83图的矩阵表示

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矩阵数据分析图ppt课件

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3
矩阵图的类型
矩阵图法在应用上的一个重要特征，就是把应该分析的对象表示在适当的矩阵图上。因此，可以把若干种矩阵图进行分类，表示出他们的形状，按对象选择并灵活运用适当的矩阵图形。常见的矩阵图有以下几种
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4
(1)、L型矩阵图。是把一对现象用以矩阵的行和列排列的二元表的形式来表达的一种矩阵图，它适用于若干目的与手段的对应关系，或若干结果和原因之间的关系
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5
(2) T型矩阵图是由C类因素和B类因素组成的L型矩阵图阵图，如图所示。表示C类因素分别与B类因素和A类因素相对应的矩阵图。
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（3）Y型矩阵图是由A类因素和B类因素、B类因素和C类因素、C类因素和A类因素组成三个L型矩阵图，如因(d)所示，即表示A和B、B和C、C和A 三因素分别对应的矩阵图。
矩阵图(Matrix Diagram)
定义：矩阵图法就是从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列成矩阵图，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因素综合思考，探索问题的好方法。
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1
矩阵图的由来
质量管理中所使用的矩阵图，其成对因素往往是要着重分析的质量问题的两个侧面，如生产过程中出现了不合格时，着重需要分析不合格的现象和不合格的原因之间的关系，为此，需要把所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来，逐一分析具体现象与具体原因之间的关系，这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素。
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2
矩阵图法简介
矩阵图的形式如图所示， A为某一个因素群，a1、a2、 a3、a4、…是属于A这个因素群的具体因素，将它们排列成行；B为另一个因素群， b1、 b2、b3、b4、…为属于 B这个因素群的具体因素，将它们排列成列；行和列的交点表示A和B各因素之间的关系，按照交点上行和列因素是否相关联及其关联程度的大小，可以探索问题的所在和问题的形态，也可以从中得到解。

图的存储结构邻接矩阵表示法

Βιβλιοθήκη V且E′11
1
1
E, 则称图G′
2
3
3
1
1
2
3 5
4
3
4
(a) G 1的子图
1
2
1
2
3
4
5
4
5
(b) G 2的子图图7.2 图的子图示例
3. 邻接点对于无向图 G=（V， {E}），如果边（v，v′）∈E，则称顶点v， v′互为邻接点，即v， v′相邻接。边（v， v′）依附于顶点v和v′，或者说边（v， v′）与顶点v和v′相关联。对于有向图G=（V， {A}）而言，若弧<v，v′>∈A，则称顶点v邻接到顶点 v′，顶点v′邻接自顶点v，或者说弧<v， v′>与顶点v和v′相关联。
7.1 图的定义与基本术语
7.1.1 图的定义
图(Graph)是一种网状数据结构，其形式化定义如下： Graph=（V，R） V={x|x∈DataObject}
R={VR} VR={<x， y>|P（x， y）∧（x， y∈V）} DataObject为一个集合，该集合中的所有元素具有相同的特性。V中的数据元素通常称为顶点（vertex），VR是两个顶点之间关系的集合。P（x，y）表示x和y 之间有特定的关联属性P。
n
TD(vi )
e i1 2
5.
在实际应用中，有时图的边或弧上往往与具有一定意义的数有关，即每一条边都有与它相关的数，称为权，这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费等信息。我们将这种带权的图叫做带权图或网，如图7.3所示。
16
1
2
21
11
5

7-3 图的矩阵表示

图的矩阵表示
中国海洋大学计算机系
主要内容
邻接矩阵有向图的可达矩阵无向图的关联矩阵有向图的关联矩阵图的运算学习要点与基本要求实例分析
邻接矩阵
定义7-3.1 设G=<V,E>是一个简单图，它有个结点是一个简单图，定义是一个简单图它有n个结点 V={v1, v2, …, vn}, 则n阶方阵阶方阵A(G)=(aij)称为的邻称为G的邻阶方阵称为接矩阵。其中接矩阵。
1 从v i 到v j 至少存在一条路 pij = 0 从v i 到v j不存在路
称矩阵P是图的可达性矩阵。称矩阵是图G的可达性矩阵。是图
关于可达矩阵的说明
可达性矩阵描述任意两结点是否可达，可达性矩阵描述任意两结点是否可达，以及对于任意结点是否有通过它的回路。意结点是否有通过它的回路。由邻接矩阵A可直接得到可达性矩阵，方法如下：由邻接矩阵可直接得到可达性矩阵P，方法如下：可直接得到可达性矩阵方法1：方法： Bn=A+A2+…An，再把B 中的非零元均改为1，再把 n中的非零元均改为，零元保持不变，得到可达性矩阵P。得到可达性矩阵。方法2：中的非零元改为1，方法：把Ai(i=1,2, …,n)中的非零元改为，零元保中的非零元改为持不变，得到布尔矩阵持不变，得到布尔矩阵A(i)(i=1,2, …,n)，， P= A(1) ∨ A(2) ∨… ∨ A(n)
0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 + 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 7 3 0 0 6 7 0 0 7 3 0 0 0 0 2 3 0 0 3 2
2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 + 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

离散数学-图的矩阵表示

设有向图G的结点集合，它的邻接矩阵为，现在我们想计算从结点到结点的长度为2的路的数目
分析：从到长度为2的路，中间必须经过如果图G 中有路存在，则肯定有，反之如果图G中不存在路，那么或者，即于是从结点到的长度为2的路的数目就等于：
按照矩阵的乘法规则，上式恰好等于矩阵的元素，即表示从到；的长度为2的路的数目
中第i行，第j列
考虑从vi到v j的长度为3的路的数目，可以看作是由vi到vk的长度为1的路，再联结vk 到v j的长度为2的路，则类似可知从vi到v j的长度为3的路的数目为： a
( 3) ij ( 2) aik akj ，即为( A(G )) 3的第i行，第j列元素。 k 1 n
行相加运算：有向图：对应分量普通加法运算；无向图：对应分量模2加法运算。行相加相当于G中对应结点的合并。 air a jr 1 ，说明v 和v 中只有一个结点是边e 的端点，合并 i j r 后仍是er的端点。
air a jr 0 ，有两种情况：
a、vi，vj都不是er的端点； b、vi，vj都是er的端点，合并后删去自回路。若合并后完全关联矩阵中出现元素全为0的列，表明对应的边消失。有了这种运算，就可以运用这种运算求关联矩阵的秩
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 ，求G的可达性矩阵。 1 0
Байду номын сангаас
0 2 A2 1 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 0
2 1 A3 2 0
4 5 7 2 2 4 4 1
1 2 2 0
3 6 7 2
0 1 1 1
由前面的定理7-2.1的推论可知，如果在vi到vj之间存在路，必定存在一条长度不超过n的通路，所以l只需计算到n就可以了。

