求函数的连续区间
第三节函数的连续性
f ( 0− ) = f ( 0 + ) 故x = 0为sgn x的第一类间断点 .
在第一类不连续点处函 数图像会出现一个跳跃 ， 称为跳跃点， 所以第一类不连续点又 称为跳跃点，而 f (0+ ) − f (0− )
称为函数 f ( x )在x0的跃度 .
2.第二类不连续点： 第二类不连续点：
→∞ →∞
1 1 lim 但 lim sin (1 ) = 0， sin ( 2 ) = 1， n→ ∞ n→ ∞ xn xn 1 定理， lim 不存在， 由Heine定理，→0 sin 不存在， x x 1 故x = 0为sin 的第二类间断点 . x
y = sin
1 x
3.第三类不连续点： 第三类不连续点：
的左、 且相等， 函数f ( x )在点x0的左、右极限都存在而 且相等， 但不等于 f ( x0 )或 f ( x )在x0无定义 . 2 x , 0 ≤ x < 1, x =1 例3.2.8 讨论函数 f ( x ) = 1, 1 + x , x > 1, 在x = 1处的连续性 . 处的连续性 y y = 1+ x 解： ∵ f (1) = 1, f (1 − 0) = 2, f (1 + 0) = 2,∴ lim f ( x ) = 2 ≠ f (1), x →1 ∴ x = 1为函数的第三类间断点 . 为函数的第三类间断点
0 0 0
所以证
lim a x＝a x 就归结为证 lim a t = 1， x→ x t →0
0 0
1 1 若 t >0 ， 则当a > 1时，且 ≤ 知， t t 1
1 < at < a
《函数的连续》课件
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性 ，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的 。例如，函数$f(x) = x^2$在全 体实数域$mathbf{R}$上是连续 的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连 续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的 ，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在 某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函 数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。 例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。
求函数的连续区间
求函数的连续区间，并求极限2解：x 3x 2 0(x 1)(x 2) 0x 1 , x 2 （初等函数在其定义区间内是连续的）1函数f（x）二的连续区间是（，1）（1,2）（2,）x 3x 2lim0 f (x)lim 2x 0 x2 3x 2把0代入式1lim 2解得x 0 x2 3x 2，解得lim —1-x 0 x 3x 2 22. f(x)\ x1 x，lim f (x)x 5解：x10，x18x0，x8（初等函数在其疋乂区间内是连续的）函数f (x)vx 18x的连续区间是[1,8]lim f (x) lim v x 1 \ 8 xx 5 x 5把5代入式lim x 1 「8 x，解得x 5lim x x 1 \ 8 x 2 \ 3x 51. f(x) 厂厂，！叩（刈3. f (x) ln(1 x 2)， l jm if (x)X 2解：1 x 2 0， 1 x 1（初等函数在其定义区间内是连续的）4 f （x ）& e x， lim f （x ）X 1解：1 e 0， x 0 （初等函数在其定义区间内是连续的）Xe，解得lim \'1 e x丁1eX 1函数 f(x) ln(1 x）的连续区间是［1,1］lim ln( x21 x 2) 把2代入式lim ln(1X夕2、）lim 1 l n( 1X 2)in4函数f (x)Xe 的连续区间是［,0]lim X1f (x)1代入式「XX因把2代入式X im 2 —2)3后，分母为o,故X im 2 —2『不存在XX 2是函数y E 的第二类间断点解：X 2 3X 20，X 1，X 2/小X 1X 1，x 2是函数y —XX 1叽m，但函数X 1 x 23x 2在X 1处无定义。
^x 2 3x 2不存在。
X 1X 1是函数y 严厂的可去间断点，X 2是函数1. yX（X 2）3解：x 2 0，x 2求函数的间断点，并判断其类型2是函数yx（X 2）3的间断点2. yX 1 X 2 3X 23X 2的间断点。
03.函数的连续性
x → s x = cos x0
x→x0
所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.
一、函数的连续点与间断点
x, 当x ≥ 0时, 在x = 0处连续. 例1. 证明f ( x) =| x |= − x, 当x < 0时,
0
x→ x0
间断点有2类： 跳跃间断点：f ( x0 + 0), f ( x0 − 0)存在但不相等； 第一类间断点： 可去间断点： f ( x)存在但 lim f ( x) ≠ f ( x ).或f ( x )无定义 lim 0 0 x → x0 x → x0 第二类间断点：f ( x0 + 0), f ( x0 − 0)中至少有一不存在.
第 二 类 间 断 点
0
x0
y
y
x
0
x 振荡型
无穷型
一、函数的连续点与间断点
lim f ( x) ≠ f ( x0 )或f ( x0 )无定义
+ 0 − 0
间 断 点
可去间断点
x → x0
跳跃间断点 xlim f ( x ) ≠ xlim f ( x ) →x →x 无穷间断点
f ( x ) 在 x 0点 左 右 极 限 至 少 有 一 个 为 无 穷 大
x →0
故, f (x)在x=0间断. 图形为
y 1 o –1
y=f (x)
x
一、函数的连续点与间断点
若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在 开区间(a, b)内连续.
