电路分析基础(张永瑞)第5章
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差。
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.1-3 相位差
第五章 正弦电路的稳态分析
例 5.1-1 已知正弦电流i(t)的波形如图 5.1-4 所示，角频率 ω=103rad/s。试写出i(t)的表达式，并求i(t)达到第一个正的最 大值的时间t1。
图 5.1-4 例 5.1-1用图
i1 (t ) 5 cos(t 36.9) A i2 (t ) 10cos(t 53.1) A
图 5.2 – 4 例 5.2 - 1用图
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
5.3 R、L、C元件VAR的相量形式 和KCL、KVL的相量形式
5.3.1 R, L, C元件VAR的相量形式
j (t i )
] I m cos(t i )
(5.2-3)
第五章 正弦电路的稳态分析
把式(5.2-3)进一步写成
i (t ) Re[ I m e
j (t i )
] Re [ I m e
j i
e jt ]
Re[ I m e
式中
jt
]
I e j i Im m
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.2-2 相量图
第五章 正弦电路的稳态分析
I m cos(t1 i )
i(t ) Re[I me jt ]
u U m cos( t u ) Re[U m e Re[U m e e
j u jt
j ( t u )
]
e jt ] ] Re[U m
第五章 正弦电路的稳态分析
4. 定理 4
设 A 和 B 为相量，ω为角频率。如果在所有时刻都满足
e jt ] Re[Be jt ] Re[ A
则
A B
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
例 5.2 – 1 电路如图 5.2 - 4(a)所示，已知电流i1和i2分别为
的 频 率 大 约 从 20~20×103Hz 左 右 ， 相 应 的 周 期 为 0.05s~0.05 ms 左右。
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.1-2 正弦电流
第五章 正弦电路的稳态分析
按正弦(余弦)规律变化的周期信号，称为正弦交流电，
简称交流电。以电流为例，其瞬时表达式为
i(t ) I m cos(t i )
若已知正弦电压u=10cos(ωt-45°) V， 则电压相量为
Um 10e j 45 10 45V
第五章 正弦电路的稳态分析
相量也可以用有效值来定义， 即
Ie ji I I m I i i 2 U Ue ju
Um U u u 2
第五章 正弦电路的稳态分析
解 由图可知，i(t)的振幅为 100A， 即
i(t ) 100cos(10 t i ) A
3
当t=0 时，电流为 50A，用t=0 代入上式，得
i (0) 100cos i 50
故
cos i 0.5
第五章 正弦电路的稳态分析
由于i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即
2 a a12 a2 a2 arctg a1
和
a1 a cos a2 a sin
实部a1和虚部a2也表示为
a1 Re[ A],
a2 Im[A]
A a
第五章 正弦电路的稳态分析
5.2.1 利用相量表示正弦信号
2 0 T
第五章 正弦电路的稳态分析
故正弦电流的有效值为
1 T 2 I 0 i (t )dt T
值再取平方根，故有效值也称为均方根值。 类似地，可得正弦电压的有效值为
(5.1-5)
正弦电流的有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均
1 T 2 U 0 u (t )dt T
第五章 正弦电路的稳态分析
1 I I m 2 1 U U m 2
第五章 正弦电路的稳态分析
5.2.2 几个定理
1. 定理 1 如果K是一个实常数，A(t)是任何实变数t的复函数，则
Re[KA(t )] KPe[ A(t )]
证明 设
A(t ) a1 (t ) ja2 (t ) KA(t ) Ka1 (t ) jKa2 (t ) Re[KA(t )] Ka1 (t ) k Re[ A(t )]
U e ju U Um m m u
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5 2 3 旋 转 相 量 及 其 在 实 轴 上 的 投 影