第2章-数字图像概念

第 2 章数字图像概念
18
（a）原图像（b）灰度直方图图 2-12 原图与灰度直方图灰度直方图有以下性质：（1）灰度直方图只反映图像中像素的不同灰度值出现的次数或频数，而没有反映像素所在的位置。（2）一幅图像只有一个唯一的直方图，但是一个直方图可能对应不同的图像。（3）如果将一幅图分为几个子图，则子图的灰度直方图之和为整图的灰度直方图。【例 2-1】求图 2-13（a）的 4x4 图像的灰度直方图。
第 2 章数字图像概念
15
(a) 端点
(b) 分叉点图 2-7 8 邻域特征点
(c) 连续点
2.1.4 数字图像间关系
数字图像间的关系可以是代数运算关系，也可以是逻辑运算关系。运算是在两幅图像的对应（位置）像素间进行。式 2-2 是代数运算公式，式 2-3 是逻辑运算公式。式中 g（x，y）代表运算后的新图像，fA（x，y）代表图像 A，fB（x，y）代表图像 B。加法运算：减法运算：乘法运算：除法运算：与运算：或运算：异或运算：补（反）运算：【应用】图像间加法运算通常应用于减少和去除图像获取时混入的噪声，从而得到清晰的图像。由于噪声具有随机性，因此，通过同一场景的多幅静止图像相加，求平均值等方法，降低和消除随机噪声对图像的影响（详见 4.1.3 图像平滑）。图像相加还可以把一幅图像的内容叠加到另一幅图像上。例如，Photoshop 中合并通道的原理，就是图像相加的具体应用。图像间减法运算通常应用于提取图像的差异，以及去除背景等方面。例如，在图像中运动物的检测中，通过前后两个图像的减法运算，可以了解运动物体移动的程度，计算出运动速度，并画出移动轨迹。如图 2-8 所示。上图是拍摄的运动物体（人物），下图左侧是上图中图与左图之差的结果；下图中图是上图右图与中图之差的结果；下图右图是上图右图与左图之差的结果。下图中黑色部分表示静止部分，因为相减为 0，白色部分为运动部分。 g（x，y） g（x，y） g（x，y） g（x，y） g（x，y） g（x，y） g（x，y） g（x，y） = = = = = = = = f A（x，y）+ fB（x，y） f A（x，y）- fB（x，y） f A（x，y）x fB（x，y） f A（x，y）÷ fB（x，y） f A（x，y）AND f A（x，y）OR f A（x，y）XOR f A（x，y）NOT fB（x，y） fB（x，y） fB（x，y） fB（x，y）

图基本算法图的表示方法邻接矩阵邻接表

图基本算法图的表⽰⽅法邻接矩阵邻接表要表⽰⼀个图G=(V,E)，有两种标准的表⽰⽅法，即邻接表和邻接矩阵。

这两种表⽰法既可⽤于有向图，也可⽤于⽆向图。

通常采⽤邻接表表⽰法，因为⽤这种⽅法表⽰稀疏图（图中边数远⼩于点个数）⽐较紧凑。

但当遇到稠密图（|E|接近于|V|^2）或必须很快判别两个给定顶点⼿否存在连接边时，通常采⽤邻接矩阵表⽰法，例如求最短路径算法中，就采⽤邻接矩阵表⽰。

图G=<V，E>的邻接表表⽰是由⼀个包含|V|个列表的数组Adj所组成，其中每个列表对应于V中的⼀个顶点。

对于每⼀个u∈V，邻接表Adj[u]包含所有满⾜条件（u，v）∈E的顶点v。

亦即，Adj[u]包含图G中所有和顶点u相邻的顶点。

每个邻接表中的顶点⼀般以任意顺序存储。

如果G是⼀个有向图，则所有邻接表的长度之和为|E|，这是因为⼀条形如（u，v）的边是通过让v出现在Adj[u]中来表⽰的。

如果G是⼀个⽆向图，则所有邻接表的长度之和为2|E|，因为如果（u，v）是⼀条⽆向边，那么u会出现在v的邻接表中，反之亦然。

邻接表需要的存储空间为O（V+E）。

邻接表稍作变动，即可⽤来表⽰加权图，即每条边都有着相应权值的图，权值通常由加权函数w：E→R给出。

例如，设G=<V，E>是⼀个加权函数为w的加权图。

对每⼀条边（u，v)∈E，权值w（u，v）和顶点v⼀起存储在u的邻接表中。

邻接表C++实现:1 #include <iostream>2 #include <cstdio>3using namespace std;45#define maxn 100 //最⼤顶点个数6int n, m; //顶点数，边数78struct arcnode //边结点9 {10int vertex; //与表头结点相邻的顶点编号11int weight = 0; //连接两顶点的边的权值12 arcnode * next; //指向下⼀相邻接点13 arcnode() {}14 arcnode(int v,int w):vertex(v),weight(w),next(NULL) {}15 arcnode(int v):vertex(v),next(NULL) {}16 };1718struct vernode //顶点结点，为每⼀条邻接表的表头结点19 {20int vex; //当前定点编号21 arcnode * firarc; //与该顶点相连的第⼀个顶点组成的边22 }Ver[maxn];2324void Init() //建⽴图的邻接表需要先初始化，建⽴顶点结点25 {26for(int i = 1; i <= n; i++)27 {28 Ver[i].vex = i;29 Ver[i].firarc = NULL;30 }31 }3233void Insert(int a, int b, int w) //尾插法，插⼊以a为起点，b为终点，权为w的边，效率不如头插，但是可以去重边34 {35 arcnode * q = new arcnode(b, w);36if(Ver[a].firarc == NULL)37 Ver[a].firarc = q;38else39 {40 arcnode * p = Ver[a].firarc;41if(p->vertex == b) //如果不要去重边，去掉这⼀段42 {43if(p->weight < w)44 p->weight = w;45return ;46 }47while(p->next != NULL)48 {49if(p->next->vertex == b) //如果不要去重边，去掉这⼀段50 {51if(p->next->weight < w);52 p->next->weight = w;53return ;54 }55 p = p->next;56 }57 p->next = q;58 }59 }60void Insert2(int a, int b, int w) //头插法，效率更⾼，但不能去重边61 {62 arcnode * q = new arcnode(b, w);63if(Ver[a].firarc == NULL)64 Ver[a].firarc = q;65else66 {67 arcnode * p = Ver[a].firarc;68 q->next = p;69 Ver[a].firarc = q;70 }71 }7273void Insert(int a, int b) //尾插法，插⼊以a为起点，b为终点，⽆权的边，效率不如头插，但是可以去重边74 {75 arcnode * q = new arcnode(b);76if(Ver[a].firarc == NULL)77 Ver[a].firarc = q;78else79 {80 arcnode * p = Ver[a].firarc;81if(p->vertex == b) return; //去重边，如果不要去重边，去掉这⼀句82while(p->next != NULL)83 {84if(p->next->vertex == b) //去重边，如果不要去重边，去掉这⼀句85return;86 p = p->next;87 }88 p->next = q;89 }90 }91void Insert2(int a, int b) //头插法，效率跟⾼，但不能去重边92 {93 arcnode * q = new arcnode(b);94if(Ver[a].firarc == NULL)95 Ver[a].firarc = q;96else97 {98 arcnode * p = Ver[a].firarc;99 q->next = p;100 Ver[a].firarc = q;101 }102 }103void Delete(int a, int b) //删除以a为起点，b为终点的边104 {105 arcnode * p = Ver[a].firarc;106if(p->vertex == b)107 {108 Ver[a].firarc = p->next;109 delete p;110return ;111 }112while(p->next != NULL)113if(p->next->vertex == b)114 {115 p->next = p->next->next;116 delete p->next;117return ;118 }119 }120121void Show() //打印图的邻接表（有权值）122 {123for(int i = 1; i <= n; i++)124 {125 cout << Ver[i].vex;126 arcnode * p = Ver[i].firarc;127while(p != NULL)128 {129 cout << "->(" << p->vertex << "," << p->weight << ")";130 p = p->next;131 }132 cout << "->NULL" << endl;133 }134 }135136void Show2() //打印图的邻接表(⽆权值）137 {138for(int i = 1; i <= n; i++)140 cout << Ver[i].vex;141 arcnode * p = Ver[i].firarc;142while(p != NULL)143 {144 cout << "->" << p->vertex;145 p = p->next;146 }147 cout << "->NULL" << endl;148 }149 }150int main()151 {152int a, b, w;153 cout << "Enter n and m：";154 cin >> n >> m;155 Init();156while(m--)157 {158 cin >> a >> b >> w; //输⼊起点、终点159 Insert(a, b, w); //插⼊操作160 Insert(b, a, w); //如果是⽆向图还需要反向插⼊161 }162 Show();163return0;164 }View Code 邻接表表⽰法也有潜在的不⾜之处，即如果要确定图中边（u,v）是否存在，只能在顶点u邻接表Adj[u]中搜索v，除此之外没有其他更快的办法。

