抛物线

1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程。 2.了解抛物线的简单应用。 3.理解数形结合的思想。
【高考命题走向】
从近两年的高考试题来看，抛物线的定义、标准 方程、几何性质以及直线、圆与抛物线的位置关 系等是高考的热点，重点考查函数与方程、化归 与转化、数形结合的思想.题型以选择题、解答 题的形式出现较多，有时也以填空题的形式出现， 难度中等。特别值得说明的是，近两年福建高考 文科数学都以解答题的形式出现，因此能否掌握 好本节内容，在一定的程度上制约着在高考中成 功与否。
在初中我们已经学习了二次函数 y=ax2+bx+c a≠0） （ 的图象，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题。
y
y=x2
o
y=x2-3 y=x2-2x-3 x
抛物线到底还有什么几何特征和哪些性质呢？ 请同学们观察以下尺规作图
一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相 等的点的轨迹叫做抛物线


解题方法指导
(1)抛物线的定义在解决点到焦点的距离与点到准 线的距离的有关问题时经常用到，学会相互转化. (2)求抛物线的标准方程时常用待定系数法求P， 焦点在坐标轴上的抛物线可统一为 y 2 ax或x 2 ay.
（3）若已知抛物线的标准方程则焦点坐标和准线 方程可求，解决问题注意考虑数形结合.
y2=±10x 则抛物线 的标准方程是________.
感悟
：求抛物线的焦点坐标和准线方程 要先化成抛物线的标准方程
挑 站 教 材
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 思考：当直线l经过定点F时，则点M的轨迹是什么？
l
经过点F且垂直于l 的直线
F
·
平面内与一个定点F和一条定直线l（点F不 在直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
4a=1即a= 1 解：(1) 抛物线 y ax (a 0) 过点A（2，1） 4 x 4 y 焦点坐标是（0，1 ) ，准线方程是y= - 1
2
2
(2)如图，过点B作x轴的垂线，垂足为D，并延长交 点B在抛物线上， BF=BN=5，又 准线于点N. 准线方程是y= - 1， BD=4， 点B的纵坐标是4
2011年11月30日
标准方程的推导
解：如图，以经过点F且垂直于直线l 的直线为x轴,垂
足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设点M的坐标为(x,y),|FK|=P,
则焦点F(
∵ |MF|=d
p 2
y
,0
∴
p ),准线方程是x=- 2
l
K
d
.M
.
F
p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 2
x
想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也
会使抛物线方程的形式简单 ？
y
﹒ ﹒ ﹒ ﹒
y y
y
o
x
o
x
o
o
x
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
探究其它三种方案的标准方程 奇思妙想： 由于方案（1）与方案（2）关于y轴对称
把y2 = 2px中的y不变，而x变为-x可得y2 = -2px
பைடு நூலகம் 图 形
y
O
p y 2 p y 2
你 是 如 何 确 定 焦 点 位 置 的 呢？
四种抛物线的标准方程对比
y
l
y
x
y
l O O x
F
y
x l
O F
l x
p 0
y 2 px
2
O F
F
y 2 2 px
p 0
x 2 2 py p 0
x 2 2 py
p 0
y
l O F
x l O x
标准方程
y2 = 2px （p>0）
y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0）
焦点坐标
p F ( ,0) 2
p F ( ,0) 2
准线方程
p x 2
p x 2
y
F
y
O
F
x l
l F x
p F (0, ) 2
p F (0, ) 2
2 2
p p x 2 px y 2 x 2 px 两边平方 4 4
O
x
整理得
y 2 px( p 0)
2
－抛物线标准方程 （其中p是焦点到准线的距离）
学 法 指
导
复习教材内容，理清思路，解决课堂未完 成的几个问题，完善笔记.
一、知识总结 1、理解抛物线的定义,几何图形、标准方程类型. 2、会求不同类型抛物线的焦点坐标、准线方程
二、方法总结
1、掌握用待定系数法求抛物线标准方程 2、注重数形结合和分类讨论的解题方法.
作业
书P64 2、3、4、5
选做题: 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴， 抛物线上的点 (-3,m) 到焦点的距离等于5， 求抛物线的标准方程和m的值．
l 即:当|MF|=|MH|时,点M的轨迹 H 是抛物线
M
其中
定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线
· 焦点 · F
准线
下面研究抛物线的轨迹方程 （1）类比求椭圆、双曲线的轨迹方程方法. （步骤：建系、设点、列方程、化简、证明） （2）如何建立直角坐标系,使抛物线的方程更 简单,其标准方程形式怎样?
p 0
数形共同点: (1)顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴. (2)焦点到准线的距离均为P. (3)顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离都等于p/2.
四种抛物线的标准方程对比
y
l
O F x
y
F
O
l x
y
O
F
y
x l O
F
l
x
y 2 px
2
p 0
y 2 2 px
不同点：
p 0
南安市龙泉中学
洪顺秩
生活中的曲线
赵州桥
球在空中运动的 轨迹是什么呢？
冬天来了，有一位园丁打算用一些梅花布置 花园，花园中有一棵大树，花园边有一排围栏， 要使栽植的每一颗梅花与大树的距离和它与围 栏的距离相等。那么他要把这些梅花栽植成什 么形状呢？
M 帮 帮 忙 F
l
【考试说明原文】
2 2
p p x 2 px y 2 x 2 px 两边平方 4 4
O
x
整理得
y 2 px( p 0)
2
－抛物线标准方程 （其中p是焦点到准线的距离）
标准方程的解读
方程y2 = 2px (p＞0)表示焦点在 x 轴正半轴上的抛物线,
p 焦点坐标是 （ ，0) 2
p 准线方程为:x= 2
例(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的焦 点坐标和准线方程;
解:因为p=3，所以焦点坐标是
3 , 准线方程是 ( , 0) 2
y
l
O F x
3 x 2
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准 y 方程. l 解:因为焦点在y轴的负半轴上，且
所以所求抛物线的标准方程是 x 2 8 y
点的共同特点:
方程的共同特点:
不同点： （1）开口方向、焦点坐标 、 准线方程、对称轴不同.
四种抛物线的标准方程对比
y
l O F
x
y
F
O
y
l O
F
y
x l
O F
l
y 2 2 px
x
x
p 0
y 2 2 px
p 0
x 2 2 py p 0
x 2 2 py
思考： 二次函数 y ax (a 0) 的图象是抛物线吗？ 若是,求出焦点坐标和准线方程.若不是,请说明理由。
2
解：二次函数 y ax2 (a 0) 的图象是抛物线.
y ax2 (a 0) x 2
y轴上的抛物线。
1 a
y 它是表示焦点在

