlimln 2222eeex x x x x →→−⋅====（10）【答案】esin xx −.【解答】d d e (e cos e d )x xx y x x C −−⎰⎰=⋅+⎰e (cos d )x x x C −=+⎰e (sin )x x C −=+由于(0)0,y =故0C =,所以e sin x y x −=. （11）【答案】ln(1+.【解答】ππ440sec d ln |sec tan |ln(1s x x x x ===+=⎰.（12）【答案】1λ【解答】()()0111()d ed ed e d xxt t x xf x x x x x x t t λλλλλλλλλ+∞+∞+∞+∞−−−−∞==⋅==⎰⎰⎰⎰. （13）【答案】712. 【解答】由题设条件令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，其中ππ,02sin 42r θθ，所以， ππ2sin 2sin 322ππ044d d cos sin d sin cos d d Dxy r r r r r r θθσθθθθθθ=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππ4622ππ44(2sin )27sin cos d sin 4312θθθθθ===⎰. （14）【答案】2.【解答】由于二次型f 对应矩阵111131111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，()()111131140111λλλλλλλ−−−−=−−−=−−=−−−E A ，得1230,1,4λλλ===，因此f 的正惯性指数为2.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）解：当0α时，220ln(1)d limlim ln(1)d xxx x t t x t t x αα−→+∞→+∞+=⋅+=+∞⎰⎰与已知矛盾，不和题意. 因为22230110000ln(1)d ln(1)1limlim lim lim 0xx x x x t t x x x x x x ααααααα++++−−−→→→→++===⋅=⎰，所以30α−>，即3α<.又因为223201222ln(1)d ln(1)210lim lim lim lim(1)(1)1xx x x x xt t x x x x x x x ααααααααα−−−→+∞→+∞→+∞→+∞+++====−−+⎰，所以32α−<，即1α>. 综上可得，13α<<.（16）（本题满分11分）解：对参数方程求导，得22d 1d ()d 1d yt t y x x t t−'==+， 2222222231d()12(1)(1)2141()d d (1)1(1)d t t t t t t t y x x t t t t t−+−−⋅+''=⋅=⋅=+++. 令()0y x '=，得1t =±. 当1t =时，得53x =，13y =−，0y ''>. 故13y =−为极小值. 当1t =−时，得1x =−，1y =，0y ''<. 故1y =为极大值. 令()0y x ''=，得0t =，13x y ==. 当0t <时，得13x <，0y ''<；当0t >时，13x >，0y ''>. 所以曲线()=y y x 的凸区间为1,3⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭，凹区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，11(,)33为拐点. （17）（本题满分9分）解：[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ []211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''⎡⎤=++⎣⎦∂∂ []{}22122(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+又()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，所以，21111121d |(1,1)(1,1)(1,1).d d x y zf f f x y =='''''=++ （18）（本题满分10分）解: 由题当0x =时，有d 0,(0)1,tan d yy y xα'===. 方程d tan d y x α=两边对x 求导，可得222d d sec d d y x x αα⋅=① 由d d d d y x x α=,则①式可化为222d d d 1d d d y y y x x x⎡⎤⎛⎫+⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即方程()21y y y ''''=+ ② 令y p '=，有d d py py''=，则②式可化为3d d p p p p y =+ ③由于0y p '=≠，所以③变为2d 1d pp y=+ ④ 解方程④得1arctan p y C =+. 再有(0)0,(0)1,y y '==可得1π4C =. 所以，πtan 4y y ⎛⎫'=+⎪⎝⎭，分离变量，两边积分得2πsin e 4xy C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由(0)0y =，得22C =，因此π()4x y x =−.（19）（本题满分10分）证：（Ⅰ）设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦.显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日中值定理:()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++,即111111n n n ξ<⋅<++，x111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭. 