高等代数第二章多项式教案

第二章 多项式

教学目的要求 一元多项式在本章中占有突出的重要位置．它对培养、提高 学生的数学素质是非常必要的.应着重掌握以下问题：多项式的确切定义、多项 式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项 式与方程的联系与区别、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实 数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及基本定理等．

教学内容及学时分配 多项式的定义和运算（2 学时）；多项式的整除性（4 学时）；最大公因式（4 学时）；因式分解定理（4 学时）；重因式（4 学时）；多 项式函数及多项式的根（4 学时）；复数域和实数域上的多项式（4 学时）；有理 数域上的多项式（4 学时）多元多项式；对称多项式（2 学时）；习题课（2 学时）．

重点、难点 理解基本概念，掌握一元多项式次数定理，多项式的乘法消去 律；带余除法定理的证明及应用，多项式因式分解的存在唯一性定理，多项式的 可约与数域有关，多项式没有重因式的充分必要条件，余数定理，综合除法，代 数基本定理，C 、R 、Q 上多项式，多元多项式的字典排列法，初等对称多项式表 示对称多项式．

教学手段 传统教学和多媒体教学相结合．

2．1 一元多项式的定义和运算

教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 重点、难点 一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律． 教学过程 讲授练习．

１.多项式的定义

令 R 是一个数环,并且 R 含有数 1,因而 R 含有全体整数.在这一章里,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复 先讨论R 上一元多项式

定义 1 数环 R 上一个文字 x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式

n

n x a x a x a a ,2210 +++ ， （１）

这里 n 是非负整数而n a a a a ,,,,210 都是 R 中的数.

在多项式(1)中,0a 叫做零次项或常数项, x a 1 叫做一次项,一般, i

i x a 叫做 i 次

项, i a 叫做 i 次项的系数.

一元多项式常用符号 f(x),g(x),⋯来表示.

2. 相等多项式:

定义 2 若是数环 R 上两个一元多项式 f(x)和 g(x)有完全相同的项,或者只

差一些系数为零的项,那么 f(x)和 g(x)说是相等;

f (x)=g(x)

非负整数 n 叫做多项式n

n x a x a x a a ,2210 +++ ,( 0≠n a )的次数.

系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式.按照定义2,零多项式

总可以记为 0.以后谈到多项式 f(x)的次数时,总假定 f(x)≠0.

多项式的次数有时就简单地记作()()x f 0

∂.

3. 多项式的运算:

()n

n x a x a a x f +++= 10 ()m

m x b x b b x g +++= 10

是数环 R 上两个多项式，并且设 m ≤n ，多项式 f(x)与 g(x)的和 f(x)+g(x)指的是

多项式

()()()()n

n n m m m x b a x b a x b a b a +++++++++ 1100

这里当 m

多项式 f(x)与 g(x)的积 f(x)g(x)指的是多项式

m

n m n x c x c c +++++ 10

这里

m n k b a b a b a b a c k k k k k +=++++=--,,1,0,011110 我们定义 f(x)和 g(x)的差

f(x)-g(x)= f(x)+(-g(x)) 4. 多项式加法和乘法的运算规则

① 加法交换律: f(x)+g(x)= g(x) + f(x)；

② 加法结合律: (f(x)+g(x))+h(x)= f(x)+(g(x)+h(x)) ; ③ 乘法交换律: f(x)g(x)=g(x)f(x);

④ 乘法结合律: (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x));

⑤ 乘法对加法的分配律: f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x) 有时候把一个多项式按"降幂"书写是方便的，这时将多项式写成

n n n n a x a x a x a ++++--11

10 ⑵

当00≠a 时，n

x a 0叫做多项式⑵的首项 5. 多项式的运算性质

定理 2.1.1 设 f(x)和 g(x)是数环 R 上两个多项式,并且 f(x)≠0, g(x)≠0.

那么

a) 当 f(x)+g(x)≠0 时, ()()()()()()()()x g x f x g x f 000

,m ax ∂∂≤+∂ b) ()()()()()()()x g x f x g x f o

00∂+∂=∂ 证： 设()()()()m x g n x f =∂=∂

00

,

()0,10≠+++=n n

n a x a x a a x f ， ()0,10≠+++=m m

m b x b x b b x g ，

并且n m ≤.那么

()()()()()n

n n x b a x b a b a x g x f ++++++=+ 1100， ⑶ ()()()m

n m n x b a b a b a b a x g x f +++++= 011000， ⑷

由（3），f(x)+g(x)的次数显然不超过 n ，另一方面，由 a n ≠0，b m ≠0 得 a n b m ≠0．所

以由(5)得 f(x)g(x)的次数是 n +m.

推论 2.1.2 f(x)g(x)=0 必要且只要 f(x)和 g(x)中至少有一个是零多式．

证 若是 f(x)和 g(x)中有一个是零多项式，那么由多项式乘法定义得

f(x)g(x)=０(x)≠0 且 g(x)≠0，那么由上面定理的证明得 f(x)g(x)≠0．

推论 2.1.3 若是 f(x)g(x)= f(x)h(x),且 f(x)≠0，那么 h(x)=g(x)