初中数学二次函数难题汇编及答案解析

初中数学二次函数难题汇编及答案解析

一、选择题

1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0

B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2

C ．当函数在x ＜

1

10

时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a

【答案】C 【解析】 【分析】

根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】

解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)， ∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2， ∴a +c ＝0，b ＝﹣2， ∴A 正确； ∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2， ∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ， ∴△＝4+4a 2＞0，

∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点， ∵x 1+x 2＝

2

a

，x 1x 2＝﹣1，

∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确；

二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a

， 当a ＞0时，不能判定x ＜1

10

时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；

∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0， ∴m +n ＜0，2

a

＞0， ∴m +n ＜

2a

；

∴D 正确， 故选：C ． 【点睛】

本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )

A ．﹣4＜P ＜0

B ．﹣4＜P ＜﹣2

C ．﹣2＜P ＜0

D ．﹣1＜P ＜0

【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0． ∵对称轴在y 轴的左边，∴b

2a

-

＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0． ∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2． 把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4， ∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．

∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0． 故选A ． 【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．

3．如图，二次函数()2

00y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，

与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：

①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()2

00ax bx c a ++=≠有

一个根为1

a

-

，其中正确的结论个数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【解析】 【分析】

由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1

a

代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案. 【详解】

由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣

2b

a

＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣

1a ，把﹣1

a

代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C. 【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.

4．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）

A ．-1

B ．1

C ．-3

D ．-4

【答案】A 【解析】 【分析】

分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a 2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a 2=3，由抛物线与x 的交点坐标得到x 2=-a ，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a 2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)

和(0，0)分别代入解析式可计算出a 的值． 【详解】

解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y 轴，则b=0，y=ax 2+a 2，其顶点坐标为(0，a 2)，而a 2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；

若二次函数的图形为第二个，对称轴为y 轴，则b=0，y=ax 2+a 2，a 2=3，而当y=0时，x 2=−a ，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；

若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a 2+b=0，所以a=−1； 若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a 2+b=0①；令x=−2，y=0，则

4a−2b+a 2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个. 故选A. 【点睛】

本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-；顶点坐标为(-，

)；也考查了点在抛物线

上则点的坐标满足抛物线的解析式.

5．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣

1

2

x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（ ）

A ．3122m -+

B ．0

C ．1

D ．2

【答案】D 【解析】 【分析】

根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．

【详解】

解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣1

2

x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ）， ∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0） ∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1，

∴

23

2

x x +＝m+1， ∴x 2+x 3＝2m+2，

∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣1

2

x 上， ∴m ＝﹣

1

2

x 1，