信号采样及零阶保持器
零阶保持器
T / 2
e
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
因为
T
2π
s
，所以
j π
2 π sin ( π / s ) G h ( j ) e s π / s
|G h ( j ) |
s
零阶保持器的 频率特性：
T
O -
s
2s
3s
G h ( j )
≥ 2
s
m ax
时，则由采样得到的离散信号能无失真地恢 复到原来的连续信号，这就是采样定理，也 称为香农(Shannon)定理。
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
物理意义：如果选择这样一个采样角频率 ≥ 2 ，使得对连续信号中所含的最高 s m ax 频率信号来说，能做到在其一个周期内采 样两次以上，则在经采样所获得的离散信 号中将包含连续信号的全部信息。反之， 如果采样次数太少，就做不到无失真地再 现原连续信号。
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
第七章 采样数据控制系统分析
7.1 概 述 一、采样控制系统 采样控制系统，又称断续控制系统、离散 控制系统，它是建立在采样信号基础上的。 如果控制系统中有一处或几处信号是断续 的脉冲或数码，则这样的系统称为离散系统。 通常，把系统中的离散信号是脉冲序列形 式的离散系统，称为采样控制系统； 而把数字序列形式的离散系统，称为数字 控制系统或计算机控制系统。
自动控制原理
第七章 采样数据控制系统分析
7.2 信号的采样与保持 一、采样过程 把连续信号转换成离散信号的过程，叫作 采样过程。 实现采样的装置叫作采样开关或采样器。
e(t) e(t) T e * (t) e * (t)
自动控制原理--信号采样相关知识与零阶保持器及例题
8.2 信号采样相关知识与零阶保持器 2) 脉冲序列的数学表达
当脉冲宽度相对于采样周期足够小，可统一将其近似为宽度为零且冲量等
于其面积的理想脉冲。数学上，采样信号f*(t)可用连续信号f(t)与周期为Ts
的单位脉冲序列来
描述。
Ts (t )
f *(t) f (t )Ts (t) f (t) (t kTs ) f (kTs ) (t kTs ),
• 采样频谱的主分量与相邻 的高频谐波分量以及各相 邻的谐波分量之间将出现 重叠，这种现象称为混叠。 显然，此时仅通过低通滤 波已无法复原信号。
香农定理（C.E.Shannon）:
若则采原样连角续频信率号f(ts)满可足从以采下样条信件号：f*(t)中唯一确定。s 2max
(8 - 8)
说明: 对于实际控制系统而言，为保证控制系统的动态性能及抗干扰能 力，采样周期的选择往往远大于2max，例如，可取为闭环系统带宽的 20倍以上。当然，采样频率过大往往需要增大计算机和A/D及D/A转换 器的字长，提高其运算与转换速度，增加系统实现成本。
fh(t)与连续信号f(t)相比，形状一致但在时间上 平均落后Ts/2；即零阶保持器相当于滞后时间 常数为Ts/2的延迟环节。 • 从相频特性可知，所引入的滞后角度随的增 大而增大，在=s处，相角滞后为180； • 因此，采样频率的选择不能过小，当小于20 倍闭环系统带宽时，控制系统的分析和设计 一般需要考虑零阶保持器的影响。
8.2 信号采样相关知识与零阶保持器 8.2.1 信号采样
1. 采样信号的数学表示
1) 采样的形状多样： • 对同一连续信号，采样方式和采样装置不同，所得的脉冲序列的形状（包
括高度和宽度等）也不一样。
• 采样结果可能为幅值恒定而宽 度正比于采样值大小的脉冲调 宽序列，亦可能为幅值正比于 采样值而宽度恒定的脉冲调幅 序列，或者其他形式的脉冲序 列。
采样系统的典型结构图闭环脉冲传递函数
a)
1 S2
1( a
1 S
1 S
） a
查表得：
Z( GP( s)) S
Tz ( z 1)2
1( a
z
z 1
z
z e aT
)
∴ 有零阶保持器的开环系统脉冲传递 函数为：
G( z) (1 z1 )Z( GP( s)) S
西南民族大学
例二、设离散系统如图所示，其中
1
a
G1( s) S , G2( s) S a
第六章
离散系统
黄勤珍
西南民族大学
※ 6 — 1 线性离散系统
一、信号采样和复现
1、在采样控制系统中，把连续信号转变为 脉冲系列的过程 — 采样过程（采样）
实现采样的装置 — 采样器（开关）T 表示采 样周期(S) ，fs = 1/T （采样频率） (1/S) , 表示采样角频率。
ws
2fs
2
G1( z)
Z( ) S
z1
a
az
G2( z)
Z( S
) a
z
e aT
G(
z)
G1(
z)G2 (
z)
(
z
az 2 1)( z
e aT
)
az 3 C( z) G( z)R( z) ( z 1)2( z eaT )
西南民族大学
系统b：
a G1( s)G2( s) S( S a) G( z) G1G2( z) Z[ a ]
Z 域（朱利稳定判据）且满足：
D(1) > 0 , D(-1)
自动控制原理--信号的采样与复现
例1 设 e(t) 1(t) ，试求 e* (t) 的拉氏变换。
解：显然，对于给定的 e(t)，其拉式变换
为 E(s) 1 ，根据式(8-6)定义，可得
s
E* (s) e(kT ) ekTs 1 eTs e2Ts k 0
这是一个无穷等比级数，公比为eTs，求
级数和可得闭合形式
E*(s)
例3 xt Asin 0t ，求x t 和 X s 。
解：由拉式变换的一般公式，可得
L[x(t)] xs A0
s 2 02
所以 ，x(s)有两个极点 。t 0时 ，xt 0 ，
由式（8-7）得
X s
A0 T
s
1
jks 2
