2015年高考真题——理科数学(北京卷) 含解析
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是符合题目要求的.
1.1．复数 i2 i
A．1 2i 【答案】A 【解析】
B．1 2i
C． 1 2i
D． 1 2i
试题分析：i(2 i) 1 2i
考点：复数运算
x y ≤0， 2.若 x ， y 满足 x y ≤1， 则 z x 2 y 的最大值为
x ≥ 0，
A．0 【答案】D
B．若 a1 a3 0 ，则 a1 a2 0
D．若 a1 0 ，则 a2 a1 a2 a3 0
考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法
7.如图，函数 f x 的图象为折线 ACB ，则不等式 f x≥ log2 x 1 的解集是
A． x | 1 x ≤ 0 C． x | 1 x ≤1
sin C
sin C
c
2bc
6
256
考点：正弦定理、余弦定理
13.在 △ABC 中，点 M ， N 满足 AM 2MC ， BN NC ．若 MN x AB y AC ，则 x
；y
．
【答案】 1 , 1 26
【解析】
试题分析：特殊化，不妨设 AC AB ,AB 4,AC 3 ，利用坐标法，以 A 为原点，
【答案】C 【解析】
B．x | 1≤ x ≤1 D． x | 1 x ≤ 2
考点：1.函数图象；2.解不等式. 8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在
不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 【解析】 试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗 1 升汽油，最
车更省油,选 D.
考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.
第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（共 6 个小题，每题 5 分，共 30 分）
9.在 2 x5 的展开式中， x3 的系数为
．（用数字作答）
【答案】40
【解析】
试题分析：利用通项公式，Tr 1
C r 25r 5
AD=BD=1,PC=1,
1
1
PD
5,S ABC
2 2 2 2,, SPAB
2 2
5
5 , AC BC
5，
S PAC
S PBC
1 2
51
5 2 ,三棱锥表面积 S表
2
5 2.
考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.
6.设 an 是等差数列. 下列结论中正确的是
A．若 a1 a2 0 ，则 a2 a3 0 C．若 0 a1 a2 ，则 a2 a1a3 【答案】C
x r ，令 r
3 ，得出 x 3 的系数为
C3 5
22
40
考点：二项式定理
10.已知双曲线
x2 a2
y2
1a
0 的一条渐近线为
3x y 0 ，则 a
．
3
【答案】
3
考点：双曲线的几何性质
11.在极坐标系中，点
2
‚
π 3
到直线
cos
3 sin
6 的距离为
．
【答案】1
【解析】
试题分析：先把点(2, )极坐标化为直角坐标(1, 3)，再把直线的极坐标方程
“ m ∥ ”是“ ∥ ”的必要而不充分条件. 考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件. 5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
A． 2 5 【答案】C 【解析】
B． 4 5
C． 2 2 5
D．5
试题分析：根据三视图恢复成三棱锥 P-ABC ，其中 PC 平面 ABC，取 AB 棱的中点 D， 连接 CD、PD，有 PD AB ,CD AB ，底面 ABC 为等腰三角形底边 AB 上的高 CD 为 2，
Fra Baidu bibliotek
3 AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，建立直角坐标系，A(0,0),M(0,2),C(0,3),B(4,0),N(2, ) ，
3
cos 3 sin 6 化为直角坐标方程 x 3y 6 0 ，利用点到直线距离公式
136
d
1.
13
考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.
12.在 △ABC 中， a 4 ， b 5 ， c 6 ，则 sin 2A
．
sin C
【答案】1
【解析】
试题分析：
sin 2A 2 sin A cos A 2a b 2 c 2 a 2 2 4 25 36 16 1
B．1
C． 3 2
D．2
【解析】
试题分析：如图，先画出可行域，由于 z
x 2y ，则 y
1 x
1 z
，令 Z
0，
22
作直线 y 1 x ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2
得最小值 2.
