高等代数第二章多项式教案
多项式教案
多项式教案一、教学目标：1. 理解什么是多项式，并能根据给定的多项式进行分类。
2. 掌握多项式的加减乘除运算方法。
3. 能应用多项式进行实际问题的求解。
二、教学重点：1. 多项式的定义和分类。
2. 多项式的加减乘除运算方法。
三、教学难点：1. 多项式的加减乘除运算方法。
2. 学生能够应用多项式进行实际问题的求解。
四、教学准备：1. 教学课件。
2. 教学板书工具。
3. 练习题和实例题集。
五、教学过程：Step 1：导入新知1. 引导学生回顾一元多项式和二元多项式的概念和运算方法。
2. 提问：如果一个多项式有多个变量，该怎么表示和计算？Step 2：多项式的定义与分类1. 定义多项式：多项式是由单项式经过加法或减法运算得到的代数式。
2. 引导学生观察一些多项式的例子，讨论多项式的特点和分类。
a. 根据项的次数分类：一次多项式、二次多项式、三次多项式等。
b. 根据项的系数分类：同类项、异类项。
c. 根据变量的个数分类：一元多项式、二元多项式等。
Step 3：多项式的加减运算1. 回顾单项式的加减运算规则。
2. 引导学生观察和总结多项式的加减运算规则。
3. 给出多项式的加减运算的实例，让学生进行计算。
Step 4：多项式的乘法运算1. 回顾单项式的乘法运算规则。
2. 引导学生观察和总结多项式的乘法运算规则。
3. 给出多项式的乘法运算的实例，让学生进行计算。
Step 5：多项式的除法运算1. 引导学生思考如何进行多项式的除法运算。
2. 解释多项式的除法运算规则，并给出实例进行演示。
3. 让学生自己尝试进行多项式的除法运算。
Step 6：应用实际问题1. 设计一些与多项式相关的实际问题，让学生运用所学的知识解决问题。
2. 通过讨论和展示解题过程，加深学生对多项式的理解和应用能力。
六、教学总结：1. 复习多项式的定义和分类。
2. 总结多项式的加减乘除运算规则。
3. 强调多项式的实际应用。
七、作业布置：1. 完成课后习题。
高等代数第二章多项式教案
第二章 多项式教学目的要求 一元多项式在本章中占有突出的重要位置．它对培养、提高 学生的数学素质是非常必要的.应着重掌握以下问题：多项式的确切定义、多项 式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项 式与方程的联系与区别、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实 数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及基本定理等．教学内容及学时分配 多项式的定义和运算（2 学时）；多项式的整除性（4 学时）；最大公因式（4 学时）；因式分解定理（4 学时）；重因式（4 学时）；多 项式函数及多项式的根（4 学时）；复数域和实数域上的多项式（4 学时）；有理 数域上的多项式（4 学时）多元多项式；对称多项式（2 学时）；习题课（2 学时）．重点、难点 理解基本概念，掌握一元多项式次数定理，多项式的乘法消去 律；带余除法定理的证明及应用，多项式因式分解的存在唯一性定理，多项式的 可约与数域有关，多项式没有重因式的充分必要条件，余数定理，综合除法，代 数基本定理，C 、R 、Q 上多项式，多元多项式的字典排列法，初等对称多项式表 示对称多项式．教学手段 传统教学和多媒体教学相结合．2．1 一元多项式的定义和运算教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 重点、难点 一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律． 教学过程 讲授练习．１.多项式的定义令 R 是一个数环,并且 R 含有数 1,因而 R 含有全体整数.在这一章里,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复 先讨论R 上一元多项式定义 1 数环 R 上一个文字 x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式n n x a x a x a a ,2210 +++ ， （１）这里 n 是非负整数而n a a a a ,,,,210 都是 R 中的数.在多项式(1)中,0a 叫做零次项或常数项, x a 1 叫做一次项,一般, i i x a 叫做 i 次项, i a 叫做 i 次项的系数.一元多项式常用符号 f(x),g(x),⋯来表示.2. 相等多项式:定义 2 若是数环 R 上两个一元多项式 f(x)和 g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么 f(x)和 g(x)说是相等;f (x)=g(x) 非负整数 n 叫做多项式n n x a x a x a a ,2210 +++ ,( 0≠n a )的次数.系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式.按照定义2,零多项式总可以记为 0.以后谈到多项式 f(x)的次数时,总假定 f(x)≠0.多项式的次数有时就简单地记作()()x f 0∂.3. 多项式的运算:()n n x a x a a x f +++= 10 ()m m x b x b b x g +++= 10是数环 R 上两个多项式，并且设 m ≤n ，多项式 f(x)与 g(x)的和 f(x)+g(x)指的是多项式()()()()n n n m m m x b a x b a x b a b a +++++++++ 1100 这里当 m<n 时,取01===+n m b b多项式 f(x)与 g(x)的积 f(x)g(x)指的是多项式m n m n x c x c c +++++ 10 这里m n k b a b a b a b a c k k k k k +=++++=--,,1,0,011110 我们定义 f(x)和 g(x)的差f(x)-g(x)= f(x)+(-g(x)) 4. 多项式加法和乘法的运算规则① 加法交换律: f(x)+g(x)= g(x) + f(x)；② 加法结合律: (f(x)+g(x))+h(x)= f(x)+(g(x)+h(x)) ; ③ 乘法交换律: f(x)g(x)=g(x)f(x);④ 乘法结合律: (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x));⑤ 乘法对加法的分配律: f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x) 有时候把一个多项式按"降幂"书写是方便的，这时将多项式写成 n n n n a x a x a x a ++++--1110 ⑵ 当00≠a 时，n x a 0叫做多项式⑵的首项 5. 多项式的运算性质定理 2.1.1 设 f(x)和 g(x)是数环 R 上两个多项式,并且 f(x)≠0, g(x)≠0.那么a) 当 f(x)+g(x)≠0 时,()()()()()()()()x g x f x g x f 000,max ∂∂≤+∂ b) ()()()()()()()x g x f x g x f o 00∂+∂=∂ 证： 设()()()()m x g n x f =∂=∂00,()0,10≠+++=n n n a x a x a a x f ， ()0,10≠+++=m m m b x b x b b x g ， 并且n m ≤.那么()()()()()n n n x b a x b a b a x g x f ++++++=+ 1100， ⑶ ()()()m n m n x b a b a b a b a x g x f +++++= 011000， ⑷由（3），f(x)+g(x)的次数显然不超过 n ，另一方面，由 a n ≠0，b m ≠0 得 a n b m ≠0．所以由(5)得 f(x)g(x)的次数是 n +m.推论 2.1.2 f(x)g(x)=0 必要且只要 f(x)和 g(x)中至少有一个是零多式．证 若是 f(x)和 g(x)中有一个是零多项式，那么由多项式乘法定义得f(x)g(x)=０(x)≠0 且 g(x)≠0，那么由上面定理的证明得 f(x)g(x)≠0．推论 2.1.3 若是 f(x)g(x)= f(x)h(x),且 f(x)≠0，那么 h(x)=g(x)证 由 f(x)g(x)= f(x)h(x)得 f(x)(g(x)-h(x))=0．f(x)≠0，所以由推论2.1.2 必有 g(x)-h(x)=0,即 g(x)=h(x).由于推论 2.1.3 成立,我们说,多项式的乘法适合消去法。