30图的矩阵表示及特殊图

24
二部图的判别法
定理无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈例下述各图都是二部图
25
8.2 欧拉图
历史上的哥尼斯堡七桥问题是著名的图论问题。问题是这样的： 18世纪的东普鲁士有个哥尼斯堡城，在横贯全城的普雷格尔河两岸和两个岛之间架设了 7 座桥，它们把河的两岸和两个岛连接起来（如图 8.2.1 ）。每逢假日，城中居民进行环城游玩，人们对此提出了一个 “遍游”问题，即能否有这样一种走法，使得从某地出发通过且只通过每座桥一次后又回到原地呢？
定义设无环有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令
1 , vi为e j的始点 mij 0 ， vi与e j 不关联 1 ， v 为e 的终点 i j
则称(mij)nm为D的关联矩阵，记为M(D).
教师：田检
21
有向图的关联矩阵的性质：
是使Al（l＝1， 2， …， n-1 ）的（i， j）项元素不为零的最小整数l。
3) Al的（i， i）项元素a(l)ii表示开始并结束于 vi长度为l的回路的数目。
教师：田检
11
2.有向图的邻接矩阵
与无向图一样，有向图也能用相应的邻接矩阵表示.
定义设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, (1) a e2, …, em}, 令 ij 为顶点vi邻接到顶点vj边的条数， (1) 称( a ij )mn为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A.
教师：田检
26
我们将图 8.2.1 中的哥尼斯堡城的 4 块陆地部分分别标以A， B，Ｃ， D，将陆地设想为图的结点，而把桥画成相应的连接边，这样图 8.2.1可简化成图8.2.2。于是七桥“遍游”问题等价于在图 8.2.2 中，从某一结点出发找到一条回路，通过它的每条边一次且仅一次，并回到原来的结点。

矩阵图

二、矩阵图用途：
1、确定系列产品的研制或改进的关键环节；确定系列产品的研制或改进的关键环节； 2、产品的质量展开；产品的质量展开； 3、寻找产品的不良现象与原材料、设备、工艺之间的关系；寻找产品的不良现象与原材料、设备、工艺之间的关系； 4、拟定与市场相关联的产品战略方案；拟定与市场相关联的产品战略方案； 5、加强质量审核制度并使之效能化；加强质量审核制度并使之效能化； 6、明确产品特性与管理职能或负责部门的关系；明确产品特性与管理职能或负责部门的关系； 7、明确用户质量要求与工序管理项目之间的关系。明确用户质量要求与工序管理项目之间的关系。
实例2: 实例2:
爬坡低速１档２档３档４档５档以上 ◎ ◎ ○ ◎ ◎ ◎ ◎
加速中速 ○ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ 高速低速 △加速时 △加速时 ◎
油耗中速高速
△加速时 ◎ ◎ ○ ◎
低速：40km/h以下中速：40～80km/h 高速：80km/h以上
图1:
R R1 L1 L2 L3 L4 L5 . . . Lm R2 R3 R4 R5 R6 … … Rn
L
实例1: 实例1:
性能原因绝缘漆浓度低预烘时间短定子性能差转子缺陷风叶不配套风叶角度与电机不匹配轴承不合格精加工精度差 ◎ 绝缘强度低 ◎ ◎ 耐压击穿 ○ ○ ◎ ◎ ○ ◎ ◎ ◎ ◎ ○ ○ ○ ◎ ◎ ○ ○ 功率大转速低启动性能差
三、矩阵图分类：
1 、L 型 2 、T 型 3 、Y 型 4 、X 型 5 、C 型
L型为常用型，本课件仅对1进行说明型为常用型，本课件仅对进行说明型为常用型
L型矩阵图：型矩阵图：一般将两个对应事项A与B的元素，分别按行和列排列而成。它用一般将两个对应事项A 的元素，分别按行和列排列而成。于分析若干个目的（或问题）的手段（原因），见图1 ），见图于分析若干个目的（或问题）的手段（原因），见图1；

图的矩阵表示

定义10.18 定义10.18 设 G＝(V, E) 为简单图，它有 n 个结点 V 为简单图，，，则＝{v1, v2, …, vn}，，则 n 阶方阵 A(G ) = (aij ) 称为 G 邻接矩阵。的邻接矩阵。 1, v i 邻接 v j ; 其中 a ij = 0, 不邻接 v j或 i = j . v1 v2 v5
0 1 1 0
0 1 A(G2 ) = 1 0
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
如果给定的图是零图，则其对应的矩阵中所有的元素都为零，如果给定的图是零图，则其对应的矩阵中所有的元素都为零，它是一个零矩阵，反之亦然，它是一个零矩阵，反之亦然，即邻接矩阵为零矩阵的图必是零图。零图。
1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 2 3 4 5 P = A ∨ A ∨ A ∨ A ∨ A = 1 0 0
由此看出，由此看出，如果把邻接矩阵看作是结点集 V 上关系 R 的关系矩阵，关系矩阵，则可达性矩阵 P 即为 M R ，因此可达矩阵亦算法计算。可用 Warshall 算法计算。
+
可达性矩阵的概念可以推广到无向图中，只要将无向可达性矩阵的概念可以推广到无向图中，图的每一条边看成是具有相反方向的两条边，这样，图的每一条边看成是具有相反方向的两条边，这样，一个无向图就可以看成是有向图。无向图就可以看成是有向图。无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵，其可达矩阵称为连通矩阵。称矩阵，其可达矩阵称为连通矩阵。除了可用邻接矩阵以外，对于一个无向图 G，除了可用邻接矩阵以外，还对应完全关联矩阵，无自回路，着一个称为图 G 的完全关联矩阵，假定图 G 无自回路，如因某种运算得到自回路，则将它删去。因某种运算得到自回路，则将它删去。

第六章-图的矩阵表示

e2, …, eq}, p×q阶矩阵M(D)=(mij) p×q，其中
mij
1 - 1
若v
i是e
的起
j
点
若v
i是e
的终点
j
0 若vi不关联e j
称M(G)为D的完全关联矩阵。
v1
e6
v3
e1
e2 e3 e5
e4
v2
v4
e1 e2 e3 e4 e5 e6
v1 1 1 1 0 0 1
v2 1 1 0 0 0 0
例计算完全关联矩阵M(G)的秩。
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 0 0 0 0 0 1 1 v2 0 0 0 1 1 1 0 v3 0 1 1 1 0 0 0 (4) v4 1 1 0 0 0 0 0
v5 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
(1)
0
0
0 1
0 1
v e 2 2 0 1 0 0 0
1
0
1
0
0
A 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
e1
e5 0 0 0 1 0
v3
1 0 1 0 0
0 2 0 0 0
A2 1 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0 0 0 0 1
e3
v1
e4
v4
有向图的关联矩阵
定义给定简单有向图D=<V,E>， V={v1, v2, …, vp}, E={e1,
(1)
m n
i1 ij
0
( j 1,2,...,m)
(2)
m j1
(
mij