02
A0 T
s2
1 02
s
1
js 2
02
s
1
js 2
jT
e2
sin T
T
sin(T
/
2)
e
jT
2
T 2 2
T / 2
• 零阶保持器的频率特性如图所示
Gh j
Gh j
T
0
s
2s
3s
2
Gh j
3
• 零阶除了允许主频谱分量通过之外，还 允许一部分附加高频分量通过。因此复 现出的信号与原信号是有差别的。
4、小结
• 采样控制系统的结构； • 计算机控制的采样系统的优点； • 采样过程和采样定理； • 零阶保持器的传函和特性。
（4）随机采样：采样是随机进行的,没有固定的规律
1、信号的采样过程
et
e* t
e* t
et T e*t
0
0
t
零阶保持器传递函数
零阶保持器传递函数零阶保持器（zero-order hold）是一种常用的模拟信号到数字信号转换的方法。
在数字信号处理中，信号必须以离散形式进行处理，而模拟信号则是连续的。
为了将模拟信号转换为数字信号，需要进行采样和量化，其中采样步骤中的零阶保持器起着至关重要的作用。
y[n]=x[nT]其中，y[n]表示输出信号，x[nT]表示输入信号，T表示采样周期。
零阶保持器的主要功能是在两个采样时刻之间将连续信号持续保持一段时间，以提供连续信号的信息。
换句话说，它将输入信号x[nT]保持为常数，直到下一个采样发生。
为了更好地理解零阶保持器的传递函数，我们可以通过将零阶保持器与连续时间系统进行比较来进行说明。
考虑一个理想的连续时间系统。
对于一个理想的连续时间系统，它的输入x(t)连续变化，而输出y(t)也是连续变化的。
然而，在实际应用中，我们通常会遇到离散时间系统，需要将连续时间信号转换为离散时间信号。
在离散时间系统中，我们使用采样和保持技术来将连续时间信号转换为离散时间信号。
采样器负责按照一定的时间间隔对连续时间信号进行采样，而保持器负责在两次采样之间保持输入信号的数值。
而零阶保持器正是保持器的一种实现方式。
它将输入信号持续保持一个样本周期的时间，然后在下一个采样时刻更新为新的输入信号值。
这样就实现了从连续时间信号到离散时间信号的转换。
对于一个理想的零阶保持器而言H(z)=1/(1-z^(-1))其中，H(z)表示传递函数，z表示拉氏变换的变量。
可以看出，传递函数与输入信号的拉氏变换形式相互对应。
将输入信号的拉氏变换表示为X(z)，输出信号的拉氏变换表示为Y(z)，则传递函数可以进一步表示为：Y(z)=H(z)*X(z)其中，*表示拉氏变换的乘法运算。
这个表示形式可以更直观地说明传递函数的作用。
总之，零阶保持器是模拟信号到数字信号转换中一种重要的技术。
通过采样和保持，它将连续时间信号转换为离散时间信号。
零阶保持器的传递函数描述了系统的输入和输出之间的关系，是理解和设计离散时间系统的重要工具。
信号采样及零阶保持器
8－2 信号的采样和复现的数学描述一、 采样过程所谓理想采样，就是把一个连续信号)(t e ，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得到一串脉冲序列信号)(t e *。
可见在采样瞬时，)(t e *的脉冲强度等于相应瞬时)(t e 的幅值，即)0(T e ,)1(T e ,)2(T e ,…)(nT e ，…如图8－8所示。
因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，如图8－9所示。
采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列)(t T δ作为幅值调制器的载波信号，)(t T δ的数学表达式为∑∞∞==-n nT)-(t )(δδt T(8－1)其中=n 0,±1,±2,…)(t e 调幅后得到的信号，即采样信号)(t e *为∑∞-∞=*-==n T nT t t e t t e t e )()()()()(δδ(8－2)通常在控制系统中，假设当0<t 时，信号0)(=t e ，因此+-+-+=*)2()2()()()()0()(T t T e T t T e t e t e δδδ+-+)()(nT t nT e δ(8－3)或∑∞=*-=0)()()(n nT t nT e t e δ(8－4)式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的)(nT t -δ表示脉冲出现的时刻；而)(nT e 代表这一时刻的脉冲强度。
式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。
然而，一个值得提出的问题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。
下面我们将从频率域着手研究这个问题。
二、 采样信号的频谱假设连续信号)(t e 的富氏变换式为)(ωj E ，采样后信号*()e t 的富氏变换式用*()E j ω表示，下面我们来看)(ωj E *的具体表达式。
天津大学计算机控制系统——第6.1课 (理解)计算机控制系统理论基础—采样与保持
1 e −Ts 1 − e −Ts = Gh 0( s ) = L [ g (t ) ] =− s s s
再令s=jw，得零阶保 1 − cos (ωT ) + j sin (ωT ) 1 − e − jωT − j = = h 0 ( jω ) 持器的频率特性为： G jω ω
sin (ωT ) − j 1 − cos (ωT ) =
本章要点总结
总结
1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 计算机控制系统的信号流程 采样定理 采样周期的选择 信号的恢复与保持 画出计算机控制系统信号流程，并说明。 采样周期的经验选择方法。 如何理解信号的恢复过程？ 零阶保持器存在哪些局限性？