《多项式教案》
《多项式教案》word版一、教学目标：1. 让学生理解多项式的概念，掌握多项式的定义及其相关性质。
2. 培养学生运用多项式进行数学运算的能力，提高解决问题的能力。
3. 培养学生团队协作精神，提高学生数学思维能力。
二、教学内容：1. 多项式的定义与相关性质2. 多项式的运算规则3. 多项式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：多项式的概念、性质及运算规则。
2. 难点：多项式在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解多项式的定义、性质及运算规则。
2. 运用案例分析法，分析多项式在实际问题中的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作精神。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实际例子，引导学生思考多项式的概念。
2. 讲解：详细讲解多项式的定义、性质及运算规则。
3. 案例分析：分析多项式在实际问题中的应用。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题思路。
5. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点知识点。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对多项式概念的理解程度，通过课堂提问和作业批改进行评估。
2. 评价学生多项式运算的熟练程度，通过课堂练习和小测验进行评估。
3. 评价学生在实际问题中应用多项式的能力，通过案例分析和课后项目进行评估。
七、教学资源：1. 教材：《高中数学教材》相关章节。
2. 课件：制作多媒体课件，辅助讲解多项式的定义和性质。
3. 练习题：准备一系列的多项式运算练习题，用于课堂练习和学生自学。
4. 案例分析材料：收集一些实际问题，用于引导学生应用多项式解决问题。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍多项式的定义和基本性质。
2. 第二课时：讲解多项式的运算规则。
3. 第三课时：案例分析，展示多项式在实际问题中的应用。
4. 第四课时：小组讨论，学生展示自己的解题过程。
5. 第五课时：总结本单元内容，布置课后作业。
九、课后作业：1. 完成教材后的多项式练习题。
高等代数课件 第二章
三、 多项式的带余除法定理
定理 设f x, gx F[x] ，且 gx 0，则存在
qx, rxF[x], 使得
f x gxqx rx
这里 rx 0，或者 0 rx 0 gx. 并且满足上述条件的 qx和r(x) 只有一对。
注1： qx, rx分别称为 gx除f (x)所得的商式和
余式
注2： gx 0, gx| f x rx 0.
使以下等式成立:
f xux gxvx dx
三、多项式的互素
1. 互素的定义
定义 3 如果 Fx 的两个多项式除零次多项式外
不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
2. 互素的性质
(1)定理 2.3.3 Fx的两个多项式 f x与gx 互素
的充分且必要条件是：在 Fx中可以求得多项式 ux
二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素概念. 2.熟练掌握辗转相除法 3.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题
一、最大公因式的定义
定义 1 令 f x和 gx是F [x]的两个多项式，若 是F [x]的一个多项式hx 同时整除 f x和gx ，那么 hx 叫做 f x与gx的一个公因式.
f1x, f2 x,, fk x,及 q1x, q2 x,, qk x,
使得
fk1x fk x qk1xgx
而
0 f x 0 f1x 0 gx
由于多项式 f1x, f2x,的次数是递降的, 故存在k使
fk x 0或0 fk x 0gx ，于是
qx q1x qk x及rx fk x
系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
高等代数第二章
q x , r x F[ x], 使得 f x g x q x r x
这里 r x 0 ，或者 0 r x 0 g x .
并且满足上述条件的 q x 和r ( x) 只有一对。
注1： q x , r x 分别称为 g x 除f ( x )所得的商式和 余式 注2： g x 0, g x | f x r x 0.
证：先证定理的前一部分——存在性.
（i）若 f x 0 , 或
0 f x 0 g x .
则可以取
q x 0, r x f x 0 0 g x . 把f x 和g ( x) f x , 且 （ii）若 f x 0
g x 不能整除 f x ，记为
二、 多项式整除性的一些基本性质
（1） h x | g x , g x | f x h x | f x
（2） h x | f x , h x | g x h x | f x g x
f x a 0 a1 x a 2 x 2 a n x n
g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
2
f(x)和g(x)的乘法定义为
f x g x c 0 c1 x c 2 x c n n x
证 由 f x g x f x hx 得 f x g x h x 0 。但
f x 0。所以由推论1必有 g x h x 0 ,即
g x h x
例
当 a, b, c 是什么数时，多项式
多项式的教案
多项式的教案标题：多项式的教案教案目标:- 理解多项式的基本概念、术语和符号，并能够正确使用它们。
- 掌握多项式的加法和减法运算，能够进行简单的多项式运算。
- 理解多项式的乘法规则和特殊情况，能够使用这些规则进行多项式的乘法运算。
- 了解多项式的因式分解，能够简化和分解给定的多项式。
- 应用多项式解决实际问题。
教案步骤:引入阶段:1. 创造兴趣: 通过提出一个有趣的数学问题或引言，激发学生对多项式的兴趣，如“你有没有过一次多项式运算的经历？”或者“你想知道如何因式分解一个多项式吗？”。
2. 激活思维: 向学生展示几个简单的代数表达式，并引导他们思考这些表达式之间是否存在某种关系。
讲解阶段:3. 多项式基础知识: 介绍多项式的定义、术语和符号，如项、系数、次数等。
提供一些具体的例子来解释这些概念。
4. 多项式的加法和减法: 解释多项式的加法和减法运算规则，并通过一些实例演示如何进行多项式的相加和相减运算。
5. 多项式的乘法: 介绍多项式的乘法规则和特殊情况，如同底数幂相乘、乘方公式等。
提供一些实例来说明这些规则的应用。
6. 多项式的因式分解: 讲解多项式的因式分解方法，并演示如何根据特定因式分解公式将多项式简化或分解。