结论得证.（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论,可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减.因为，1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，而，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，所以，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑.（20）（本题满分11分）解:（Ⅰ）12V V V =+()()12222112π2d π1d y y y y y −=−+−⎰⎰23212π3y y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭+1321π3y y −⎛⎫− ⎪⎝⎭=π1534⎛⎫+− ⎪⎝⎭=9π4（Ⅱ）22d π(2)(1)d π(2)1(1)d W g y y y g y y y ρρ⎡⎤=−−+−−−⎣⎦12222112π(2)(1)d π(2)1(1)d W g y y y g y y y ρρ−⎡⎤=−−+−−−⎣⎦⎰⎰1232322112π(22)d (44)d g y y y y y y y y ρ−⎛⎫=−−++−+ ⎪⎝⎭⎰⎰11122432231222222111121112224π2243243yy y y y g yy ρ−−−−⎛⎫⎪=−−++−+ ⎪ ⎪⎝⎭27π8g ρ=.（21）（本题满分11分）解：110d (,)d xyI x x yf x y y ''=⎰⎰1100d (,)d x x x ydf x y y '=⎰⎰ ()()111000d ,,d x x x x y f x y f x y y ⎡⎤''=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰()11d (,1)(,)d x x x x f x f x y y ''=−⎰⎰.因为(,1)0f x =,所以(,1)0x f x '=.110d (,)d x I x x f x y y '=−⎰⎰1100d (,)d x y xf x y x '=−⎰⎰111000d (,)(,)d y xf x y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100d (1,)(,)d y f y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ d (,)d Df x y x y =⎰⎰a =.（22）（本题满分11分）解:（Ⅰ）由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，则对于123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123(,,,,,)βββααα= 11310112401313115a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭. 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r =≠=ββββββα,此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故5a =.（Ⅱ）对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换:123123(,,,,,)=αααβββ101113013124115135⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭.故112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（23）（本题满分11分）解:（Ⅰ）设()()TT121,0,1,1,0,1=−=αα，则()()1212,,=−ααααA ，即1122,=−=ααααA A ，从而A 有特征值121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α. 由于()2A =R ,所以30λ=.由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()T3123,,x x x =α，则T 13T230,0.⎧=⎨=⎩αααα即13130,0.x x x x −=⎧⎨+=⎩ 解此方程组，得()T30,1,0=α,故30λ=对应的特征向量为()3330k k ≠α.故A 的所有特征值为1231,1,0λλλ=−==，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α和()3330k k ≠α.（Ⅱ）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()T T T3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0==−====αααβββααα. 令()123,,=βββQ ，则T110−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΛQ AQ ， T =A Q QΛ022012200110220010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭222200002201022⎛⎫−⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭001000100⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.。