作业
第六章 计算机控制系统理论基础
课程安排
• 与计算机控制系统相关的接口技术 • 计算机控制系统的输入输出通道 • 计算机控制数据预处理 • 计算机控制系统理论基础
讲课16学时
• 计算机控制系统分析 • 计算机控制系统设计（经典和现代）
计算机控制系统理论基础
本章结构 • 6.1 概述 • 6.2 采样与采样定理 • 6.3 信号的恢复与保持 • 6.4 Z变换和Z反变换 • 6.5 脉冲传递函数
模拟信号：定义在连续时间上的信号，且其幅值也是连续变
化的。
数字信号
计算机控制系统理论基础
本章结构 • 6.1 概述 • 6.2 采样与采样定理 • 6.3 信号的恢复与保持 • 6.4 Z变换和Z反变换 • 6.5 脉冲传递函数
6.2 采样与采样定理
1 什么是信号采样 把一个连续信号变为离散信号的过程成为采样
6.3 信号的恢复与保持
3 零阶保持器-幅相特性 其幅频特性和相频特性如图所示
信号采样与保持
2326.2 信号采样与保持采样器与保持器是离散系统的两个基本环节，为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的采样过程和保持过程加以描述。
6.2.1 信号采样1. 采样信号的数学表示一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T δ的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*t e ，是连续输入信号)(t e 调制在载波)(t T δ上的结果，如图6-6所示。
图6-6 信号的采样用数学表达式描述上述调制过程，则有)()()(*t t e t e T δ=（6-1） 理想单位脉冲序列)(t T δ可以表示为∑∞=-=)()(n T nT t t δδ (6-2)其中)(nT t -δ是出现在时刻nT t =，强度为1的单位脉冲，故式(6-1)可以写为∑∞=-=0*)()()(n nT t t e t e δ由于)(t e 的数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设00)(<∀=t t e所以)(*t e 又可表示为*()()()n e t e nT t nT δ∞==-∑（6-3）2332. 采样信号的拉氏变换对采样信号)(*t e 进行拉氏变换，可得)]([)(])()([)]([)(0**nT t L nT e nT t nT e L t e L s E n n -=-==∑∑∞=∞=δδ (6-4)根据拉氏变换的位移定理，有nTsstnTsedt et enT t L -∞--==-⎰)()]([δδ所以，采样信号的拉氏变换∑∞=-=*)()(n nTsenT e s E (6-5)3. 连续信号与采样信号频谱的关系由于采样信号只包括连续信号采样点上的信息，所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。
式(6-2)表明，理想单位脉冲序列)(t T δ是周期函数，可以展开为傅氏级数的形式，即∑+∞-∞==n tjn nT s ect ωδ)((6-6)式中，T s /2πω=，为采样角频率；n c 是傅氏系数，其值为/2/21()s T jn tn T T c t edt Tωδ--=⎰由于在]2,2[T T -区间中，)(t T δ仅在0=t 时有值，且1|0==-t tjn seω，所以 0011()n c t dt TTδ+-==⎰（6-7）将式(6-7)代入式(6-6)，得∑+∞-∞==n tjn T s eTt ωδ1)( （6-8）再把式(6-8)代入式(6-1)，有∑+∞-∞==n tjn s et e Tt e ω)(1)(*（6-9）上式两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，得到234∑+∞-∞=+=n s jn s E Ts E )(1)(*ω (6-10)令ωj s =，得到采样信号)(*t e 的傅氏变换∑+∞-∞=+=n sn j E Tj E )]([1)(*ωωω （6-11)其中，)(ωj E 为非周期连续信号)(t e 的傅氏变换，即⎰+∞∞--=dt et e j E j ωω)()( （6-12）它的频谱)(ωj E 是频域中的非周期连续信号，如图6-7所示，其中h ω为频谱)(ωj E 中的最大角频率。
零阶保持器
• 对于伺服控制系统，采样角频率可选为闭环系统的频带宽度b或开环系统的 穿越频率c的10倍，即
• 从时域性能指标来看： s 10b , 或10c
或
ππ
Ts 5c 5b
Ts
1 10
tr
Ts
1 40
ts
四、信号的再现和保持器 把采样信号转变为连续信号的过程，称为信号再现。
用于转换过程的装置，称为保持器。 从数学意义上说，保持器的功能是解决各采样点之间的插值问题。
实际上，保持器是具有外推功能的元件。 具有常值外推功能的保持器，称为零阶保持器。
零阶保持器的作用是使采样信号e*(t) 每一采样瞬时的值e(kT)一直保持到 下一个采样瞬时e[(k+1)T]，从而使采样信号变成阶梯信号eh(t)。
采样过程的物理意义： 采样过程可以看作是单位理想脉冲串 T(t) 被输入信号e(t) 进行幅值调制的
过程，其中 T(t) 为载波信号， e(t) 为调制信号，采样开关为幅值调制器,其输 出为理想脉冲序列 e*(t) 。
e(t)
O
e(t) T e*(t)
T(t)
e*(t)
t O T 2T 3T 4T 5T ... t O T 2T 3T 4T ...