图论基础图的表示与常见算法

图论基础图的表示与常见算法图论是数学的一个分支，研究的是图这种数学结构。

图由节点（顶点）和边组成，是研究网络、关系、连接等问题的重要工具。

在图论中，图的表示和算法是非常重要的内容，本文将介绍图的表示方法以及一些常见的图算法。

一、图的表示1. 邻接矩阵表示法邻接矩阵是表示图的一种常见方法，适用于稠密图。

对于一个有n 个节点的图，邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i到节点j是否有边相连。

如果有边相连，则该元素的值为1或边的权重；如果没有边相连，则该元素的值为0或者无穷大。

邻接矩阵的优点是可以方便地进行边的查找和修改，但缺点是对于稀疏图来说，会浪费大量的空间。

2. 邻接表表示法邻接表是表示图的另一种常见方法，适用于稀疏图。

对于一个有n 个节点的图，邻接表是一个长度为n的数组，数组中的每个元素是一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。

邻接表的优点是节省空间，适用于稀疏图，但缺点是查找边的时间复杂度较高。

3. 关联矩阵表示法关联矩阵是表示图的另一种方法，适用于有向图。

对于一个有n个节点和m条边的图，关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中第i行第j列的元素表示节点i和边j的关系。

如果节点i是边j的起点，则该元素的值为-1；如果节点i是边j的终点，则该元素的值为1；如果节点i与边j无关，则该元素的值为0。

关联矩阵适用于有向图，可以方便地表示节点和边之间的关系。

二、常见图算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。

从起始节点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到到达叶子节点，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。

DFS可以用递归或栈来实现。

2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）广度优先搜索是另一种用于遍历或搜索图的算法。

从起始节点开始，先访问起始节点的所有邻居节点，然后再依次访问邻居节点的邻居节点，以此类推。

矩阵图PPT课件

矩阵图的概念图
R
R1 R2 … Ri … Rn
L1
◎
L2 ○ ◎
○
… L
Li
○
△
…
Ln △
◎
○
寻找解决问题的手段时，若目的(或结果)
能够展开为一元手段(或原因)，则可用树
八、矩阵图（续）
矩阵图的种类
按矩阵图的型式可将矩阵图分为L型、T型、
L型矩阵图
T型矩阵图
因X素型Y 和因 Y因型因四因种因因因素素素素素素素因素X Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 因素X1 因素X2
污污污污污尘污染粘
染染染染染污染贴
染
污
链接
染
八、矩阵图（续）
作用当问题和所形成的现象错综复杂，与原因
的对应关系难以判断，且难以取得相应数据的情况下，根据大家的经验，应用矩阵图进行整理分析，可理清关系，抓住解决问题的关键。常用的矩阵图型（举例说明） ⑴ L型矩阵图某电扇厂QC小组对吊扇输入功率高、效率低的问题，使用L型矩阵图。
八、矩阵图（续）
矩阵图应用实例
[例6.4-3] 调查不合格 125
100
品原因：印刷封面，
75
因经常脏污报废太 50
多。 25
· · · 100
·
·
75
·
· N = 999
·
r = 131
50
P = 13.11%
·
25
按照脏污的不同种类，将检验数据分类，做成排列图。
0
0
异黑渗同垃油摩锈羽其
色点透色圾灰擦污毛他
运转
性能检查
板尺紧安寸固装错程失

graph-chapter6图的矩阵表示

定理6.1.4 连通图G的关联矩阵M的一个大子阵是非奇异的充要条件为与这个大子阵的列相应的边组成G的一棵生成树。
• 一个图的生成树与关联矩阵的非奇异大子阵存在一一对应的关系。
• 一个连通图的关联矩阵一定存在非奇异的大子阵，因此一个连通图一定存在生成树。
• 求连通图全部生成树的方法：找出图G的关联矩阵M的全部非奇异大子阵，每个大子阵的列所对应的边就组成G的一棵生成树。
且它们的列所表示的边的次序相同，则
Qf=[BTf12 I] ，Bf=[I QTf11]
6.5 图的邻接矩阵
定义6.5.1设图G的顶点集V (G) v1, v2, , vp ，令
aij
1,
若v 与v i
j
邻接
0,
若v 与v i
不接或i=j
j
则称由元素构成的 aij (i, j 1, 2, , p) 构成的p阶
定理6.2.2连通图G关于生成树T的基本圈矩阵B f 可以写
成如下形式的分块矩阵：
Bf [I Bf 12 ]
其中I为q-p+1阶单位矩阵，它的列对应于连枝。
定理6.2.3设B是图G的圈矩阵，B f 是G的基本圈矩阵，
那么存在一个非奇异矩阵C，使得：
B CBf
定理6.2.4一个圈矩阵的大子阵是非奇异的充要条件是这个大子阵的列对应于某一生成树的连枝集。
第六章图的矩阵表示
计算机科学领域有许多算法涉及图。计算机存储图的一种最简单有效的方法就是矩阵。矩阵是由数字组成的矩阵表格，一般用大写字母表示。（元素、行、列）。图论有效地利用了矩阵，将其作为表达图及其性质的有效工具和手段。
6.1关联矩阵
定义6.1.1设图G为(p,q)图.令

矩阵图

矩阵图
八、矩阵图
矩阵图的概念矩阵图是一种利用多维思考去逐步明确问题的方法；矩阵图是一种利用多维思考去逐步明确问题的方法；从问题的各种关系中找出成对要素L 从问题的各种关系中找出成对要素 1，L2 ，…，Li ，…，Ln和R1，，， R2 ，…，Ri ，…，Rn用数学上矩阵的形式排成行和列，在其交点上，，用数学上矩阵的形式排成行和列，标出L和各因素之间的相互关系从中确定关键点的方法。各因素之间的相互关系，标出和R各因素之间的相互关系，从中确定关键点的方法。在分析质量问题的原因、整理顾客要求、分解质量目标时，将问题、在分析质量问题的原因、整理顾客要求、分解质量目标时，将问题、顾客需求、质量目标设为放在矩阵图的左边，将问题的原因、设为L)放在矩阵图的左边顾客需求、质量目标(设为放在矩阵图的左边，将问题的原因、顾客需求转化来的质量目标或针对质量目标提出的质量措施(设为列客需求转化来的质量目标或针对质量目标提出的质量措施设为R)列设为在矩阵图的上方，用不同的符号表示它们之间关系的强弱。在矩阵图的上方，用不同的符号表示它们之间关系的强弱。通常用◎表示关系密切，表示有关系，表示可能有关系。通常用◎表示关系密切，○表示有关系，△表示可能有关系。通过在交点处给出行与列对应要素的关系及关系程度，通过在交点处给出行与列对应要素的关系及关系程度，可以从二元关系中探讨问题所在和问题的形态，并得到解决问题的设想。关系中探讨问题所在和问题的形态，并得到解决问题的设想。

主要问题是“功率大”、“转速低”，主要原因是“定子性能差”。主要问题是“功率大” 转速低” 主要原因是“定子性能差” 进一步分析定子性能差的影响因素，通过试验，找到解决办法。进一步分析定子性能差的影响因素，通过试验，找到解决办法。