陕西师范大学数科院09级高代复习

一、基本概念复习1. 什么是正定矩阵？正定矩阵的性质（至少说四条）？怎样判定一个矩阵是正定矩阵？2. 线性空间的定义？基本性质（至少说四条）？子空间定义？子空间的判定？3. 子空间交、和、直和定义？怎样判定直和？关于子空间最重要的两条性质是什么？4．什么是子空间的补及正交补的定义？两者有什么区别和联系？5．生成子空间的定义？生成子空间的基、维数怎确定？写出计算课本第270页第18大题第1小题的步骤？6．线性空间基、维数、坐标的定义？写出基坐标及坐标变换公式？过渡矩阵和可逆矩阵的关系？7．n n P ⨯的维数与一组基？n n P ⨯中全体对称、反对称、上三角矩阵的维数分别是多少？维数是否和所考虑的数域有关？请举例说明。

8．线性空间同构的定义？同构的基本性质（至少说四条）？9．线性变换的定义？线性变换的常见运算有几个？线性变换的乘法是否可换？举例说明？10．线性变换与基像的关系？怎样写出线性变换在一组基下的矩阵？线性变换在不同基下矩阵之间的关系？请写出课本第322页第7大题第6小题的步骤？11．线性变换和矩阵的关系（至少说四条）？线性变换前后向量在一组基下坐标的关系？12．相似矩阵的定义？相似矩阵的性质（至少说四条）？13．线性变换及矩阵特征值和特征向量的定义？两者有何区别和联系？求线性变换特征值及特征向量的步骤？14．线性变换的行列式、特征多项式的定义？矩阵特征值与矩阵迹、行列式的关系？15．线性变换对角化的充要条件？线性变换特征值的性质？什么是Hamilton-Cayley 定理？16. 给定具体线性变换，怎样判断它是否可对角化？请写出步骤？17．什么是幂零矩阵?写出n 阶幂零矩阵A 的特征多项式？迹？行列式？18．线性变换σ的值域与核定义？怎样计算值域及核？以课本第323页第14大题为例说明？值域及核的维数的关系？值域与核的和是否是直和？为什么？19．什么是幂等矩阵？幂等矩阵的特征值？实对称幂等矩阵是否可对角化？能否取掉实对称性？20．什么是不变子空间？请写出课本第326页第25大题的步骤？21．什么是若当块？什么是若当形矩阵？22．什么是-λ矩阵？怎样判断-λ矩阵的可逆性？把-λ矩阵化为标准形的步骤？23．什么是-λ矩阵的不变因子？行列式因子？怎样求-λ矩阵的不变因子？24。

2011陕西师范大学高等代数答案解析

陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答
高等代数资源网 October 21, 2012
1 声明
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2
( ) Ir 0 ,其中Ir 是r阶七.(15分)设A为n阶方阵,且A = A.证明:A相似于一个对角矩阵 0 0 单位矩阵,r = r(A). 八.(20分)求可逆矩阵P 及A的Jordan标准形J,使得P −1 AP = J,其中 2 1 1 −1 2 2 −1 −1 A= 1 0 −1 2 . 0 0 0 3 九.(20分)设η 是n维欧氏空间V 中的单位向量,定义 σ (α) = α − 2(η, α)η, ∀α ∈ V.
证明: ◇※☆■◇◇※☆■◇ 2 高等代数资源网
陕西师范大学2011年研究生入学考试高等代数试题参考解答 1.σ 是V 上的一个正交变换,这样的正交变换称为镜面反射; 2.σ 是第二类的;

3.如果n维欧氏空间V 中,正交变换σ 以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间的维数为n − 1,那么σ 是镜面反射. 消息一下,来张美图欣赏一下吧.
3 参考解答
一.(15分)证明:次数> 0且首项系数为1的多项式f (x)是一个不可约多项式的方幂的充要条件是:对任意的多项式g (x),必有(f (x), g (x)) = 1或者对某一个正整数m, f (x)|g m (x). 证明:必要性.设 f (x) = pk (x), 其中p(x)是不可约多项式,k 是正整数.则对任意的多项式g (x),有 (p(x), g (x)) = 1或者p(x)|g (x), 故 (pk (x), g (x)) = 1或者pk (x)|g k (x), 从而(f (x), g (x)) = 1或者存在正整数m = k, f (x)|g m (x). 充分性.由题设,可设f (x)的标准分解式为

2011年陕西师范大学考研教育硕士(Ed.M)教育综合真题试卷(题后含答

2011年陕西师范大学考研教育硕士（Ed.M）教育综合真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 名词解释题 2. 填空题 3. 简答题 4. 论述题1．教育学正确答案：教育学，即通过对教育现象和教育问题的研究，揭示教育规律的一门科学。

教育学的研究对象是教育问题和教育现象，只有那些有价值的，能够引起社会普遍关注的教育问题和教育现象才能构成教育学的研究对象。

教育学的研究任务是揭示教育规律，探讨教育价值观念和教育艺术，指导教育实践。

通过对教育学的学习，可以使我们了解教育的规律，树立正确的教育观念，掌握一定的教育理论知识和科学的教育方法，那种认为不学教育学也能教书和做好教育工作的想法是片面的、不切实际的，不利于提高教学质量和教育工作质量。