. -
第五章 正弦电路的稳态分析
例如，已知角频率为ω的正弦电流的相量 I 5e j 30 A ， m 那么该电流的表达式为
i(t ) 5 cos(t 30) A
5.1.3 有效值
正弦信号的有效值定义为：让正弦信号和直流电分别通
过两个阻值相等的电阻。如果在相同的时间T内(T可取为正 弦信号的周期)，两个电阻消耗的能量相等，那么，我们称
该直流电的值为正弦信号的有效值。
当直流电流I流过电阻R时，该电阻在时间T内消耗的电
能为
W I RT
2
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
5.2 利用相量表示正弦信号
一个复数既能表示成代数型，也能表示成指数型。设 A为一复数，a1和a2分别为其实部和虚部，则
A a1 ja2 ae
代数型
j
指数型
式中a称为复数A的模；φ称为复数A的辐角。
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.2-1 复数的图示
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1 正弦电压和电流
5.1.1 正弦量的三要素
所谓周期信号，就是每隔一定的时间T，电流或电压的波形
重复出现；或者说，每隔一定的时间T，电流或电压完成一个 循环。图 5.1-1 给出了几个周期信号的波形， 周期信号的数学
表示式为
f (t ) f (t kT )
式中k为任何整数。周期信号完成一个循环所需要的时间T称
则
Re[ A(t ) B(t )] a1 (t ) b1 (t ) Re[ A(t )] Re[B(t )]
第五章 正弦电路的稳态分析
3. 定理 3
设相量 A Ae j ， 则
d e jt )] Re d ( Ae jt ) Re[ jAe jt ] [Re( A dt dt
i
于是
3
3 i (t ) 100cos10 t A 3
当ωt1=π/3时，电流达到正最大值，即
i t1 10 3 1.047 ms 3
第五章 正弦电路的稳态分析
例 5.1-2 设有两频率相同的正弦电流
（t） 5 cos(t 60) A i1 i2 t） 10sin(t 40) A （
将正弦电流的表达式
i(t ) I m cos(t i )
代入(5.1-5)式， 得正弦电流的有效值为
1 I T
T
0
2 I m cos2 (t i )dt
2 1 Im T 0[1 cos2(t i )]dt T 2
1 I m 0.707I m 2
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1 正弦电压和电流 5.2 利用相量表示正弦信号 5.3 R、 L、 C元件VAR的相量形式和 KCL、KVL的相量形式 5.4 阻抗与导纳 5.5 电路基本元件的功率和能量 5.6 正弦稳态电路中的功率 5.7 正弦稳态电路中的最大功率传输 5.8 正弦稳态电路的相量分析法 5.9 三相电路概述 5.10 小结
1. 电阻元件
假设电阻R两端的电压与电流采用关联参考方向，如图
5.3 - 1 所示。设通过电阻的正弦电流为
i(t ) I m cos(t i )
第五章 正弦电路的稳态分析
5.3-1 电阻元件
第五章 正弦电路的稳态分析
对电阻元件而言，在任何瞬间，电流和电压之间满足欧 姆定律，即
u(t ) Ri(t ) RIm cos(t i ) Um cos(t u )
同理，可得正弦电压的有效值
1 U U m 0.707 m U 2
必须指出，交流测量仪表指示的电流、电压读数一般都是 有效值。 引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成
i(t ) I m cos(t i ) 2 I cos(t i ) u(t ) Um cos(t u ) 2U cos(t u )
d e jt )] d Re( Ae j (t ) ) [Re( A dt dt
d [ A cos(t )] A sin(t ) dt Re[ jAe j（t ）] Re[ jAe jt ] d jt Re ( Ae ) dt
U m RI m u i
电阻上的正弦电流和电压用相量表示为
i(t ) I m cos(t i ) Re[I me jt ]
u(t ) Um cos(t u ) Re[Ume jt ]
假设某正弦电流为
i (t ) I m cos(t i )
根据欧拉公式
e j cos j sin
可以把复指数函数Im e j(ωt+θi)展开成