TI-83+ TI-84基础教程：基本功能、图形和矩阵说明书

TI-83+/TI-84 Tutorial: The Basics, Graphing, and Matrices In this tutorial, I will be assuming you have never used a TI graphing calculator before. We will cover what you would need in a basic algebra or precalculus class. Detailed answers/keystrokes for all examples are at the end of each section.If you are following this tutorial on a TI-84 calculator you may have Mathprint installed. Turn Mathrprint off if you want to follow the keystrokes given in the answers. You can turn Mathprint off by going to [MODE] and pressing the [UP ARROW] key until MATHPRINT is highlighted. Use the [RIGHT ARROW] keyso that CLASSIC is highlighted instead and press [ENTER]. Now that Mathprint is turned off, use[2nd][MODE] to go back to the home screen.Table of ContentsI. Basic Layout and Functions (3)Basic Layout – First Look: (3)Navigating and Editing: (5)Section answers: (6)II. Graphing (7)Overview: (7)Example 1: (7)Example 2: (9)Example 3: (9)Section answers: (10)III. Matrices (11)Overview: (11)Entering a Matrix: (11)Arithmetic on a Matrix: (11)Row Reduction on a Matrix : (12)Section answers: (12)IV. Tips and Tricks (14)Degrees and Radians: (14)Fractions and Decimals: (14)Recalling Previous Answers: (14)Section answers: (15)V. Troubleshooting (16)Changing Brightness: (16)Hanging Calculation/Not Responsive: (16)Resetting Memory: (16)Error Screens: (16)VI. - Conclusion (18)I. Basic Layout and FunctionsBasic Layout – First Look:Before you even turn on your calculator, look at how it is organized.The TI-83 can be divided roughly into three sections: Graphing is along the top row, advanced functions and menus is the top middle, and the scientific calculator takes up the bottom half.Above every key you’ll see a secondary function in yellow lettering (blue on a TI-84) or green lettering. To access them, press the [2nd] or [ALPHA] keys first. This is the equivalent of shift on a keyboard.In the bottom half you have basic operations and constants. I’ve marked a few common ones.It is important to note that there is a difference between “negative” and “minus”. Negative has one operand and minus has two operands. For instance, “2 minus 1” versus “negative 2 minus 1”.Turn the calculator on in the lower left-hand corner. (Turn it off again with the [2nd] key.) The screen you see when you first turn on the calculator is called the home screen. The home screen is where most calculations are carried out. Simply type out the operations you want and hit [ENTER]. You can always reach the home screen again from any menu with the [QUIT] function ([2nd][MODE]). And you can always clear the home screen by hitting [CLEAR] twice.Try calculating the following examples on the home screen:1)3-3 = 0 (Basic Arithmetic)2)-9+6(8-5) = 9 (Basic Arithmetic)3)1+(1+.05)14 = 2.979931599 (Exponents)4)log5(48) = 2.405312427 (Logs)5) 6.022E23/1.6E-14 = 3.76375E37 (Scientific Notation)6)4−(1+0.5)7+3= .25 (Basic Arithmetic)Navigating and Editing:To move the cursor around the home screen and any menus, use the arrow keys. Also, as stated before, use [2nd][MODE] to quit back to the home screen whenever you wish.One advantage of a graphing calculator is that you can correct mistakes. Use [CLEAR] to delete a line entirely. [DEL] deletes the character your cursor is on. [INS] changes the cursor to begin inserting what you type rather than overwriting.When you’ve made a mistake on a long calculation, try editing it rather than retyping it entirely. It will save time and help to familiarize yourself with the controls.Section answers:1) [3][-][3][ENTER]2) [(-)][9][+][6][(][8][-][5][)][ENTER]3) [1][+][(][1][+][.][0][5][)][^][1][4][ENTER]4) [LOG][4][8][)][/][LOG][5][)][ENTER]5) [6][.][0][2][2][2nd][,][2][3][/][1][.][6][2nd][,][(-)][1][4][ENTER]or[(][6][.][0][2][2][*][1][0][^][2][3][)][/][(][1][.][6][*][1][0][^][(-)][1][4][ENTER] 6) [(][4][-][(][1][+][.][5][)][)][/][(][7][+][3][)][ENTER]II. GraphingOverview:Everything related to graphing is in the top row of keys. Very quickly, here is a summary of what they do. You won’t be using all these menus equally, and I’ve bolded the most important ones. It will be easier to see how they interact through the examples.●Y= : Enter the equations to graph.●Stat Plot: Set options for plots.●Window: Manually set the window boundaries.●Tblset: Options for the Table.●Zoom: Preset window boundary options.●Format: Options for the appearance of the graphing window.●Trace: Brings up a cursor so you can “trace” a line using the arrow keys.●Calc: Menu with a list of available graphing commands.●Graph: The graphing window itself.●Table: Table of x and y coordinates for each line.It is important to know how to change the boundaries of the graphing window, so that you can view lines that are out of range. [WINDOW] lets you manually set the boundaries, and [ZOOM] has a variety of preset boundaries. (We will do an example in Example 1.)The most useful ZOOM commands are:●Zoom In: Zooms into the blinking cursor when ENTER is pressed.●Zoom Out: Zooms out from the blinking cursor when ENTER is pressed.●ZStandard: Resets the window to [-10,10] [-10,10]Example 1:Let’s experiment with the windowing with some simple graphs. We will graph two linear linesand adjust the window to see where they intersect.1) In the [Y=] menu type 3x+4 into Y1. (The shortcut for ‘x’ is [X,T,Θ,n])2) Type -5x-40 into Y2. (Typing these equations into [Y=] means these will be graphed when [GRAPH] is selected. All equations need to be in y= format.)3) Select ZStandard in the [ZOOM] menu. The two lines should be drawn on the screen4) As you can see, the intersection of the two lines is past the bottom of the screen. We will need to increase Y min in order to see the intersection. Go to the [WINDOW] menu and change Y min from -10 to -20.5) Select [GRAPH]. By changing the window boundary, we can now see the intersection.6) Select [TRACE]. Use this to practice navigating along the lines. Using the arrow keys, UP and DOWN switch you from line to line. LEFT and RIGHT move you along a single line. The x and y coordinates of the cursor will show up along the bottom of the screen. The line the cursor is currently on will show up on the upper left corner of the screen.7) Select ZStandard in the [ZOOM] menu again. As you can see, the window resets to [-10,10] [-10,10].8) Select Zoom Out in the [ZOOM] menu. You should now see a small blinking cursor on the graph. You can move the cursor around with the arrow keys. Press [ENTER] when you’re ready to zoom out, and the graph expand from where the cursor is. You should be able to see the intersection again.9) Select Zoom In from the [ZOOM] menu. Move the cursor as close to the intersection you can and hit [ENTER]. The graph should be zoomed into where the cursor was, near the intersection.This shows you how the [Y=], [WINDOW], [ZOOM], and [GRAPH] menus interact. [Y=] defines what to graph, [ZOOM] and [WINDOW] define the boundaries of the graph, and [GRAPH] is where the actual graph is drawn.Example 2:Let’s carry on from the previous example by actually calculating the intersection of the two lines. Intersect and all other graphing calculations are found in the [CALC] menu.10) Select intersect from the [CALC] menu. You will see three questions in turn in the lower left corner: First Curve?, Second Curve?,and Guess?. Hit [ENTER] to select 3x+4 as the first curve, and [ENTER] again to select -5x-40 as the second curve. (If there are many lines, use the up and down arrow keys as needed to select the correct lines.) Guess means to select a suitable starting point for the calculation. In this example, any starting point will do. After you hit [ENTER] one more time, the point (-5.5,-12.5) should be highlighted. (Any starting point works here because there is only one intersection. If there is more than one intersection, it will find the one closest to your cursor. Use the left and right arrow keys to move the cursor along a line.)Example 3:Another common calculation is to find the minimum or maximum of a function. Because straight lines don’t have minimums or maximums, let’s clear Y1 and Y2 and try a different curve.11) Clear Y1 and Y2. Enter x2+4x-3 into Y1.12) Select ZStandard in the [ZOOM] menu.13) Select minimum from the [CALC] menu. You will again see three questions in turn in the lower left corner: Left Bound?,Right Bound?, and Guess?. The Left Bound and Right Bound questions are asking you to set the left and right boundaries of where to search for the minimum. Use the left and right arrow keys to move the cursor to the left of the minimum (hit [ENTER]) and to the right of the minimum (hit [ENTER]). Once again, Guess means to select a suitable starting point for the calculation. Because there is only one minimum in this example, any starting point will do. After you hit [ENTER] one