2．学习策略正确答案：学习策略是指学习者为了提高学习的效果和效率，有目的、有计划地制定的有关学习过程的复杂的方案，它是学习过程中信息加工的方式方法和调控技能的综合。

麦基奇把学习策略分为认知策略、元认知策略和资源管理策略。

3．课程正确答案：学术界对课程没有统一的定论，说法较多，有人认为课程是教学科目；有人认为课程即学习经验；有人认为课程即文化再生产；还有人认为课程即社会改造的过程。

总的来讲，课程是由一定的育人目标、特定的知识经验和预期的学习活动方式构成的一种动态存在。

从育人目标上讲，课程是培养人的蓝图；从课程内容上讲，课程是一种适合学生身心发展规律的，连接学生直接经验和间接经验的，引导学生个性全面发展的知识体系及其获取途径。

4．苏湖教学法正确答案：苏湖教学法也叫“分斋教学”，是北宋胡瑗在主持苏州、湖州州学时创立的一种新的教学制度，在“庆历兴学”时被用于太学的教学。

胡瑗在苏湖两州学任教期间，一反当时盛行的重视诗赋声律的学风，提倡经世致用的实学，主张“明体达用”，其内容是在学校内设立经义斋和治事斋，创行“分斋教学”制度。

在胡瑗的苏湖教法中，学生可以主治一科，兼学其他科，创立分科教学和学科的必修、选修制度，这在世界教育史上也是最早的。

高代考研试题及答案

高代考研试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C2. 若向量α=(1,2,3)和向量β=(2,3,4)，则向量α和向量β的点积为：A. 20B. 21C. 22D. 23答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)：A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^2+3答案：A4. 若矩阵B为3阶方阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵C为2阶方阵，其特征值为1和2，则矩阵C的特征多项式为________。

答案：λ^2 - (1+2)λ + 1*2 = λ^2 - 3λ + 22. 设向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则向量a和向量b的叉积为________。

答案：(0,0)3. 设函数g(x)=x^2+2x+1，则g''(x)=________。

答案：24. 设线性方程组Ax=b，其中A为3阶方阵，且A的秩为3，b为3维列向量，则该方程组的解集为________。

答案：非空集合三、解答题（每题10分，共60分）1. 求矩阵D=\[\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\]的逆矩阵。

