导数及其应用周练练习题(有详细答案)

任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)
'(0)f f 的最小值为
A ．3
B ．52
C ．2
D ．32
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
11.函数sin x y x
=的导数为_________________ 12、已知函数2
23
)(a bx ax x
x f +++=在x=1处有极值为10，则
f (2)等于____________. 13．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 14．已知函数3
()f x x
ax
=+在R 上有两个极值点，则实数a 的
取值范围是 15. 已知函数
)
(x f 是定义在R 上的奇函数，0
)1(=f ，
)
()(2
>-'x
x f x f x ）（0>x ，则不等式 0
)(2>x f x 的解集是
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．
17. 已知函数3
()3f x x x =-.
（Ⅰ）求)2(f '的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.
18. 设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3
.
（1）求)(x f 的单调区间和极值；
（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.
（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.
19. 已知1x =是函数3
2
()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中
,,0m n R m ∈<
（1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间； （3）当[1,1]x ∈-，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜
率恒大于3m ，求m 的取值范围。

20. 已知函数2
()ln .
f x x ax bx =--
（I ）当1a =-时，若函数()f x 在其定义域内是增函数，求b
的取值范围；
（II ）若()f x 的图象与x 轴交于1
2
1
2
(,0),(,0)()A x B x x x <两点，且
AB 的中点为0
(,0)C x ，求证：0
'()0.f x <
21. 已知函数
2
(),()2ln (x f x g x a x e
e
==为自然对数的底数）
（1）求()()()F x f x g x =-的单调区间，若()F x 有最值，请求出最值；
（2）是否存在正常数a ，使()()f x g x 与的图象有且只有一
个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。