7. 实际问题应用: 给学生提供一些实际问题，要求他们将其转化为多项式，并解决这些问题。
引导学生使用所学的知识和技巧来解决问题。
练习阶段:8. 练习与巩固: 给学生一些练习题，包括多项式的加减运算、乘法运算和因式分解题目。
鼓励学生积极参与解题过程，并及时纠正他们的错误。
9. 考核与评估: 设计一些评估题目，考察学生对多项式的理解和应用能力。
可以包括选择题、填空题或解答题。
总结阶段:10. 总结与回顾: 回顾本节课所学的内容，并概括其中的重点和难点。
强调多项式在数学中的重要性和应用领域。
11. 拓展与延伸: 提供一些相关的学习资源或推荐阅读，以便有兴趣的学生进一步扩展他们对多项式的理解和应用能力。
高等代数教案第二章多项式
⾼等代数教案第⼆章多项式第⼆章多项式⼀综述1. 多项式是中学代数的主要内容之⼀.本章从两个不同的⾓度对⼀元多项式进⾏了讨论；⾸先⽤纯代数的观点,从⼀元多项式的⼀般形式⼊⼿,在⼀般数域上讨论了⼀元多项式,围绕着⼀元多项式的因式分解这⼀中⼼内容,分别讨论了⼀元多项式的概念.运算.整除理论.最⼤公因式和重因式等内容,从⽽建⽴了⼀元多项式的⼀般理论；然后⽤代数的观点进⼀步在具体数域（即,,C R Q ）上讨论了⼀元多项式的根与因式分解问题,从⽽在具体数域上发展了多项式的因式分解理论.在学习⼀元多项式的基础上,鉴于多元多项式的复杂性,仅讨论了多元多项式的基本概念与对称多项式基本定理及应⽤.2. 本章内容学⽣部分熟悉,但如此严格地系统讨论⼀元多项式的整除理论及多项式的因式分解和多项式的根的问题还是初次见到,特别是对于准确地刻化概念.严谨地推导论述,学⽣很不习惯,因此在教学中要注意训练学⽣正确掌握概念.学会推理有理有据,做好⽰范.⼆内容、要求1. 内容：⼀元多项式的定义和运算.多项式的整除性（整除、带余除法）.最⼤公因式（概念.性质.辗转相除法.互素）.唯⼀分解定理.重因式.多项式函数与多项式的根.复数.实数.有理数域上的多项式的因式分解.有理数域上的多项式的可约性及有理根.多元多项式.对称多项式（不讲）.2. 要求：掌握数域上的⼀元多项式的概念.运算.次数定理及应⽤；理解多项式的整除概念和性质,理解和掌握带余除法；掌握最⼤公因式的概念.性质.求法,以及多项式互素的概念和性质；理解不可约多项式的概念,掌握多项式的唯⼀分解定理；理解多项式的导数及重因式的概念,掌握多项式有⽆重因式的判别法；掌握多项式函数及多项式的根的概念；掌握复.实数域上的多项式因式分解定理；熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法.2.1 ⼀元多项式的定义和运算⼀教学思考1. 本节纯形式地定义了⼀元多项式的概念及有关运算（加.减.乘）.从中注意⼀元多项式的定义与中学数学中多项式的联系与区别,以及多项式相等的概念分析.另外⼀个重要的结论是所谓的“次数定理”,其本⾝证明易于理解,重要的是应⽤它证明有关问题.2. 本节内容较简,注意概念的准确.严密.⼆教学过程1. 基本概念定义1. 数环R 上⼀个⽂字x 的多项式或⼀元多项式指的是形式表达式：2012n n a a x a x a x ++++ （1）其中,(1,2,,)i n N a R i n ∈∈=.定义2. 若数环R 上两个⼀元多项式(),()f x g x 具有完全相同的项,或者仅差⼀些系数为0的项,则称()f x 和()g x 相等.记作()()f x g x =.定义 3. 若2012()n n f x a a x a x a x =++++ (0)n a ≠,n n a x 叫做()f x 的最⾼次项,⾮负整数n 叫做()f x 的次数,记作(())f x ??.（即(()))f x n ??=.定义4. 设2012()n n f x a a x a x a x =++++,2012()m m g x b b x b x b x =++++是数环R 上两个多项式,且m n ≤；（1）()f x 与()g x 的和（记为）()()f x g x +指的是多项式：0011()()()()m n m m n n a b a b x a b x a b x +++++++++,这⾥m n <时,取10m n b b +===.（2）()f x 与()g x 的积（记为）()()f x g x 指的是多项式： 2012m n m n c c x c x c x ++++++,其中011110k k k k k c a b a b a b a b --=++++,(0,1,2,,)k m n =+.（3）由多项式运算的定义,数环R 上两个多项式(),()f x g x 的和.差.积的系数可由(),()f x g x 的系数的和.差.积表⽰,由于(),()f x g x的系数属于R ,因⽽它们的和.差.积也属于R ,所以数环R 上两个多项式的和差积仍是数环R 上的多项式,故可类于数环的概念：我们⽤[]R x 表⽰数环R 上⽂字x 的多项式的全体,且把其中如上定义了加法和乘法的[]R x 叫做数环R 上的⼀元多项式环.2. 基本定理多项式的加法和乘法满⾜如下算律：设(),()f x g x ,()h x ∈[]R x ,A ）()()()(),()()()()f x g x g x f x f x g x g x f x +=+=；（交换律）B ）(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++,(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x =；（结合律）C ）()(()())()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+；（分配律）TH2.1.1（次数定理）设(),()f x g x ∈[]R x ,且()0f x ≠,()0g x ≠；则（1）当()()0f x g x +≠时,{}000(()())max (()),(())f x g x f x g x ?+≤??；（2）000(()())(())(())f x g x f x g x ?=?+?.Cor2.1.2 ()()0()0,()0f x g x f x g x =?==⾄少有⼀个成⽴.Cor2.1.3 （乘法消去律）若()()()()f x g x f x h x =⽽()0f x ≠,则()()g x h x =.2．2多项式的整除性⼀教学思考1. 在[]R x 内,除法不是永远可以施⾏的,因此关于多项式的整除性的研究,也就是⼀个多项式能否除尽另⼀个多项式的研究,在多项式理论中占有重要地位.本节限于数域F 上讨论多项式的整除性,其与整数的整除性类似,注意对照学习.2. 多项式的整除性是多项式之间的⼀种关系（等价关系）,为加深对此概念的理解,需掌握⼀些特殊多项式（零多项式,零次多项式）间的整除关系及整除的性质.3. 数域F 上任意两个多项式总有带余除法结论成⽴,其证法思想是在中学代数中多项式的长除法的运算表⽰实质的⼀般化,唯⼀性⽤同⼀法.4. 证明()|()f x g x 的思想可从定义.带余除法得到的充要条件以及将()g x 分解成两项之和⽽每⼀项能被()f x 整除,或将()g x 分离出()f x 作为⼀个因⼦来考虑.5. 整除性不随数域扩⼤⽽改变是由带余除法得到的⼀个⾮显⽽易见的结论.⼆内容、重点.要求1. 内容：⼀元多项式整除的定义.性质,带余除法.2. 重点：整除的定义.带余除法定理（它是判断整除.最⼤公因式及多项式的根的基础）.3. 要求：正确理解掌握整除概念.性质,掌握带余除法定理.三.教学过程1. 多项式的整除及性质定义1. 设(),()[],f x g x F x ∈若()[]h x F x ?∈使得 ()()()g x f x h x = （1）则称()f x 整除（除尽）()g x ；⽤符号()|()f x g x 表⽰.