more time, the point (-2,-7) should be highlighted. (If there is more than one minimum, it will find the one closet to your cursor.)All the [CALC] menu commands work like this, including maximum. In the lower left corner it tells you what kind of input it wants. Move the cursor as needed and press [ENTER] for each input. Section answers:1) [Y=][3][X,T,Θ,n][+][4][ENTER]2) [(-)][5][X,T,Θ,n][(-)][4][0]3) [ZOOM][6]4) [WINDOW][DOWN ARROW][DOWN ARROW][DOWN ARROW][(-)][2][0]5) [GRAPH]6) [TRACE]7) [ZOOM][6]8) [ZOOM][3][ENTER]9) [ZOOM][2][LEFT ARROW]x6 [DOWN ARROW]x1010) [2nd][TRACE][5][ENTER][ENTER][ENTER]11) [Y=][CLEAR][DOWN ARROW][CLEAR][UP ARROW][X,T,Θ,n][^][2][+][4][X,T,Θ,n][-][3]12) [ZOOM][6]13) [2nd][TRACE][3][(-)][5][ENTER][0][ENTER][ENTER]III. MatricesOverview:Everything to do with matrices is in the [MATRIX] menu. This menu has three submenus:Names : Where you store the list of matrices you’ve entered.Math : A list of matrix commands.Edit : Where you enter or change a matrix.After you’ve entered a matrix, using the Edit menu, calculations for matrices are done as usual on the home screen by calling the variables listed on the Names menu. You can see how this works in the following examples.Entering a Matrix:In the EDIT submenu, choose any name for your matrix and hit enter. Here you can set the dimensions of your matrix and fill in all the cells. When you are done, [QUIT] back to the home screen.1) Enter this in matrix [A]:[A] = �12−12−4144−2� Arithmetic on a Matrix:All arithmetic is done on the home screen. You can call the name of a matrix through the NAME submenu of the [MATRIX] menu.2) Find the inverse of the previous matrix by using [x -1]. You should get[A]-1= �10.52−.5.756−12� 3) Enter this inverse into matrix [B]. Then multiply [A] and [B]. You should get:[A] * [B] = �100010001�Adding and subtracting matrices works the same way:4) In matrices [A] and [B] enter:[A] = �5214� [B] = �1234�5) When you add and subtract them you should get:[A] + [B] = �6448� [A] – [B] = �40−20� Row Reduction on a Matrix :More advanced commands are available in the MATH submenu of the [MATRIX] menu. The most commonly used is rref , which takes one matrix as a variable and returns its reduced row echelon form.For example,7) Given this system of linear equations, find x, y, and z.2x+2y-z = 34x+ y = 5-x -2y -z = 2We can represent this system as a matrix. Let’s use matrix [A]:[A] = �22−134105−1−2−12� Now we can solve for x, y, and z using row reduction. After entering it into matrix [A], select rref in theMATH submenu and call matrix [A] from the NAME submenu.rref([A]) = �1001.461538462010−.8461538462001−1.769230769� Therefore,x = 1.461538462y = -.8461538462 z = -1.769230769Section answers:1) [2nd][x-1][LEFT ARROW][ENTER][3][ENTER][3][ENTER][1][ENTER][2][ENTER][(-)][1][ENTER][2][ENTER][(-)][4][ENTER][1][ENTER][4][ENTER][4][ENTER][(-)][2][ENTER][2nd][MODE]2) [2nd][x-1][ENTER][x-1][ENTER]3) [2nd][x-1][LEFT ARROW][2][3][ENTER][3][ENTER][(-)][1][ENTER][0][ENTER][.][5][ENTER][(-)][2][ENTER][(-)][.][5][ENTER][.][7][5][ENTER][(-)][6][ENTER][(-)][1][ENTER][2][ENTER][2nd][MODE][2nd][x -1][ENTER][*][2nd][x -1][2][ENTER]4) [2nd][x-1][LEFT ARROW][ENTER][2][ENTER][2][ENTER][5][ENTER][2][ENTER][1][ENTER][4][ENTER][2nd][x-1][LEFT ARROW][2][2][ENTER][2][ENTER][1][ENTER][2][ENTER][3][ENTER][4][ENTER][2nd][MODE]5) [2nd][x-1][ENTER][+][2nd][x-1][2][ENTER][2nd][x-1][ENTER][-][2nd][x-1][2][ENTER]6) [2nd][x-1][LEFT ARROW][ENTER][3][ENTER][4][ENTER][2][ENTER][2][ENTER][(-)][1][ENTER][3][ENTER] [4][ENTER][1][ENTER][0][ENTER][5][ENTER][(-)][1][ENTER][(-)][2][ENTER][(-)][1][ENTER][2][ENTER][2nd] [MODE][2nd][x-1][RIGHT ARROW][ALPHA][APPS][2nd][x-1][ENTER][)][ENTER]IV. Tips and TricksDegrees and Radians:You can change between degrees and radians in the [MODE] menu. To change between the two, use the arrow keys to highlight either RADIAN or DEGREE and hit [ENTER].For example,1) sin(π/6) = .5(in radians)2) sin(π/6) = .0091383954 (in degrees)Fractions and Decimals:You can convert between decimal and fraction by going to the [MATH] menu and using either >FRAC or >DEC.For example,3) .875 >FRAC = 7/84) 7/8 >DEC = .8755) �.875.45/163/5�.3125.6� >FRAC = �7/82/5Recalling Previous Answers:You can refer back to the most recent calculation with the [ANS] key. You can also recall the entire previous line with [ENTRY]. (Using [ENTRY] multiple times in a row goes further back into your history.) This makes it very easy to chain calculations together or make minor adjustments to previous lines.Use [ANS] and [ENTRY] to help in the following calculations.6) 52 = 25√ANS = 5ANS+6*ANS = 35 (notice how ANS is automatically added if the first character on a new line is an operation.)7) 5+7+8 = 205+7+8+9 = 296+7+8+9 = 30Section answers:1) [MODE][DOWN ARROW][DOWN ARROW][ENTER][2nd][MODE][SIN][2nd][^][/][6][)][ENTER]2) [MODE][DOWN ARROW][DOWN ARROW][RIGHTARROW][ENTER][2nd][MODE][SIN][2nd][^][/][6][)][ENTER]3) [.][8][7][5][MATH][ENTER][ENTER]4) [7][/][8][MATH][2][ENTER]or[7][/][8][ENTER]5) [2nd][x-1][LEFT ARROW][ENTER][2][ENTER][2][ENTER][.][8][7][5][ENTER][.][4][ENTER][.][3][1][2][5] [ENTER][.][6][ENTER][2nd][MODE][2nd][x-1][ENTER][MATH][ENTER][ENTER]6) [5][^][2][ENTER][2nd][x2][2nd][(-)][)][ENTER][+][6][*][2nd][(-)][ENTER]7) [5][+][7][+][8][ENTER][2nd][ENTER][+][9][ENTER][2nd][ENTER][UP ARROW][6][ENTER]V. TroubleshootingChanging Brightness:The screen contrast can be changed by pressing the [2nd] key and holding down the up or down arrows until the brightness is set to the desired level. Pressing up darkens the screen and pressing down lightens the screen.Hanging Calculation/Not Responsive:If the calculator is not responding to input, check to see if it is in the middle of a calculation. The busy signal is a dotted line on the upper right corner of the screen. If there is a busy signal, [ENTER] pauses and unpauses a calculation, and [ON] stops it completely.Resetting Memory:You can reset the memory by going to the Memory menu, selecting Reset, and selecting All RAM:[2nd][+][7][ENTER][2]Error Screens:Errors on the TI graphing calculators often show themselves as an error screen. You will see a screen with the word “ERR”, with the name of the type of error. There will be two options. Quit, which returns you to the home screen on new line, where you can start from scratch. And Goto, which returns the cursor to place where the error occurred, or the best approximation to where the error is, so you can correct it.This is an example of an error screen where the calculator says a DOMAIN error occurred.A full list of errors can be found online or in the manual. Common types of errors include: ERR:SYNTAXSyntax errors are usually typos. Something was entered incorrectly in a way thatcalculator cannot understand the input.Some possibilities include:1. Using the [(-)] (negative) sign instead of the [–] (minus) sign or vice versa.2. Mismatched parentheses.3. Incorrect use of symbols, such as trying to do 3++2 instead of 3+2.ERR:NONREAL ANSThe answer exists but it is partially or completely imaginary. For example, square rootsand logs of negative numbers are imaginary. You can allow imaginary answers by going to MODE and selecting a+bi instead of REAL.ERR:DOMAINThis tells you that the calculator understood your input, but that what you entered was not valid. For example, you will get this error if you try to do sin-1(5) because the domain of sin-1 is always between -1 and 1.ERR:WINDOW RANGEThis error occurs if you define a window range in WINDOW which is invalid. Forinstance, you cannot define X min = -10 and X max = -20 because then X min is greater thanX max.VI. - ConclusionThat should help get you started. There are many other resources out there to help you learn more.Google/Youtube:If you are stuck doing something specific or encounter an unknown error, 99% of thetime, you are not the first person to have similar questions. Searching “TI-83” and adescription of your goal will bring up many different walkthroughs. For example, “Ti-83 finding intercepts between two lines.”Rockville’s Self-paced Calculator TutorialsThere are two tutorials, one general and one for statistics, available on Rockville’swebsite. You can use them to familiarize yourself with the capabilities of the calculator.They are at: /EDU/Department2.aspx?id=27975The manual:The manual lists every function and button in the calculator and what it does. There are copies in the M.A.P.E.L Center. Alternatively, searching “TI-83 plus manual” will bring up many sites that have a copy. One example is:/en/us/products/calculators/graphing-calculators/ti-83-plus/downloads/guidebooksTI-Basic Developer Website: /This site is designed for TI programmers, and has much of the same information the manual has and more. You can find a list of every command on the calculator at/command-index.。