若f (x)在(a, b)内连续, 且f (x)在x=a右连续. 在x=b左连续. 则称f (x)在闭区间[a, b]上连续.
高三复习-函数的连续区间怎么求
函数的连续区间怎么求
求连续区间的步骤：求连续区间，按照函数连续性的定义去做即可。
设函数y=f(x)在x0点附近有定义，如果有lim(x-
x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。
如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续。
连续是函数的一种属性。
直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。
如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
1、分母不可为0，所以x=1或x=2为断点，分为x
1，1
x
2，x
2共3段连续区间。
2、对数指数大于零，x
2就是连续区间。
3、根号内必须大于等于0，4≤x≤6就是连续区间。
4、arcsinx
0，再由arcsinx的定义域[-π/2，π/2]得连续区间是(0，π/2]。
第二章(函数连续性)
强调： ① x或y可正可负； ② 一般地，x与y没有必然的正负关系; ③ x或y是一个整体，勿看成相乘的关系。
2 连续的定义
（1）函数在一点的连续性定义
定义1 如 果函 数y f ( x)在 点x0的 某邻 域 内 有定 义 ， 且
lim y 0， 则 称y
x0
f ( x)在 点x0处 连 续.
x1
x 1及x 1处的连续性
解：在x 1处： f (1) 2 (1) 1 1
lim f ( x) lim x 1 f (1)
x1
x1
f ( x)在x 1处左连续;
lim f ( x) lim (2x 1) 2 (1) 1 1 f (1)
x1
x1
f ( x)在x 1处右连续;
f (0) 0, lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0)
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0)
x0
x0
x 0是第一类跳跃型间断点（且跃度为2 （ 2） 4）
（2）f ( x) x2 1 x1
f (1)不存在，因此x 1是间断点
lim f ( x) lim x2 1 lim( x 1) 2
左右极限都存在
左右极限至少有 一个不存在
例6 对下列函数找出间断点，并判断类型
x 2
（1）f
(
x)
0
x 2
（3）f ( x) 1 x
x0 x0 x0
（2）f ( x) x2 1 x1
（4）f ( x) sin 1 x
解：（1） x 0及x 0时函数均连续，只有x 0 可能是间断点
f ( x0 )
例 1：证明y x3在点x0处连续 证明： 设在x0处取得增量x,
函数的连续性
x
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
例如, y cos x 1, D {x | x 2k , k Z}
函数的连续性
一、函数的连续性 二、连续性原理 三、函数的间断点 四、闭区间上连续函数的性质
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
3.第二类间断点
如果 f ( x) 在点 x0 处的左、右极限至 少有一个不存在, 则称点 x0 为函数 f ( x)的 第二类间断点.
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 0为函数的第二类间断点.
上连续，且 f (a)与 f (b) 异号(即 f (a) f (b) 0 ),
那末在开区间a, b内至少有函数f ( x) 的一个零
点,即至少有一点 (a b)，使 f () 0 .
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x)的两个 端点位于x轴的不同侧,则曲 a o
求 lim
高等数学-函数的连续性
如果函数()在开区间(, )内连续，且在左端点 =
处右连续，在右端点 = 处左连续，则称函数()在
闭区间[, ]上连续.
10
01 函数连续性的定义
结论
1.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
2.基本初等函数都是其定义域内的连续函数.
3.有理分式函数在其定义域内的每一点处都是连续的.
→0
点0 称为函数()的间断点或不连续点.
14
02 函数的间断点及其分类
间断点分类
间断点
第一类间断点： 在0 处的左右极限都存在
− ) = ( +
(
可去间断点：
0
0
分为：
− ) ≠ ( +
(
0
跳跃间断点： 0
第二类间断点： 在0 处的左右极限至少有一
个不存在
注（1）可以为正值，可以为负值，也可以为零.
（2）记号是一个整体性记号，不是与的乘积.
3
01 函数连续性的定义
1.函数在一点处的连续性
定义1.25 设函数 = ()在点0 的某邻域内有定义，
当自变量有增量时，函数相应地有增量，若
= 0，则称函数 = ()在点0 处连续，0 为
→0
()的连续点.
定义1.26 设函数 = ()在点0 的某邻域内有定义，
若 () = (0 )，则称函数 = ()在点0 处连续.
→0
4
01 函数连续性的定义
结论
函数 = ()在点0 处连续必须满足3个条件：
(1)在点0 的某邻域内有定义；
− () = + () = (0 ).