r(t)
e(t)
e*(t) A/D
数字 控制器
u*(t)
u(t)
D/A
w(t)
执行 机构
被控 对象
c(t)
-
传感器
三、研究方法
主要阐述采样系统所必要的数学基础和基本原理。 首先建立信号采样与复现过程的数学表达式； 介绍 Z 变换理论和脉冲传递函数； 讨论采样系统的稳定性、稳态误差； 分析系统的极点分布与瞬态响应之间的关系。
采样与保持仿真实验
微分与平滑仿真实验一．实验目的1．数/模转换器得零阶保持器作用零阶保持器：zero-order holder（ZOH）。
实现采样点之间插值的元件，基于时域外推原理，把采样信号转换成连续信号。
零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT时刻的采样信号值一直保持到第(n+1)T时刻的前一瞬时，把第(n+1)T时刻的采样值一直保持到(n+2)T时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列变成一个连续的阶梯信号。
因为在每一个采样区间内连续的阶梯信号的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器。
零阶保持器的传递函数为：2．零阶保持器在控制系统中的作用零阶保持器的作用是使采样信号e*(t) 每一采样瞬时的值e(kT) 一直保持到下一个采样瞬时e[(k+1)T]，从而使采样信号变成阶梯信号eh(t)。
二．实验原理如下图，控制系统中，给输入阶跃信号，有函数：plot(y.time,y.signals.values,x.time,x.signals.values)可以画出其输入输出波形图1-1如下所示。
图1-1仿真原理图三．仿真过程图1-2 采样周期T-10MS时系统的输入输出波形图1-3 采样周期T-20MS时系统的输入输出波形图1-4 采样周期T-30MS时系统的输入输出波形图1-5 采样周期T-40MS时系统的输入输出波形四．思考与总结1.在微机控制系统中采样周期T的选择因注意哪些方面？采样定理只是作为控制系统确定采样周期的理论指导原则，若将采样定理直接用于计算机控制系统中还存在一些问题。
主要因为模拟系统f（t）的最高角频率不好确定，所以采样定理在计算机控制系统中的应用还不能从理论上得出确定各种类型系统采样周期的统一公式。
目前应用都是根据设计者的实践与经验公式，由系统实际运行实验最后确定。
显然，采样周期取最小值，复现精度就越高，也就是说“越真”。
当T 0时，则计算机控制系统就变成连续控制系统了。
若采样周期太长。
3采样过程与保持器特性
采样过程采样周期的选取与保持器特性1、理想脉冲采样首先介绍一种虚拟的采样器：理想脉冲采样器（也叫脉冲采样器）。
其输入输出关系如下图：该采样器的输入是连续信号（设为)t (x ），输出是一个理想脉冲序列（记作x *(t)），采样周期为T ，每个脉冲的强度等于连续信号在对应时刻的值。
比如，在时刻kT t =，脉冲等于 )kT t ()kT (x -δ。
这样，采样信号x *(t)可以表示为：x *(t)=∑∞=-δ0k )kT t ()kT (x （假设0t <时0)t (x =）—— (1)如果定义单位脉冲序列函数∑∞=-δ=δ0k T )kT t ()t (则采样输出就等于输入信号)t (x 与)t (T δ的乘积。
因此，脉冲采样器可以看作是一个调制器，如下图，其输入调制信号为)t (x ，载波信号是)t (T δ，输出为脉冲采样信号x *(t)。
注意，这里的脉冲采样器是为了数学描述的方便而虚构的，在现实世界中是不存在的。
对（1）式取 Laplace 变换：如果我们定义 z e Ts = 或者 z ln s 1=则有 ∑∞=-=*=0k k z ln s z )kT (x )s (X T 1 ——（2） 该式右边就是)t (x 的z 变换式，即)z (X )]t (x [Z z )kT (x )z ln (X )s (X 0k k T 1z ln s 1====∑∞=-*=*思考题：以上的理想脉冲采样过程是虚拟的，实际采样控制中的采样过程与此有何异同。
2、保持器的数学描述关于保持器，通常的说法是：在采样控制系统中，保持器是将离散的采样信号转换为连续信号的装置。
这样的解释是非常直观和粗略的。
目前我们关于保持器的认识应该是基于这样一个事实：我们将连续的信号离散化后，如果能够由这个离散信号再次完全地恢复原来的连续信号，那么离散化不会给系统带来任何问题。
在采样器后边添加保持器的目的就是恢复采样前的连续信号。
零阶保持器
从频域看是把由于采样离散化而产生的高频分量 滤去，而将采样函数的离散频谱恢复成连续函数的主 频谱分量。
连续系统离散化过程
信号重构器不是理想的滤波器会给信号带来幅 值的衰减和相位的延迟，故：
用Z变换方法求脉冲传递函数
Gz
Y U
z z
Z
Gh
s
Gs
若G(s)=k
s a
，采用零阶保持器，则Gh
s
1
eTs s
Gz
Z
1
esT s
s
k
a
z
1 z
Z
k
ss
a
z
1 z
Z
k a
1 s
s
1
a
k a
z
1 z
z
z 1
z
z eaT
Байду номын сангаас
k 1 eaT a z eaT
利用Z逆变换求得其差分方程模型：
t
X t tx0 t BU d
其中
0
t eAt L1 sI A 1
求通解的方法2：
通过展开 d eAtxt 求 xt 的通解： dt
d eAt xt AeAt xt eAt xt eAt Axt xt eAt But
dt
上式两边从 t0到 t 积分可得
t
eAt xt eAt0 xt0 eA Bu d
1 s2
eTs
由Z变换的线性性质和位移定理可得
Gz
Tz
z 12
1 z
信号采样原理