图的邻接矩阵

图的邻接矩阵1. 图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储表示法设图 A = (V, E)是一个有 n 个顶点的图, 图的邻接矩阵是一个二维数组A.edge[n][n]，用来存放顶点的信息和边或弧的信息。

定义为:(1) 无向图的邻接矩阵是对称的;有向图的邻接矩阵可能是不对称的。

(2) 在有向图中, 统计第 i 行 1 的个数可得顶点 i 的出度，统计第 j 行 1 的个数可得顶点j 的入度。

在无向图中, 统计第 i 行 (列) 1 的个数可得顶点i 的度。

图的邻接矩阵存储表示:#define INFINITY INT_MAX // 最大值?#define MAX_VERTEX_NUM 20 // 最大顶点个数typedef enum {DG, DN, AG, AN} GraphKind; //{有向图,有向网,无向图,无向网}typedef struct ArcCell {VRType adj; // VRType是顶点关系类型。

对无权图，用1或0表示相邻否;// 对带权图，则为权值类型。

InfoType *info; // 该弧相关信息的指针} ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct {VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]; // 顶点向量AdjMatrix arcs; // 邻接矩阵int vexnum, arcnum; // 图的当前顶点数和弧(边)数GraphKind kind; // 图的种类标志} MGraph;构造一个具有n个顶点和e条边的无向网的时间复杂度为O(n2+e*n)，其中O(n2)用于对邻接矩阵初始化。

2.图的邻接表(Adjacency List)存储表示法邻接表是图的一种链式存储结构，它对图中每个顶点建立一个单链表，第i个单链表中的结点表示依附于顶点vi的边(对有向图是以顶点vi为尾的弧)，每个结点由三个域组成:邻接点域(adjvex)指示与顶点vi邻接的点在图中的位置，链域(nextarc)指示下一条边或弧的结点，数据域(info)存储和边或弧相关的信息(如权值)。

图的矩阵表示(1)

e1 e3 v5 v4
v1 e 2 e4
v2 e5 e6 v3
5
关联矩阵的性质
(1) 图中每一边关联两个结点(当vi = v j时该边形成一个环)，故矩阵M(G)的每一列元之和等于2. (2) 每一行中元素的和数是对应该结点的度数
∑
m j =1
mij = d (vi ), i = 1,2,..., n
4
无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}. 设无向图的关联次数, 的关联矩阵, 令mij为vi与ej的关联次数称(mij)n×m为G的关联矩阵记为的关联矩阵 × M(G). mij的可能取值为:0,1,2 的可能取值为:0,1,2 例如 M(G)= 211000 010111 000011 000000 001100
13
实例
长为3的通路各有多少条的通路各有多少条? 例1 (1) v1到v4,v4到v1长为的通路各有多少条 (2) v1到自身长为到自身长为1,2,3,4的回路各有多少条的回路各有多少条? 的回路各有多少条 (3) 长为的通路共有多少条其中有多少条回路长为4的通路共有多少条其中有多少条回路? 的通路共有多少条?其中有多少条回路 (4) 长度小于等于的回路共有多少条长度小于等于4的回路共有多少条的回路共有多少条? (5) 写出的可达矩阵并问是强连通的吗写出D的可达矩阵并问D是强连通的吗的可达矩阵, 是强连通的吗? 解 v1 1 2 1 0 A= 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0
图一般可以用邻结矩阵来表示，是双射得。比如跳马问题等就是这么处理得！
2
用邻接矩阵表示一个图时 1、输出一个图的边数，以及两端顶点、输出一个图的边数， 2、增加、删除一条边（输出新图对应的邻、增加、删除一条边（接矩阵）接矩阵）

83图的矩阵表示ppt课件

② B=AAT=(bij)的元素 bij=ai1aj1+…+ainajn=k
表示有k个点，都是从i,j引出的有向边的
公共交点。
特别地，bii是第i结点的出度。
对偶地
可讨论ATA的元素的图论意义。
i
j
练习：求AAT，ATA，并由此求每个结点的出度与入度
0 1 0 0
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
0
P称为图G的可达性矩阵。
方法① 利用矩阵Bn〔Bn-1〕确定P：当bij=0时，pij=0；否则，pij=1。
方法② 直接由邻接矩阵确定可达矩阵： P=A∨A2∨…∨An，
其中Ak为A的布尔方幂。
计算可达矩阵举例：
0 1 0 1
0 0 1 1
1 1 0 1
0 1 1 2
A
0
0
1
1
A (2)
点v1, v2,…vn V，则n阶方阵A=(aij)称为G的邻接矩阵，这
里
aij 1 0
vi,vj E ((vi,vj) E ) vi,vj E ((vi,vj) E )
例1 左下图的邻接矩阵：
0 1 0 0
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
0
0
0
注① 图的邻接矩阵与n个结点的标定次序有关，对于V中各元素不同的标定次序，可得出不同的邻接矩阵。不过这些矩阵可以通过交换行和列而相互得出。具有这样性质的矩阵称它们置换等价。
解：从v1到v4长度为2的路有1条： v1v2v4 从v1到v4长度为4的路有3条： v1v2v4v2v4，
v1v2v3v2v4，