答案：矩阵D的逆矩阵为\[\begin{matrix}2 & -1 \\ -3 &2\end{matrix}\]。

2. 设向量c=(3,-1)和向量d=(2,4)，求向量c和向量d的夹角。

答案：向量c和向量d的夹角为cos^-1((3*2 + (-1)*4) / (sqrt(9+1) * sqrt(4+16))) = cos^-1(0.6)。

3. 设函数h(x)=x^3+3x^2-3x+1，求h'(x)和h''(x)。

高等代数考研真题第一章多项式

第一章多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。

2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。

（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。

4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。

证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。

6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m(x)。

7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。

2011硕士研究生入学考试高等代数试题答案

济南大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题（A 卷）答案及评分标准一、（20分）⑴.设p 是奇素数，试证1++px x p 在有理数域上不可约.设()1p f x x px =++.令1x y =-,()(1)g y f y =-,那么()(1)(1)(1)1p g y f y y p y =-=-+-+1122221(1)(1)(1)(1)1221p p p p p p p p p y y y y p y p p p ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,取素数p ,则()g y 满足Eisenstein 判断法的条件,故()g y 在有理数域上不可约. 由于()g y 与()f x 在有理数域上有相同的可约性,故()f x 有理数域上不可约.⑵.判断2=x 是8122116)(2345+--+-=x x x x x x f 的几重根.作综合除法可知,2是()f x 的三重根,且3()(2)(1)(1)f x x x x =-+-.二、（10分）如果1()n x f x -，则1()n nx f x -.()1()()1()(1)01()1()n n n n x f x f x x g x f x f x x f x -⇒=-⇒=⇒-⇒-三、（10分）()111(1)x x x n x x x ααααααααααα=-+()()()()(1)12111(1)1(1)n n n x n x n x x x ααααα---=-+=--+--四、（20分）向量组I 与II 等价⇔I 与II 的极大无关组等价⇔I 与II 的极大无关组为III 的极大无关组123r r r ⇔==.五、（20分）求证：⑴设12,,,s ηηη 是齐次线性方程组0AX =的基础解系，12,,,s ηηη 与12,,,t εεε 等价，由于它们都线性无关，所以s t =；12,,,t εεε 由12,,,s ηηη 表示，i ε为12,,,s ηηη 的线性组合，当然是0AX =的解，又因为任何一个解可由12,,,s ηηη 表示，当然也可由12,,,t εεε 表示，故12,,,t εεε 也是基础解系.⑵显然12,,,,s ξξηξηξη+++ 为AX b =的解，12,,,s ηηη 线性无关，ξ不能由它们表示，12,,,,s ηηηξ 线性无关，秩为1s +;12,,,,s ξξηξηξη+++ 与12,,,,s ηηηξ 等价，12,,,,s ξξηξηξη+++ 的秩也为1s +，从而无关，故为AX b =的线性无关解.试题科目：六、（10分）设n 阶半正定矩阵A ，存在可逆矩阵P ，0'00rE A P P ⎛⎫=⎪⎝⎭，矩阵000rE C P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'A C C =．七、（15分）作初等行变换'''''123111312121052(,,,,)1111221153A αααββ--⎛⎫ ⎪⎪== ⎪---- ⎪---⎝⎭100017170100349001032500013B -⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪→=- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭由于对矩阵施行初等行变换不改变列向量间的线性关系,从B 知1231,,,αααβ线性无关,且2123117492517333βαααβ=---+.显然dim 13W =,dim 22W =,而dim 12()W W +=dim 12312(,,,,)L αααββ=dim 1231(,,,)4L αααβ=.由维数公式得dim12()W W ⋂=dim1W +dim2W -dim12()3241W W +=+-=.由于211231225174917333W W γββααα=-=---∈⋂,且0γ≠,故γ是12W W ⋂的一个基. 八、（10分）设上三角的正交矩阵为A ，上三角1'A A -=下三角，A 必为对角矩阵，又因为2122'n A A A E λλ⎛⎫ ⎪=== ⎪⎪⎝⎭，21i λ=，1i λ=±，即对角线元素为1±. 九、（15分）⑴对于()()1211,,22V αααααααα∀∈=-A ++A =+()()1211,,22αααααα=-A =+A1122A ,A αααα=-=，112111,,V V V V V αα--∴∈∈=+；又因为{}1111,,0,0V V V V γαααα--∀∈⋂=A =-=⋂=，11V V V -=⊕；⑵线性变换A 在1V 某组基下矩阵为s E ，在1V -某组基下矩阵为n s E --，设11V V -，的基构成V 的基，故线性变换A 在V 的某组基下矩阵为s n s E E -⎛⎫⎪-⎝⎭. 十、（20分）证明：⑴设欧氏空间V 的一组标准正交基为1,,n εε ，()()11A ,,,,n n A εεεε= ，(A ,)(,A )αβαβ= ，(A ,)(,A )ji i j i j ij a a εεεε∴===，'A A ∴=为对称矩阵；反之，A 在一组标准正交基1,,n εε 下的矩阵A 为实对称矩阵，()()11,,,,,n n X Y αεεβεε== ，()()()11(A ,),,,,,n n AX Y αβεεεε=()'''AX Y X A Y ==()()()()11',,,,,(,A )n n X AY X AY εεεεαβ=== ，线性变换A 为对称的.(2)对于11,V V αβ⊥∀∈∀∈，此时1A V β∈，()()A ,=,A 0αβαβ=，1A V α⊥∴∈，则1V ⊥也是A 的不变子空间.。