6.2 信号采样与保持采样器与保持器是离散系统的两个基本环节，为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的采样过程和保持过程加以描述。
6.2.1 信号采样在采样过程中，把连续信号转换成脉冲或数码序列的过程，称为采样过程。
实现采样的装置，称为采样开关或采样器。
如果采样开关以周期T 时间闭合，并且闭合的时间为τ，这样就把一个连续函数变成了一个断续的脉冲序列，如图6-3(b)所示。
()e t *()e t 由于采样开关闭合持续时间很短，即T τ<<，因此在分析时可以近似认为0τ≈。
这样可以看出，当采样器输入为连续信号时，输出采样信号就是一串理想脉冲，采样瞬时的脉冲等于相应瞬时的值，如图6-3(c) 所示。
()e t *()e t ()et图6-3 信号的采样根据图6-3(c)可以写出采样过程的数学描述为*()(0)()()()()()e t e t e T t T e nT t nT δδδ=+−++−+L L )−nT (6-1) 或 (6-2) *()()()()(δδ∞∞=−∞=−∞=−=∑∑n n e t e nT t nT e t t nT 式中，是采样拍数。
由式（6-2）可以看出，采样器相当于一个幅值调制器，理想采样序 n 列可看成是由理想单位脉冲序列对连续量调制而形成的，如图 *()e t ()()δδ∞=−∞=−∑T n t t 6-4所示。
其中，()T t δ是载波，只决定采样周期，而为被调制信号，其采样时刻的值决定调制后输出的幅值。
()e t ()e nT图6-4 信号的采样6.2.2 采样定理一般采样控制系统加到被控对象上的信号都是连续信号，那么，如何将离散信号不失真地恢复到原来的形状，便涉及采样频率如何选择的问题。
采样定理指出了由离散信号完全恢复相应连续信号的必要条件。
由于理想单位脉冲序列()T t δ是周期函数，可以展开为复数形式的傅氏级数()ωδ+∞=−∞=∑s jn t T n n t c e (6-3)式中，T s /2πω=为采样角频率，T 为采样周期，是傅氏级数系数，它由下式确定n c /2/21()d ωδ+−−=∫s T jn t n T T c t e T t (6-4) 在]2,2[T T +−区间中，)(t T δ仅在0=t 时有值，且，所以1|0==−t t jn s e ω0011()d δ+−=∫n c t t T T= （6-5） 将式(6-5)代入式(6-3)，得 1()ωδ+∞=−∞=∑s jn t T n t e T （6-6） 再把式(6-6)代入式(6-2)，有*11()()()ωω+∞+∞=−∞=−∞==∑∑s s jn t jn t n n e t e t e e nT e T T （6-7） 将式（6-7）两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，得到∑+∞−∞=+=n sjn s E T s E )(1)(*ω (6-8) 令ωj s =，得到采样信号的傅氏变换 )(*t e *1()[()]ωωω+∞=−∞=+∑s n E j E j n T （6-9)式中，)(ωj E 为相应连续信号的傅氏变换，)(t e (j )E ω为的频谱。
零阶保持器离散化方法
零阶保持器离散化方法
1 简介
零阶保持器是一种能够将模拟信号转换为数字信号的电子电路，也是数字信号处理中最基本的模块之一。
离散时间的零阶保持器是数字系统中的一种基本模型，其输入输出方程描述了离散时域中的样本保持特性。
离散化是指将模拟信号在时间和幅度上离散成数字信号的过程，而离散化方法则是实现该过程的方式。
在该过程中，对于模拟信号采样的时间间隔越短，离散化得到的数字信号就越接近于原始信号。
2 离散化方法
离散化方法通常使用的是以一定时间间隔进行采样的数字信号，具体的实现方式包括：
2.1 采样-保持-量化方法
将模拟信号首先经过采样器的采样作用，采样得到的模拟信号将会通过保持器保持一段时间来进行保持，然后再使用量化电路量化为离散的数字信号。
2.2 零阶保持器离散化方法
实现该方法需要对模拟信号进行离散化，将连续的模拟信号转换为等效离散的数字信号。
在该方法中，模拟信号经过采样后，需将其通过一个零阶保持器，保持一段时间再进行量化。
零阶保持器离散化
方法的主要特点是保持器的输入信号在保持期内不发生变化，此时输出信号等于输入信号。
因此，保持器输出的就是经过采样、保持和保持周期结束的那一瞬间的输入信号，从而实现了数字信号的离散化。
3 总结
在科学技术日新月异的今天，离散时间系统在实际应用中越来越普遍。
实现数字系统的离散化需使用适当的离散化方法，而零阶保持器离散化方法是其中一种可靠高效的实现方法。
在实际应用中，使用适当的离散化方法可以有效地提升数字系统的工作效率，同时也有助于提高数字系统的运行稳定性。
零阶保持函数
零阶保持函数零阶保持函数是指输出与输入之间没有任何时间延迟，因此输出与输入信号是完全一致的。
在信号处理领域中，零阶保持函数扮演着非常重要的角色，因为它能够帮助处理信号，并使其保持其原始形态。
在本文中，我们将深入探讨零阶保持函数的作用、特点及其应用。
一、零阶保持函数的定义零阶保持函数（或“零阶保持器”）是一种信号处理器件，其输出信号与输入信号之间的关系非常简单。
它接收来自信号源的输入信号，并立即将该信号以与输入信号等效的方式输出。
这意味着输出信号的幅度和形态与输入信号相同，而且没有任何时间延迟。
二、零阶保持函数的特点1. 零阶保持函数不引入延迟：单纯的零阶保持函数并不引入任何时间延迟，因此它可以帮助输入信号保持其原始形态。
2. 稳态误差为零：由于零阶保持函数保留输入信号的所有特征，因此它不会引入任何稳态误差。
3. 无需外部电源：作为一个被动的器件，零阶保持函数不需要外部电源来工作，它的全部能量都来自输入信号。
