一次方程与方程组专题复习

变式2-1
(2016泰安)某学校是乒乓球体育传统项目学校,为进
一步推动该项目的开展,学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横 拍球拍若干副,并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球,乒乓球的 单价为2元,若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9 000元;购 买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1 600元.求两种球拍 每副各多少元.
知识点二
一元一次方程及其解法
一个 未知数,并且含有未知数 整式 的方
1.一元一次方程:只含有④ 的项的次数都是⑤ 1
,等号两边都是⑥
程叫做一元一次方程.一元一次方程的一般形式是
⑦
ax+b=0(a≠0)
.
2.解一元一次方程的步骤 (1)去分母:方程的两边同乘分母的最小公倍数,注意不要漏乘不 含分母的项; (2)去括号:注意括号前是负号时,去掉括号后,原来括号内的每一 项都要改变符号; (3)移项:将含有未知数的项移到方程一边,常数项移到另一边,注 意移项要改变符号; (4)合并同类项:化方程为ax=b(a≠0)的最简形式; (5)未知数的系数化为1:方程两边同除以未知数的系数,得到未知 数的值,注意分子、分母不要颠倒.
方法技巧
方程(组)的解一定适合原方程(组),把方程(组)的
解代入原方程(组)得到关于未知数的方程(组),进而求出未知数
的值及关于未知数的代数式的值.
考点二
例2
一次方程(组)的应用
(2018泰安)夏季来临,某超市试销A、B两种型号的风扇,两
周内共销售30台,销售收入5 300元,A型风扇每台200元,B型风扇 每台150元,则A、B两种型号的风扇分别销售了多少台?若设A型
x 5, ① 是方程组的解; y 1
②当a=-2时,x,y的值互为相反数;
③当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a的解;
④若x≤1,则1≤y≤4. 其中正确的是 ②③④ (填写序号即可).
解析 解原方程组得x=1+2a,y=1-a,∵-3≤a≤1,∴-5≤x≤3,0≤y ≤4.∴结论①错误;当a=-2时,x=1+2a=-3,y=1-a=3,x,y的值互为相 反数,结论②正确;当a=1时,x+y=2+a=3,4-a=3,方程x+y=4-a两边相 等,结论③正确;当x≤1时,1+2a≤1,解得a≤0,且-3≤a≤1,∴-3≤
变式2-2
(2017肥城模拟)在肥城中学举行的“我爱祖国”征文
活动中,七年级和八年级共收到征文118篇,且七年级收到的征文 篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,求七年级收到的 征文有多少篇.
x 2 解析 设八年级收到的征文有x篇,则七年级收到的征文有 2 x x 2 篇,根据题意列方程得x+ =118, 解得x=80,所以 -2=38. 2 2
a≤0,∴1≤1-a≤4,∴1≤y≤4,结论④正确,所以正确的为②③④.
变式1-3
x y 1, 解方程组 4 x y 8.
x y 1①, 解析 ②-①得3x=-9,解得x=-3, 4 x y 8②, x 3, 把x=-3代入①中,得y=4,即方程组的解为 y 4.
解析 设直拍球拍每副x元,横拍球拍每副y元,由题意得,
20( x 20) 15( y 20) 9 000, 5( x 20) 1 600 10( y 20), x 220, 解得 y 260.
答:直拍球拍每副220元,横拍球拍每副260元.
或存在倍数关系时,一般采用加减消元法.
x y 3, x a, 例1 (2018枣庄)若二元一次方程组 3 的解为 x 5 y 4 y b, 7 则a-b = 4 .
解析
①+②,得4a-4b=7,
7 则a-b= , 4 7 故答案为 . 4
所得的结果仍是等式.即如果a=b,那么a ± c =b ± c; 性质2:等式两边都② 乘(或除以)同一个不为0 的数(或式
子),所得的结果仍是等式.即如果a=b,
a b 那么ac = bc , = (c≠0). c c
2.方程:含有未知数的③
等式
叫做方程.
3.方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 4.解方程:求方程的解的过程叫做解方程.
个二元一次方程组的解.
4.二元一次方程组的解法:解二元一次方程组的基本思想是 消元 ,方法一般有 代入 消元法和加减消元法.
知识点四
三元一次方程组的解法
1.三元一次方程组:含有三个未知数的一次方程组叫做三元一次 方程组. 2.三元一次方程组的解:三元一次方程组中方程的公共解,叫做这
个三元一次方程组的解.
3.三元一次方程组的解法:三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程.