I me j (t i ) I m cos(t i ) jIm sin(t i )
i(t ) Re[I me
由于正弦信号变化一周，其相位变化了2π弧度，于是有
[ (t T ) i ] (t i ) 2
2 2f T
ω表示了单位时间正弦信号变化的弧度数，称为角频率， 其单位是弧度/秒(rad/s)。当t=0时，相位角为θi ，称为初相位
或初相角，简称初相。工程上为了方便，初相角θi常用角度表
则 故
第五章 正弦电路的稳态分析
2. 定理 2 如果A(t)和B(t)是任何实变数t的复函数，则
Re[ A(t ) B(t )] Re[ A(t )] Re[B(t )]
Leabharlann Baidu证明 设
A(t ) a1 (t ) ja2 (t ), B(t ) b1 (t ) ja2 (t ),
问哪个电流滞后，滞后的角度是多少? 解 首先把i2(t)改写成用余弦函数表示，即
i2 (t ) 10sin(t 40) 10sin(90 t 50) 10cos(t 50) A
故相位差
1 2 60 (50) 110
第五章 正弦电路的稳态分析
示。
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1.2 相位差
假设两个正弦电压分别为
u1 (t ) U1m cos(t 1 ) u2 (t ) U 2 m cos(t 2 )
它们的相位之差称为相位差，用ψ表示，即
(t 1 ) (t 2 ) 1 2
当正弦电流i流过电阻R时，在相同的时间T内，电阻消 耗的电能为
W~ p(t )dt Ri (t )dt
2 0 0
T
T
上 式 中 p(t) 表 示 电 阻 在 任 一 瞬 间 消 耗 的 功 率 ， 即
p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)。根据有效值的定义，有
W~ W I RT Ri2 (t )dt
为周期， 单位为秒(s)。
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.1-1 周期信号
第五章 正弦电路的稳态分析
周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，用f 表示。 显然，频率与周期的关系为
1 f T
频率的单位为赫兹(Hz)。 我国电力网所供给的交流电
的频率是 50 Hz，其周期是0.02s。实验室用的音频信号源
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.1-3 相位差
第五章 正弦电路的稳态分析
例 5.1-1 已知正弦电流i(t)的波形如图 5.1-4 所示，角频率 ω=103rad/s。试写出i(t)的表达式，并求i(t)达到第一个正的最 大值的时间t1。
图 5.1-4 例 5.1-1用图
i1 (t ) 5 cos(t 36.9) A i2 (t ) 10cos(t 53.1) A
图 5.2 – 4 例 5.2 - 1用图
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
5.3 R、L、C元件VAR的相量形式 和KCL、KVL的相量形式
5.3.1 R, L, C元件VAR的相量形式
j (t i )
] I m cos(t i )
(5.2-3)
第五章 正弦电路的稳态分析
把式(5.2-3)进一步写成
i (t ) Re[ I m e
j (t i )
] Re [ I m e
j i
e jt ]
Re[ I m e
式中
jt
]
I e j i Im m
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.2-2 相量图
第五章 正弦电路的稳态分析
I m cos(t1 i )
i(t ) Re[I me jt ]
u U m cos( t u ) Re[U m e Re[U m e e
j u jt
j ( t u )
]
e jt ] ] Re[U m
第五章 正弦电路的稳态分析
4. 定理 4
设 A 和 B 为相量，ω为角频率。如果在所有时刻都满足
e jt ] Re[Be jt ] Re[ A
则
A B
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
例 5.2 – 1 电路如图 5.2 - 4(a)所示，已知电流i1和i2分别为
的 频 率 大 约 从 20~20×103Hz 左 右 ， 相 应 的 周 期 为 0.05s~0.05 ms 左右。