⽤符号()|()f x g x 表⽰()f x 不整除()g x ,（即对()[]h x F x ?∈都有()()()g x f x h x ≠）.当()|()f x g x 时,称()f x 是()g x 的⼀个因式,()g x 是()f x 的⼀个倍式.A ）若()|()f x g x .()|()g x h x ,则()|()f x h x ；（传递性）B ）若()|()h x f x .()|()h x g x ,则()|(()())h x f x g x ±；C ）若()|()f x g x ,则对()[]h x F x ?∈有()|()()f x g x h x ；特别2()|()f x f x ,()|(),()n f x f x n N ∈；D ）由B.C 若()|(),(1,2,,)i f x g x i n =,则对 ()[],(1,2,,)i h x F x i n ?∈=,有1()|()()n i i i f x g x h x =∑；E ）零次多项式整除任⼀多项式；F ）对()[]f x F x ∈,有()|(),,0cf x f x c F c ∈≠；特别()|()f x f x ；G ）若()|()f x g x .()|()g x f x ,则()(),,0f x cg x c F c =∈≠.2. 带余除法TH2.2.1（带余除法）设(),()[]f x g x F x ∈,且()0g x ≠,则（1）(),()[]q x r x F x ?∈使得()()()()f x g x q x r x =+；（*）其中()0r x =或00(())(())r x g x ?（2）满⾜（*）式及条件的(),()q x r x 只有⼀对.Cor1.设(),()[]f x g x F x ∈,（1）()0,()|()()0g x g x f x f x =?=；（2）()0,()|()()g x g x f x g x ≠?除()f x 的余式为0.Cor2. 设,F F 是两个数域,且F F ?,若(),()[]f x g x F x ∈,且在[]F x 内()|()g x f x ,则在[]F x 内()|()g x f x .（即多项式的整除性不随数域的扩⼤⽽改变.）2．3 多项式的最⼤公因式⼀教学思考1. 本节讨论了最⼤公因式的概念、性质（包括个数之间关系）及求法,互素的概念及性质.从内容上看与整数的整除性的有关内容是平⾏的,不难理解,但须注意其不同的特征.2. 为理解最⼤公因式,讨论⼀下两个零多项式及零多项式与⼀个⾮零多项式的最⼤公因式的问题、最⼤公因式的存在性.个数定理包含了最⼤公因式理论的所有问题,其中个数及之间关系由定义不难证明,重要的是存在性,其证明过程实质上是⼀种求法——辗转相除法.3. 互素是⽤最⼤公因式（为1）来定义的,此可解释其中的含义（仅有零次公因式）,这有利于验证性质；定义本⾝也包含了证明互素的⽅法（求最⼤公因式）.4. 由于最⼤公因式的求法——辗转相除法,实质是重复实施带余除法,所以由带余除法的特性（唯⼀性）可证多项式的最⼤公因式不随数域的扩⼤⽽改变.⼆内容、重点.要求1. 内容：最⼤公因式的概念、性质（包括个数.之间关系）及求法,互素的概念.性质及判定.2. 重点：最⼤公因式的概念、性质及求法.3. 要求：理解掌握上述有关概念、性质,掌握辗转相除法.三教学过程1. 多项式的最⼤公因式（1）定义1. 设(),(),()[]f x g x h x F x ∈,若()|(),()|()h x f x h x g x ,则称()h x 是()f x 与()g x 的⼀个公因式.定义2. 设(),(),()[]f x g x d x F x ∈,若()d x 满⾜：A ）()|(),()|()d x f x d x g x ；（()d x 是()f x 与()g x 的⼀个公因式）B ）对()[]h x F x ?∈,若()|(),()|()h x f x h x g x ,则有()|()h x d x .则称()d x 是()f x 与()g x 的⼀个最⼤公因式.（2）最⼤公因式的存在性、求法TH2.3.1 []F x 中任意两个多项式()f x 与()g x ⼀定有最⼤公因式.除⼀个零次因式外,不全为0的()f x 与()g x 的最⼤公因式是唯⼀的；即若()d x 是()f x 与()g x 的⼀个最⼤公因式,则对当()f x 与()g x 不全为0时,0,,()c c F cd x ?≠∈也是()f x 与()g x 的最⼤公因式,且只有这样的乘积才是()f x 与()g x 的最⼤公因式.例1. 设43232()2443,()2543[]f x x x x x g x x x x Q x =--+-=--+∈求（()f x ,()g x ）. 解： 322543x x x --+ | 4322443x x x x --+- |2|x - 32615129x x x --+ 43224886x x x x --+- | x3262830x x x -+ 4322543x x x x --+213429x x -+ 32456x x x -+--13 23912627x x -+ 32281012x x x -+-| 1239182195x x -+ 322543x x x --+56168x - 231415x x -+-|3x -3x - 239x x -+515x - | 5515x - ((),()3f x g x x ∴=-. 0（3）性质：1）任意两个多项式的最⼤公因式不因数域的扩⼤⽽改变.2）TH2.3.2. 若()d x 是(),()[]f x g x F x ∈的⼀个最⼤公因式,则在[]F x ⾥可以求得多项式(),()u x v x 使得：()()()()()d x f x u x g x v x =+.例2. 设43232()421659,()254[}f x x x x x g x x x x Q x =--++=--+∈,求((),())f x g x ,且求相应的(),()u x v x .分析：本题不仅求((),())f x g x ,且求相应的(),()u x v x ,⽽由定理2中证知(),()u x v x 不仅与余式有关,且与商式有关,因⽽在辗转相除中不允许系数变化,将所得的等式逐步代回整理即可.（解略）2. 多项式的互素及其性质1）定义. 设(),()[]f x g x F x ∈,若(),()f x g x 在[]F x 内除零次公因式外不再有其它公因式,则称()f x 与()g x 互素.2）互素的充要条件TH2.3.3 ()f x 与()g x 互素((),())1f x g x ?=.TH2.3.3 设(),()[]f x g x F x ∈, ()f x 与()g x 互素(),()[]u x v x F x ??∈使得()()()()1f x u x g x v x +=.3）性质（1）若()f x ,()g x 都与()h x 互素,则()f x ()g x 与()h x 互素.（2）若()h x |()f x ()g x ,⽽()h x 与()g x 互素,则()h x |()g x .（3）若()g x 与()h x 都有：()g x |()f x ,()h x |()f x ,⽽()g x 与()h x 互素,则()g x ()h x |()f x .3. 最⼤公因式及互素概念的推⼴1）(2)n ≥个多项式的最⼤公因式定义. 设()[],(1,2,,),()[]i f x F x i n d x F x ∈=∈,若（1）()|(),(1,2,,)i d x f x i n =；（2）(),()|(),(1,2,,)i h x h x f x i n ?=,有()|()h x d x . 则称()d x 为()(1,2,,)i f x i n =的⼀个最⼤公因式. 2）(2)n ≥个多项式互素定义. 