高二数学《导数及其应用》参考答案
一、选择题：
二、填空题： 11.
2
cos sin 'x x x
y x -=
；12. 18 13.
3
6
+π
；
14.}0|{<a a ； 15.),1()0,1(+∞- 三、解答题
16. [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π
4
)＋1
(0<x <2π)
令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－2
2，
解之得x ＝π或x ＝3
2
π.
x ，f
∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(3
2
π，2π)单调减区间
为(π，3
2
π)．
f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (32π)＝3π
2
.
17. 解：（Ⅰ）33(2
-='x x f ），所以9)2(='f .
（Ⅱ）2
()33f x x '=-，
解()0f x '>，得1x >或1x <-. 解()0f x '<，得11x -<<.
所以(,1)-∞-，(1,)+∞为函数()f x 的单调增区间，(1,1)-为函数()f x 的单调减区间. 18. 解:（1）
2
,2,0)(),2(3)(212=-=='-='x x x f x x f 得令 …………………1分
∴当22()0;22,()0
x x f x x f x ''<->>-<<<或时,当时，…………………
2分
∴)(x f 的单调递增区间是(,2)(2,)
-∞-
+∞和，单调递减区间是
)
2,2(-……3分
当2
45)(,2+-=有极大值x f x ；当2
45)(,2-=
有极小值x f x (4)
分
（2）由（1）可知)(x f y =图象的大致形状及走向（图略） ∴当)
(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交
点，……6分
即
当
542542
a -<<+时方程
α
=)(x f 有三
解. …………………………………7分 （3）)
1()5)(1()1()(2
-≥-+--≥x k x x x x k x f 即
∵
)
,1(5,12+∞-+≤∴>在x x k x 上恒成
立. …………………………………………9分 令5)(2
-+=x x x g ，由二次函数的性质，),1()(+∞在x g 上是增函数，
∴,3)1()(-=>g x g ∴所求k 的取值范围是
3
-≤k ……………………………………12分
19. 解：（1）2
'()36(1).f x mx
m x n =-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点.所以'(1)0f =
即36(1)0,m m n -++=所以36n m =+
（2）由（1）知，22
'()36(1)363(1)[(1)]f x mx m x m m x x m
=-+++=--+ 当0m <时，有2
11m
>+
，当x 为化时，()f x 与'()f x 的变化如下表：
故由上表知，当0m <时，()f x 在(,1)m -∞+单调递减，在(1,1)m
+单调递增，在(1,)+∞上单调 递减.
（3）由已知得'()3f x m >，即22(1)20mx m x -++>又0m <，所以222
(1)0x m x m m
-
++<，即222
(1)0,[1,1]x m x x m m
-
++<∈- 设212()2(1)g x x x m m =-++，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以
22(1)0120(1)010
g m m g ⎧
-<+++<⎧⎪⇒⎨
⎨<⎩⎪-<⎩ 解之得403m m -<<又所以4
03m -<<即m 的取值范围为4(,0)3-
20.（1）由题意：bx
x
x x f -+=2
ln )(，
)
(x f 在),0(+∞上递增，
∴021
)(≥-+=
'b x x x f 对),0(+∞∈x 恒成立，即x x
b 21+≤对),0(+∞∈x 恒成立，∴只需min
)21(x x
b +≤， 0
>x ，∴2221≥+x x
，当且仅当2
2
=x 时取“=”，∴22≤b ，∴b 的
取值范围为)
22,(-∞
（2）由已知得，⎩⎨⎧=--==--=0ln )(0ln )(2222212111bx ax x x f bx ax x x f ⇒⎩⎨⎧-=-=22
22
1
211ln ln bx ax x bx ax x ，两式相
减，得：
)())((ln
21212121x x b x x x x a x x -+-+=⇒])()[(ln 21212
1b x x a x x x x
++-=，
由b ax x
x f -+='21)(及2
10
2x x x
+=，得：
])([2
21)(22
11000b x x a x x b ax x x f ++-+=--=
'2111ln 1222x x x x x x +-+=
]ln )(2[12111122
2x x x x x x x x -+--=]
ln )1()
1(
2[1212
121
12x x x x x x x x -+--=，令)
1,0(2
1∈=x
x
t ，
且
t t t t ln 1
22)(-+-=ϕ)
10(<<t ，
0)
1()1()(2
2
<+--='t t t t ϕ，∴)(t ϕ在)1,0(上为减函
数，
∴0
)1()(=>ϕϕt ，又2
1
x x
<，∴0)(0
<'x f
21. 解：（1）
3222()
()()()(0)
x a x ea F x f x g x x e x ex
-'''=-=-=>
①当0,()0a F x '≤>时恒成立
()(0,)
F x +∞在上是增函数，()F x F 只有一个单调递增区间（0，
-∞），没有最值……3分 ②当0a >时，2(()
()(0)
x ea x ea F x x --=>，
若0x ea
<<，则()0,()(0,)
F x F x ea '<在上单调递减；
若x ea
>，则()0,()(
,)
F x F x ea '>+∞在上单调递增，
x ea
∴=当时，()F x 有极小值，也是最小值，
即min
()
()2ln ln F x F ea a a ea a a
==-=-…………6分
所以当0a >时，()F x 的单调递减区间为(0,)
ea
单调递增区间为(,)
ea +∞，最小值为ln a a -，无最大
值…………7分
（2）方法一，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，
则方程()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数()F x 有且只有
一个零点…………8分[来源:学_科_网] 由（1）的结论可知min
()ln 01
F x a a a =-==得…………10分
此时，2
()()()2ln 0
x F x f x g x x e
=-=-≥
min ()0
F x F ==
1,()()f g f x g x ∴==∴与
的图象的唯一公共点坐标为
又
()f e g ''==
(
)()
f x
g x ∴与
的图象在点处有共同的
切线， 其方程为1
y x -=
-，即1
y x =
-…………13分
综上所述，存在a 1=，使(
)()f x g x 与的图象有且只有一个公
共点，且在该点处的公切线方程为 1.
y x =
-…………
14分
方法二：设()f x 与g(x)图象的公共点坐标为0
(,)x y ，
根据题意得⎩⎨⎧==)
()()()(0'
0'00x f x f x g x f 即
20
0002ln 22x a x e x a e
x ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
由②得
20
x a e
=
，代入①得
021
ln ,2
x x =
∴=
从而
1
a =…………10分
此时由（1）可知min ()
F x F ==
0x x ∴>≠当且时，
()0,()()F x
f x
g x >>即 因此除0
x =外，再没有其它0
x ，使0
()()f x g x = (13)
分
故存在1a =，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，
且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标
为(,1)e，公切线方程为1
=-…………14分
y x
e。