→0
→0
求函数的连续区间
习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim)(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim)(lim 0x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0), 所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim2+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→(4)x x x 11lim 0-+→;(5)145lim1---→x xx x ;(6)ax ax ax --→sin sin lim;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim22=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点x =4π有定义, 所以1)42(s i n )4()2(s i nlim 334=⋅==→πππf x x . (3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点x =6π有定义, 所以0)62c o s 2l n ()6()2c o s 2l n (lim 6=⋅==→πππf x x . (4)211101111lim)11(lim)11()11)(11(lim11lim=++=++=++=++++-+=-+→→→→x x x x x x x x xx x x x x .(5))45)(1(44lim)45)(1()45)(45(lim145lim111x x x x x x x x x x x x xx x x x +---=+--+---=---→→→214154454lim1=+-⋅=+-=→xx x .(6)ax a x ax ax ax ax ax --+=--→→2sin2cos 2limsin sin lima a a a x a x a x a x a x c o s 12c o s 22s i nlim 2cos lim =⋅+=--⋅+=→→.(7))())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→x x x x x x xx x .4. 求下列极限:(1)x x e 1lim ∞→;(2)xx x sin lnlim 0→;(3)2)11(lim xx x+∞→;(4)xx x 2cot20)tan 31(lim +→;(5)21)63(lim -∞→++x x xx ;(6)xx x x x x -++-+→20sin1sin 1tan 1lim.解 (1) 1lim 01lim1===∞→∞→e ee xxx x . (2) 01ln )sin limln(sin lnlim 0===→→xx x x x x .(3) []eexxxx xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim)11(lim .(4) []33t an312co t2022)tan31(lim)tan 31(lim e x x xx xx =+=+→→.(5)21633621)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x xxx . 因为e x x x =+-+-+∞→36)631(lim , 232163lim-=-⋅+-∞→x xx ,所以2321)63(lim --∞→=++exx x x .(6))sin 1tan 1)(1sin1()1sin 1)(sin 1tan 1(limsin1sin 1tan 1lim222x x x x x x x xx x x x x x +++-++++-+=-++-+→→21)2(2limsin2sin2tan lim)sin 1tan 1(sin)1sin 1)(sin (tan lim 322222=⋅=⋅=+++++-=→→→xx x xx x x x x x x x x x x x x .5. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？解 要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0.因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00, 所以只须取a =1.。
高等数学第一章函数与极限试题
第一章 函数与极限§1 函数一、是非判断题1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。
[ ]2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。
[ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。
[ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。
[ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。
[ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。
[ ] 8、f(x)=1+x+ 2x 是初等函数。
[ ] 二．单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是 （A ）||ln xey = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn =2、下列函数中 既是奇函数，又是单调增加的。
（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ϕϕ则函数==是（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2x4、若)(x f 为奇函数，则 也为奇函数。
