数列求和方法总结
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例3:求Sn
1 1 2
1 23
1 n (n
1)
练习:
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时 所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn} 的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和 等比数列.
例4:求和 :Sn 1 3x 5x 2 7x3 (2n 1)x n1
【2015 高考山东,理 18】设数列an 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn 3n 3 . (I)求an 的通项公式; (II)若数列bn 满足 anbn log3 an ,求bn 的前 n 项和Tn .
13 23 33 n3 [1 n(n 1)]2 2
例
1.设{an}为等差数列, Sn 为数列{an}的前
n
项和,已知
S7
7,
S15
75
, Tn
为数列{ Sn n
} 的前
n
项
和,求Tn .
练习:求 1 + a + a 2 + a 3 + …… + a n (a为非零实数)的值
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比 数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、 等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并 即可.
本节概要 数列求和的常用方法
等差数列前 n 项和公式:
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
Байду номын сангаас
d
.
等比数列前 n
项和公式:
Sn
na1(q a1(1
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
.
自然数方幂和公式:1 2 3 n 1 n(n 1) 2
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
例2:求数列的前n项和:1 1, 1 4, 1 7, , 1 3n 2,…
a a2
a n1
练习 : 求数列1 1 2
,3 1 4
,5
1 8
, ,2n 1
1 2n
,
的前n项和.
“裂项相消法”,此法常用于形如{1/f(n)g(n)} 的数列求和,其中f(n),g(n)是关于n(n∈N)的 一次函数。把数列中的每一项都拆成两项或几项 的差,从而产生一些可以相消的项,最后剩下有 限的几项
练习:求数列
24 2 , 22
6 , 23
,
,
2n 2n
,
前n项的和
解:由题可知,{
2n 2n
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
1 2n }的通项之积
设 Sn
2 4 2 22
6 23
2n 2n
…………………………………①
1 2
Sn
2 22
4 23
6 24
2n 2 n1
………………………………②
f
2 11
f
3 11
f
10 11
(
)
A.4
B. 5
C. 6
D. 10
已知数列{an}是递增的等比数列, a1 a4 9, a2a3 8 ,则数列{an}的前 n 项和等于
.
数列{an}满足 a1
1,且 an1
an
n
1( n N*
),则数列{ 1 }的前 an
10
项和为
(设制错位)
①-②得(1
1 2
)S
n
2 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n 2 n 1
2 1 2n 2n1 2n1
∴
Sn
4
n2 2 n 1
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法,就是将一个数列倒过来排列,再把它与原 数列相加。
例
5.设
f
(x)
4 x , 则f 4x 2
1 11