线性代数的基本概念

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线性代数是什么

a 11 x 1 + a 12 x 2 + " + a 1 n x n = b 1 a x + a x + " + a 21 1 22 2 2n x n = b 2 " " " " " " " " " " " " a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + " + a mn x n = b m
4
解的线性方程组; 3. 确定方程组 (determinate system): 有惟一解的线性方程组; 4. 不定方程组(indeterminate system):有多于一解的线性方程组. 值得注意的是,每一个不定线性方程组有无穷多个解.这与次数超过 1 的方程组形成鲜明对照. 在 m=n 时, 线性方程组(1)是确定的 ⇔ 系数行列式非零 . 在这种情况下 , 方程组的惟一解可按 Cramer 法则(Cramer rule,1750)求出. 当系数行列式等于零或 m≠n 时,上述方法失效.这时,要确定线性方程组的类型,须使用关于矩阵的核心概念-秩(Frobenius,1877). 一个矩阵的秩表达了其所代表的线性方程组所含独立方程的个数 ( 或使用线性代数的术语,该矩阵的线性无关的行或列的最大个数). 矩阵的线性无关的行的最大个数称为矩阵的行秩 ; 矩阵的线性无关的列的最大个数称为矩阵的列秩. 关于矩阵的秩有下述结论:
10
于 n-r,其中 n 是未知量的个数,而 r 是方程组矩阵 A 的秩.如果 r<n,那么子空间 U 是非零的 , 且它的基亦称为线性方程组 (2) 的基本解组或基本解系 . 由此产生一系列研究矩阵的巧妙且高效的方法 , 其中最简洁易懂且常考者为: (1) 设 A,B 均为 n 阶矩阵,AB=0,则 r(A)+r(B)≤n. (2) r(ATA)=r(A); (3) 设 A 是 n 阶矩阵,则 r(An+1)=r(An). 其中包含的 ” 智慧 ” 乃是线性方程组 ( 特别是齐次方程组)矩阵与线性空间之”三位一体 ”, 代数与几何之融会贯通 .(2) 与 (3) 的证明的关键在于认识到线性方程组 ATAx=0 与 Ax=0 同解以及 An+1x=0 与 Anx=0 同解.对前者而言,Ax=0 的解显然是 ATAx=0 的解;反之, 若 y 是 ATAx=0 的解 , 则 ATAy=0, 于是 yTATAy=0;从而(Ay)T(Ay)=0,此即向量 Ay 的长等于 0，ok.对于后者,由于 A=0 或 A 可逆时结论显然成立,故可设 A 的秩介于 1 与 n1 之间,于是 A,A2,…,An 这 n 个矩阵必有两个秩相等，设为 As,At, 其中 s<t. 这

线性代数几个基本基础概念

矩阵既是坐标系，又是变换.
数学定义：
矩阵就是由 m行 n列数
放在一起组成的数学对象
数学书上的语言是经过千锤百炼的。这种抽象的语言，精准的描述了人类对数学某些局部理解的精微.
这些描述的语言可能可以有更完善的改进，就像编写的程序有些地方的语句可以改得更巧妙更坚固一样.
数学容许我们每个人按自己的理解方式来理解, 这就看你怎样对它加工，使它明确、使它华丽、使它完美. 使它更易于理解和使用. 这个过程也就是一个人学懂数学的过程.
1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成； 2. 这些点之间存在相对的关系； 3. 可以在空间中定义长度、角度； 4. 这个空间可以容纳运动.
这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的跳跃（变换）,而不是微积分意义上的“连续” 性的运动.
容纳运动是空间的本质特征
“空间”是容纳运动的一个对象集合，而空间的运动由变换所规定.
span(1, 2, , n )
1 3 5 0 7
Amn 0 0 0 1 2 n=5
1 3 5 1 9
Row space
C( AT ) {AT x : x Rm} Rn

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,

T 2
,
,

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)
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Amn 0 0 0 1 2
x k22 k33 k55
dim N(R) n r
- 3
5
7

1

0

0

其中2 =

0 0

,3

1 0

线性代数知识点全归纳

线性代数知识点全归纳线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。

它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。

1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。

常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。

2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。

常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。

3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。

解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。

4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。

线性变换是一种保持向量空间结构的映射。

5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。

维度是向量空间中基的数量。

6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。

如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。

7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。

矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。

8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。

9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。

正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。

10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。

正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。

11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。

正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为112.奇异值分解与特征值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，另外两个是对角矩阵。

线性代数课件PPT

线性代数课件
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换，它将向量空间中的每一个向量映射到另一个向量空间中，保持向量的加法和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线性变换是连续的、可逆的、有逆变换等。这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。

线性代数简介

序言1.什么是线性代数：线性代数名曰代数，是代数学乃至整个数学的一个非常重要的学科，顾名思义，它是研究线性问题的代数理论，具体来说是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

1.1 那么什么是代数呢？代数英文是Algebra ，源于阿拉伯语，其本意是“结合在一起”的意思。

也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。

抽象的目的不是为了显示某些人智商高，而是为了解决问题的方便，为了提高效率，把许多看似不相关的问题化归为一类问题。

比如线性代数中的一个重要的抽象概念是线性空间（对所谓的要满足“加法”和“数乘”等八条公理的元素的集合），而其元素被称为向量。

也就是说，只要某个集合里的元素满足那么几条公理，元素之间的变化满足这些规律，我们就可以对这个集合（现在可以改名为线性空间了）进行一系列线性化处理和分析，这个陌生的集合的性质和结构特点我们一下子就全知道了，因为宇宙间的所有的线性空间类的集合的性质都一样，地球人都知道（如果地球人都学了线性代数的话）。