(A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。
1、 y=)1arctan(+x e2、 y=x x x ++3、 y=xln ln ln四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。
（1） f()2x(2) f(sinx)(3) f(x+a) (a>0)(3) f(x+a)+f(x-a) (a>0)五．设⎩⎨⎧=,,2)(x x x f 00≥<x x ，⎩⎨⎧-=,3,5)(x x x g 00≥<x x ，求)]([x g f 及)]([x f g 。
函数的区间
函数的区间一、引言函数是数学中的重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在计算机编程中，函数也是非常重要的，它可以将一个大问题分解成若干个小问题，使得代码更加清晰易懂。
本文将介绍函数的区间及其相关知识。
二、什么是函数的区间在数学中，函数通常被定义为一个输入集合到输出集合的映射关系。
而函数的区间则是指这个输入集合中的一段连续区间。
例如，对于函数f(x)=x^2，在实数集上它的定义域为R（即所有实数），那么f(x)在区间[0,1]上就表示为f([0,1])={x^2|0<=x<=1}。
三、如何表示函数的区间在数学中，我们通常用方括号和圆括号来表示区间。
方括号表示闭区间（即包含端点），圆括号则表示开区间（不包含端点）。
例如，[a,b]表示闭区间[a,b]={(x,y)|a<=x<=b}；(a,b)表示开区间(a,b)={(x,y)|a<x<b}。
四、常见的函数区间1. 自然对数函数ln(x)自然对数函数ln(x)在定义域(0,+∞)上是单调递增且连续的，因此它的值域也是(−∞,+∞)。
ln(x)在x=1处取得最小值0，在x=0处无定义。
2. 正切函数tan(x)正切函数tan(x)在定义域(-π/2,π/2)上是单调递增且连续的，因此它的值域也是(−∞,+∞)。
tan(x)在x=kπ+π/2（k为整数）处无定义。
3. 反正弦函数arcsin(x)反正弦函数arcsin(x)在定义域[-1,1]上是单调递增且连续的，因此它的值域也是[-π/2,π/2]。
arcsin(x)在x=-1和x=1处取得最小值-π/2和最大值π/2。
4. 幂函数y=x^n幂函数y=x^n在定义域为R上都是连续的。
当n为偶数时，其值域为[0,+∞)，当n为奇数时，其值域为(-∞,+∞)。
五、如何求解函数区间对于一个给定的函数f(x)，我们可以通过以下步骤来求解其区间：1. 求出f(x)的定义域D(f)2. 分析f(x)是否单调递增或单调递减3. 找出f(x)的极限点（即导数等于0或无穷大的点）4. 根据f(x)的单调性和极限点的位置，确定函数的区间例如，对于函数f(x)=x^3-3x^2+2x，在求解其区间时，我们可以按照以下步骤进行：1. 求出f(x)的定义域D(f)=R2. 求导数f'(x)=3x^2-6x+2，并令其等于0，得到极限点x=1/3和x=23. 分析f(x)在[−∞,1/3)、(1/3,2)、(2,+∞]上的单调性和极值情况4. 根据分析得到f(x)在[−∞,1/3]和[2,+∞)上单调递增，在(1/3,2)上单调递减，并且在x=1/3处取得最小值-4/27，在x=2处取得最大值8。
求函数的连续区间
求函数的连续区间函数的连续区间是指在一个给定的区间上，函数在整个区间内均连续的特性。
在数学中，函数的连续性是非常重要的概念，因为它与函数的性质和行为密切相关。
在本文中，我们将探讨函数的连续性以及一些常见的技巧和方法，以确定函数在给定区间上的连续性。
首先，我们来了解函数的连续性的定义。
一个函数f(x)在一个点x=a处连续，意味着当x趋近于a时，f(x)趋近于f(a)。
如果函数在一个区间上的每一个点上都连续，那么我们称该函数在该区间内是连续的。
要确定函数在给定区间上的连续性，有几种方法可以使用。
首先，我们可以使用函数的定义来判断函数是否在某一点连续。
如果函数在该点的极限存在且与函数在该点的值相等，那么函数在该点是连续的。
具体而言，如果lim(x→a) f(x) = f(a)，则函数在x=a处连续。
其次，我们可以使用闭区间上的性质来判断函数的连续性。
闭区间的定义是包含其端点的区间，即[x1, x2]。
如果函数在闭区间的两个端点上连续，并且在这两个端点之间的每个点上也连续，那么函数在整个闭区间上是连续的。
除了以上两种方法外，我们还可以使用其他一些性质和技巧来判断函数的连续性。
例如，我们可以利用连续函数的性质来判断函数在给定区间上的连续性。
如果函数f(x)和g(x)在区间上都是连续的，那么它们的和、差、积和商也都在该区间上连续。
这个性质可以方便地用来确定复杂函数的连续性。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在特定区间上的连续性。
这需要我们使用以上方法和技巧，以及一些数学常识和推理来判断函数在给定区间上是否连续。
对于一些简单的函数，连续性可以通过直接观察函数的图像来确定。
例如对于多项式函数，三角函数和指数函数，它们在整个实数范围内都是连续的。
这是因为它们的定义在所有实数上都有意义，并且它们的图像没有断裂或突变。
然而，在其他情况下，我们需要使用更多的数学知识和技巧来确定函数的连续性。
例如，对于有理函数（即多项式除以多项式的形式），我们需要检查除数是否为零的情况，因为在这些点上函数可能不连续。
函数的连续性
① 函数 y = f (x) 在 N ( xo ,δ) 有定义；
② lim f ( x) 存在； ③ lim f ( x) = f ( xo ) 。
x→xo x→xo
例．证明 f ( x) =
1+ x −1 , x > 0 在点 x = 0 处连续。 x 0 , x≤0
证明： 证明 f (0 − 0) = lim 0 = 0 ，
定理 3 是说连续函数的复合函数仍是连续函数 连续函数的复合函数仍是连续函数。其结论为 连续函数的复合函数仍是连续函数
x→ o x
lim f [g(x)]= f [g(xo)]= f [ lim g(x)]
x→ o x
例．证明函数 y = x α (α ∈ R ) 在 (0, + ∞) 内是连续的。
x→ xo x→ x o
lim f [ g ( x)] = f [ lim g ( x)] = f [uo ] .
