薛定谔方程
-薛定谔方程
§12-6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后,薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后, 德拜(P.Debye)评论说:有了波,就应有一个波动方程。
几个月后,薛定谔果然提出了一个波方程,这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程,象牛顿方程一样,不能从更基本的方程推导出来,它是否正确,只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1)一维自由运动粒子(无势场)设:一维自由运动粒子,无势场,不受力,动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2)若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3)定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动,微观粒子的势能仅是坐标的函数,与时间无关,可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积,即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数,它所描写的粒子的状态称作定态,是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件,求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数,状态能量,概率密度等)。
薛定谔方程
薛定谔方程(英语:Schrodinger equation)是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1],被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间,专门用来计算一个量子系统的波函数,怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间,可以计算一个定态量子系统,对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算,在量子系统里,某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方,就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答,清楚地描述量子系统里,量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子,像电子、质子、正电子、等等,与一组相同或不相同的粒子,像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学,或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程,不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
[编辑]含时薛定谔方程虽然,含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上,我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里,一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中,是质量,是位置,是相依于时间的波函数,是约化普朗克常数,是位势。
类似地,在三维空间里,一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若,系统内有个粒子,则波函数是定义于-位形空间,所有可能的粒子位置空间。
用方程表达,。
其中,波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以,第个粒子的位置是。
[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间,又称为本征能量薛定谔方程,或定态薛定谔方程。
顾名思义,本征能量薛定谔方程,可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法,猜想的函数形式为;其中,是分离常数,是对应于的函数.稍回儿,我们会察觉就是能量.代入这猜想解,经过一番运算,含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程:。
薛定谔方程
v v v v ψ(r ,t) =c1 1(r ,t) +c2ψ2(r ,t) +⋅⋅⋅ = ∑ iψi (r ,t) ψ c
也是这个系统的一个可能的量子态。 也是这个系统的一个可能的量子态。
i
薛定谔方程是复数方程,因此它的解, ② 薛定谔方程是复数方程,因此它的解,即波函数 一般是复数。 一般是复数。
一、含时薛定谔方程 1. 自由粒子的含时薛定谔方程 自由粒子的波动性对应于平面波,因此, 自由粒子的波动性对应于平面波,因此,描述自由 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 量子力学中,自由粒子对应的平面波函数: 量子力学中,自由粒子对应的平面波函数:
2 2 2
∂ψ ih = Eψ ∂t
v −ih∇ = pψ ψ
−h ∇ ⇔p
2 2 2
∂ v ih ⇔E −ih∇⇔ p ∂t