多么深刻而美妙的结论！这就是代数的一个抽象特性。

1.2 那么线性问题又是什么样的问题呢？在大家的科技实践中，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题，一类非线性问题。

线性问题是研究最久、理论最完善的；而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。

因此遇到一个具体的问题，首先判断是线性还是上非线性的；其次若是线性问题如何处理，若是非线性问题如何转化为线性问题。

下面我们通过介绍一个重要的概念来逐渐的把握线性这个核心意思。

“线性”的意义线性代数里面的线性主要的意思就是线性空间里的线性变换。

线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义，强调了函数的变量之间的变换的意义。

线性函数的概念线性函数的概念在初等数学和高等数学中含义不尽相同（高等数学常常把初等数学的关键概念进行推广或进一步抽象化，初等数学的概念就变成了高等数学概念的一个特例）。

线性代数的几个基本概念

矩阵与线性变换
在线性空间中，当选定一组基之后，不
仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个
对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任
何一个运动（变换）.也即对于任何一个线性
变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述.
.
在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动. 而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量.用矩阵与向量的乘法施加运动. 矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述
Amn
2
n
Column space
C( A ) {Ax : x R } R
n
m
span(1 , 2,
1 3 5 0 7 0 0 0 1 2 1 3 5 1 9
, n )
Amn
n=5
Row space
C ( A ) {A x : x R } R
矩阵与坐标系
n 维线性空间里的方阵 A 的 n 个 n维向量
如果线性无关，那么它们就可以成为度量
n维
线性空间的一组基，事实上就是一个坐标系体系
.
1 A 0
0 1

矩阵描述了一个坐标系
b b?
1 b 0 0 b Ib 1
b

M b MIb M b ?
明确、使它华丽、使它完美. 使它更易于
理解和使用. 这个过程也就是一个人学懂
数学的过程.
数无形时少直观,
形无数时难入微,
数形结合百般好, 隔离分家万事休.
--------华罗庚
将抽象思维形象化将理论知识实用化
二、矩阵的四个基本子空间
基本定义记：

刘金峰线代讲义

刘金峰线代讲义摘要：1.刘金峰线代讲义概述2.线性代数的基本概念3.线性方程组的解法4.特征值与特征向量5.矩阵的谱分解6.二次型7.奇异值分解8.总结正文：一、刘金峰线代讲义概述《刘金峰线代讲义》是一本关于线性代数（又称“线代”）的教材，适用于本科生学习。

线性代数是数学的一个分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵、线性变换等概念，具有广泛的应用价值。

刘金峰教授以其丰富的教学经验和深厚的学术造诣，为学生提供了一本内容详实、逻辑清晰的线代教材。

二、线性代数的基本概念线性代数的基本概念包括向量、线性方程组、矩阵、行列式等。

向量是具有大小和方向的量，可以用来表示空间中的点或者方向。

线性方程组是包含多个变量的代数方程，这些方程的解构成了一种特定的关系。

矩阵是一种特殊的数表，可以用来表示线性方程组、线性变换等。

行列式是矩阵的一种性质，可以用来判断矩阵的性质。

三、线性方程组的解法线性方程组的解法有多种，如高斯消元法、克莱姆法则等。

高斯消元法是一种基于矩阵的行变换的方法，可以将线性方程组化为简化阶梯形矩阵，从而求解方程组。

克莱姆法则是求解线性方程组中逆矩阵的一种方法，可以用来求解具有唯一解的线性方程组。

四、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。

特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，它们满足矩阵与特征向量的乘积等于特征值与特征向量的乘积。