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.1-2 正弦电流
第五章 正弦电路的稳态分析
按正弦(余弦)规律变化的周期信号，称为正弦交流电，
简称交流电。以电流为例，其瞬时表达式为
i(t ) I m cos(t i )
若已知正弦电压u=10cos(ωt-45°) V， 则电压相量为
Um 10e j 45 10 45V
第五章 正弦电路的稳态分析
相量也可以用有效值来定义， 即
Ie ji I I m I i i 2 U Ue ju
Um U u u 2
第五章 正弦电路的稳态分析
解 由图可知，i(t)的振幅为 100A， 即
i(t ) 100cos(10 t i ) A
3
当t=0 时，电流为 50A，用t=0 代入上式，得
i (0) 100cos i 50
故
cos i 0.5
第五章 正弦电路的稳态分析
由于i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即
2 a a12 a2 a2 arctg a1
和
a1 a cos a2 a sin
实部a1和虚部a2也表示为
a1 Re[ A],
a2 Im[A]
A a
第五章 正弦电路的稳态分析
5.2.1 利用相量表示正弦信号
2 0 T
第五章 正弦电路的稳态分析
故正弦电流的有效值为
1 T 2 I 0 i (t )dt T
值再取平方根，故有效值也称为均方根值。 类似地，可得正弦电压的有效值为
(5.1-5)
正弦电流的有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均
1 T 2 U 0 u (t )dt T
第五章 正弦电路的稳态分析
1 I I m 2 1 U U m 2
第五章 正弦电路的稳态分析
5.2.2 几个定理
1. 定理 1 如果K是一个实常数，A(t)是任何实变数t的复函数，则
Re[KA(t )] KPe[ A(t )]
证明 设
A(t ) a1 (t ) ja2 (t ) KA(t ) Ka1 (t ) jKa2 (t ) Re[KA(t )] Ka1 (t ) k Re[ A(t )]
U e ju U Um m m u
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5 2 3 旋 转 相 量 及 其 在 实 轴 上 的 投 影
. -
第五章 正弦电路的稳态分析
例如，已知角频率为ω的正弦电流的相量 I 5e j 30 A ， m 那么该电流的表达式为
i(t ) 5 cos(t 30) A
5.1.3 有效值
正弦信号的有效值定义为：让正弦信号和直流电分别通
过两个阻值相等的电阻。如果在相同的时间T内(T可取为正 弦信号的周期)，两个电阻消耗的能量相等，那么，我们称
该直流电的值为正弦信号的有效值。
当直流电流I流过电阻R时，该电阻在时间T内消耗的电
能为
W I RT
2
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
5.2 利用相量表示正弦信号
一个复数既能表示成代数型，也能表示成指数型。设 A为一复数，a1和a2分别为其实部和虚部，则
A a1 ja2 ae
代数型
j
指数型
式中a称为复数A的模；φ称为复数A的辐角。
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.2-1 复数的图示
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1 正弦电压和电流
5.1.1 正弦量的三要素
所谓周期信号，就是每隔一定的时间T，电流或电压的波形
重复出现；或者说，每隔一定的时间T，电流或电压完成一个 循环。图 5.1-1 给出了几个周期信号的波形， 周期信号的数学
表示式为
f (t ) f (t kT )
式中k为任何整数。周期信号完成一个循环所需要的时间T称
则
Re[ A(t ) B(t )] a1 (t ) b1 (t ) Re[ A(t )] Re[B(t )]
第五章 正弦电路的稳态分析
3. 定理 3
设相量 A Ae j ， 则
d e jt )] Re d ( Ae jt ) Re[ jAe jt ] [Re( A dt dt
i
于是
3
3 i (t ) 100cos10 t A 3
当ωt1=π/3时，电流达到正最大值，即
i t1 10 3 1.047 ms 3
第五章 正弦电路的稳态分析
例 5.1-2 设有两频率相同的正弦电流
（t） 5 cos(t 60) A i1 i2 t） 10sin(t 40) A （
将正弦电流的表达式
i(t ) I m cos(t i )