箭头左边的符号作用于波函数等于箭头右边的物理 量乘以波函数。 量乘以波函数。 不考虑相对论效应, 动能与动量的关系: 不考虑相对论效应,则动能与动量的关系: 与动量的关系
p E= 2µ 2 p Eψ = ψ 2µ
v 波矢, 波矢 大小等于角波数,沿着波传播方向。 k——波矢,大小等于角波数,沿着波传播方向。
角频率。 角频率 ω ——角频率。
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
ω
2π 2π E 1 = hν = E = = 2πν = T h h h v v v v v k 2π k 2π h k 1 k k = k k = λ k = h λ k = h p k
《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件,即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1,以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程,通常表示为 U(t),其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符,即U(t)U*(t)=I,其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量,通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符,即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上,得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为,如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数,将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数,将薛定谔方程转化为变分问 题,然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程,如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型,用于描述粒子在一维空间中的 运动,其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中,它可以用来描述生物分子的结构和性质, 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数,通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t),其中r是 位置向量,t是时间。
02
波函数的性质
量子力学中的薛定谔方程
量子力学中的薛定谔方程在量子力学中,薛定谔方程是一个重要的基本方程,被广泛应用于描述微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程以奥地利物理学家埃尔温·薛定谔(Erwin Schrödinger)的名字命名,是量子力学的基石之一。
薛定谔方程描述了体系的波函数随时间演化的规律,通过求解该方程,可以获得粒子在空间中的波函数及其相应的能量。
薛定谔方程是一个线性偏微分方程,一般形式为:\[i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r}, t)\]其中,\[i\]表示虚数单位,\[\hbar\]为约化普朗克常数,\[\Psi(\mathbf{r}, t)\]是波函数,描述了粒子在空间中的分布情况随时间的变化。
方程右侧的\[\hat{H}\]是系统的哈密顿量(Hamiltonian),描述了体系的能量。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一,可以用来描述各种体系,包括原子、分子、固体和微观粒子等。
通过求解薛定谔方程,可以得到体系的波函数,波函数的模的平方代表了在某一时刻粒子出现在不同位置的概率分布。
由于薛定谔方程是一个偏微分方程,求解它需要考虑边界条件和初始条件。
对于简单的系统,如自由粒子,可以直接求解得到解析解。
但对于复杂的体系,如多电子原子或分子,一般需要采用数值方法进行求解。
量子力学的创立为描述微观世界的现象提供了全新的框架,薛定谔方程作为量子力学的基本方程,为我们理解微观粒子的行为和性质提供了强有力的工具。
通过求解薛定谔方程,我们可以预测和解释许多实验现象,如电子的能级结构、原子和分子的光谱等。
总结一下,薛定谔方程是量子力学中的基本方程,描述了体系的波函数随时间演化的规律。
通过求解薛定谔方程,我们可以获取体系的波函数及其相应的能量,从而揭示微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程在量子力学的发展中起到了重要的作用,为我们认识和理解微观世界提供了重要的框架。
薛定谔方程课件
2m
t
如势函数不是时间的函数,即 U U(r)
用分离变量法将波函数写为:
(r)
(r)f
(t)
代入薛定谔方程得:
1
2 2m
2
U(r)
i
f
1 (t)
f(t) t
16
1
2 2m
2
U(r)
i
f
1 (t)
f(t) t
方程左边只是空间坐标的函数,
右边只是时间的函数,
只有两边都等于一个常数等式才能成立。
i
Et
2
(r )
2
与时间无关
18
定义能量算符,动量算符和坐标算符
例:能量、动量和坐标算符对沿x方向传播
自由平面波波函数 的作用
19