考点：线性规划；
3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A． 2，2
多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲
燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，甲
车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km，消耗 8 升汽油，C 错误，D 中某城市机动
车最高限速 80 千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙
2015 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）
本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项
B． 4，0
C． 4， 4 D． 0， 8
【答案】B
考点：程序框图 4.设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂ ．“ m ∥ ”是“ ∥ ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
试题分析：因为 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m ⊂ ．若“ m ∥ ”，则平面、 可能相交也可能平行，不能推出 // ，反过来若 // ， m ，则有 m ∥ ，则
1.1．复数 i2 i
A．1 2i 【答案】A 【解析】
B．1 2i
C． 1 2i
D． 1 2i
试题分析：i(2 i) 1 2i
考点：复数运算
x y ≤0， 2.若 x ， y 满足 x y ≤1， 则 z x 2 y 的最大值为
x ≥ 0，
A．0 【答案】D
B．若 a1 a3 0 ，则 a1 a2 0
D．若 a1 0 ，则 a2 a1 a2 a3 0
考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法
7.如图，函数 f x 的图象为折线 ACB ，则不等式 f x≥ log2 x 1 的解集是
A． x | 1 x ≤ 0 C． x | 1 x ≤1
sin C
sin C
c
2bc
6
256
考点：正弦定理、余弦定理
13.在 △ABC 中，点 M ， N 满足 AM 2MC ， BN NC ．若 MN x AB y AC ，则 x
；y
．
【答案】 1 , 1 26
【解析】
试题分析：特殊化，不妨设 AC AB ,AB 4,AC 3 ，利用坐标法，以 A 为原点，
【答案】C 【解析】
B．x | 1≤ x ≤1 D． x | 1 x ≤ 2
考点：1.函数图象；2.解不等式. 8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在
不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 【解析】 试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗 1 升汽油，最
车更省油,选 D.
考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.
第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（共 6 个小题，每题 5 分，共 30 分）
9.在 2 x5 的展开式中， x3 的系数为
．（用数字作答）
【答案】40
【解析】
试题分析：利用通项公式，Tr 1
C r 25r 5
AD=BD=1,PC=1,
1
1
PD
5,S ABC
2 2 2 2,, SPAB
2 2
5
5 , AC BC
5，
S PAC
S PBC
1 2
51
5 2 ,三棱锥表面积 S表
2
5 2.
考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.
6.设 an 是等差数列. 下列结论中正确的是
A．若 a1 a2 0 ，则 a2 a3 0 C．若 0 a1 a2 ，则 a2 a1a3 【答案】C
x r ，令 r
3 ，得出 x 3 的系数为
C3 5
22
40
考点：二项式定理
10.已知双曲线
x2 a2
y2
1a
0 的一条渐近线为
3x y 0 ，则 a
．
3
【答案】
3
考点：双曲线的几何性质
11.在极坐标系中，点
2
‚
π 3
到直线
cos
3 sin
6 的距离为
．
【答案】1
【解析】
试题分析：先把点(2, )极坐标化为直角坐标(1, 3)，再把直线的极坐标方程
“ m ∥ ”是“ ∥ ”的必要而不充分条件. 考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件. 5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
A． 2 5 【答案】C 【解析】
B． 4 5
C． 2 2 5
D．5
试题分析：根据三视图恢复成三棱锥 P-ABC ，其中 PC 平面 ABC，取 AB 棱的中点 D， 连接 CD、PD，有 PD AB ,CD AB ，底面 ABC 为等腰三角形底边 AB 上的高 CD 为 2，
Fra Baidu bibliotek
3 AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，建立直角坐标系，A(0,0),M(0,2),C(0,3),B(4,0),N(2, ) ，
3
cos 3 sin 6 化为直角坐标方程 x 3y 6 0 ，利用点到直线距离公式
136
d
1.
13
考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.
12.在 △ABC 中， a 4 ， b 5 ， c 6 ，则 sin 2A
．
sin C
【答案】1
【解析】
试题分析：
sin 2A 2 sin A cos A 2a b 2 c 2 a 2 2 4 25 36 16 1
B．1
C． 3 2
D．2
【解析】
试题分析：如图，先画出可行域，由于 z
x 2y ，则 y
1 x
1 z
，令 Z
0，
22
作直线 y 1 x ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2
得最小值 2.
考点：线性规划；
3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A． 2，2
多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲
燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，甲
车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km，消耗 8 升汽油，C 错误，D 中某城市机动
车最高限速 80 千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙
2015 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）
本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项
B． 4，0
C． 4， 4 D． 0， 8
【答案】B
考点：程序框图 4.设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂ ．“ m ∥ ”是“ ∥ ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
试题分析：因为 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m ⊂ ．若“ m ∥ ”，则平面、 可能相交也可能平行，不能推出 // ，反过来若 // ， m ，则有 m ∥ ，则