求函数的连续区间

求函数的连续区间，并求极限

1. 231)(2+-=x x x f ，)(lim 0

x f x → 解：

0232≠+-x x 0)2)(1(≠--x x

1≠x ，2≠x （初等函数在其定义区间内是连续的）

∴函数231)(2+-=

x x x f 的连续区间是),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ 2

31lim )(lim 200+-=→→x x x f x x 把0代入式 2

31lim 20+-→x x x ，解得 2

1231lim 20=+-→x x x

2. x x x f ---=81)(，)(lim 5

x f x → 解：

01≥-x ，1≥x 08≥-x ，8≤x （初等函数在其定义区间内是连续的）

∴函数x x x f ---=81)(的连续区间是]8,1[ x x x f x x --

-=→→81lim )(lim 55 把5代入式 x x x ---→81lim 5，解得

3281lim

5-

=---→x x x

3. )1ln()(2x x f -=，)(lim 2

1x f x → 解： 012>-x ，11<<-x

（初等函数在其定义区间内是连续的）

∴函数)1ln()(2x x f -=的连续区间是]1,1[-

)1ln(lim )(lim 22

121x x f x x -=→→ 把2

1代入式 )1ln(lim 221x x -→，解得 43ln )1ln(lim 2

21=-→x x

4. x

e x

f -=1)(，)(lim 1x f x -→ 解： 01≥-x e ， 0≤x （初等函数在其定义区间内是连续的）

∴函数

x e x f -=1)(的连续区间是]0,[-∞ x x x e x f -=-→-→1lim )(lim 11

把1-代入式 x x e --→1lim 1，解得

1111lim --→-=-e e x x

求函数的间断点，并判断其类型

1. 3

)2(+=x x y 解： 02=+x ，2-=x

∴ 2-=x 是函数3

)2(+=x x y 的间断点。 因把2-代入式 32)2(lim +-→x x x 后，分母为0，故 3

2)2(lim +-→x x x 不存在

∴ 2-=x 是函数3)2(+=x x y 的第二类间断点。

2. 2

312+--=x x x y 解： 0232=+-x x ，1=x ，2=x

∴ 1=x ，2=x 是函数2312+--=

x x x y 的间断点。 02

31lim 21=+--→x x x x ，但函数2312+--=x x x y 在1=x 处无定 义。

2

31lim 22+--→x x x x 不存在。 ∴ 1=x 是函数2

312+--=x x x y 的可去间断点，2=x 是函数

2

312+--=x x x y 的第二类间断点。

3. ⎩

⎨⎧--=x x y 13 当 11>≤x x 时 解： 2)3(lim 1-=-→x x ，0)1(lim 1

=-→x x ∴ )3(lim 1-→x x ≠ )1(lim 1

x x -→ ∴ 1≠x 是函数⎩

⎨⎧--=x x y 13 当 11>≤x x 时的跳跃间断点。

4. x

x y sin = 解：0=x 是函数x

x y sin =的间断点 1sin lim 0=→x

x x ，)0(f 无意义 ∴ )0(sin lim 0f x

x x ≠→ ∴ 0=x 是函数x x y sin =可去间断点。