2 集合的关系与运算

第2课集合的关系与运算徐琼玲【教学目标】一、知识目标1、了解集合的含义，元素与集合的属于关系；2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；4、在具体情境中，了解全集与空集的含义；5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；7、能使用韦恩（V enn）图表达集合的关系及运算。

二、能力目标理解集合在表述数学问题时的工具性作用，“韦恩图”在表示集合之间的关系和运算中的作用三、情感目标集合语言在数学中的运用及集合论的了解。

【教学重点】集合的概念表示及集合的运算【教学难点】注重基础知识和基本技能，要求具备数形结合的思想意识，会借助V enn图、数轴等工具解决集合运算问题，常与不等关系、不等式的解集相联系【知识点梳理】1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合a∈；若b不是集合A的元素，记（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Ab∉作A（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R2．集合的包含关系：（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B ⊇A ）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A=B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；（2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有n2个子集（其中n2－1个真子集）； 3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则，SC A=}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集；（3）简单性质：1）S C (SC A)=A ；2）SC S=Φ，ΦS C =S4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。

交集}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合V enn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法 5．集合的简单性质：（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ （2）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ （3）);()(B A B A ⋃⊆⋂（4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;； （5）SC （A ∩B ）=（SC A ）∪（SC B ），SC （A ∪B ）=（SC A ）∩（SC B ）。

【典型例题】题型一、集合的基本概念表示与性质例1: 第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是 （ ）A ．A ⊆B B ．B ⊆C C ．A ∩B=CD ．B ∪C=A解析：本例主要考查子集的概念及集合的运算．易知选D ．例2: 下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．M = {(3，2)}，N = {(2，3)}B ．M = {(x ，y)|x + y = 1}，N = {y|x +y = 1}C ．M = {4，5}，N = {5，4}D ．M = {1，2}，N = {(1，2)} 解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。

易知选C 。

例3： 设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ．解析：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．（1）若0x y +=或0x y -=，则220x y -=，从而{}22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠； （2）若0xy =，则0x =或0y =．当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-， 由P Q =得220y y y y y -=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩ ① 或220y y y y y -=-⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ②由①得1y =-，由②得1y =，∴{01x y ==-或{01x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-．变式1：设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a+=，求b a -的值.分析：利用集合中元素互异性和集合相等性质，得到集合中对应元素的关系.解：由题知，0a ≠， 0a b +=，则1ba =-，所以 1baa b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以2b a -=.变式2：已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则 （ ）()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G =解析：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．易知选D点评：本题型以基础题为主，以集合中元素的性质为载体，考察学生对条件的把握分析能力，以寻找解题的突破口. 二、集合间的基本关系和运算例5：(1) 已知集合A={1,2,3}，B={2，m ，4}，A ∩B={2,3}，则m=分析：考查集合的关系和运算．集合的关系关键是研究好集合中元素的从属关系，分为二种情形：一是部分从属；二是全从属．集合的运算包括交、并和补．解析：∵A ∩B={2,3}，∴B 中一定有元素3，则m=3.(2) 已知{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则 ( ) A ．{}4,6MN =B ．M N U =C ．U M N C u = )(D ．N N M C u = )(分析：本题主要考查集合的并、交、补的运算以及集合间关系的应用． 解析：由{}7,6,5,4,3,2=U ，{}7,5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，故选B ．变式1：集合{}0,2,A a =,{}21,B a=,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B = ∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.变式2：设集合{}1,2,3,4U =,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=⋂ð（M N ） （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 分析：解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法 解析： {2,3},(){1,4}U M N M N =∴= ð.选D.例6：已知集合{}30,31x MxN xx x ⎧+⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭…，则集合{}1x x …为 ( )A ．M NB ．M NC ．()R M N ðD ．()R M N ð分析：本题主要考查集合的运算，同时考查解不等式的知识内容．可先对题目中所给的集合化简，即先解集合所对应的不等式，然后再考虑集合的运算． 解析：依题意：{}{}31,3M x x N x x =-<<=-…，∴{|1}M N x x ⋃=<，∴()R M N =ð{}1.x x …故选C ．例7：已知集合{026}A x ax =<+≤，{124}B x x =-<≤.（1） 若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围；（2） 集合A ，B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由. 分析：（1）对a 进行分类讨论，利用数轴求a 的取值范围. 解： {124}B x x =-<≤1{2}2x x =-<≤，{026}A x ax =<+≤{24}x ax =-<≤.①当0a =时，A R =，所以A B ⊆不可能；②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，若A B ⊆，则21,24 2.a a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得4a ≥.③当0a <时，42{}A x x a a =≤<-，若A B ⊆，则41,22 2.a a⎧>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得8a <-.综上所得，a 的取值范围为(,8)[4,)-∞-⋃+∞.(2)分析一：求出满足B A ⊆时a 的取值范围，再与（1）取交集.解法一：①当0a =时，A R =，所以B A ⊆成立；②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，若B A ⊆，则21,24 2.a a ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得02a <≤.③当0a <时，42{}A x x a a =≤<-，若B A ⊆，则41,22 2.a a⎧≤-⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得10a -<<.综上，B A ⊆时，12a -<≤.A B A B =⇔⊆ 且B A ⊆，∴若A B =，则(1,2]a ∈-且(,8)[4,)a ∈-∞-⋃+∞，矛盾.所以，集合A 与B 不可能相等.分析二：利用两个相等集合中元素的对应关系，建立等量关系.解法二：①当0a =时，A R =，所以B A ≠；②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，若B A =，则21,24 2.a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解.③当0a <时，42{}A xx aa=≤<-，若B A =，显然不成立.综上，集合A 与B 不可能相等.变式1：已知集合{,0}M a =，2{30,}N x x x x Z =-<∈，且{1}M N ⋂=，记P M N =⋃，写出集合P 的所有子集.分析：求出N ，由{1}M N ⋂=，可知1M ∈，解得a ，进而求出P . 解：由230x x -<，得03x <<；又x Z ∈，故{1,2}N =. 由{,0}M a =且{1}M N ⋂=，可得1a =.{1,0}M ∴=，故P 的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}.点评：同不等式有关的集合问题是高考命题的热点之一，也是高考常见的命题形式，且多为含参数的不等式问题，需讨论参数的取值范围，主要考查分类讨论的思想，此外，解决集合运算问题还要注意数形结合思想的应用．题型三、图解法解集合问题例8： 已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},u ðB ∩A={9},则A=（ ） A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9}解析：本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于V enn 图解决集合问题的能力。