4. 线性特性：零阶保持函数具有线性传输特性，这意味着其输出信号与输入信号之间的关系是线性的。
三、零阶保持函数的应用零阶保持函数广泛应用于各种数字信号处理应用中，具有如下应用：1. 时间量化：零阶保持函数可以将连续时间信号转换为离散时间信号，这在数字信号处理中非常有用。
2. 数字滤波器：零阶保持器可以用作数字滤波器，帮助去除输入信号中的高频或低频噪声。
3. 采样保持器：零阶保持器也可以用作样本保持器，它可以在输入信号上“冻结”一段时间，从而允许输入信号在此时间段内保持不变。
4. 增益均衡器：零阶保持器可以用作增益均衡器，这有助于提高输入信号的幅度，并使其更适合进一步处理。
总之，零阶保持函数是信号处理中非常重要的一个组成部分，它可以用来处理各种类型的信号，并保持信号的原始形态。
零阶保持函数具有很多特点及其应用于各种应用，包括时间量化、数字滤波器、采样保持器和增益均衡器。
在实际应用过程中，我们需要结合具体的问题和信号特征来选择合适的零阶保持函数。
零阶保持器
保持器
信号的复现：把采样信号恢复为原来的连续信号 称为信号的复现。 零阶保持器（恒值外推）
保持器
一阶保持器（线性外推）
零阶保持器的输入输出信号 主要特点： 1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。 2、相位滞后。
gh (t ) 1(t ) 1(t T )
1 e jT Gh ( j ) Gh ( j ) Gh ( j ) j T sin(T / 2) Gh ( j ) Gh ( j ) T 2 T / 2
2
2 sin ( s ) j ( s ) Gh ( j ) e s ( s )
零阶保持器对系统的影响
1 e Ts Gh ( s ) s
e
Ts 2
小结
离散系统：系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码 系统类型 ：
采样系统 — 时间离散，数值连续 数字系统 — 时间离散，数值离散
A/D 字长足够 : D/A: 用 ZOH 实现 Shannon定理
t << T
等效为理想采样开关
e* (t ) e(t ) T (t )
2 s 2 h T规律 外推的保持器。
e(nT ) e[( n 1)T ] eh (t ) e(nT ) (t T ) T
nT t (n 1)T
一阶保持器的数学模型
1 2 1 g h (t ) 1(t ) t (t ) 2(t T ) t (t T ) 1(t 2T ) t (t 2T ) T T T 1 1 2 Ts 2 Ts 1 2Ts 1 2Ts Gh ( s) 2 e 2 e e 2 e s Ts s Ts s Ts
信号的采样与保持
nT (2 s )
n0
n0
e e nT (1s)
nT (2 s )
n0
n0
e nT (1 s )
n0
1
e T (1 s)
e 2T (1 s )
1
1 e T (1 s)
eTs eTs eT
e nT ( 2 s )
采样和数字控制技术与连续系统相比有以下特点：
1)、由数字计算机构成的数字校正装置效果比连续校 正装置好，而且由软件实现的控制规律、易于改变， 控制灵活。 2)、采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑 制噪声，从而提高了系统的抗干扰能力。 3)、允许采用高灵敏度的控制元件，提高系统的控制 精度。 4)、可以用一台计算机分时控制若干个系统，提高设 备的利用率。 5) 对于大延迟系统，可引入采样的方式稳定。
7-2 信号的采样与保持
1. 采样过程 2. 采样过程的数学描述 3. 香农采样定理 4. 采样周期的选取 5. 信号保持
2、采样过程的数学描述
(1)、采样信号的拉氏变换
对e*(t)进行拉氏变换，可得
E*(s)
L[e*(t)]
L
e(nT
)
(t
nT
)
e(nT)L (t nT)
cn
1 T
T / 2 (t )e jnst dt 1
T / 2
T
0
(t)dt
1
0
T
T
(t)
1 T
e
n
jn s t
《计算机控制技术》信号的采样与保持实验报告
《计算机控制技术》信号的采样与保持实验报告课程名称：计算机控制技术实验实验类型：设计型实验项目名称：信号的采样与保持实验一、实验目的和要求1.熟悉信号的采样与保持过程。
2.学习和掌握香农采样定理。
3.学习使用直线插值法还原信号。
二、实验内容和原理香农(采样) 定理若对于一个具有有限频谱|W|<W max的连续信号f(t)进行采样，当采样频率满足W s≥2W max时，则采样函数f∗(t)能无失真地恢复到原来的连续信号f(t)。
W max为信号的最高频率，W s为采样频率。
按照下图方式连接好实验箱，图中画“○”的线需用户在实验中自行接好，其它线系统已连好。
图1-1这里正弦波单元的“OUT”端输出周期性的正弦波信号，通过控制计算机及其接口单元的“ADC1”端输入,系统用定时器作为基准时钟(初始化为10ms)，定时采集“ADC1”端的信号，在中断服务程序中读入转换完的数字量，送到控制计算机及其接口单元，在“DAC1”端输出相应的模拟信号。
由于数模转换器有输出锁存能力，所以它具有零阶保持器的作用。
采样周期T=T k×10ms，通过修改T k 就可以灵活地改变采样周期，后面实验的采样周期设置也是如此。
程序的参考流程图如下图所示：图1-2信号的还原中应用香农定理从香农定理可知，对于信号的采集，只要选择恰当的采样周期，就不会失去信号的主要特征。
在实际应用中，一般总是取实际采样频率W s比2W max大，如：W s≥10W max。
但是如果采用插值法恢复信号，就可以降低对采样频率的要求，香农定理给出了采样频率的下限，但是用不同的插值方法恢复信号需要的采样频率也不相同。
