2 集合的关系与运算

第2课集合的关系与运算

徐琼玲

【教学目标】

一、知识目标

1、了解集合的含义，元素与集合的属于关系；

2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；

3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

4、在具体情境中，了解全集与空集的含义；

5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

7、能使用韦恩（V enn）图表达集合的关系及运算。

二、能力目标

理解集合在表述数学问题时的工具性作用，“韦恩图”在表示集合之间的关系和运算中的作用三、情感目标

集合语言在数学中的运用及集合论的了解。

【教学重点】

集合的概念表示及集合的运算

【教学难点】

注重基础知识和基本技能，要求具备数形结合的思想意识，会借助V enn图、数轴等工具解决集合运算问题，常与不等关系、不等式的解集相联系

【知识点梳理】

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合

a∈；若b不是集合A的元素，记（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A

b∉

作A

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R

2．集合的包含关系：

（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B ⊇A ）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A=B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；

（2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有n

2个子集（其中n

2－1个真子集）； 3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S

C A=}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集；

（3）简单性质：1）S C (S

C A)=A ；2）

S

C S=Φ，

Φ

S C =S

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。交集}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且

（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合V enn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法 5．集合的简单性质：

（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ （2）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ （3）);()(B A B A ⋃⊆⋂

（4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;； （5）

S

C （A ∩B ）=（

S

C A ）∪（

S

C B ），

S

C （A ∪B ）=（

S

C A ）∩（

S

C B ）。

【典型例题】

题型一、集合的基本概念表示与性质

例1: 第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是 （ ）

A ．A ⊆

B B ．B ⊆

C C ．A ∩B=C

D ．B ∪C=A

解析：本例主要考查子集的概念及集合的运算．易知选D ．

例2: 下列集合中表示同一集合的是（ ）

A ．M = {(3，2)}，N = {(2，3)}

B ．M = {(x ，y)|x + y = 1}，N = {y|x +y = 1}

C ．M = {4，5}，N = {5，4}

D ．M = {1，2}，N = {(1，2)} 解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。易知选C 。

例3： 设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、

Q ．

解析：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．

（1）若0x y +=或0x y -=，则220x y -=，从而{}22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠； （2）若0xy =，则0x =或0y =．

当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-， 由P Q =得2

2

0y y y y y -=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩ ① 或2

20

y y y y y -=-⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ②

由①得1y =-，由②得1y =，∴{01x y ==-或{

01x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-．

变式1：设,a b R ∈，集合{1,,}{0,

,}b a b a b a

+=，求b a -的值.

分析：利用集合中元素互异性和集合相等性质，得到集合中对应元素的关系.

解：由题知，0a ≠， 0a b +=，则1b

a =-，所以 1

b

a

a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩

，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以2b a -=.

变式2：已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2

{|1}E x y x ==+，

2

{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则 （ ）

()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G =

解析：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．易知选D

点评：本题型以基础题为主，以集合中元素的性质为载体，考察学生对条件的把握分析能力，