若11(),,()n f x f x -,()n f x 除零次公因式外没有其它公因式,称这⼀组多项式互素.2．4 多项式的分解⼀教学思考1. 多项式的分解是多项式理论的⼀个核⼼问题,在前⼏节的基础上,本节解决了多项式“不能再分”及“分解唯⼀性”等理论问题,这对中学相关内容有直接的指导作⽤.2. 从内容上讲本节内容简洁完整（⼀个概念.两个结论）,但需注意概念（不可约）与数域有关,其性质与“互素”类似；“唯⼀分解定理”的理论证明是运⽤数学归纳法结合消去律,也不难理解,但需指出的是：3. “唯⼀分解定理”没有给出因式分解的⽅法,因⽽具体对多项式进⾏因式分解需具体问题具体分析,需⽤中学学过的具体⽅法进⾏尝试（没有⼀般⽅法）,同时指出的是由“典型分解式”可得求两个多项式的公因式与最⼤公因式,⽽其前提是当知“典型分解式”时,但分解因式没有⼀般⽅法,所以此不能代替前述的具体⽅法——辗转相除法；⽽其中蕴涵着下节得出的⼀个分解因式的思路——分离重因式法.⼆内容、要求1. 内容：不可约多项式的概念及性质.唯⼀分解定理.2. 要求：掌握不可约多项式的概念及性质,会⽤性质推证某些命题；掌握唯⼀分解定理,它是多项式整除性理论的⼀个重要定理,在许多有关多项式理论的推导中很有作⽤,会⽤其推证有关问题.三教学过程（⼀）概念1. 多项式的平凡因式.⾮平凡因式定义1. 对()[],,0f x F x c F c ?∈?∈≠有|(),()|()c f x cf x f x ；称c 与(),(0)cf x c ≠为()f x 的平凡因式.若()(0)f x ≠除c 与(),(0)cf x c ≠之外还有其它因式,称为()f x 的⾮平凡因式.2. 不可约多项式.可约多项式1）定义2. 设()[]f x F x ∈,且0(())0f x ?>；若()f x 在[]F x 中只有平凡因式,则称()f x 是数域F 上的⼀个不可约多项式；若()f x 除平凡因式外,在[]F x 中还有其它因式,则称()f x 是数域F 上的⼀个可约多项式.结合定义1及注定义2等价为：定义2. 若[]F x 的⼀个(0)n >次多项式()f x 能分解为两个次数都⼩于n 的多项式()g x 与()h x 的乘积：()f x ()g x =()h x （1）则称()f x 在数域F 上可约；若()f x 在[]F x 中的任⼀形如（1）的分解总含有⼀个零次因式,则称()f x 在数域F 上不可约.2）性质设F 为数域（1）若()p x 不可约,则对,0,()c F c cp x ?∈≠也不可约.（2）设()p x 不可约,对()[]f x F x ?∈,则或者((),())1p x f x =,或者()|()p x f x .（3）设()p x 不可约,且()|()()p x f x g x ,则()|()p x f x ,()|()p x g x ⾄少有⼀个成⽴.（⼆）定理1. 两个定理TH2.4.1 []F x 中每⼀个(0)n >次多项式()f x 都能分解为[]F x 的不可约多项式的乘积.TH2.4.2 令0()[],(())0f x F x f x n ∈?=>,且()f x 可分解为 1212()()()()()()()r s f x p x p x p x q x q x q x ==,其中每个()i p x ,()i q x 都是[]F x 中的不可约多项式.则1）r s =；2）适当调整()i q x 的次序后可使()(),(,0,1,2,,)i i i i i q x c p x c F c i r =∈≠=.换句话说：若不计零次因式的差异,多项式分解成不可约因式的乘积的分解式是唯⼀的.2. 多项式的典型分解式（标准分解式）及其应⽤1）典型分解式：在多项式()f x 的分解式中：a ）把每个不可约多项式（因式）的最⾼次项系数提出来,使它们成为⾸项系数为1的多项式；b ）再把分解式中相同的不可约多项式合并在⼀起（写成⽅幂的形式）.则()f x 的分解式可写为：1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x =.其中a 是()f x 的⾸项系数,()(1,2,,)i p x i r =是不同的最⾼次项系数为1的不可约多项式,001(1,2,,),(())(())ri i i k i r N f x k p x =∈?=?∑.这种分解式叫做()f x 的典型分解式（标准分解式）. 2）典型分解式的应⽤A ）若()f x 有典型分解式1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x = （0(())0f x ?>）,则()g x 是()f x 的因式的充要条件是：()g x 有以下典型分解式1212()()()()r m m m r g x bp x p x p x =,其中b 为()g x 的⾸项系数,0(1,2,,)i i m k i r ≤≤=（注i m 可为0,此时0()1i p x =,即()g x 不⼀定全含()f x 的不可约因式）.B ）求（(),()f x g x ）若121121()()()()()()s r r k k k k k r r s f x ap x p x p x q x q x ++=,112121()()()()()()r tr l l l l l r r t g x bp x p x p x q x q x ++=,其中 (),(1,,)i q x i r s =+与(),(1,,)j q x j r t =+互不相同,令{}min ,,(1,,)i i i m k l i r ==；则（11(),())()()()r m m r f x g x p x p x d x ==.2.5 重因式⼀教学思考1. 本节引⼊重因式的概念,讨论重因式的有关问题.2. 当知道多项式()f x 的典型分解式（建⽴⼀般分解式基础之上的）时,很容易观察到()f x 有那些重因式.且⼏重,以及有⽆重因式.但由于1中所述原因,需另辟道路来解决此问题,为此形式地引⼊了多项式的导数的概念（与分析中定义不同,结果⼀致）,且通过典型分解式,很容易得到()f x 的重因式与()f x '的重因式之间的关系,由此得到()f x 没有重因式的充要条件.3. 本节内容简洁完整,从中注意的是：⼀是()f x 有⽆重因式()f x ?与()f x '是否互素,⽽互素不因数域的扩⼤⽽改变,所以()f x 在[] ([])F x F x ?中⽆重因式,则在[]F x 中也⽆重因式；⼆是判断()f x 有⽆重因式有规范的⽅法；三是通过分析()f x 与()f x '以及((),())f x f x ',还有()f x 除以((),())f x f x '所得商间的关系,可得将()f x 因式分解的⼀种思想——分离重因式法,其中把⽅法步骤规范化（五步）.⼆内容、要求1. 内容：k 重因式.重因式.导数.没有重因式的充要条件.2. 要求：掌握有关概念及定理1-2,以及分离重因式法.四教学过程1. 概念定义 1. 在()[]f x F x ∈的分解式中,若不可约多项式()p x 出现且只出现k 次,则称()p x 为()f x 的⼀个k 重因式.当1k =时,称()p x 为()f x 的单因式；当1k >时,称()p x 为()f x 的重因式；当0k =时,即()p x 在()f x 的分解式中不出现,()p x 不是()f x 的因式,称()p x 为()f x 的零重因式.定义1补. 若不可约多项式()p x 满⾜：()|()k p x f x ,⽽1()|()k p x f x +,则称()p x 为()f x 的⼀个k 重因式（其中k 为⾮负整数）.当1k =时,称()p x 为()f x 的单因式；当1k >时,称()p x 为()f x 的重因式；当0k =时,即()p x 在()f x 的分解式中不出现,()p x 不是()f x 的因式,称()p x 为()f x 的零重因式.定义2. 