直线插值法(取W s≥5W max)利用下面的公式在点(X0,Y0)和点(X1,Y1)之间插入点(X,Y)Y=Y0+K(X−X0)其中：K=Y1−Y0X1−X0X1−X0为采样间隔，Y1−Y0分别是X1和X0采样时刻的AD采样值。
本实验的连接图与图1-1一致。
信号的采样与保持
控制过程 流量 压力 液面 温度
成分
采样周期(s)
1 5 5 20
20
四、信号保持
信号保持是指将离散信号-脉冲序列转换成连续信号的过程。用于这种转换的元件 为保持器。它的任务是解决各采样点之间的插值问题，最常用的是零阶保持器。
e(t) tnT e(nT) e*(nT) n 0,1,2,
τ)
e(nTs
)
e(nTs
)e[(n-1)Ts Ts
]
τ
τ t - nT0 ,
nT0 t (n 1)T0
可以认为，理想采样器的输出信号e*(t)是输入连续信号e(t)调制在载波δT(t)上的 结果。
假设当t＜0时e(t)＝0，如用数学形式描述上述调制过程，则有
单位理想脉冲序列eδ*T((tt))的表e达(t式)δ (T ) T
其中δ(t－nT)是出现在时刻t＝nT时，强度为1的单位脉冲，将上式展开写成
δT (T ) δ(t nT)
δ(t)经调制所得到理想脉冲n序0 列e*(t)可表示为
δ (T) δ(t) δ(t T) δ(t 2T) δ(t nT) T
e* (t) e(t)δ (T ) T e(0)δ(t) e(T)δ(t T) e(2T)δ(t 2T) e(nT)δ(t nT) e(nT)δ(t nT) n0
T
Tm 2
(Tm 2T)
e* (jω)
1 T
e*[j(ω
nห้องสมุดไป่ตู้
nωs )]
三、采样周期的选取
s 2
m
| e( jω) |
信号的采 样和保持
持器具有外推作用，即保持器现时刻的输出信号取决于过去时刻采样信号值的外 推。实现外推常用的方法是采用多项式外推公式
f (kT t) a0 a1t a2t2 amtm
式中 t ——以kT为时间原点的时间坐标， t T ； a0 ，a1 ，a2 ， ，am ——系数，由过去各采样时刻的采样信号值 f (kT ) ，
进f (行t) 频谱分析，观察频谱混叠的影响。
1.2 采样过程
在数字控制系统中，数字计算机输出的是数字序列的采样信号，需要经过数－ 模转换器（D/A），将它变成连续的控制信号以驱动控制装置。这种将采样信号变 为连续信号的过程称为复现或保持，用于复现信号的装置则称为保持器。
为了从采样信号复现出连续信号，需要解决两个问题：第一，理论上能否从采 样信号恢复到原连续信号？或者说，是否包含了 的全部信息？第二，实际应采用什 么样的保持器？
f (k 1)T ，f (k 2)T ， 确定。
工程上一般按外推公式的第一项或前两项组成外推装置。只按第一项组成的
外推装置，因其所用外推多项式是零阶的，故称为零阶保持器；同理，按前两项 组成的外推装置称为一阶保持器。其中应用最广泛的是零阶保持器，其外推公式
为
f [(kT t)] a0
由于T 0 时上式也成立，所以 a0 f (kT ) ，从而得到
连续信号经采样后变成脉冲序列信号，其频谱中除原信号的频谱外， 还有无限多个在采样过程中产生的高频频谱。因此，为了从采样信号复现 出原连续信号，而又不使上述高频分量进入系统，应在采样开关后面串联 一个滤波器，它的功能是滤去高频分量，而无损失地保留原信号频谱。能 使采样信号不失真地复现为原连续信号的滤波器应具有理想的矩形频率特 性，如图：
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8－2 信号的采样和复现的数学描述
一、 采样过程
所谓理想采样，就是把一个连续信号)(t e ，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得
到一串脉冲序列信号)(t e *。
可见在采样瞬时，)(t e *
的脉冲强度等于相应瞬时)(t e 的幅值，即
)0(T e ,)1(T e ,)2(T e ,…)(nT e ，…如图8－8所示。
因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，
如图8－9所示。
采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列)(t T δ作为幅值调制器的载波信号，)(t T δ的数学表达式为
∑∞
∞
==
-n nT)-(t )(δδt T
(8－1)
其中=n 0,±1,±2,…
)(t e 调幅后得到的信号，即采样信号)(t e *为
∑∞
-∞=*
-==n T nT t t e t t e t e )()()()()(δδ
(8－2)
通常在控制系统中，假设当0<t 时，信号0)(=t e ，因此
+-+-+=*)2()2()()()()0()(T t T e T t T e t e t e δδδ
+-+)()(nT t nT e δ
(8－3)
或
∑∞
=*
-=0
)()()(n nT t nT e t e δ
(8－4)
式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的)(nT t -δ表示脉冲出现的时刻；而)(nT e 代表这一时刻的脉冲强度。
式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。
然而，一个值得提出的问
题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全
部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。