特征值与特征向量可以用来描述线性变换的性质，具有重要的理论意义和实际应用价值。

五、矩阵的谱分解矩阵的谱分解是将矩阵分解为特征值对角矩阵与特征向量矩阵的乘积，可以更好地描述矩阵的结构和性质。

谱分解在很多领域有广泛的应用，如信号处理、图像处理等。

六、二次型二次型是一种特殊的线性方程组，可以用来描述空间中的曲面或者超曲面。

研究二次型的性质可以帮助我们更好地理解空间几何中的问题。

七、奇异值分解奇异值分解是一种线性代数中的分解方法，可以将矩阵分解为三个矩阵的乘积，从而揭示矩阵的内部结构。

线性代数概念

第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等.线性方程组的解是一个n 维向量()n k k k ,,21 〔称为解向量〕,它满足：当每个方程中的未知数i x 都用i k 替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种：无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题有两个：〔1〕判断解的情况.〔2〕求解,特别是在有无穷多解时求通解.021====m b b b 的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种：唯一解〔即只要零解〕和无穷多解〔即有非零解〕.把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组,简称导出组. 2．矩阵和向量〔1〕基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由n m ⨯个数排列成的一个m 行n 列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个n m ⨯型矩阵.例如是一个54⨯矩阵,对于上面的线性方程组,称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211 和()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211|β 为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i 行第j 列的数称为()j i ,位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A 和B 相等〔记作B A =〕,是指它的行数相等,列数也相等〔即它们的类型相同〕,并且对应的元素都相等.由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是n a a a ,,,21 的向量可表示成()n a a a ,,,21 或⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21,请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样〔左边是n ⨯1矩阵,右边是1⨯n 矩阵〕.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.〔请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.〕一个n m ⨯的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量；每一列是一个m 维向量,称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A 的列向量组为n ααα,,,21 时〔它们都是表示为列的形式！〕可记()n A ααα,,,21 =.矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等〔记作βα=〕,是指它的维数相等,并且对应的分量都相等. 〔2〕线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加〔减〕法：两个n m ⨯的矩阵A 和B 可以相加〔减〕,得到的和〔差〕仍是n m ⨯矩阵,记作()B A B A -+,法则为对应元素相加〔减〕.数乘：一个n m ⨯的矩阵A 与一个数c 可以相乘,乘积仍为n m ⨯的矩阵,记作cA ,法则为A 的每个元素乘c .这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律：① 加法交换律：A B B A +=+. ② 加法结合律：()()C B A C B A ++=++. ③ 加乘分配律：()cB cA B A c +=+.()dA cA A d c +=+. ④ 数乘结合律：()()A cd A d c =. ⑤00=⇔=c cA 或0=A .转置：把一个n m ⨯的矩阵A 行和列互换,得到的m n ⨯的矩阵称为A 的转置,记作TA 〔或A '〕. 有以下规律：①()A A TT=. ②()T T TB A B A +=+. ③()T TcA cA =.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当α是列向量时,Tα表示行向量,当α是行向量时,Tα表示列向量.向量组的线性组合：设s ααα,,,21 是一组n 维向量,s c c c ,,,21 是一组数,则称s s c c c ααα+++ 2211为s ααα,,,21 的〔以s c c c ,,,21 为系数的〕线性组合.n 维向量组的线性组合也是n 维向量. 〔3〕n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n 的矩阵也常常叫做n 阶矩阵.把n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.〔其上的元素行号与列号相等.〕下面列出几类常用的n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵：对角线外的元素都为0的n 阶矩阵.单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵,记作E 〔或I 〕.数量矩阵：对角线上的元素都等于一个常数c 的对角矩阵,它就是cE . 上三角矩阵：对角线下的元素都为0的n 阶矩阵. 下三角矩阵：对角线上的元素都为0的n 阶矩阵.对称矩阵：满足A A T =矩阵.也就是对任何()j i j i ,,,位的元素和()i j ,位的元素总是相等的n 阶矩阵.〔反对称矩阵：满足A A T -=矩阵.也就是对任何()j i j i ,,,位的元素和()i j ,位的元素之和总等于0的n 阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.〕 3．矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换： ①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.<称这类变换为倍加变换>类似地,矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了.初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足： ①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增. 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角. 简单阶梯形矩阵：是特殊的阶梯形矩阵,特点为： ③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意：1．一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2．一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的. 4．线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组〔即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组〕. 线性方程组的同解变换有三种： ①交换两个方程的上下位置. ②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下：〔1〕写出方程组的增广矩阵()β|A ,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵()γ|B . 〔2〕用()γ|B 判别解的情况：如果最下面的非零行为()d |0,,0,0 ,则无解,否则有解.有解时看非零行数r 〔r 不会大于未知数个数n 〕,n r =时唯一解；n r <时无穷多解. 〔推论：当方程的个数n m <时,不可能唯一解.〕〔3〕有唯一解时求解的初等变换法：去掉()γ|B 的零行,得到一个()1+⨯n n 矩阵()00|γB ,并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵()η|E ,则η就是解.对齐次线性方程组：〔1〕写出方程组的系数矩阵A ,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B .〔2〕用B 判别解的情况：非零行数n r =时只有零解：n r <时有非零解〔求解方法在第五章讲〕.〔推论：当方程的个数n m <时,有非零解.〕讨论题1．设A 是n 阶矩阵,则〔A 〕A 是上三角矩阵⇒A 是阶梯形矩阵. 〔B 〕A 是上三角矩阵⇐A 是阶梯形矩阵. 〔C 〕A 是上三角矩阵⇔A 是阶梯形矩阵.〔D 〕A 是上三角矩阵与A 是阶梯形矩阵没有直接的因果关系. 2．下列命题中哪几个成立？〔1〕如果A 是阶梯形矩阵,则A 去掉任何一行还是阶梯形矩阵. 〔2〕如果A 是阶梯形矩阵,则A 去掉任何一列还是阶梯形矩阵. 〔3〕如果()B A |是阶梯形矩阵,则A 也是阶梯形矩阵. 〔4〕如果()B A |是阶梯形矩阵,则B 也是阶梯形矩阵. 〔5〕如果⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 是阶梯形矩阵,则A 和B 都是阶梯形矩阵.第二讲行列式一．概念复习 1．形式和意义形式：用2n 个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式：如果行列式的列向量组为n ααα,,,21 ,则此行列式可表示为n ααα,,,21 .意义：是一个算式,把这2n 个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号！〔不必形式一样,甚至阶数可不同.〕每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作A .行列式这一讲的核心问题是值的计算,以与判断一个行列式的值是否为0.2．定义〔完全展开式〕2阶和3阶行列式的计算公式： 2112221122211211a a a a a a a a -=.一般地,一个n 阶行列式的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为：nnj j j ααα 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标n j j j 21构成n ,,2,1 的一个全排列〔称为一个n 元排列〕,共有!n 个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有!n 个项. 所谓代数和是在求总和时每项先要乘1+或1-.规定()n j j j 21τ为全排列n j j j 21的逆序数〔意义见下面〕,则项n nj j j a 2121αα所乘的是()()n j j j 211τ-.全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算：标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数：()10002323436512,215634002323=+++++=τ.至此我们可以写出n 阶行列式的值：()()∑-=nnn j j j nj j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a 212121212122221112111ατ.这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和,称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上〔下〕三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0. 3．化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的1-n 阶行列式称为()j i ,位元素ij a 的余子式,记作ij M .称()ij ji ij M A +-=1为元素ij a 的代数余子式.定理〔对某一行或列的展开〕行列式的值等于该行〔列〕的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换〔倍加变换〕不改变行列式的值.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理,于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 4．其它性质行列式还有以下性质：① 把行列式转置值不变,即A A T =.② 某一行〔列〕的公因子可提出.于是,A c cA n =. ③ 对一行或一列可分解,即如果某个行〔列〕向量γβα+=,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行〔列〕向量α换为β或γ所得到的行列式.例如γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+.④ 把两个行〔列〕向量交换,行列式的值变号.⑤ 如果一个行〔列〕向量是另一个行〔列〕向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥某一行〔列〕的各元素与另一行〔列〕的对应元素的代数余子式乘积之和0=. ⑦如果A 与B 都是方阵〔不必同阶〕,则B A A A B*0 B0* ==.X 德蒙行列式：形如 in ni n i n i n n na a a a a a a a a a a a ----32122322213211111 的行列式〔或其转置〕.