向量数量积定义和运算律
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课时作业21 向量数量积的物理背景与定义
向量数量积的运算律
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为135°，则a ·b ＝( ) A ．－3 2 B ．－6 2 C ．6 2
D ．12
解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos135°＝3×4×(－22)＝－6 2. 答案：B
2．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：本题考查向量的夹角公式．
由(2a ＋b )·b ＝0得2a ·b ＋b 2
＝0，从而a ·b ＝－b 22，
所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－b 2
2|a |·|b |＝－1
2，〈a ，b 〉＝120°.
答案：C
3．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|c |2
等于( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5
解析：|c |2＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5. 答案：D
4．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2
D ．0
解析：∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵a ∥b ，∴b ⊥c .∴b ·c ＝0. ∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2b ·c ＝0. 答案：D
5．如图，在菱形ABCD 中，下列关系式不正确的是( )
A.AB
→∥CD → B ．(AB
→＋BC →)⊥(BC →＋CD →) C ．(AB →－AD →)·(BA →－BC →)＝0 D.AB →·AD →＝BC →·CD → 解析：A 显然正确；
B ：AB
→＋BC →＝AC →，BC →＋CD →＝BD →，∵菱形对角线互相垂直， ∴AC
→⊥BD →.∴B 正确．
C ：AB
→－AD →＝DB →，BA →－BC →＝CA →，同B 一样，正确． D ：AB →·AD →＝|AB →||AD →|cos ∠BAD ，BC →·CD →＝|BC →||CD →|cos(π－∠BAD )＝－|AB
→||AD →|cos ∠BAD . 答案：D
6．若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( )
A ．一次函数且是奇函数
B ．一次函数但不是奇函数
C ．二次函数且是偶函数
D ．二次函数但不是偶函数
解析：本题考查了向量的数量积运算及一、二次函数及其奇偶性的判断．
∵f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝(a ·b )x 2＋(|b |2－|a |2)x －a ·b 又∵a ⊥b ，且|a |≠|b |，
∴f (x )＝(|b |2－|a |2)x (|b |2－|a |2≠0) 故f (x )为一次函数且为奇函数，选A. 答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.
解析：本题考查向量数积及运算性质．
以{AB →，AD →}为基底，则AB →·AD →＝0，而AE →＝12AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB
→， ∴AE →·BD →＝(12AB →＋AD →)·(AD →－AB →) ＝－12|AB →|2＋|AD →|2＝－1
2×22＋22＝2. 答案：2
8．已知非零向量a ，b 满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |
＝________.
解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝
a 2＋4
b 2，|a －2b |＝
a 2＋4
b 2.
∴cos120°＝(a ＋2b )·(a －2b )|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2(a 2＋4b 2)2
＝a 2－4b 2a 2＋4b 2
＝－1
2. ∴a 2b 2＝4
3.∴|a ||b |＝233. 答案：233
9．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD
→的值是________．
解析：本题考查向量的线性运算及向量的数量积．
由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34
AB →， 所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2， 即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22. 借助AD →·AB →表示出AP →·BP →是解决本题的关键所在． 答案：22
三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a ·b 的值及a 与b 的夹角θ.
解：由(2a －3b )(2a ＋b )＝61，得 4|a |2－4a ·b －3|b |2＝64－4a ·b －27＝61.
所以a ·b ＝－6，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－1
2，
因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3，所以a 与b 的夹角θ为2π
3. 11．(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，求|2a －b |.