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P称为图G的可达性矩阵。
方法① 利用矩阵Bn（Bn-1）确定P：当bij=0时，pij=0；否则，pij=1。
方法② 直接由邻接矩阵确定可达矩阵： P=A∨A2∨…∨An，
其中Ak为A的布尔方幂。
计算可达矩阵举例：
0 1 0 1
0 0 1 1
1 1 0 1
0 1 1 2
A
0
1
0
1
1
A (2)
1
1 0 1
0
1 1
0 1
1
A (3)
0
2
1
1 1
1 1
2
2
A ( 4 ) 1 1
1 2
1 1
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
方法1：先由邻接矩阵A求B4， B4=A+A(2)+A(3)+A(4) 然后写出可达矩阵P。
1325 1111 B4 32533386 P11111111
0
0
1
0
1
v1
0 0 0 1 0
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 P A A2 A3 A4 A5 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 1 1 1
3.可达矩阵的应用
利用一个图的可达性矩阵，求出这个图的所有强分图。方法：图G的强分图可从矩阵P∧PT求得
0 0 0 0 0
0 1 0 1
A
0
0 11
0 1 0 1
0
1
0
0
0 1 11
A (2)
0
2
0
1
0 1 11
0
0
1
1
0 2 1 2
A (3)
0
1
2
2
0 2 1 2
0
2
0
1
0 3 2 3
A (4)
0
41
3
0 3 2 3
0
1
2
2
作业
P284 1 P285 3(+关联矩阵)
0 0 3 7 3
2、可达性矩阵
有向图G中从vi到vj是否有路可达可通过矩阵运算而得到。
定义2 设G=<V,E>为简单有向图，V={v1,v2,…vn}，定义矩阵 P=(pij)，其中 pij 1 0从从 v v ii到到 v vj至 j不少存存在在一一条条非非零零长长度度的的路路径径
离散数学
电子课件
南京信息工程大学离散数学教学组制作
第八章图论
8.1 图的基本概念 8.2 路径和回路 8.3 图的矩阵表示 8.4 二部图 8.5 平面图 8.6 树 8.7 有向树
8.3 图的矩阵表示
1. 邻接矩阵 2. 可达性矩阵 3. 可达性矩阵的应用 4. 关联矩阵
1、邻接矩阵
定义1 设G=<V,E>有向（无向）线图，有n个标定了次序的结点v1, v2,…vnV，则n阶方阵A=(aij)称为G的邻接矩阵，这里
0 1 0 0
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
0
0
0
v3的出度=1+1+0+1=3，v3的入度=0+1+0+0=1
邻接矩阵的图论意义
设A为无向简单图G的邻接矩阵，其第i行(列)元素为1的个数等于
结点的度。
设A为有向简单图G的邻接矩阵。
① A的第i行(列)和等于第i个结点的出(入)度，i=1,…n。
0
0
0Hale Waihona Puke 0 0 1 1AT
1
0
1
0
0 1 0 0
0
1
1
0
1 0 1 0
2 1 0 1
AAT
0
1
2 1
1 3
0
1
AT
A
1
0
2 0
0 1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
2
练习：求AAT，ATA，并由此求每个结点的出度与入度
0 1 0 0
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
0
0
0
0 0 1 1
AT
④ Br=A+A(2)+A(3)+…+A(r)的元素bij表示从vi到vj长度小于等于r的不同路径总数。
在n个结点的简单有向图中，基本路径长度不超过n-1，基本回路
长度不超过n，故可用
Bn-1=A+A(2)+A(3)+…+A(n-1) (ij时) Bn=A+A(2)+A(3)+…+A(n) (i=j时)
0 0 0 0 0
P PT
0
0
1
1
1
.
0 0 1 1 1
0
0
1
1
1
可求得G的强连通分支对应结点集为： {1}，{2}，{3,4,5}。
4 关联矩阵
定义3 设G=<V,E>是无向图，V={v1,v2…，vn}，E={e1,e2…,en}，一个n×m矩阵M=(mij)称为G的关联矩阵，其中mij是结点vi和ej的关联次数。定义4 设G=<V,E>是有向简单图，V={v1,v2…，vn}，E={e1,e2…, en}，一个n×m矩阵M=(mij)称为G的关联矩阵，其中
② 有向简单图在标定次序后得到唯一邻接矩阵;
例如，左下图的两个置换等价邻接矩阵：
0 1 0 0
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
0
0
0
v2 v3 v1 v4
v
2
0
1
0
1
v
3
1
0
1
1
v1 1 0 0 0
v4 0 0 1 0
几个特殊图的邻接矩阵
• 零图的邻接矩阵的元素全为0，称为零矩阵。
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
0
0
0
0 0 1 1
A (2)
2
1
0
1
1 1 1 1
0
1
0
0
例 A(2)中的第2行第1列元素等于2，说明从v2到v1长度为2的路的有两条： v2 v4 v1 ， v2 v3 v1 。
分析: a21(2)= a21a11+a22a21+ a23a31+a24a41=0•0+0•0+1•1+1•1=2 注意从v2到v1长度为2的路中间必经由一个结点vk,即v2 vk v1(1k4)。一般地, A(m)中从i到j长为m的路径总数是aij(m)条，过i的长为m 的回路共有aii(m)条。
1 mij 0
vi是ej的始点 vi与ej不关联
1 vi是ej的终点
5、课堂练习
练习求如下有向图的邻接矩阵A，指出从v1到v4且长度为 2和4的路。
解：从v1到v4长度为2的路有1条： v1v2v4 从v1到v4长度为4的路有3条： v1v2v4v2v4， v1v2v3v2v4，
v1v4v2v3v4
0
0
2
0
2
0
0
0
4
0
0 0 0 2 0
0 0 2 0 2
0 0 2 0 2
0
0
0
4
0
A(5) 0 0 0 4 0
v1
0
0
4
0
4
0 0 0 4 0
0 0 5 3 3
0
0
3
7
3
B5 A A(2) A(3) A(4) A(5) 0 0 3 7 3
0
0
7
6
7
② B=AAT=(bij)的元素 bij=ai1aj1+…+ainajn=k 表示有k个点，都是从i,j引出的有向边的
公共交点。
特别地，bii是第i结点的出度。
对偶地
可讨论ATA的元素的图论意义。
i
j
练习：求AAT，ATA，并由此求每个结点的出度与入度
0 1 0 0
A
0
0
1
1
1 1 0 1
1
研究vi到vj的可达性和经vi是否存在回路的问题。bij0(ij)表示从 vi到vj可达，否则从vi到vj不可达，分属不同强分图。bij 0(i=j)表示经vi存在回路，否则表示不存在经vi的回路。
例2 根据有向图和矩阵B5，验证 (a) b52=0，所以v2和v5分属两个强分图。 (b) b11=0，所以没有经过v1的回路。 (c) b53=3，所以从v5到v3长度不超过5的路径有3条。
• 有n个结点的多重图的邻接矩阵是n阶方阵A=(aij)，其中aij代表从vi到vj的边的重数。
邻接矩阵的图论意义
设A为无向简单图G的邻接矩阵，其第i行(列)元素为1的个数等于结点的度。
邻接矩阵的图论意义
设A为无向简单图G的邻接矩阵，其第i行(列)元素为1的个数等于结点的度。设A为有向简单图G的邻接矩阵。 ① A的第i行(列)和等于第i个结点的出(入)度，i=1,…n。
v1
v1
0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
A 0 0 0 1 0