它由n a a a a ,,,,321 所决定,它的值等于()∏-ji i jαα.因此X 德蒙行列式不等于n a a a a ,,,,0321 ⇔两两不同.对于元素有规律的行列式〔包括n 阶行列式〕,常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等. 5．克莱姆法则克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n 〔即系数矩阵为n 阶矩阵〕的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为()D D D D D D n / , ,/ ,/21 ,这里D 是系数行列式的值,i D 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进：按法则给的公式求解计算量太大,没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够.法则的改进：系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法：对增广矩阵()β|A 作初等行变换,使得A 变为单位矩阵：()()ηβ||E A →,η就是解.用在齐次方程组上：如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是0≠A .第三讲矩阵一．概念复习1．矩阵乘法的定义和性质定义2．1 当矩阵A 的列数和B 的行数相等时,和A 和B 可以相乘,乘积记作AB .AB 的行数和A 相等,列数和B 相等.AB 的()j i ,位元素等于A 的第i 个行向量和B 的第j 个列向量〔维数相同〕对应分量乘积之和. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ns n n s s b b b b b b b b b B 212222111211,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==ms m m s s c c c c c c c c c AB C 212222111211,则nj in j i j i ij b a b a b a c +++= 2211.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同：① 矩阵乘法有条件. ② 矩阵乘法无交换律.③ 矩阵乘法无消去律,即一般地由0=AB 推不出0=A 或0=B .由AC AB =和0≠A 推不出C B =.〔无左消去律〕由CA BA =和0≠A 推不出C B =.〔无右消去律〕请注意不要犯一种常见的错误：把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来. 矩阵乘法适合以下法则：① 加乘分配律 ()AC AB C B A +=+,()BC AC C B A +=+. ② 数乘性质()()AB c B cA =.③ 结合律 ()()BC A C AB =.④()TT TA B AB =.2．n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质：B A AB =.如果BA AB =,则说A 和B 可交换.方幂设k 是正整数,n 阶矩阵A 的k 次方幂kA 即k 个A 的连乘积.规定E A =0.显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则：①h k h k A A A +=.②()kh hkA A =. 但是一般地()kAB 和k k B A 不一定相等！n 阶矩阵的多项式设()0111a x a xa x a x f m m m m ++++=-- ,对n 阶矩阵A 规定 ()E a A a A a A a A f m m m m 0111++++=-- .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有：()2222B AB A B A +±=±；()()()()B A B A B A B A B A -+=-+=-22.二项展开式成立：()∑=-=+mi i i m i mmB A CB A 1等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的.一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解. 3．分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵〔一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致！〕,再用它们来作乘法.〔1〕两种常见的矩阵乘法的分块法则〔2〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222212212122112122121211211211112221121122211211B A B A B A B A B A B A B A B A B B B B A AA A要求ij A 的列数jk B 和的行数相等. 准对角矩阵的乘法：形如的矩阵称为准对角矩阵,其中k A A A ,,,21 都是方阵. 两个准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k A A A A00000021, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k B B B B00000021如果类型相同,即i A 和i B 阶数相等,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k B A B A B A AB000002211. 〔2〕乘积矩阵的列向量组和行向量组设A 是n m ⨯矩阵B 是s n ⨯矩阵.A 的列向量组为n ααα,,,21 ,B 的列向量组为s βββ,,,21 ,AB 的列向量组为s γγγ,,,21 ,则根据矩阵乘法的定义容易看出〔也是分块法则的特殊情形〕：①AB 的每个列向量为：i i A βγ=,s i ,,2,1 =. 即()()s s A A A A ββββββ,,,,,,2121 =. ②()Tn b b b ,,,21 =β,则n n b b b A αααβ+++= 2211.应用这两个性质可以得到：如果()Tni i i i b b b ,,,21 =β,则n ni i i i b b b A αααβγ+++== 22111.类似地,乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的. 〔1〕当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.〔2〕利用以上规律容易得到下面几个简单推论：用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量；用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵kE 乘一个矩阵相当于用k 乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵. 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.〔3〕矩阵分解：当一个矩阵C 的每个列向量都是另一个A 的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B ,使得AB C =.例如设()γβα,,=A ,()γαγβαγβα2,3,2++--+=C ,令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211012131B ,则AB C =.〔4〕初等矩阵与其在乘法中的作用对单位矩阵E 作一次初等〔行或列〕交换,所得到的矩阵称为初等矩阵. 有三类初等矩阵： ()j i E ,：交换E 的i ,j 两行〔或列〕所得到的矩阵.()()c i E ：用非0数c 乘E 的第i 行〔或列〕所得到的矩阵,也就是把E 的对角线上的第i 个元素改为c .()()c j i E ,()j i ≠：把E 的第j 行的c 倍加到第i 行上〔或把第i 列的c 倍加到第j 列上〕所得到的矩阵,也就是把E 的()j i ,位的元素改为c .命题对矩阵作一次初等行〔列〕变换相当于用一个相应的初等矩阵从左〔右〕乘它. 4．矩阵方程和可逆矩阵〔伴随矩阵〕〔1〕矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程：〔I 〕B AX =. 〔II 〕B XA =.这里假定A 是行列式不为0的n 阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.〔否则解的情况比较复杂.〕当B 只有一列时,〔I 〕就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B 有s 列,设()s B βββ,,,21 =,则X 也应该有s 列,记()s X X X X ,,,21 =,则有i i AX β=,s i ,,2,1 =,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而BAX =有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A ,可同时求解,即得〔I 〕的解法：将A 和B 并列作矩阵)B A ,对它作初等行变换,使得A 变为单位矩阵,此时B 变为解X .〔II 〕的解法：对两边转置化为〔I 〕的形式：B X A =.再用解〔I 〕的方法求出T X ,转置得X .矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成〔I 〕或〔II 〕的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解. 〔2〕可逆矩阵的定义与意义定义设A 是n 阶矩阵,如果存在n 阶矩阵B ,使得E AB =,E BA =,则称A 为可逆矩阵.此时B 是唯一的,称为A 的逆矩阵,通常记作1-A . 如果A 可逆,则A 在乘法中有消去律：00=⇒=B AB ；C B AC AB =⇒=.〔左消去律〕；00=⇒=B BA ；C B CA BA =⇒=.〔右消去律〕如果A 可逆,则A 在乘法中可移动〔化为逆矩阵移到等号另一边〕：C A B C AB 1-=⇔=.1-=⇔=CA B C BA .由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：〔I 〕B AX =的解B A X 1-=. 〔II 〕B XA =的解1-=BA X .这种解法想法自然,好记忆,但是计算量比初等变换法大〔多了一次矩阵乘积运算〕.〔3〕矩阵可逆性的判别与性质定理 n 阶矩阵A 可逆0≠⇔A .证明 "⇒〞对E AA =-1两边取行列式,得11=-A A ,从而0≠A .〔并且11--=A A .〕"⇐〞因为0≠A ,矩阵方程E AX =和E XA =都有唯一解.设B ,C 分别是它们的解,即E AB =,E CA =.事实上()C CE CAB EB B C B =====,于是从定义得到A 可逆. 推论如果A 和B 都是n 阶矩阵,则E BA E AB =⇔=.于是只要E AB =〔或E BA =〕一式成立,则A 和B 都可逆并且互为逆矩阵. 可逆矩阵有以下性质：①如果A 可逆,则1-A 也可逆,并且()A A =--11.T A 也可逆,并且()()T T A A 11--=.0≠c 时,cA 也可逆,并且()111---=A c cA .对任何正整数k ,k A 也可逆,并且()()k k A A 11--=.〔规定可逆矩阵A 的负整数次方幂()()k k k A A A 11---==.〕②如果A 和B 可逆,则AB 也可逆,并且()111---=A B AB .〔请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.〕初等矩阵都是可逆矩阵,并且()()j i E j i E ,,1=-,()()()()11--=c i E c i E ,()()()()c j i E c j i E -=-,,1. 〔4〕逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A 可逆时,1-A 是矩阵方程E AX =的解,于是可用初等行变换求1-A ：这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多. ②伴随矩阵若A 是n 阶矩阵,记ij A 是A 的()j i ,位元素的代数余子式,规定A 的伴随矩阵为()T ij mn n nn n A A A A A A A A A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212221212111*. 请注意,规定n 阶矩阵A 的伴随矩阵并没有要求A 可逆,但是在A 可逆时,*A 和1-A 有密切关系. 基本公式：E A A A AA ==**.于是对于可逆矩阵A ,有A A A /*1=-,即1*-A A A .因此可通过求*A 来计算1-A .这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较,伴随矩阵法的计算量要大得多,除非2=n ,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a c b d d c b a *, 因此当0≠-bc ad 时,()bc ad a c b d d c b a -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1.伴随矩阵的其它性质：①如果A 是可逆矩阵,则*A 也可逆,并且()()*/*11--==A A A A . ②1*-=n A A .③()()T T A A **=. ④()**1A c cA n -=.⑤()***A B AB =；()()k k A A **=.⑥当2>n 时,()A A A n 2**-=；2=n 时,()A A =**.。