x→ xo
定理 3 与定理 3′ 的区别 区别在于：定理 3′ 不要求内层函数 区别
u = g (x) 在 点 xo处 连续，只要求在 点 xo处 极限存在，而
极限值 uo 未必 是函数 u = g (x) 在 点 xo 的函数值。
若函数 y = f (x) 在 ( a, b) 内每一点都连续，则称函数
y = f (x ) 在 ( a, b) 内连续。
若 y = f (x) 在 (a, b) 内连续，且在左端点 x = a 右连续， 在右端点 x = b 左连续，则称函数 y = f (x) 在 [ a, b] 上连续。
点 函 f (x )在 xo 处 续 须 足 下 个 件 数 连 必 满 以 三 条 ：
若 lim f ( x) = f ( xo ) ，则称函数 y = f ( x )在点 xo 处右连续 右连续。 右连续
连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质
1.9连续函数的运算与初等函数的连续性.闭区间上连续函数的性质一、连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数f (x )和g (x )在点x 0连续, 则函数f (x )±g (x ), f (x )⋅g (x ),)()(x g x f (当0)(0≠x g 时) 在点x 0也连续.f (x )±g (x )连续性的证明:因为f (x )和g (x )在点x 0连续, 所以它们在点x 0有定义, 从而f (x )±g (x )在点x 0也有定义, 再由连续性和极限运算法则, 有)()()(lim )(lim )]()([lim 00000x g x f x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→. 根据连续性的定义, f (x )±g (x )在点x 0连续.例1. sin x 和cos x 都在区间(-∞, +∞)内连续,故由定理3知tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的.三角函数sin x , cos x , sec x , csc x , tan x , cot x 在其有定义的区间内都是连续的.二、反函数与复合函数的连续性定理2 如果函数f (x )在区间I x 上单调增加(或单调减少)且连续, 那么它的反函数x =f -1(y )也在对应的区间I y ={y |y =f (x ),x ∈I x }上单调增加(或单调减少)且连续. 证明（略）.例2. 由于y =sin x 在区间]2,2[ππ-上单调增加且连续, 所以它的反函数y =arcsin x 在区间[-1, 1]上也是单调增加且连续的.同样,y =arccos x 在区间[-1, 1]上也是单调减少且连续; y =arctan x 在区间(-∞, +∞)内单调增加且连续;y =arccot x 在区间(-∞, +∞)内单调减少且连续.总之, 反三角函数arcsin x 、arccos x 、arctan x 、arccot x 在它们的定义域内都是连续的.定理3 设函数y =f [g (x )]由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成g f D x U ⊂)(0 若0)lim 0u x g x x =(→ 而函数y =f (u )在0u 连续 则 )()(lim )][lim 000u f u f x g f u u x x ==(→→简要证明 要证>0 ∃>0 当0<|x -x 0|< 时 有|f [g (x )]-f (u 0)|< 因为f (u )在0u 连续所以∀ >0 ∃>0 当|u -u 0|< 时 有|f (u )-f (u 0)|<又g (x )→u 0(x →x 0), 所以对上述>0 ∃>0 当0<|x -x 0|< 时 有|g (x )-u 0|<从而|f [g (x )]-f (u 0)|<(2)定理的结论也可写成)](lim [)]([lim 00x g f x g f x x x x →→= 求复合函数f [g (x )]的极限时, 函数符号f 与极限号可以交换次序.)(lim )]([lim 00u f x u f u u x x →→=表明,在定理3的条件下, 如果作代换u =g (x ),那么求)]([lim 0x g f x x →就转化为求)(lim 0u f u u →, 这里)(lim 00x g u x x →=. 把定理5 中的x →x 0换成x →∞, 可得类似的定理.例3. 求93lim 23--→x x x . 解: 93lim23--→x x x 93lim 23--=→x x x 61=. 提示:932--=x x y 是由u y =与932--=x x u 复合而成的. 93lim 23--→x x x 61=, 函数u y =在点61=u 连续. =g (x 0)定理4 设函数y =f [g (x )]由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成 U (x 0)D f o g 若函数u =g (x )在点x 0连续, 函数y =f (u )在点u 0=g (x 0)连续, 则复合函数y =f [ϕ(x )]在点x 0也连续.证明: 因为ϕ(x )在点x 0连续, 所以0lim x x →ϕ(x )=ϕ(x 0)=u 0. 又y =f (u )在点u =u 0连续,所以 0lim x x →f [ϕ(x )]=f (u 0)=f [ϕ(x 0)]. 这就证明了复合函数f [ϕ(x )]在点x 0连续.例4. 讨论函数xy 1sin =的连续性. 解: 函数x y 1sin =是由y =sin u 及xu 1=复合而成的. sin u 当-∞<u <+∞时是连续的,x1当-∞<x <0和0<x <+∞时是连续的, 根据定理4, 函数x1sin 在无限区间(-∞, 0)和(0, +∞)内是连续的. 三、初等函数的连续性在基本初等函数中, 我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的.我们指出, 指数函数a x (a >0, a ≠1)对于一切实数x 都有定义,且在区间(-∞, +∞)内是单调的和连续的, 它的值域为(0, +∞).由定理4, 对数函数log a x (a >0, a ≠1)作为指数函数a x 的反函数在区间(0, +∞)内单调且连续.幂函数y =x μ 的定义域随μ的值而异, 但无论μ为何值, 在区间(0, +∞)内幂函数总是有定义的.可以证明, 在区间(0, +∞)内幂函数是连续的. 事实上, 设x >0, 则 y =x μ=x a a log μ, 因此, 幂函数x μ可看作是由y =a u , u =μlog a x 复合而成的, 由此, 根据定理6, 它在(0, +∞)内是连续的.