ห้องสมุดไป่ตู้识点五
一次方程(组)的应用
1.列一次方程(组)解决实际问题的一般步骤 (1)审:审清题意,分清题目中的已知量和未知量; (2)设:设未知数,可直接设也可间接设; (3)列:找出适当的等量关系,列方程(组); (4)解:解方程(组); (5)验:检验所得答案是否正确以及是否符合题意; (6)答:规范作答.
风扇销售了x台,B型风扇销售了y台,则根据题意列出方程组为
(
x y 5 300 A. 200 x 150 y 30 x y 30 C. 200 x 150 y 5 300
C
)
x y 5 300 B. 150 x 200 y 30 x y 30 D. 150 x 200 y 5 300
变式1-4
3x y 2, 解方程组 5 x 2 y 7.
3x y 2, ① 解析 5 由①得y=3x-2,将y=3x-2代入②中得5x+2(3x x 2 y 7, ② x 1, -2)=7,解得x=1,所以y=1,所以方程组的解为 y 1.
答:七年级收到的征文有38篇.
方法技巧
1.列方程(组)解应用题的关键是准确找出题目中的
相等关系,正确列出方程(组). 2.设未知数可以采用直接设法也可以采用间接设法. 3.要根据应用题的实际意义检验求得的解是否符合题意,不符合 题意的要舍去
随堂巩固训练
一、选择题 1.(2017东平一模)方程2x+3=7的解是 ( A.X =5 C.X =3.5 B.x =4 D.x =2 D )
解法二:
3 3 a , a , 2 解得 2 故答案为 b 1 . b 1 . 2 2
4.(2017泰山二模)王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若 干袋,分给朋友们品尝,如果每人分5袋,还余3袋;如果每人分6袋, 还差3袋,则王经理带回孔明菜 解析 设王经理分给了x个朋友, 由题意得5x+3=6x-3,解得x=6, ∴5x+3=33(袋), 故王经理带回孔明菜33袋. 33 袋.
一次方程与方程组专题复习
基础知识过关
知识点一 等式的基本性质及方程的相关概念
知识点二
知识点三 知识点四 知识点五
一元一次方程及其解法
二元一次方程(组)及其解法 三元一次方程组的解法 一次方程(组)的应用
知识点一
等式的基本性质及方程的相关概念
1.等式的基本性质 性质1:等式两边都① 加上(或减去) 同一个数(或式子),
知识点三
二元一次方程(组)及其解法
两个
的⑩
1.二元一次方程:方程中含有⑧
知数的项的次数都是⑨ 1
未知数,并且含有未
整式方程 叫做二
元一次方程.二元一次方程的一般形式是ax +by +c =0(a、b、c
是常数,且a≠0,b≠0).
2.二元一次方程组:含有两个未知数的一次方程组叫做二元一次 方程组. 3.二元一次方程组的解:二元一次方程组中方程的公共解叫做这
适的等量关系设未知数,根据等量关系列方程(组).
考点聚焦
考点一 考点二 方程(组)的解 一次方程(组)的应用
考点一
方程(组)的解
中考解题指导 根据二元一次方程组的特点,选择适当的方法解
方程组.(1)方程中有一个未知数的系数为1或-1时,一般采用代入 消元法.(2)当两个方程中的某个未知数的系数相同或互为相反数
a b 3 ①, x a, x y 3, 将 代入方程组 得 y b 3 x 5 y 4, 3a 5b 4②,
变式1-1 已知关于x,y的方程x ,n的值分别是 ( A.1,-1 B.-1,1 A )
2m-n-2
+4y
5.(2017新泰一模)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm 的矩形.设矩形的一边长为x cm,则可列方程为
2
x(20-x)=64
.
解析 因为矩形的一边长为x cm,则该边的邻边长为(20-x)cm,因 为矩形的面积为64 cm ,所以x(20-x)=64.
2
三、解答题
6.某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如下表所示:
m+n+1
=6是二元一次方程,则m
1 4 C. ,- 3 3
1 4 D.- , 3 3
解析
2m n 2 1, m 1, 根据二元一次方程的定义可得 解得 m n 1 1, n 1.
变式1-2 下列结论:
x 3 y 4 a, 已知关于x,y的方程组 其中-3≤a≤1,给出 x y 3 a ,
2.应用题中的常见题型及其基本数量关系
常见题型 利润问题 基本数量关系 利润=售价-进价 利润率=利润/成本×100% 利息问题 工程问题 行程问题 顺水逆水 利息=本金×利率×期数 工作量=工作效率×工作时间 路程=速度×时间 顺水速度=水速+静水速度 逆水速度=静水速度-水速