利用对应关系得“算符关系等式” • 把“算符关系等式”作用在波函数上得 到 三维情况:
20
哈密顿量
粒子的总能量
若
称 为能量算符
用哈密顿量表示薛定谔方程
21
能量算符的本征值问题 本征值取分立值时的本征值问题 n —量子数 {E1,E2,….,En,….}—能量本征值谱
沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写, 其波函数为:
(
x,
t
)
e i 2
0
(t
x
)
h p
E h
(x,
t
)
0e
i
(
Et
px
)
3
考虑到自由粒子沿
r
方向传播的三维情况,
波函数可写为:
(r,
t)
0e
i
(
Et
pr
)
薛定谔方程形式解
薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程,它描述了微观系统在给定初始条件下的演化规律。
该方程的形式非常复杂,涉及到时间和空间的偏微分以及波函数等概念。
下面是对薛定谔方程形式解的一些说明:
1. 薛定谔方程的基本形式为:
- ihbar/tau粒*▽ψ(x, t) = Hψ(x, t)
其中,H是哈密顿量,ψ(x, t)是波函数,τ是时间演化参数。
这个方程表示,在给定初始条件下的波函数随时间的演化满足微分方程。
2. 波函数的求解依赖于具体的哈密顿量以及初始条件。
一般来说,我们可以通过分离变量等方法将波函数展开成一系列不同频率的谐波之和,从而得到波函数的解析解。
但是,对于一些复杂的哈密顿量,波函数的求解通常需要使用数值方法。
3. 薛定谔方程的解通常被称为波包,它描述了微观系统随时间的演化过程。
波包的形状和大小取决于初始条件和哈密顿量的性质。
对于一些简单的情况,例如一维无限深势阱或者谐振子等,我们可以得到一些具有实际意义的波包形状。
4. 薛定谔方程在量子力学中具有非常重要的地位,它描述了微观系统的波粒二象性以及量子叠加态等基本概念。
通过求解薛定谔方程,我们可以得到微观系统的量子态,从而对量子系统进行计算和控制。
5. 除了薛定谔方程本身,还有许多其他的量子力学方程和近似方法,例如狄拉克方程、海森堡方程、路径积分等。
这些方法在量子力学中都有重要的应用,可以解决不同类型的问题和计算任务。
总之,薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程,它描述了微观系统在给定初始条件下的演化过程。
通过对波函数的求解和计算,我们可以对量子系统进行深入的研究和实验控制。
薛定谔方程最简单的形式
薛定谔方程最简单的形式引言薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一,描述了量子系统的演化和行为。
它的最简单形式可以用来描述自由粒子的运动,本文将对薛定谔方程最简单的形式进行介绍。
薛定谔方程薛定谔方程是用来描述量子系统的演化的方程。
对于一个自由粒子,它的薛定谔方程可以写作:$$i \\hbar \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t} = -\\frac{\\hbar^2}{2m}\\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial x^2}$$其中,i是虚数单位,$\\hbar$是约化普朗克常数,$\\psi$是波函数,m是粒子的质量,t是时间,x是粒子的位置。
波函数与概率密度波函数是薛定谔方程的解,它包含了系统的全部信息。
但是,波函数本身并不直接描述粒子的物理性质,而是通过概率密度来给出具体的可观测结果。
概率密度$|\\psi|^2$表示在空间中找到粒子的几率。
根据波函数的性质,其概率密度要满足归一化条件,即在整个空间内的积分等于1。
这意味着粒子一定存在于某个位置。
在最简单的薛定谔方程中,波函数是一个平面波,可以写为$\\psi(x,t) = Ae^{i(kx - \\omega t)}$。
其中,A是振幅,k是波数,$\\omega$是频率。
根据平面波的性质,概率密度$|\\psi|^2$是恒定不变的,并且在整个空间范围内都有非零概率。
波函数的演化薛定谔方程描述了波函数随时间的演化。
对于自由粒子,它的薛定谔方程是线性的,意味着波函数的形式在时间演化中保持不变,只是振幅发生变化。
这也说明了自由粒子的能量是守恒的。
根据薛定谔方程,波函数的时间导数与空间二阶导数之间存在简单的线性关系。
由此可得,波函数的形式在不同位置上的变化是类似的,只是相位和振幅的变化不同。
自由粒子的波函数演化可以用平面波的形式简洁地表示。
根据平面波的性质,波函数在空间中传播,形成波动。
薛定谔方程
λ
n
Δx ⋅ Δp x ≥ h 2
ΔE ⋅ Δt ≥ h 2
第二章 薛定谔方程
§2.1 薛定谔得出的 波动方程 §2.2 无限深方势阱 中的粒子
§2.3 势垒穿透
§2.4 谐振子
§1 薛定谔方程的建立 一.含时薛定谔方程 自由粒子波函数: 自由粒子波相当于单色平面波 x 平面波函数: Ψ ( xt ) = A cos( 2πν t − 2π ) 或
−i
Φ( x ) =
n = 1,2,3 L
En t h
能量本征波函数: ψ n ( x ) = φ n ( x )e (3)概率密度
Wn ( x ) = φn ( x )
2
Φn( x )
4π x Φ( x ) = 2 sin a a
wn ( x ) = Φ n ( x )
2
n =4
2 cos 3π x Φ( x ) = a a 2 sin 2π x Φ( x ) = a a
(
)
a
a
(0 ≤ x ≤ a )
▲薛定谔方程是线性微分方程,ψ和φ都满足叠加原理 如果ψ1和ψ2是体系的可能状态,那它们的线 性叠加 ψ = c ψ + c ψ
1 1 2 2
也是体系的一个状态-----态叠加原理 在空间找到处于叠加态的几率密度是:
