信号采样及零阶保持器

8－2 信号的采样和复现的数学描述

一、 采样过程

所谓理想采样，就是把一个连续信号)(t e ，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得

到一串脉冲序列信号)(t e *

。可见在采样瞬时，)(t e *

的脉冲强度等于相应瞬时)(t e 的幅值，即

)0(T e ,)1(T e ,)2(T e ,…)(nT e ，…如图8－8所示。因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，

如图8－9所示。采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列)(t T δ作为幅值调制器的载波信号，)(t T δ的数学表达式为

∑∞

∞

==

-n nT)-(t )(δδt T

(8－1)

其中=n 0,±1,±2,…

)(t e 调幅后得到的信号，即采样信号)(t e *为

∑∞

-∞=*

-==n T nT t t e t t e t e )()()()()(δδ

(8－2)

通常在控制系统中，假设当0

+-+-+=*)2()2()()()()0()(T t T e T t T e t e t e δδδ

+-+)()(nT t nT e δ

(8－3)

或

∑∞

=*

-=0

)()()(n nT t nT e t e δ

(8－4)

式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的)(nT t -δ表示脉冲出现的时刻；而)(nT e 代表这一时刻的脉冲强度。

式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。然而，一个值得提出的问

题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全

部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。下面我们将从频率域着手研究这个问题。

二、 采样信号的频谱

假设连续信号)(t e 的富氏变换式为)(ωj E ，采样后信号*

()e t 的富氏变换式用*

()E j ω表示，下面我

们来看)(ωj E *

的具体表达式。

由于理想脉冲序列)(t T δ是一个周期函数，其周期为T ，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即

∑∞

-∞

==

n t

jn T s e

T

t ωδ1

)( （8－5）

其中T s πω2=为采样角频率。

将式(8－5)的结果代入(8－2)式得

∑∞

-∞

=*

==n t jn T s e t e T t t e t e ωδ)(1)()()(

（8－6）

根据复位移定理；若[()]()F e t E j ω=，则

[()]()at F e t e E j a ω

±=

因此，式(8－6)的富氏变换式为

∑∞

-∞

=*

*

-==n s jn j E T j E t e F )(1)()]([ωωω (8－7)

假定连续信号)(t e 的频谱如图8－10(a )所示，则根据式(8－7)可得采样(离散)信号)(t e *

的频谱如图8－10(b )所示。 由图8－10，可得到如下结论：

(1)0=n 的项为

)(1

ωj E T

，通常称为基本频谱。它正比于原连续信号)(t e 的频谱。

(2) 同时派生出以s ω为周期的，无限多个高频频谱分量

)(1

s jn j E T

ωω-，其中=n ±1， ±2,…。h

以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。从富氏变换及其反变换的有关定理可

知，在一定条件下，原函数)(t e 与其富氏变换式)(ωj E 是一一对应的，亦即由富氏变换式)(ωj E 可以唯一地还原成原函数)(t e 。可以设想，如果让采样信号通过一个图8－11所示的理想滤波器，将所有派生出来的高频分量全部滤掉，而同时保留其基本频谱信号。那么经过这样处理后的信号，只要将其幅值放大T 倍，就能完全重现原信号。

由图8－10不难看出，要想完全滤掉高频分量，筛选出基本频谱，从而根据采样信号)(t e *

来复现采

样前的连续信号)(t e ，采样频率s ω必须大于或等于连续信号)(t e 频谱中最高频率max ω的两倍，即

max 2ωω≥s

(8－8)

这就是有名的香农(Shannon)采样定理。这一定理告诉我们，只要采样频率足够高，我们完全不必担心采样

过程会损失任何信息。

由图8－10也可看出，若采样频率不够高，即max 2ωω

叠现象。很明显，这时，我们就无法再把基本频谱和派生高频频谱分开；从而，也就无法重现原信号，或者说，采样过程将损失信息。另外，需要指出的是，如图8－11所示的理想滤波器，实际上是不存在的。因此在工程上，通常采用性能与理想滤波器相近似的低通滤波器，其中最常用的低通滤波器就是零阶保持器。

三、 零阶保持器的数学模型

零阶保持器的输入、输出关系如图8－13所示。因此，零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT 时刻的采样信号值一直保持到第T n )1(+时刻的前一瞬时，把第T n )1(+时刻的采样值一直保持到

T n )2(+时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列)(t e *变成一个连续的阶梯信号)(t e h 。因为在每一个采

样区间内)(t e h 的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器，可用“ZOH ”来表示。

如果把阶梯信号)(t e h 的中点连起来，则可以得到与)(t e 形状一致而时间上迟后半个采样周期)2(T

的响应曲线)2

(T

t e -，如图8－13中的虚线所示。由此也可初步估计到零阶保持器对于系统动态性能的影响。