线性代数的基本概念

《线性代数》根据“卓越工程师‎教育培养计‎划”的基本要求‎，突出基本概‎念、基本理论、基本技能，注重培养学‎生数学素质‎。

教材在满足‎教学要求的‎前提下，适当降低理‎论推导的要‎求，但重视阐明‎基本理论的‎脉络。

习题配置中‎也突出基本‎题、概念题和与‎工程相关的‎实际应用题‎等。

由于研究关‎联着多个因‎素的量所引‎起的问题，则需要考察‎多元函数。

如果所研究‎的关联性是‎线性的，那么称这个‎问题为线性‎问题。

历史上线性‎代数的第一‎个问题是关‎于解线性方‎程组的问题‎，而线性方程‎组理论的发‎展又促成了‎作为工具的‎矩阵论和行‎列式理论的‎创立与发展‎，这些内容已‎成为我们线‎性代数教材‎的主要部分‎。

最初的线性‎方程组问题‎大都是来源‎于生活实践‎，正是实际问‎题刺激了线‎性代数这一‎学科的诞生‎与发展。

另外，近现代数学‎分析与几何‎学等数学分‎支的要求也‎促使了线性‎代数的进一‎步发展。

矩阵和行列‎式行列式出现‎于线性方程‎组的求解，它最早是一‎种速记的表‎达式，现在已经是‎数学中一种‎非常有用的‎工具。

行列式是由‎莱布尼茨和‎日本数学家‎关孝和发明‎的。

1693 年4 月，莱布尼茨在‎写给洛比达‎的一封信中‎使用并给出‎了行列式，并给出方程‎组的系数行‎列式为零的‎条件。

同时代的日‎本数学家关‎孝和在其著‎作《解伏题元法‎》中也提出了‎行列式的概‎念与算法。

1750 年，瑞士数学家‎克莱姆 (G.Crame‎r,1704-1752) 在其著作《线性代数分‎析导引》中，对行列式的‎定义和展开‎法则给出了‎比较完整、明确的阐述‎，并给出了现‎在我们所称‎的解线性方‎程组的克莱‎姆法则。