ψ = c1ψ 1 + c2ψ 2
2
2
[例5]在阱宽为 0-a的无限深势阱中,一个粒子的状态为 πx 2πx f ( x ) = sin − sin a a 多次测量其能量。求每次可能测到的值和相应概 率以及能量的平均值? 解:已知0-a无限深势阱中的粒子的 本征函数和能量本征值为
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年,奥地利被纳粹并吞后,他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林,就任都柏林高级研究所所长,从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究,颇有建树。出版了《生命是什么》一书,试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利,被聘为维也纳大学理论物理教授,奥地利政府给予他极大的荣誉,设定了以薛定谔命名的国家奖 金,由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年,马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设,因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年,阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν;其中,因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里,能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式,因此可以揣测,光子的动量与波长成 反比,与波数成正比,以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级,能量只能取一系列值,每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为:
,n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般,物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量(vector),物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
薛定谔方程是啥
薛定谔方程是啥薛定谔方程(Schrodinger Equation)是量子力学的基本方程之一,描述了微观粒子的行为。
它是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的,并成为量子力学的基石之一。
薛定谔方程的导出薛定谔方程的导出源自对电子行为的研究。
在量子力学中,电子被视为波粒二象性的粒子。
为了描述电子的运动状态,薛定谔引入了波函数(Wave Function)的概念,将电子的运动状态与波函数建立了联系。
假设一个电子所处的状态可以由一个波函数Ψ(x, t)来描述,其中x表示位置,t表示时间。
根据量子力学的基本原理,波函数Ψ应满足薛定谔方程。
薛定谔方程的标准形式如下:$$ i\\hbar\\frac{{\\partial}}{{\\partial t}}\\Psi(x, t) = \\left(-\\frac{{\\hbar^2}}{{2m}}\\frac{{\\partial^2}}{{\\partial x^2}} + V(x,t)\\right)\\Psi(x, t) $$其中,i代表虚数单位,ħ代表约化普朗克常数,m代表电子的质量,V(x, t)代表电子所受到的势能。
薛定谔方程的物理意义薛定谔方程描述了波函数随时间演化的行为,它是量子力学中的基本方程之一,提供了了解粒子行为和性质的框架。
薛定谔方程的左边代表了波函数随时间的变化速率,右边代表了波函数在空间中的变化情况。
薛定谔方程描述的是波函数随时间和空间的变化规律,从中可以推导出粒子的能量、位置和动量等物理量的概率分布。
这使得薛定谔方程成为预测粒子行为的重要工具。
波函数Ψ的模的平方(|Ψ|²)表示某一时刻粒子出现在空间中的概率密度分布。
根据薛定谔方程,粒子的能量和位置等性质是用波函数的特定解来描述的。
薛定谔方程的应用薛定谔方程在研究微观世界中的粒子行为方面有着重要应用。
薛定谔方程被广泛应用于量子力学中的各个领域,如原子物理学、凝聚态物理学、粒子物理学等。
薛定谔方程表达式
薛定谔方程表达式薛定谔方程(Schrödinger equation)是一种经典的方程,用于描述粒子的波动性。
它是量子力学在研究量子系统中的基础方程式。
薛定谔方程由詹姆斯·薛定谔在1925年第一次提出,并用于量子力学建模和解决,并被用于许多不同领域,如原子物理学和材料科学。
一、定义薛定谔方程是一个基本的数学方程,可以用来描述粒子的波动性和量子力学,也用于原子物理学和材料科学等领域建模。
它可以用来描述量子现象的基础力学行为。
它的表达式是:$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\hat{H}\psi(x,t)$$其中$\psi$是粒子的函数,$\hat{H}$是粒子的Hamilto算符,$t$表示时间,$i$表示虚数单位,$\hbar$是由物理常数Planck的常数除以2$\pi$所得的单位。
二、特点薛定谔方程具有以下特点:(1)数学严谨性:薛定谔方程是一个基本的数学方程,可以用来准确描述粒子波动性;(2)应用广泛性:薛定谔方程不仅可以用于量子力学建立模型和解决问题,同时还可以应用到原子物理学、材料科学等领域;(3)简洁性:薛定谔方程只需要一个数学表达式,却可以描述量子力学中基本的力学行为;(4)学习方便性:薛定谔方程可以利用之前学过的代数知识去理解,不需要特别复杂的数学知识即可学习。