设01()[]n n f x a a x a x F x =+++∈,称1122n n a a x na x -+++为()f x 的（⼀阶）导数,记为()f x '.即()f x '=1122n n a a x na x -+++. 2. 定理TH2.5.1设()[]p x F x ∈不可约,若()p x 为()f x 的⼀个(1)k ≥重因式,则()p x 为()f x '的⼀个1k -重因式；特别()f x 的单因式不是()f x '的因式.TH2.5.2 (0)n >次多项式()f x 没有重因式()f x '?与()f x 互素.最后：讨论因式分解的⼀种思想⽅法——分离重因式法设0(())0f x ?>,()f x 有典型分解式1212()()()()r k k k r f x ap x p x p x =若((),())1f x f x '≠,有1211112()()()()()r k k k r f x p x p x p x g x ---'=且()|()i p x g x (1,2,,)i r =,从⽽（(),())f x f x '=1211112()()()r k k k r p x p x p x ---,则可令()((),())()f x f x f x q x '=；⽐较上述有关式⼦可知1()()()r q x p x p x =. 上述意思是：若⽤()f x 除以((),())f x f x ',则得商()q x 是⼀个与()f x 具有完全相同的不可约因式⽽没有重因式的多项式.由此得思想：若将()q x 能分解的话,便知()f x 的不可约因式,再确定每个不可约多项式在()f x 中的重数（作带余除法直⾄不能整除）.例：在[]Q x 中分解432()5648f x x x x x =++--解：第⼀步：求()f x ' 32()415124f x x x x '=++-第⼆步：求((),())f x f x ' 2((),())44f x f x x x '=+-第三步：由带余除法得：()f x =22(44)(2)x x x x +-+-第四步：分解()q x ： ()(1)(2)q x x x =-+第五步：确定每个因式的重数：2(1)|(),(1)|()x f x x f x --3()(1)(2)f x x x ∴=-+2.6多项式函数.多项式的根⼀教学思考1. 本节在另⼀观点下——函数观点,重新审视⼀下多项式,且以此重新认识⼀下多项式相等以及引⼊⼀个新的问题——多项式的根（当然多项式的根与多项式整除理论仍密切相关）.事实上,多项式的形式观点与函数观点在中学数学中曾经常⽤到,如在做多项式的加.减.乘运算时,通常运⽤形式观点,有时也理解为函数观点,此⼆者是统⼀的（在⽆限域上）.注意这种认识做到⼼中有数,在教学内容和教学过程中使学⽣逐步建⽴.2. 建⽴多项式的函数观点的关键是引导学⽣真正理解函数的实质——数集间的映射.3. 从内容上看余数定理.多项式的根及因式定理不难理解,其中需要注意的是本节在数环（含1）中讨论,则需要注意余数定理⽤带余除法证之成⽴的条件（除式⾸项系数为1）.根的概念实质与代数⽅程的根没有本质区别,根与（⼀次）因式的关系即与整除密切相关.其中有⼀附带结果——确定满⾜某些条件拉格朗⽇插值公式,只是该⼈给出的⼀种⽅法,可引导学⽣试想其如何⽽来,还有⽆它法.⼆内容、要求1. 内容：多项式函数.余数定理.多项式的根.因式定理.综合除法.拉格朗⽇插值公式,以及将多项式表为()x a -的幂.2. 要求：掌握上述概念与定理.三教学过程注：本节在数环R 中讨论,且设1R ∈,从⽽R Z ?.1. 多项式函数（1）定义. 给定01()[],()n n f x a a x a x R x =+++∈* 对c R ?∈,在()*中以c 代x 便得⼀个确定的数：01n n a a c a c R +++∈.称之为当x c =时()f x 的值,记为()f c .这样就得到R 到R 的⼀个映射,这个映射是由多项式()f x 确定的（:,()f R R c f c →→）,叫做R 上⼀个多项式函数.（2）性质. 由定义求()f c 可⽤c 代替()f x 中的x 直接计算,但有TH2.6.1（余式定理）设()[]f x R x ∈,c R ∈；⽤x c -除()f x 所得的余式等于x c =时()f x 的值()f c .综合除法：设1011(),()n n n n f x a x a x a x a g x x c --=++++=-；⽤()g x 对()f x 作带余除法,可设()()()f x x c q x r =-+ ()*其中120121()n n n n q x b xb x b x b ----=++++；将()f x ,()q x 代⼊()*式,由多项式相等,⽐较同次项系数得： 00110221,1121,,,,n n n n n a b a b cb a b cb a b cb a r cb ----==-=-=-=-得 001012121211,,,,,n n n n n b a b cb a b cb a b cb a r cb a ----==+=+=+=+即欲求k b ,须把前⼀项系数1k b -乘以c 再加上对应系数k a ,r 也可以如此写出.此算法可由下表写出：c | 0a 1a 2a1n a - n a + 0cb 1cb2n cb - 1n cb - 0b 1b 2b1n b - r 例：⽤3x +除42()49f x x x x =++-,求商式和余式.（解略）2. 多项式的根多项式的研究与⽅程的研究有密切的关系,如中学代数中⼀元⼆次⽅程的根与⼆次多项式的因式分解是⼀回事.（1）定义. 设()[],f x R X c R ∈∈,若当x c =时()f x 的值()0f c =,则称c 为()f x 在数环R 中的⼀个根.（2）性质：TH2.6.2(因式定理) 数c 为()f x 的根|()x c f x ?-.TH2.6.3 设()[]f x R X ∈,0(())0f x n ?=≥,则()f x 在R 中⾄多有n 个根（重根按重数计）. TH2.6.4设(),()[]f x g x R X ∈,且0((),())f x g x n ?≤,若以R 中1n +个不同的数来代替x ,每次所得的()f x 与()g x 的值都相等,则()f x =()g x .TH2.6.5 (),()[]f x g x R X ∈,()f x =()g x ?它们定义的R 上的多项式函数相等.2.7 复数域.实数域上的多项式⼀教学思考1. 本节在常⽤的三个数域上将某些结论进⼀步具体化,主要研究在这三个数域上进⼀步明确⼀元多项式的根的情况及因式分解即不可约多项式的形式.2. 在复数域上,所有的结论（不可约多项式的形式.根的情况）是建⽴在代数基本定理的基础上,由此结合上节定理3便得有关结论.代数基本定理证法很多,但鉴于⽬前知识所限暂不作证明.在复数域上另外的结论是根与系数的关系及根号解介绍,其中由根与系数的关系可得的引深问题（⽅程及其变换）可作附注处理.3. 在实数域上的结论是建⽴在其⾮实复根是成对出现这⼀性质之上的,有关结论简洁明了,只须补充⼀些例⼦和说明⼀些结论.⼆内容、要求1. 内容：代数基本定理,复数域上不可约多项式及典型分解式,根与系数的关系；实数域上的多项式的根的性质及不可约多项式的形式.2. 要求：掌握有关定理和结论.三教学过程1.复数域上的多项式（1）TH2.7.1（代数基本定理）设0()[],(())0f x C x f x n ∈?=>,则()f x 在C 内⾄少有⼀个根. TH2.7.2 设0()[],(())0f x C x f x n ∈? =>,则()f x 在C 内有n 个根（重根按重数计）.（2）根与系数的关系（Vieta 定理）⾸先设111()[]n n n n f x x a x a x a C x --=++++∈,令12,,,n ααα为()f x 的n 个复根；则()f x 12()()()n x x x ααα=---. 