下面我们将从频率域着手研究这个问题。
二、 采样信号的频谱
假设连续信号)(t e 的富氏变换式为)(ωj E ，采样后信号*
()e t 的富氏变换式用*
()E j ω表示，下面我
们来看)(ωj E *
的具体表达式。
由于理想脉冲序列)(t T δ是一个周期函数，其周期为T ，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即
∑∞
-∞
==
n t
jn T s e
T
t ωδ1
)( （8－5）
其中T s πω2=为采样角频率。
将式(8－5)的结果代入(8－2)式得
∑∞
-∞
=*
==n t jn T s e t e T t t e t e ωδ)(1)()()(
（8－6）
根据复位移定理；若[()]()F e t E j ω=，则
[()]()at F e t e E j a ω
±=
因此，式(8－6)的富氏变换式为
∑∞
-∞
=*
*
-==n s jn j E T j E t e F )(1)()]([ωωω (8－7)
假定连续信号)(t e 的频谱如图8－10(a )所示，则根据式(8－7)可得采样(离散)信号)(t e *
的频谱如图8－10(b )所示。
由图8－10，可得到如下结论：
(1)0=n 的项为
)(1
ωj E T
，通常称为基本频谱。
它正比于原连续信号)(t e 的频谱。
(2) 同时派生出以s ω为周期的，无限多个高频频谱分量
)(1
s jn j E T
ωω-，其中=n ±1， ±2,…。
h
以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。
从富氏变换及其反变换的有关定理可
知，在一定条件下，原函数)(t e 与其富氏变换式)(ωj E 是一一对应的，亦即由富氏变换式)(ωj E 可以唯一地还原成原函数)(t e 。
可以设想，如果让采样信号通过一个图8－11所示的理想滤波器，将所有派生出来的高频分量全部滤掉，而同时保留其基本频谱信号。
那么经过这样处理后的信号，只要将其幅值放大T 倍，就能完全重现原信号。
由图8－10不难看出，要想完全滤掉高频分量，筛选出基本频谱，从而根据采样信号)(t e *
来复现采
样前的连续信号)(t e ，采样频率s ω必须大于或等于连续信号)(t e 频谱中最高频率max ω的两倍，即
max 2ωω≥s
(8－8)
这就是有名的香农(Shannon)采样定理。
这一定理告诉我们，只要采样频率足够高，我们完全不必担心采样
过程会损失任何信息。
由图8－10也可看出，若采样频率不够高，即max 2ωω<s 时，则将会出现如图8－12所示的频谱重
叠现象。
很明显，这时，我们就无法再把基本频谱和派生高频频谱分开；从而，也就无法重现原信号，或者说，采样过程将损失信息。
另外，需要指出的是，如图8－11所示的理想滤波器，实际上是不存在的。
因此在工程上，通常采用性能与理想滤波器相近似的低通滤波器，其中最常用的低通滤波器就是零阶保持器。
三、 零阶保持器的数学模型
零阶保持器的输入、输出关系如图8－13所示。
因此，零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT 时刻的采样信号值一直保持到第T n )1(+时刻的前一瞬时，把第T n )1(+时刻的采样值一直保持到
T n )2(+时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列)(t e *变成一个连续的阶梯信号)(t e h 。
因为在每一个采
样区间内)(t e h 的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器，可用“ZOH ”来表示。
如果把阶梯信号)(t e h 的中点连起来，则可以得到与)(t e 形状一致而时间上迟后半个采样周期)2(T
的响应曲线)2
(T
t e -，如图8－13中的虚线所示。
由此也可初步估计到零阶保持器对于系统动态性能的影响。
为了求取零阶保持器(ZOH)的数字模型，可以从图8－13中任取一个采样周期来进行分析。
零阶保持
器的输入是脉冲函数，为了叙述方便，假设脉冲强度为1，即为单位脉冲函数，于是零阶保持器的输出就是单位脉冲过渡函数，该单位脉冲过渡函数的拉氏变换式，即为零阶保持器的传递函数。
零阶保持器的单位脉冲过渡函数的图形是高度为1，宽度为T 的矩形波，如图8－14(a )所示。
为了求
其拉氏变换式，可以把它分解成两个阶跃函数之和，如图8－14(b )所示。
于是，脉冲过渡函数可表示为
)(1)(1)(T t t t y --=
相应的拉氏变换式为
s
e e s s s Y Ts
Ts ---=-=111)(
这就是零阶保持器的传递函数，即
s
e s G Ts h --=1)(
(8－9)
而零阶保持器的频率特性为
22
)
2sin(1)(T T T T j e j G T j h ωωωωωω-∠=-=-
其频率特性曲线如图8－15所示。
与理想滤波器图8－11相比较，可见，两者都能起低通滤波作用。
不过
零阶保持器的频率特性不很理想。
信号经过零阶保持器以后，其高频分量不能完全滤掉。
此外，零阶保持器具有2T ω的相角迟后。
因此，零阶保持器的引入将会使系统的稳定性变差。
零阶保持器的一个优点是，可以近似地用无源网络来实现。
如
果将零阶保持器传递函数中的Ts
e 项展开成幂级数，并取前两项，则有
1
11111111)(+=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-Ts T
Ts s e s s e s G Ts Ts h 这是就图8－16所示RC 网络的传递函数。