三、应用薛定谔方程被用于原子物理学,材料科学,电子学,化学物理,高分子物理,量子生物物理,量子信息等多个领域中。
(1)量子力学:薛定谔方程可以用来描述系统的粒子波动性和量子效应,它描述了受物理量子系统的特定粒子的波动动力;(2)原子物理:薛定谔方程用于描述原子核的结构,它能够提供一个准确的模型来表达原子核的特征;(3)材料科学:薛定谔方程可以用于描述晶体中原子分子之间的相互作用,它也可以用来识别晶体材料的特性;(4)电子学:薛定谔方程可以用来解释物理和化学特性,它还能够用于模拟终端器件,从而可以提高终端设备的效能。
薛定谔方程
i En t
0 xa
n 1,2,3
三. 结果讨论 1. 能量量子化(习题22-3. 22-4)
n 1,2,3
边界条件 d 2 x 2m n 2 E x 0 A sin ka 0 k n 2 a dx
2 2 n 2mE 2 kn 2 2 a
A 0
0 0 B 0
n x A sin k n x A sin x a
V
n 1,2,3
2
(4) 规一化条件定A
x
d 1
x
a 0
2
dx 1
2
a
0
n A sin xdx 1 a
2
a 2 A 1 A 2 a
三. 定态基本特征 1.稳定态
(1)势场(能)不随时间变化 V V x
(2)概率不随时间变化
r , t r e
2 2 i Et
r e
i Et
*
i Et 2 r e r
2 2 kn En 2m 2ma 2
2mE k 2 n 2 2 2
2
当 n 取不同值时, En E1 ,4E1 ,9E1 ,16E1 一维无限深势阱中,粒子的能量是量子化的
(1) 基态与激发态 (2) 能级间隔
9
E1 0
E E n 1 E n
第二十二章
薛定谔方程
第一节
一.方程形式 1. 波函数
自由粒子的薛定谔方程
x, t 0 e
2
i Et px
方程
2. 证明
薛定谔方程概率解
薛定谔方程概率解薛定谔方程(Schrodinger Equation )是量子力学的基本方程之一,描述了量子体系的演化和性质。
其中,薛定谔方程的概率解是指通过求解薛定谔方程,得到描述量子体系概率分布的波函数。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理和求解方法,并探讨其在量子力学中的重要性。
1. 薛定谔方程简介薛定谔方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出的,它是描述微观粒子(如电子、光子等)在量子力学中运动规律的基本方程。
薛定谔方程可以用数学形式表示为:iℏ∂∂tΨ(r,t )=H ̂Ψ(r,t ) 其中,Ψ(r,t )表示波函数,Ĥ为哈密顿算符,i 为虚数单位,ℏ为约化普朗克常数。
2. 波函数和概率解释波函数Ψ(r,t )是一个复数函数,它包含了关于粒子位置r 和时间t 的信息。
根据量子力学的概率解释,波函数的模平方|Ψ(r,t )|2表示在位置r 上找到粒子的概率密度。
薛定谔方程描述了波函数随时间的演化,通过求解薛定谔方程可以得到波函数在不同时间下的形式。
具体求解方法包括分离变量法、近似方法(如微扰理论)和数值计算等。
3. 薛定谔方程的概率解薛定谔方程是一个偏微分方程,求解它需要满足一定边界条件。
对于简单的体系,如自由粒子、无限深势阱等,可以通过分离变量法得到精确解。
例如,在一维无限深势阱中,波函数的形式为:Ψ(x,t )=√2L sin (nπx L)e −iE n t/ℏ 其中,L 为势阱长度,n 为量子数,E n 为能级。
对于更复杂的体系,无法直接求解薛定谔方程。
此时可以采用近似方法进行求解。
常用的近似方法包括微扰理论、变分法等。
微扰理论可以将薛定谔方程分解为一个已知的简单体系和一个较小的扰动项,从而得到近似解。
此外,数值计算也是求解薛定谔方程的重要方法。
通过离散化空间和时间,并利用数值方法(如有限差分法、有限元法等),可以求解薛定谔方程并得到波函数的数值解。
4. 薛定谔方程的应用薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一,它在研究微观粒子行为和描述量子体系性质中起着重要作用。
薛定谔方程
n
ˆ (r ˆ, t ) H ˆ, t ) (r 因为它满足含时薛定谔方程:i t
则,t>0的态是不同定态迭加的态: i En t (r , t ) cn n (r )e
这是因为薛定谔方程是线性偏微分方程。 3 薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程;
知道初始时刻波函数,就可以确定以后任何时刻 的波函数.
2 i r , t U r , t r , t t 2m
2
4
4
4 薛定谔方程中含有虚数 i 所以它的解 (r , t )必然是复数, 只有 (r , t ) 的模方才有直接的物理意义。 5
其定态薛定谔方程:
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
o
a
x
特点:
粒子在势阱内受力为零 势能为零
V→∞
V→∞
V(x)
在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外
E
0
V=0 a
x
因为系统的势能与时间无关,因此这是一个定 态问题,可以用定态薛定谔方程进行求解。
讨论二:n不取负数
( x) A sin kx A sin kx
2 E
此时波函数与 n取正数时代表相同的概率分布,即无 法给出新的波函数,故舍去。
k
ka n , n 1,2,3,......