由多项式相等得：根与系数的关系为：112()n a ααα=-+++ 212131231n n n a αααααααααα-=++++++31231241223421(n n n n a ααααααααααααααα--=-++++++）……12321(1)()k k k n k n n n a αααααααα---=-++…… 123(1)n n n a αααα=-.⼀般地：设1011()[]n n n n f x a x a x a x a C x --=++++∈,令12,,,n ααα为()f x 的n 个复根,则()f x 012()()()n a x x x ααα=---,同理⽐较系数得：1120()n a a ααα=-+++ 2121312310n n n a a αααααααααα-=++++++312312412234210(n n n n a a ααααααααααααααα--=-++++++）(123210)(1)()k k k n k n n n a a αααααααα---=-++(1230)(1)n n n a a αααα=-.2.实数域上的多项式 TH2.7.3设0()[],(())0f x R x f x n ∈?=>;若C α∈是()f x 的⼀个⾮实的复数根,则α的共轭α也是()f x 的根,且α与α有同⼀重数.（即实系数多项式的⾮实复根是以共轭的形式成对出现的.）TH2.7.4实数域上不可约多项式除⼀次多项式外,只有含⾮实共轭复根的⼆次多项式,即22(40)ax bx c b ac ++-<.TH2.7.5设0()[],(())0f x R x f x n ∈?=>,则()f x 的典型分解式为: 12122121122()()()()()()s r l k k k l r f x a x x x x p x q x p x q ααα=---++++其中a 是()f x 的⾸项系数,,i j k l N ∈,40(1,,)i i p q i s -<=,112r si j i j k l n ==+=∑∑.另外：实数域上的多项式的根（实根）的情况⽐较复杂（可有可⽆）,但是,1）实系数奇次多项式⾄少有⼀个实根；2）实系数⾮零多项式的实根个数与多项式的次数有相同的奇偶性.例：1）设6()1f x x =-,求()f x 在[]C x .[]R x 的典型分解式.2）求有单根1-及⼆重根1的次数最低的复系数及实系数多项式.2.8 有理数域上的多项式⼀教学思考1. 本节进⼀步在有理数域上讨论多项式的可约性及有理根的求法.关于这两个问题是转化为整系数多项式在整数环上的可约性及整系数多项式的有理根的求法⽽解决的.对于第⼀个问题,结论是有理数域上存在任意次的不可约多项式,且给出了⼀个判断不可约的充分条件（Eisenstein 判别法）,对于第⼆个问题给出了⼀个较规范的求整系数多项式的有理根的⽅法.2. 关于有理数域上多项式的可约性等价于整系数多项式在整数环上的可约性,体现了（等价）转化思想,为实现这种转化,引⼊了本原多项式的概念和Gauss 引理,其中化法很规范；有了此,只须讨论整系数多项式在整数环上的可约性问题,结果由苛朗奈克给出有⼀般⽅法,鉴于较繁不作介绍,实⽤中给出了⼀个判断整系数多项式在有理数域（整数环）上不可约的充分条件——Eisenstein 判别法.但需注意条件是充分⾮必要的,且有时不能直接使⽤,需对原多项式进⾏变形.3. 关于有理根的求法是在分析了整系数多项式的有理根的性质的基础上⾃然得到的.⼆内容、要求1. 内容：本原多项式.Gauss 引理.Eisenstein 判别法.整系数多项式的有理根的性质与求法2. 要求：掌握Gauss 引理,Eisenstein 判别法.有理根的求法三教学过程（⼀）有理数域上多项式的可约性1.有理系数多项式在有理数域上的可约性与整系数多项式在整数环上的可约性设()[]f x Q x ∈,若()f x 的系数不为整数,则以()f x 的系数的公分母的⼀个整数倍k 乘以()f x 得()[]kf x Z x ∈；显然()f x 与()kf x 在有理数域上具有相同的可约性.这样讨论有理数域上多项式的可约性只须讨论整系数多项式在有理数域上的可约性.问题：能否转化为讨论整系数多项式在整数环上的可约性？此问题的⼀⾯是成⽴的,即整系数多项式在整数环上可约,则其在有理数域上也⼀定可约.关键是问题的另⼀⾯,即整系数多项式在有理数域上可约,则其在整数环上是否也⼀定可约？为此,引⼊：（1）本原多项式及其性质A ）定义. 设()[]f x Z x ∈,若()f x 的系数互素,则称()f x 为⼀个本原多项式.B ）性质：Gauss 引理：两个本原多项式的积仍是⼀个本原多项式.（2）整系数多项式在有理数域上的可约性与在整数环上的可约性的⼀致性TH2.8.2设()[]f x Z x ∈,0(())0f x n ?=>,若()f x 在[]Q x 上可约,则()f x 在[]Z x 上也可约.2.整系数多项式在有理数域上不可约的⼀个充分条件——Eisenstein 判别法TH2.8.3设2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈,若存在⼀个素数p 使得：1）|n p a ；2）|(0,1,,1)i p a i n =-；3）20|p a .则()f x 在有理数域上不可约.例：证明542()2631215f x x x x x =++-+在[]Q x 上不可约.（⼆）有理系数多项式的有理根TH2.8.4设101()[]n n n f x a x a x a Z x -=++++∈,0(())0f x n ?=>,若有理数u v是()f x 的⼀个根（这⾥,,(,)1u v Z u v ∈=）.则1）0|v a ,|n u a ；2）()()(),()[]u f x x g x g x Z x v =-∈.。
高等代数多项式
gxhx
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
例 当 a,b, c 是什么数时，多项式
f x a 3 b x 2 c x b x 3 x 2
（1）是零多项式？ （2）是零次多项式？
例1 确定m ，使 x 1 2|x 5 m 2 m x 1 x .
例2 设 fx x 3 p q , x g x x 2 m 1 。x 问 m, p,q
适合什么条件时，gx 整除 fx ?
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
2.3 多项式的最大公因式
一. 内容分布 2.3.1 多项式公因式,最大公因式,互素概念 2.3.2 用辗转相除法求最大公因式.
多项式的整除概念，带余除法定理
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
2.2.1 多项式的整除概念
设F是一个数域. F [x]是F上一元多项式环.
定义1
设 fx,g x F [x ]，如果存在 hxF[x] ，使得
fxgxhx，则称 gx整除 f x ，记为
gx| fx ，此时称 gx 是 f x的因式，否则称
这里
c k a 0 b k a 1 b k 1 a k 1 b 1 a k b 0 ,k 0 , 1 ,2 , ,n m
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
多项式的减法
fx g x fx g x
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
余式
注2： g x 0 ,g x |f x r x 0 .
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
证：先证定理的前一部分.