稍后，数学家贝祖‎ (E.Bezou‎t,1730-1783) 将确定行列‎式每一项符‎号的方法进‎行了系统化‎，利用系数行‎列式概念指‎出了如何判‎断一个齐次‎线性方程组‎有非零解。

总之，在很长一段‎时间内，行列式只是‎作为解线性‎方程组的一‎种工具使用‎，并没有人意‎识到它可以‎独立于线性‎方程组之外‎，单独形成一‎门理论加以‎研究。

MIT公开课线性代数笔记

矩阵的逆
定义：矩阵A的逆矩阵是矩阵B，使得AB=BA=I
性质：矩阵A的逆矩阵是唯一的，且 A的逆矩阵也是方阵
计算方法：使用高斯-约旦消元法、克莱姆法则等方法计算矩阵的逆
应用：求解线性方程组、求矩阵的秩、求矩阵的逆等
矩阵的行列式
定义：矩阵的行列式是一个数值，表示矩阵的体积或面积
子空间
定义：向量空间中的子集，满足加法和数乘运算性质：子空间中的向量线性组合仍然是子空间中的向量例子：二维平面上的直线、三维空间中的平面应用：线性方程组的解空间、矩阵的秩和零空间
正交向量组
定义：一组线性无关的向量，且向量之间的内积为零性质：正交向量组是线性无关的，且向量之间的内积为零应用：正交向量组可以用来求解线性方程组，以及进行矩阵分解例子：二维平面上的单位向量组（1,0）和（0,1）是正交向量组
计算方法：通过行列式的计算公式进行计算
性质：矩阵的行列式与矩阵的转置行列式相等
应用：矩阵的行列式在求解线性方程组、特征值和特征向量等方面有广泛应用
线性变换与矩阵
线性变换的定义
线性变换是一种特殊的函数，它满足线性性质
线性变换可以将一个向量映射到另一个向量
线性变换可以用矩阵来表示，矩阵的每一行代表一个基向量的变换
性、相似性等
矩阵的相似性
定义：两个矩阵A和B相似，如果存在一个可逆矩阵P，使
得B=P^(1)AP
性质：相似矩阵具有相同的特征值和特征
向量
应用：相似矩阵可以用来简化矩阵的运算
和求解
例子：对角矩阵和单位矩阵是相似的，因为它们的特征值和特征向量都是相同的。
矩阵的相似对角化

线性代数

九章算术线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。
凯莱矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体（domain）上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择。
学术地位
线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以被计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代数的计算方法也是计算数学里一个很重要的内容。
所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系的线性算子f都有哪几类，以及他们分别都有什么性质。

线性代数入门

线性代数入门线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间（或称线性空间）及其变换。

它广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域，是现代科技不可或缺的数学工具。

本文档旨在为初学者提供线性代数的基础知识入门，帮助理解其基本概念和运算规则。

向量与向量空间在线性代数中，向量是一个基本概念。

一个向量可以视为在n维空间中的一个点，由一组有序的数构成，这些数称为向量的分量。

例如，二维空间中的点(x, y)可以表示为向量[x, y]。

向量空间则是所有向量的集合，满足某些特定的运算规则，如加法和标量乘法。

矩阵与矩阵运算矩阵是线性代数中另一个核心概念，它是一个由数字排成的矩形阵列。

矩阵可以用来表示线性变换，即一种将向量空间中的每个向量映射到另一个向量的规则。

基本的矩阵运算包括矩阵加法、矩阵乘法以及矩阵与向量之间的乘法。

行列式与逆矩阵行列式是与方阵相关的一个标量值，它在解线性方程组、计算矩阵的可逆性等方面有重要作用。

一个方阵如果其行列式非零，则这个矩阵是可逆的，存在一个逆矩阵使得原矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。

线性方程组与解的结构线性方程组是由若干线性方程构成的集合，形式上通常写作Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。