代入(5.1-5)式， 得正弦电流的有效值为
1 I T
T
0
2 I m cos2 (t i )dt
2 1 Im T 0[1 cos2(t i )]dt T 2
1 I m 0.707I m 2
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1 正弦电压和电流 5.2 利用相量表示正弦信号 5.3 R、 L、 C元件VAR的相量形式和 KCL、KVL的相量形式 5.4 阻抗与导纳 5.5 电路基本元件的功率和能量 5.6 正弦稳态电路中的功率 5.7 正弦稳态电路中的最大功率传输 5.8 正弦稳态电路的相量分析法 5.9 三相电路概述 5.10 小结
1. 电阻元件
假设电阻R两端的电压与电流采用关联参考方向，如图
5.3 - 1 所示。设通过电阻的正弦电流为
i(t ) I m cos(t i )
第五章 正弦电路的稳态分析
5.3-1 电阻元件
第五章 正弦电路的稳态分析
对电阻元件而言，在任何瞬间，电流和电压之间满足欧 姆定律，即
u(t ) Ri(t ) RIm cos(t i ) Um cos(t u )
同理，可得正弦电压的有效值
1 U U m 0.707 m U 2
必须指出，交流测量仪表指示的电流、电压读数一般都是 有效值。 引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成
i(t ) I m cos(t i ) 2 I cos(t i ) u(t ) Um cos(t u ) 2U cos(t u )
d e jt )] d Re( Ae j (t ) ) [Re( A dt dt
d [ A cos(t )] A sin(t ) dt Re[ jAe j（t ）] Re[ jAe jt ] d jt Re ( Ae ) dt
U m RI m u i
电阻上的正弦电流和电压用相量表示为
i(t ) I m cos(t i ) Re[I me jt ]
u(t ) Um cos(t u ) Re[Ume jt ]
假设某正弦电流为
i (t ) I m cos(t i )
根据欧拉公式
e j cos j sin
可以把复指数函数Im e j(ωt+θi)展开成
I me j (t i ) I m cos(t i ) jIm sin(t i )
i(t ) Re[I me
由于正弦信号变化一周，其相位变化了2π弧度，于是有
[ (t T ) i ] (t i ) 2
2 2f T
ω表示了单位时间正弦信号变化的弧度数，称为角频率， 其单位是弧度/秒(rad/s)。当t=0时，相位角为θi ，称为初相位
或初相角，简称初相。工程上为了方便，初相角θi常用角度表
则 故
第五章 正弦电路的稳态分析
2. 定理 2 如果A(t)和B(t)是任何实变数t的复函数，则
Re[ A(t ) B(t )] Re[ A(t )] Re[B(t )]
Leabharlann Baidu证明 设
A(t ) a1 (t ) ja2 (t ), B(t ) b1 (t ) ja2 (t ),
问哪个电流滞后，滞后的角度是多少? 解 首先把i2(t)改写成用余弦函数表示，即
i2 (t ) 10sin(t 40) 10sin(90 t 50) 10cos(t 50) A
故相位差
1 2 60 (50) 110
第五章 正弦电路的稳态分析
示。
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1.2 相位差
假设两个正弦电压分别为
u1 (t ) U1m cos(t 1 ) u2 (t ) U 2 m cos(t 2 )
它们的相位之差称为相位差，用ψ表示，即
(t 1 ) (t 2 ) 1 2
当正弦电流i流过电阻R时，在相同的时间T内，电阻消 耗的电能为
W~ p(t )dt Ri (t )dt
2 0 0
T
T
上 式 中 p(t) 表 示 电 阻 在 任 一 瞬 间 消 耗 的 功 率 ， 即
p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)。根据有效值的定义，有
W~ W I RT Ri2 (t )dt
为周期， 单位为秒(s)。
第五章 正弦电路的稳态分析
图 5.1-1 周期信号
第五章 正弦电路的稳态分析
周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，用f 表示。 显然，频率与周期的关系为
1 f T
频率的单位为赫兹(Hz)。 我国电力网所供给的交流电
的频率是 50 Hz，其周期是0.02s。实验室用的音频信号源