因为
2mE k 2
2
结论:
En
ka n n 1,2,3, 2 2 2
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程名词解释薛定谔方程,又称“薛定谔等式”,是量子力学中最重要的基本方程之一。
由俄国物理学家薛定谔于1925年创立,一直是量子力学理论的基础,被称为“量子力学的常律”,也是现代量子物理学理论最重要的基础方程之一。
薛定谔方程是一个展示量子物质的发展过程的有效的数学描述式。
它是对微观客观世界的细节描述,描述客观世界的力学原理以及微观系统的运行机制,它包括了量子力学重要的基本原理,如不确定性原理,相互作用原理和简并原理等,它也是物理学家理解量子物质及其运动的基础。
薛定谔方程的最多的格式有能量与动量的关系式,二阶偏微分方程,它可以用来描述量子系统的行为,如量子对的结构以及相互作用的结果。
因此,薛定谔方程在量子物理学的研究中起着非常重要的作用。
薛定谔方程以简洁的数学模型描述了量子物质的发展历程,主要由五个特征组成:首先,量子物质属于自身不可观测的状态,即量子力学中描述的状态称为量子态;其次,量子物质在空间中的分布的发展是随机的,因此,它的行为是概率的;第三,量子物质的发展过程受到它本身和外部环境的交互影响;第四,量子物质在空间中受物理场(如实验室电场、磁场、重力场等)的影响;第五,量子物质的发展过程由多个因素构成,其结果是态对态的转化,这也是薛定谔方程最重要的特点之一。
薛定谔方程由两个重要的部分组成:等号左边是波函数,它描述了物体的状态,而等号右边代表了物体的能量,以及外部环境对物体的影响。
由此可见,薛定谔方程展示了复杂的量子系统和它们之间的相互作用,有助于我们对量子物质的本质有更深入的理解。
薛定谔方程的建立不仅为物理学研究奠定了重要的理论基础,而且在应用领域也起着至关重要的作用。
目前,薛定谔方程已经广泛应用于电子显微镜量子计算、量子通信、量子计算机等领域,其结果也可以用于激光和太赫兹技术、核聚变、太空探测等。
总之,薛定谔方程是量子物理学和量子技术研究领域中最重要的基础方程之一。
它描述了不可观测的量子物质及其相互作用的动态发展,并为我们揭示了复杂的量子系统及其相互作用的本质。
薛定谔方程课件.ppt
(常数)
可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程:
一个是变量为t 的方程 i d f E d t
f 可以把它先解出来:
其解为
f
A
e
i
Et
……(★)
(A 是待定复常数; E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量:动能 + 势能,不包括静能)
一个是变量为x 的方程
2 2m
d2
d x2
U
E
……(★)
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub ,电子就会穿 过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变,则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏;若控制针尖高度不变,通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
硅晶体表面的STM扫描图象
能量连续, 量子 经典。
En
n2
22 2ma 2
,
3.最低能量不为零(称零点能)
22
———符合不确定关系。
E1 2ma 2 0
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。
但是,当 n 很大时,势阱内各处粒子出现的
概率可以说是几乎相同的(忽略有限个节 点) 。
n 2
En
在大量子数的极限情况下,量子体系行为将 趋于与经典行为一致,这称为“对应原理”。
其解 (x) 与粒子所处的条件(外力场U)有关。
由上面可以看出:
(x,t) 2
(
x
)
e
i
t
2
(x) 2
即定态时,概率密度可以用 (x)2来表示, (x)称为定态波函数, 上面(★)式是 (x)满足的方程,
薛定谔方程的基本解读
薛定谔方程的基本解读薛定谔方程是量子力学的基础方程之一,描述了微观粒子的行为。
它由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出,是量子力学的重要里程碑。
本文将对薛定谔方程进行基本解读,介绍其数学形式、物理意义以及应用领域。
薛定谔方程的数学形式是一个偏微分方程,通常用Ψ表示波函数,可以写成如下形式:iħ∂Ψ/∂t = -ħ^2/2m∇^2Ψ + VΨ其中,i为虚数单位,ħ为约化普朗克常数,t为时间,m为粒子的质量,∇^2为拉普拉斯算子,V为势能。
这个方程描述了波函数Ψ随时间演化的规律。
薛定谔方程的物理意义在于,它描述了微观粒子的波粒二象性。
根据波粒二象性理论,微观粒子既可以表现出粒子的特性,如位置和动量,又可以表现出波的特性,如干涉和衍射。
波函数Ψ描述了粒子的状态,它的模平方|Ψ|^2表示了在某个位置找到粒子的概率。