解线性方程组是线性代数的一个重要应用，涉及到求解未知向量x的值。

根据系数矩阵的性质，解可以是唯一的，也可以是无解，或者是无数多个解。

特征值与特征向量特征值和特征向量是描述线性变换特性的重要工具。

一个矩阵的特征值是满足方程Av = λv的标量λ，其中v是非零向量，称为特征向量。

特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵表示的变换的本质。

总结来说，线性代数提供了一套强大的工具来处理与向量空间及其变换相关的问题。

通过学习向量、矩阵、行列式、线性方程组以及特征值等概念，我们可以更好地理解和解决实际问题。

希望本文能够为初学者提供一个清晰的线性代数入门路径，并激发进一步学习的兴趣。

什么是线性代数

什么是线性代数
1.把三维的世界转换为⼆维的世界,再把⼆维的世界转换为⼀维的世界,这只是它的⼀个⽅⾯,很⼩很⼩的⼀个⽅⾯;
2.笼统的说,线性代数是⼀门将m维世界与n维世界联系起来的学科;
3.线性代数,⾸先要知道什么是线性,如何描述线性;
4.线性代数⾥,⾸先要知道数,数表(即矩阵),为了更好的分析矩阵,需要认别向量,然后⾛向线性代数的两个概念⾼峰:线性映射(很多国内材料上叫线性变换)和特征值与特征向量;
5.线性代数⼏乎没有⽤,准确的说,⼏乎在很多现实问题中没有⽤,除了数学即理科⼈员和部分⼯科⼈员需要这个基础,其他⼈员的确是⼏乎⽤不到线性代数;
6.如同厨师苦练切菜的⼿艺是为了将来能够独当⼀⾯⽽打好基础⼀样,理⼯科⼈员学习线性代数也是为了将来能够展翅⾼飞,在各⾃的学科领导⾥⾃由的⾏动;
7.学好线性代数的确需要⼤量⽽且复杂的计算和证明,但理解线性代数确实是⼀件⾮常简单的事情.
8.如下的四种情形,其实更让⼈欣慰是的A和C,但对于⼤学⽣来说,可以AB才是最关键的,知识不能改变命运,但知识的确能改变⼈的眼界.
A在线性代数的考试中得⾼分,并且已经理解了线性变换;
B在线性代数的考试中得⾼分,但是并不理解了线性变换;
C在线性代数的考试中得低分,可是已经理解了线性变换;
D在线性代数的考试中得低分,且还没有理解了线性变换;
即从长远来看,C⽐B的效果好,因为B易造成"只见树⽬不见森林"的局⾯,⽽C只能说明参加考试的⼈没有努⼒做练习,⽽不是没有努⼒学习.
现在来看⾃⼰从前的学习，觉得⾃⼰就是B类⼈。

线代概念知识点总结

线代概念知识点总结1. 向量空间向量空间是线性代数中最基本的概念之一。

它是一个集合，其中的元素称为向量，满足一定的运算规则和数学性质。

具体来说，一个向量空间需要满足以下条件：•对于任意两个向量u和v，它们的和u+v也在向量空间中。

•对于任意一个向量u和任意一个标量k，它们的数乘ku也在向量空间中。

•向量空间中存在一个零向量。

向量空间的例子包括实数集合R^n、复数集合C^n、函数空间、多项式空间等。

向量空间的维数是指最小生成向量空间的向量个数，它反映了向量空间的维度。

2. 线性映射线性映射是向量空间之间的一种特殊的映射关系。

它满足以下条件：•对于任意两个向量u和v以及标量k，有f(u+v)=f(u)+f(v)和f(ku)=kf(u)。

线性映射在线性代数中有重要应用，它可以用来描述向量空间之间的映射关系，例如线性变换、投影变换等。

线性映射的核与像是线性代数中的重要概念，它们分别表示线性映射的零空间和值域空间。

3. 矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是一个按照长方形排列的数的集合，通常用大写字母表示。

矩阵可以用来表示某一线性变换所对应的变换矩阵，从而简化线性变换的计算。

矩阵的加法和数乘运算定义为两个相同维度矩阵的对应元素之和，以及矩阵中的每个元素乘以一个标量。

矩阵的乘法是线性代数中的一个重要操作，也是应用最为广泛的代数运算之一。

两个矩阵A和B的乘积C的定义是C=AB，其中C中的元素c(i,j)等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积。

4. 线性方程组线性代数中研究线性方程组的性质和解的存在唯一性等问题。

线性方程组是指形如a1x1+a2x2+…+anxn=b的方程组，其中a1、a2、…、an为系数，x1、x2、…、xn为未知数，b为常数。

线性方程组的解通常是指求得一组满足方程组所有方程同时成立的未知数值。

线性方程组的解可以分为唯一解、无解和有无穷多解三种情况。

线性代数的基本理论可以用来讨论线性方程组解的存在唯一性的条件，例如矩阵的秩、行列式的值等。

线性代数第一章总结

线性代数第一章总结线性代数作为一门重要的数学学科，是研究向量空间及其变换性质的数学理论。

通过线性代数的学习，我们可以更好地理解和描述现实世界中的各种现象和问题。

本文将对线性代数第一章的主要内容进行总结和归纳。

1. 向量和向量空间向量是线性代数的基本概念之一，它可以用来表示空间中的点或物体。

在向量空间中，向量具有平移、缩放和加法等运算性质。

向量空间是由一组满足加法和数乘运算定义的向量组成的结构，可以用来描述和求解各种线性方程组的性质和解。

2. 矩阵和矩阵运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它是一个二维数组，具有行和列的特性。

矩阵可以通过线性变换来描述空间中的映射关系。

矩阵可以进行加法和数乘运算，还可以通过矩阵乘法来描述线性变换的复合。

3. 线性方程组和矩阵方程线性方程组是线性代数的一个经典问题，它可以通过矩阵方程的形式来表示。

利用矩阵的性质和运算，可以求解线性方程组的解，并进一步研究其解的特性和性质。

矩阵方程的求解通过矩阵的逆、转置、秩和特征值等方法进行。

4. 特征值和特征向量特征值和特征向量是描述线性变换性质的重要指标。

特征值表示线性变换中不变的方向，而特征向量表示该方向的具体向量。

通过求解特征值和特征向量，可以得到线性变换的不变轴和其对应的缩放比例。

特征值和特征向量在机器学习中有着广泛的应用。

5. 行列式和矩阵的逆行列式是矩阵的一个特殊的数值，它可以用来描述线性变换的伸缩性质。

行列式的值非零表示线性变换具有可逆性，可以求解矩阵的逆。

矩阵的逆在求解线性方程组和求解特征值特征向量等问题中起着重要的作用。

通过对线性代数第一章的学习，我们了解了向量和向量空间的基本概念，矩阵及其运算的性质，线性方程组的求解方法，特征值和特征向量的应用，以及行列式和矩阵逆的概念和作用。