1 1 焦点坐标是（0， ) ，准线方程是y= 4a 4a
x 2 2 py p 0
x 2 2 py
p 0
（1）开口方向、焦点坐标 、 准线方程、对称轴不同.
（2）一次项系数的符号决定开口方向.
x的一次项系数正时向右,负时向左, y的一次项系数正时向上,负时向下 (3) 一次项变量决定焦点位置和对称轴 一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴,焦点在x(y)轴上.
p 2, p 4 2
O
F
x
（1）抛物线
y 4x
2
A．（1，0 ） B．（0，1 ） C． （ 1
的焦点坐标是（ D ） 1
16
，0 ）
D． （0， ） 16
（2）准线方程为x=2的抛物线的标准方程是（D ） A． 2=4x B．y2=-4x C． 2=8x D．y2=-8x y y （3）焦点在x轴上，且焦点到准线的距离是5.
课后思考：就a>0与a<0进行讨论，分别求出焦点坐标和 准线方程，然后与上面的解答进行比较，结果是否一致
能力提升
已知抛物线 y ax2 (a 0) 过点A（2，1）
（1）求抛物线的焦点F的坐标和准线方程
（2）若抛物线上有一点B到焦点F的距离是5，求点B 的纵坐标 （3）（课后思考探究）已知点M（2，3）,试问:在抛物线上是否 存在一点P使得PM+PF的值最小.若存在,求出点P的坐标; 若不存在，请说明理由。
y
l O F
点的特点: 抛物线上任意一点到焦点的距 离等于到准线的距 离 方程的特点: (1)左边是二次式,右边是一次式，决定了焦点的位置 (2).焦点坐标的横坐标的值是一次项系数的1/4，准线方程中 的数值是一次项系数的 -1/4. 数形的特点: (1)顶点为原点,对称轴为x轴 (2) p的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离 (3) 顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离都等于p/2
标准方程的推导
解：如图，以经过点F且垂直于直线l 的直线为x轴,垂
足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设点M的坐标为(x,y),|FK|=P,
则焦点F(
∵ |MF|=d
p 2
y
,0
∴
p ),准线方程是x=- 2
l
K
d
.M
.
F
p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 2