薛定谔方程的解可以分为定态解和非定态解。
定态解对应于粒子的能量本征态,可以用一个复数函数表示。
非定态解则描述了粒子的时间演化,需要用到波包的概念。
波包是一种局域化的波函数,可以看作是许多不同频率的波叠加而成。
它在空间上具有有限的范围,可以用高斯函数表示。
波包的形状和演化受到薛定谔方程的影响,可以通过数值计算得到。
薛定谔方程的应用领域非常广泛。
在原子物理中,薛定谔方程被用来解释原子的能级结构和光谱现象。
在凝聚态物理中,薛定谔方程被用来研究晶体中的电子行为,如导电性和磁性。
在量子力学的基础研究中,薛定谔方程是研究量子纠缠和量子计算的基础。
除了基础研究,薛定谔方程还有许多实际应用。
在材料科学中,薛定谔方程可以用来模拟材料的电子结构和性质,为新材料的设计和开发提供理论指导。
在化学领域,薛定谔方程被用来研究分子的结构和反应动力学。
在生物物理学中,薛定谔方程被用来研究生物大分子的结构和功能。
总之,薛定谔方程是量子力学的基础方程,描述了微观粒子的波粒二象性。
它的数学形式简洁而优美,物理意义深远。
薛定谔方程在各个领域都有重要的应用,为我们深入理解微观世界提供了强大的工具。
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改写成
2m ( x ) 2 E U ( x ) ( x ) 0
求解两类问题: 一类是本征值问题,给定势能函数U(x),求 粒子的能量E和相应的本征波函数Φn(x);
另一类是散射问题,假设粒子以能量E射向势 垒U(x),计算粒子穿透势垒的概率。
§2.2 无限深方势阱中的粒子
ˆ xx0 ( x) x0x0 ( x)
本征值谱: x0 (连续谱) 本征函数系:{ x ( x) ( x x ), x }
0 0 0
如果粒子处于态 ( x x0 ),其坐标一定为 x0 。
ˆ x i 的本征方程及其解 动量算符 p x
本征值 本征波函数(态)
ˆ F
ˆ 如果粒子处于本征态 ,则粒子的与 F 对 应的力学量的取值,一定等于本征值 。
本征值的集合 本征值谱;
本征波函数的集合 本征函数系。
ˆ F
ˆ 坐标算符 x x 的本征方程及其解
3、哈密顿(Hamilton)量
2 ˆ p 2 2 ˆ H U (r , t ) U (r , t ) 2m 2m
若U不显含时间,则H 称为能量算符。 用哈密顿量,薛定谔方程可写成
ˆ i H t
势函数U不显含时间的情况很重要。这时, 薛定谔方程可分离变量求解。
ˆ p i
【例】动量算符对自由粒子波函数的作用
( x)
i px x Ae
ˆ x ( x) i ( x) px (x) p x 作用结果:等于粒子的动量乘波函数。
粒子的动量
物理上的理解:测量由自由粒子波函数
( x)
i px x Ae
描述的粒子的动量,结果一定等于动量 p x 。 自由粒子波函数是动量算符的“本征态”。 动量是动量算符的“本征值”。
i Et
(简谐振动)
式中E具有能量量纲,C 可以是复数。 不含时薛定谔方程 方程(2):
2 2 U ( r ) ( r ) E ( r ) 2m
或称能量本征方程。
2 2 2m U ( r ) ( r ) E ( r )
2 2 i U ( r , t ) t 2m 是量子力学的基本方程,描述非相对论性粒 子波函数随时间演化规律。
是线性齐次微分方程,解满足态叠加原理 若 1 ( r , t ) 和 2 ( r , t ) 是薛定谔方程的解, 则 c1 1 ( r , t ) c2 2 ( r , t ) 也是薛定谔方程的解。 方程中含有虚数 i 它的解 是复函数,复数不能直接测量。 而 的模方代表概率密度,可测量。
i En t
n
* Cn n ( x ) ( x,0)dx
(x,0) 为给定的初始时刻的状态。
2m ( x ) 2 E U ( x ) ( x ) 0, E 0
一、势阱中粒子的能量
1、阱外 x 0 , x a U ( x ) , 0
dT(t ) 1 1 ˆ i H (r ) =E (常数) dt T ( t ) ( r )
上式可分为以下两个方程:
dT ( t ) i ET ( t ) -(1) dt ˆ (r ) E (r ) -(2) H
方程(1)的解为 T ( t ) Ce
ˆ px p ( x) p p ( x)
0 0 0
本征值谱: p0 (连续谱)
{ 本征函数系: p ( x)
0
ipx Ae 0 ,
p }
0
如果粒子处于态 p0 ( x),其动量一定为 p0 。
ˆ2 px ˆ 哈密顿量 H U ( x ) 的本征方程及其解 2m
算符和力学量的对应关系:
2 2 i E , i p x , 2 2 px x x t
对于非相对论性自由粒子: 算符对应关系:
p2 E x 2m
2 2 i t 2m x 2
作用于波函数,得自由粒子薛定谔方程
2 2 i ( x, t ) ( x, t ) 2 t 2m x
二、薛定谔方程 设粒子在势场U(x,t)中运动,能量关系为
p2 E U ( x, t ) 2m
2 2 U ( x, t ) 算符对应关系: i 2 t 2m x