这些知识为我们后续学习和应用线性代数打下了坚实的基础。

线性代数作为数学的一支，不仅在理论上具有重要意义，也在实际应用中有着广泛的应用。

它被广泛应用于物理学、经济学、计算机科学、工程学等领域，为实际问题的建模、求解和分析提供了有效的数学工具。

大一线性代数知识点总结

大一线性代数知识点总结一、向量与矩阵1.1 向量的概念与性质向量是线性代数中的基本概念，它是指具有大小和方向的量。

在数学中，向量通常用箭头表示，并且可以表示为n维空间中的有序数组。

向量的加法与数乘定义为：- 两个向量的加法：设有两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，则它们的和定义为：a + b = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。

- 数乘：设有一个向量a=(a1, a2, ..., an)，一个标量k，那么k乘以a定义为：ka = (ka1, ka2, ..., kan)。

1.2 矩阵的概念与基本运算矩阵是由m行n列元素组成的长方形阵列，它的基本形式可以表示为：A= ( a11 a12 ... a1n )( a21 a22 ... a2n )( ... ... ... ... )( am1 am2 ... amn )其中，aij表示第i行第j列的元素。

矩阵的加法与数乘定义为：- 矩阵的加法：设有两个矩阵A与B，它们是同型矩阵，其相应元素相加即得到矩阵的和：A+B。

- 数乘：设有一个数k，以及一个矩阵A，那么可以通过数量k乘以矩阵A的每一个元素得到新的矩阵kA。

1.3 零向量与单位矩阵零向量是指所有分量都为零的向量，通常用0表示，对于n维空间而言，它的零向量可以表示为(0, 0, ..., 0)。

单位矩阵是指在主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵，通常用I表示。

对于n×n的单位矩阵可以表示为：I = ( 1 0 ... 0 )( 0 1 ... 0 )( ... ... ... )( 0 0 ... 1 )1.4 范数与内积向量的范数是指向量的长度，通常可以表示为||v||。

对于n维向量v=(v1, v2, ..., vn)，它的范数定义为：||v|| = √(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2)。

线性代数ppt课件

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线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为一门独立的数学分支，并在20世纪得到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形矩阵，从而求解方程组。

线性代数入门

线性代数入门线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性映射以及这些概念的推广。

它广泛应用于科学和工程领域，包括计算机科学、物理学、工程学、经济学等。

本文旨在为初学者提供线性代数的基础概念和入门知识。

基本概念在线性代数中，向量是一个基本的概念。

一个向量可以视为在多维空间中的一个点，或者从原点指向该点的箭头。

向量通常用括号包围的数字序列表示，如( \mathbf{v} = (1, 2, 3) )。

矩阵矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可以用于表示线性方程组的系数。

例如，一个简单的2x2矩阵可以写作：[ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} ]其中，( a, b, c, d )是矩阵的元素。

行列式行列式是一个将方阵映射到实数的函数，它在解决线性方程组和计算矩阵的逆等问题中扮演着重要角色。

对于一个2x2矩阵( A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} )，其行列式定义为：[ \text{det}(A) = ad - bc ]线性方程组线性方程组是由多个线性方程构成的集合。

例如，下面的系统：[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} ]可以通过矩阵和向量的形式重新写为( A\mathbf{x} = \mathbf{b} )，其中( A )是系数矩阵，( \mathbf{x} )是未知向量，( \mathbf{b} )是常数向量。

向量空间向量空间是一个数学结构，它允许我们对向量进行加法和标量乘法操作。

例如，欧几里得空间( \mathbb{R}^n )就是一个典型的向量空间。

线性变换线性变换是向量空间到自身的一种特殊映射，它保持了向量加法和标量乘法的结构。

线性变换可以用矩阵表示，而矩阵的乘法对应于变换的组合。

线性代数的基本概念

线性代数的基本概念线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性变换等代数结构及其应用。

在许多领域，如物理学、计算机科学、经济学等，线性代数都扮演着重要的角色。

本文将介绍线性代数的基本概念，包括向量、矩阵、线性变换和特征值等内容。

1. 向量向量是线性代数中的基本概念之一。

向量可以表示具有大小和方向的量，常用于描述力、速度和位移等物理量。

在数学上，向量通常用一组有序数列来表示，如 (x1, x2, ..., xn)。

向量具有加法和数乘的运算规则。

向量加法指的是将两个向量的对应分量相加，数乘是将向量的每个分量乘以一个数。

这些运算满足交换律、结合律和分配律等性质。

2. 矩阵矩阵是由一组数排成的矩形阵列。

矩阵的大小由行数和列数决定。

例如，一个 m×n 的矩阵有 m 行 n 列。

矩阵可以表示线性方程组，用于求解多个变量之间的关系。

通过矩阵的运算，可以进行加法、数乘和乘法等操作。

矩阵乘法是将一个矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列进行对应元素相乘，并将结果相加得到新矩阵的元素。

3. 线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数乘运算。

线性变换可以用矩阵来表示。

设有一个线性变换 T，向量 v 和矩阵 A，则有 T(v) = Av，其中 A 是线性变换的矩阵表示。

线性变换具有许多重要的性质，如保持零向量不变、保持向量长度比例不变等。

线性变换还可以进行复合和逆运算，这样可以构成一个线性变换的代数结构。

4. 特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，常用于描述线性变换的性质。

对于一个线性变换 T，若存在一个非零向量 v 和一个实数λ，使得T(v) = λv，则λ 是 T 的特征值，v 是对应的特征向量。

特征值和特征向量可以帮助我们理解线性变换对向量空间的影响。

特征值表示了变换的缩放比例，特征向量表示了在变换中不变的方向。

通过求解特征值和特征向量，可以对线性变换进行分析和应用。