如果对于μ取各种不同值加以分别讨论, 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的.结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论所谓定义区间, 就是包含在定义域内的区间.初等函数的连续性在求函数极限中的应用:如果f (x )是初等函数, 且x 0是f (x )的定义区间内的点,则0lim x x →f (x )=f (x 0). 例5. 求201lim x x -→. 解: 初等函数f (x )=21x -在点00=x 是有定义的,所以111lim 20==-→x x . 例6. 求x x sin ln lim 2π→.解: 初等函数f (x )=ln sin x 在点20π=x 是有定义的, 所以02sin ln sin ln lim 2==→ππx x . 例7. 求xx x 11lim 20-+→. 解: x x x 11lim 20-+→)11()11)(11(lim 2220++++-+=→x x x x x 02011lim20==++=→x x x . 例8. 求xx a x )1(log lim 0+→. 解: x x a x )1(log lim 0+→x a x x 10)1(log lim +=→a e a ln 1log ==. 例9. 求xa x x 1lim 0-→. 解: 令a x -1=t , 则x =log a (1+t ), x →0时t →0, 于是x a x x 1lim 0-→=a t t a t ln )1(log lim 0=+→. §1. 10 闭区间上连续函数的性质一、最大值与最小值最大值与最小值: 对于在区间I 上有定义的函数f (x ), 如果有x 0∈I , 使得对于任一x ∈I 都有f (x )f (x 0 ) (f (x )f (x 0 )),则称f (x 0 )是函数f (x )在区间I 上的最大值（最小值）.例如, 函数f (x )=1+sin x 在区间[0, 2π]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f (x )=sgn x 在区间(-, +)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +)内, sgn x 的最大值和最小值都是1. 但函数f (x )=x 在开区间(a , b )内既无最大值又无最小值.定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.定理1说明, 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 那么至少有一点ξ1∈[a , b ], 使f (ξ1)是f (x )在[a , b ]上的最大值, 又至少有一点ξ 2∈[a , b ], 使f (ξ 2)是f (x )在[a , b ]上的最小值.注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值.例: 在开区间(a , b ) 考察函数y =x .又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值.⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-=<≤+-==21 31 110 1)(x x x x x x f y . 定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证明:二、介值定理零点: 如果x 0 使f (x 0 )=0, 则x 0 称为函数f (x )的零点.定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ 使f(ξ)=0.定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,那么,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C.定理4'（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),那么,对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C.证:设ϕ(x)=f(x)-C,则ϕ(x)在闭区间[a,b]上连续,且ϕ(a)=A-C与ϕ(b)=B-C异号.根据零点定理,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得ϕ(ξ)=0 (a<ξ<b).但ϕ(ξ)=f(ξ)-C,因此由上式即得f(ξ)=C (a<ξ<b).定理4 的几何意义:连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例1.证明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根.证:函数f(x)= x 3-4x 2+1在闭区间[0, 1]上连续,又f(0)=1>0,f(1)=-2<0.根据零点定理,在(0, 1)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=0,即ξ 3-4ξ 2+1=0 (0<ξ<1).这等式说明方程x 3-4x 2+1=0在区间（0, 1）内至少有一个根是ξ.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
高等数学第七节初等函数连续
五、连续的应用举例
1.利用函数的连续性求极限
f(x)为初等函数 x0 定义区间
lim xx0
f
(x)
f (x0 )
例1 求 lim ln sin x
解
x 2
y ln sin x是初等函数, 是其定义域内一点，
2
lim lnsin x lnsin
x
2
0
2
2、求函数的连续区间
例2
求函数y
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
y
y f (x)
oa
2
y
M
B
C y f (x)
a
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
1 b x m
定理 2 (介值定理)如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，m 与M 分别为 f (x)在闭区间[a,b]上的最小值与最大值，则对于 介于m与M 之间的任一实数c(m c M )，至少存在一点
(a b),使得 f ( ) c.