作用于波函数,得薛定谔方程
2 2 i ( x , t ) 2m x 2 U ( x , t ) ( x , t ) t
粒子被束缚在势阱内 (束缚态) lim ( x ) 0
x
2、阱内 0 x a U ( x ) 0 2mE ( x ) 2 ( x ) 0, E 0 令 k 2 2mE 2 ,方程写成
( x) k ( x) 0
2
d2 k 2 0 d x2
第2章 薛定谔方程
目 录
§2.1 薛定谔方程和力学量算符 §2.2 无限深方势阱中的粒子
§2.4 一维谐振子
§2.3 量子隧穿效应
§2 .1薛定谔方程和力学量算符
1926年,在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德 布罗意关于粒子波动性假说的论文,在薛定谔讲完后, 物理学家德拜(P.Debey)评论说:认真地讨论波动, 必须有波动方程。 几个星期后,薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋 地说:你们要的波动方程,我找到了!这个方程,就 是著名的薛定谔方程。 薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程,它在量 子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一 样的。
( x, t ) :算符 t 代表对波函数关于 t 求导 t ( x, t ) :算符 x 代表对波函数关于 x 求导 x
ˆ x ( x, t ) x ( x, t ) :算符 x 代表用 x 乘波函数 ˆ
*( x, t ) :对波函数取复共轭
算符是通过对波函数的作用关系来定义的
同牛顿方程一样,薛定谔方程也不能由其它的基本 原理推导得到,而只能是一个基本的假设,其正确性 也只能靠实验来检验。
一、自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数(一维)
( x, t ) Ae 微商,得x , t ) i E ( x , t ) t
i En t
, n 1,2,3,
i En t
通解可写成定态解叠加的形式
( x, t ) Cn n ( x, t ) Cn n ( x )e
n n
( x, t ) C n n ( x )e
n
i En t
式中Cn称为展开系数。 后面证明,给定初始时刻的状态Ψ(x,0), Cn 可按下式计算
通解: ( x ) A sinkx B coskx
A,B为待定常数,由波函数应满足的“单 值、有限、连续”条件决定。 单 值 、 有 限 ” “ 已经满足,下面看连续条件。 3、用连续条件定特解 x 0 (0) 0 B 0 ( x ) A sinkx
x a (a ) A sinka 0 A 0 sin ka 0
ˆ i H t
哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演 化,外界对粒子的作用,包括不能用力来表达 的微观相互作用,一般都可以用哈密顿量中的 势函数U(x,t)来概括。 而在经典力学中,改变宏观粒子运动状态的 原因是作用在粒子上的力。 只讨论势函数U与时间无关的情况。
四、力学量算符的本征方程 算符只是抽象的数学记号,其本身并不象 经典力学中力学量那样代表物理量的取值。 算符和相应力学量的取值之间,是通过本 征方程联系起来的。 ˆ 力学量算符F的本征方程,指下述类型方程
数学上:E 不论取何值,方程都有解。 物理上:E 只有取一些特定值,方程的解才 能满足波函数的条件(单值、有限、连续)。 满足方程的特定的E 值,称为能量本征值。 ΦE 称为与E对应的本征波函数。若粒子处 于ΦE,则粒子的能量为E。 定态:
i Et E (r , t ) E (r ) e
三、力学量算符的引入
量子力学假设:力学量用算符表达。
1、坐标算符
ˆ x ( x ) x ( x )
ˆ r r
其中Ψ 代表任意波函数。 坐标算符假定为
ˆ ˆ ˆ x x, y y,z z;
2、动量算符
坐标算符假定为
算符和动量的对应关系: i px x
ˆ ˆ ˆ px i , p y i , pz i ; x y z
* Cn n ( x ) ( x,0)dx
若势函数不显含时间,则薛定谔方程的求解, 可通过解能量本征方程(不含时薛定谔方程) 因此,能量本征方程的求解,在 来解决。 量子力学中占有重要地位。
2 d2 2m d x 2 U ( x ) ( x ) E ( x )
三维:
2 2 2 2 2 2 2 U ( r , t ) i t 2m x y z
引入拉普拉斯算符:
2 2 2 2 2 2 2 x y z
薛定谔方程:
2 2 i U ( r , t ) t 2m
U(x) U=U0 E U=U0
U(x)
U→∞ E U→∞
U=0
0 金属
U=0
a a
x
x a 0 无限深方势阱
E 0 ,为什么?
0, 0 x a U ( x) , x 0 , x a
x a , p 0
2a p2 E 0 2m