定理 2(零点定理) 如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，
且 f (a) 与 f (b) 异 号 ， 则 在 (a ,b )内 至 少 有 一 点 ， 使 得 f ( ) 0.
y
y f (x)
ao
1 2 3 b x
例5 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
初等函数的连续性
一、 基本初等函数在定义域内是连续的. 二、四则运算的连续性
定理 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
6.函数的连续
第六节 函数的连续与间断所谓“连续函数”，在几何上表现为图像是坐标平面上一条连绵不断的曲线，而如果曲线在某些点处“断开”了，那么就是“不连续函数”。
我们不能满足于这种直观的几何认识，因为几何图形虽然能够帮助我们更形象地理解概念，但不能揭示概念的本质属性。
前几节我们学习了“变量在某一变化过程中的终极状态——极限”这一工具，现在我们就利用极限这一工具严格定义“函数的连续与间断”！ 一. 函数的连续：观察如下几种函数图形是否“连绵不断”，只需考察()()?00,()()x f x x f x −−→：1. 函数)(x f y =在一定点0x 的连续、左连续、右连续：设函数f 在点0x 的某一邻域0()U x 内有定义，如果极限0lim ()x x f x →存在且等于0()f x ，那么就称函数()f x 在点0x 连续。
求证：0x R ∀∈，那么指数函数(0,1)xa a a >≠在点0x 连续。
几何意义：“函数f 的图像在点0x 是连绵不断的”。
记自变量x 在点0x 的增量0x x x -=∆，函数()y f x =在点0x 的增量00()()f x f x y y y -=-=∆，那么：函数()f x 在点0x 连续⇔00lim ()()x x f x f x →=⇔[]000lim ()()lim 0x x x f x f x y →∆→-=∆=。
几何意义：“当自变量变化很微小时，因变量的变化也很微小”求证：0x R ∀∈，那么sin x 、cos x 在点0x 都连续。
f 在点0x 的某一左邻域0()U x -内有定义，如果左极限0lim ()x x f x →-存在且等于0()f x ，那么就称函数()f x 在点0x 左连续。
f 在点0x 的某一右邻域0()U x +内有定义，如果右极限0lim ()x x f x →+存在且等于0()f x ，那么就称函数()f x 在点0x 右连续。
函数连续与间断点的关系，首先要看区间！！！
函数连续与间断点的关系，⾸先要看区间最近在学习⾼数内容，之前的学习都是应付式，现在准备深⼀点研究。
从我们⼈的直接来说，如果⼀条线段是连续的，那它必然是光滑且没有断裂。
下⾯介绍⼀下函数连续和间断点的定义。
（1）函数连续的定义但是⾼数中，函数的连续定义如下：可以看出，⾼等数学中，对连续是针对点⽽⾔的，也就是说，如果你要说明某个范围内，函数连续，那么它必须在这个范围内每⼀个点都得符合上述定义。
也就是说，左极限=右极限=该点函数值，则该点连续。
（2）函数间断的定义分成下⾯三种情况情况1：函数在圆圈处没有定义，该点为间断点。
情况2：因为左极限不等于右极限，所以该点极限不存在，该点为间断点。
情况3：左右极限存在，所以该点有极限，但是该点极限与函数该点值不等，所以该点为间断点。
上述说明的间断点都存在左右极限，所以数学上把左右极限存在的这种间断点统⼀称为第⼀类间断点除了第⼀类间断点，其它的都是第⼆类间断点。
下⾯贴⼏张第⼆类间断点的图像：左右极限不存在，第⼆类间断点该函数来回波动，没有极限，第⼆类间断点最后贴⼀下百度百科上⾯关于间断点的定义：注意：⾮连续函数是重点，圈起来要考试哦！（所以我们知道，间断点是针对⾮连续函数⽽⾔的，连续函数肯定没有！）------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------看了连续的基本概念和间断的基本定义，那么来思考这道题：看⼀下它的图像：猛然⼀看是不是觉得它间断了？那它是不是连续函数呢？初学这个概念的⼈很容易搞混，包括我！课本上说研究⼀个函数是要在它有定义的范围内进⾏研究！那么什么叫有定义的范围呢？（1）⾸先这个有定义的范围是所有有定义的点组成的。
PPT教学课件函数的连续性
练习1：连续函数的图象有什么特点？观察下列函数 的图象，说出函数在x=a处是否连续：
y 连续
y 不连续
y 连续
Oa x
Oa x
Oa x
（1） y
（2） y
（3） y
Oa 不连续
（4）
x
Oa
不连续 （5）
x
Oa x
不连续 （6）
y y
不连续
连续
oa
x
（7）
o
a
x
（8）
2、函数的连续性：
(1)、开区间内连续：如果f(x)在某一开区间(a,b)内 每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b） 内连续，或说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数.
如函图数：的从图直象观在((32上x))=lxxl看xi im0mxx处，00 f没我f((有们xx)中)说断一fxl， i个(mxx所0函0 )以f数(以在x)上一图点f象x(=x(x100)处) 连在续点是x0处指是这连个 续的,而图象(2)(3)(4)在x=x0处是不连续的。
f ( x) x2 1 x 1( x 1)
2:对于分式函数,要注意如果分子、分母约去一个或几个 因式后,所得函数与原函数是否是同一个函数.
延伸：设
f
(x)
a
ex
x, ,
x0 x0
问怎样选择实数a,能使f(x)在
R上是连续的.
解： lim f (x) lim(a x) a, lim f (x) lim ex 1,
x0
x0
x0
x0
练习2、利用下列函数的图象，说明函数在给定点或开区间 内是否连续。
(1) f ( x)
1 x2
,点x 0;
函数的连续性(112)
介值定理
总结词
介值定理是连续函数的另一个重要性质，它表明如果在闭区间上连续的函数在两端取值 分别为正和负，则该区间内必存在至少一个值，使得函数取该值。
详细描述
介值定理指出，如果函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，且$f(a) cdot f(b) < 0$，则 存在至少一个$c in (a, b)$使得$f(c) = 0$。此外，如果函数在区间两端取值分别为正 和负，则存在至少一个值$d in [a, b]$，使得$f(d) = c$，其中$c$为介于两端取值之间
极限的定义
01
连续性是定义极限的基础，函数在某点的连续性决定了该点处
的极限行为。
导数与连续性
02
导数与函数的连续性密切相关，一个函数在某点的导数存在意
味着该点处函数是连续的。
一致连续与积分
03
一致连续的函数在区间上的积分值是一致的，这为定积分的计
算提供了基础。
在实数理论中的应用
实数完备性
连续性是实数完备性的一个重要组成部分，它确保实数具有大小 关系和四则运算的完备性。
的任意数。
一致连续性定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结词
一致连续性定理是关于函数连续性的一 种更严格的性质，它要求函数在给定区 间上的一致连续性。
VS
详细描述
一致连续性定理指出，如果函数$f(x)$在闭 区间$[a, b]$上一致连续，则对于任意给定 的$epsilon > 0$，存在$delta > 0$，使 得当$|x_1 - x_2| < delta$时，有$|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。这意味着函数在区间 上的每一点附近的变化都非常小，从而在 整个区间上都是连续的。
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求函数的连续区间，并求极限
1. 231)(2+-=x x x f ，)(lim 0
x f x → 解：
0232≠+-x x 0)2)(1(≠--x x
1≠x ，2≠x （初等函数在其定义区间内是连续的）
∴函数231)(2+-=
x x x f 的连续区间是),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ 2
31lim )(lim 200+-=→→x x x f x x 把0代入式 2
31lim 20+-→x x x ，解得 2
1231lim 20=+-→x x x
2. x x x f ---=81)(，)(lim 5
x f x → 解：
01≥-x ，1≥x 08≥-x ，8≤x （初等函数在其定义区间内是连续的）
∴函数x x x f ---=81)(的连续区间是]8,1[ x x x f x x --
-=→→81lim )(lim 55 把5代入式 x x x ---→81lim 5，解得
3281lim
5-
=---→x x x
3. )1ln()(2x x f -=，)(lim 2
1x f x → 解： 012>-x ，11<<-x
（初等函数在其定义区间内是连续的）
∴函数)1ln()(2x x f -=的连续区间是]1,1[-
)1ln(lim )(lim 22
121x x f x x -=→→ 把2
1代入式 )1ln(lim 221x x -→，解得 43ln )1ln(lim 2
21=-→x x
4. x
e x
f -=1)(，)(lim 1x f x -→ 解： 01≥-x e ， 0≤x （初等函数在其定义区间内是连续的）
∴函数
x e x f -=1)(的连续区间是]0,[-∞ x x x e x f -=-→-→1lim )(lim 11
把1-代入式 x x e --→1lim 1，解得
1111lim --→-=-e e x x
求函数的间断点，并判断其类型
1. 3
)2(+=x x y 解： 02=+x ，2-=x
∴ 2-=x 是函数3
)2(+=x x y 的间断点。
因把2-代入式 32)2(lim +-→x x x 后，分母为0，故 3
2)2(lim +-→x x x 不存在
∴ 2-=x 是函数3)2(+=x x y 的第二类间断点。
2. 2
312+--=x x x y 解： 0232=+-x x ，1=x ，2=x
∴ 1=x ，2=x 是函数2312+--=
x x x y 的间断点。
02
31lim 21=+--→x x x x ，但函数2312+--=x x x y 在1=x 处无定 义。
2
31lim 22+--→x x x x 不存在。
∴ 1=x 是函数2
312+--=x x x y 的可去间断点，2=x 是函数
2
312+--=x x x y 的第二类间断点。
3. ⎩
⎨⎧--=x x y 13 当 11>≤x x 时 解： 2)3(lim 1-=-→x x ，0)1(lim 1
=-→x x ∴ )3(lim 1-→x x ≠ )1(lim 1
x x -→ ∴ 1≠x 是函数⎩
⎨⎧--=x x y 13 当 11>≤x x 时的跳跃间断点。
4. x
x y sin = 解：0=x 是函数x
x y sin =的间断点 1sin lim 0=→x
x x ，)0(f 无意义 ∴ )0(sin lim 0f x
x x ≠→ ∴ 0=x 是函数x x y sin =可去间断点。