多项式课程设计
多项式课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解并掌握多项式的概念、性质和分类；2. 学会使用多项式的运算法则，包括加、减、乘、除等基本运算；3. 掌握多项式的因式分解和展开方法，并能熟练应用于实际问题中；4. 了解多项式在数学和实际生活中的应用。
技能目标：1. 能够正确运用多项式的运算法则，完成相关运算题目；2. 熟练运用因式分解和展开方法，解决多项式相关问题；3. 能够运用多项式的知识解决简单的实际问题，提高问题解决能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学的热爱和兴趣，激发他们主动探索多项式知识的欲望；2. 培养学生的团队合作精神，学会在讨论、交流中共同解决问题；3. 培养学生严谨、细致的学习态度，提高他们在面对数学问题时勇于挑战、积极进取的精神。
课程性质：本课程为初中数学课程，旨在帮助学生掌握多项式的相关知识，提高他们的数学运算能力和问题解决能力。
学生特点：初中学生具备一定的数学基础，但多项式的概念和运算相对抽象，需要通过具体实例和实际操作来帮助学生理解和掌握。
教学要求：教师应注重理论与实践相结合，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，提高他们的动手能力和思考能力。
通过有效的教学策略，使学生在掌握多项式知识的同时，提升数学素养。
二、教学内容1. 多项式的概念与性质- 多项式的定义、组成元素- 多项式的次数、系数、常数项- 多项式的性质（交换律、结合律、分配律等）2. 多项式的运算- 多项式的加法、减法- 多项式的乘法（分配律、单项式乘多项式、多项式乘多项式）- 多项式的除法（整式除法、长除法）3. 多项式的因式分解- 提取公因式- 运用公式法（平方差公式、完全平方公式等）- 跨项分解4. 多项式的展开与应用- 多项式的乘法展开- 多项式在实际问题中的应用（如面积、体积计算等）5. 教学内容的安排与进度- 第1课时：多项式的概念与性质- 第2课时：多项式的加法、减法- 第3课时：多项式的乘法- 第4课时：多项式的除法- 第5课时：多项式的因式分解- 第6课时：多项式的展开与应用本教学内容参考课本相应章节，结合课程目标进行系统组织，旨在确保学生能够循序渐进地掌握多项式相关知识。
高等代数教案第二章多项式
,其中 与互不相同,令；则 （.
2.5 重因式
一 教学思考
1. 本节引入重因式的概念,讨论重因式的有关问题. 2. 当知道多项式的典型分解式（建立一般分解式基础之上的）时,很 容易观察到有那些重因式.且几重,以及有无重因式.但由于1中所述原因, 需另辟道路来解决此问题,为此形式地引入了多项式的导数的概念（与 分析中定义不同,结果一致）,且通过典型分解式,很容易得到的重因式与 的重因式之间的关系,由此得到没有重因式的充要条件. 3. 本节内容简洁完整,从中注意的是：一是有无重因式与是否互素, 而互素不因数域的扩大而改变,所以在中无重因式,则在中也无重因式； 二是判断有无重因式有规范的方法；三是通过分析与以及,还有除以所 得商间的关系,可得将因式分解的一种思想——分离重因式法,其中把方 法步骤规范化（五步）. 二 内容、要求
1）典型分解式：在多项式的分解式中：a）把每个不可约多项式 （因式）的最高次项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式； b）再把分解式中相同的不可约多项式合并在一起（写成方幂的形式）. 则的分解式可写为：.其中是的首项系数,是不同的最高次项系数为1的不 可约多项式,.这种分解式叫做的典型分解式（标准分解式）.
2．4 多项式的分解
一 教学思考
1. 多项式的分解是多项式理论的一个核心问题,在前几节的基础上, 本节解决了多项式“不能再分”及“分解唯一性”等理论问题,这对中学相关 内容有直接的指导作用.
2. 从内容上讲本节内容简洁完整（一个概念.两个结论）,但需注意 概念（不可约）与数域有关,其性质与“互素”类似；“唯一分解定理”的理 论证明是运用数学归纳法结合消去律,也不难理解,但需指出的是：
数学《多项式的概念》教案
数学《多项式的概念》教案一、教学目标：1. 掌握多项式的概念。
2. 理解多项式的系数与次数的含义。
3. 学习多项式的加减、乘法和除法运算。
4. 应用多项式解决实际问题。
二、教学重难点：1. 掌握多项式的系数、项、次数、单项式、多项式等概念。
2. 理解多项式的加减、乘法和除法运算。
3. 能够应用多项式解决实际问题。
三、教学方法：1. 教师讲解与学生自主探究相结合的方法。
2. 实验模拟与案例分析的方法。
3. 课堂演示与学生互动的方法。
四、教学内容：1. 多项式的概念。
多项式是指含有一个或多个未知量的项的加减式，其中每个项都是形如ax^n的代数式，其中a称之为系数，n称之为次数。
例如：4x^3+3x^2-2x+1是一个四次多项式，其中4、3、-2、1分别是它的各项系数，3、2、1、0是它的各项次数。
2. 多项式的基本运算（1）加减运算若P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，Q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0是两个多项式，其中n≥m，则有 P(x)±Q(x)=(a_n±b_n)x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{n-m}x^{n-m}+...+a_1x+a_0±b_mx^m±b_{m-1}x^{m-1}±...±b_1x±b_0。
（2）乘法运算若P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，Q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1x+b_0是两个多项式，则它们的乘积为：P(x)·Q(x)=\sum_{k=0}^{n+m} c_kx^k。
其中，c_k=a_0b_k+a_1b_{k-1}+...+a_{k-1}b_1+a_kb_0，k=0,1,2,...,n+m；3. 多项式的除法运算当P(x)是一个n次多项式（n≥1），Q(x)是一个m次多项式（m≥1），且n≥m，将P(x)除以Q(x)，将得到一对多项式：商式S(x)和余式R(x)。
多项式教案
多项式教案主题：多项式的概念与运算目标：引导学生了解多项式的概念，掌握多项式的加、减、乘运算方法，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
一、知识点讲解及例题演练（200字）1. 多项式的概念：多项式是由若干项组成的代数式，每一项由常数与一个或多个变量的乘积构成，并且每一项的指数必须是非负整数。
2. 多项式的加减运算：a. 同类项的相加减：将相同次数的项的系数相加减，指数保持不变。
例题：将多项式p(x) = 3x² + 4x + 5与q(x) = 2x² - 6x + 3相加，求和式的最简形式。
b. 不同次数的项相加减：无法合并的项保持原样不变。
例题：将多项式p(x) = 2x³ + 3x² + x + 4与q(x) = 5x² - 6x + 3相减，求差式的最简形式。
3. 多项式的乘法运算：将每一项的系数相乘，指数相加。
例题：将多项式p(x) = (3x-2)(2x+3)进行乘法运算，将结果展开成多项式的标准形式。
二、小组讨论与问题解决（150字）1. 分组讨论：将学生分组进行问题讨论，每个小组选择一个多项式运算问题，并用合适的方法解决和展示。
2. 问题解决：每个小组选择一个问题进行解答，如多项式的乘法运算应用于生活中的实际情境，例如：房屋价格的计算、旅行费用的计算等等。
三、课堂练习与作业布置（150字）1. 课堂练习：a. 练习加减法：完成练习册中关于多项式加减法的习题。
b. 练习乘法运算：完成练习册中关于多项式乘法的习题。
c. 实际问题解决：完成练习册中关于多项式运算应用的习题。
2. 作业布置：a. 完成练习册中剩余习题。
b. 阅读课本相关内容，复习多项式概念及运算方法。
c. 准备小组讨论的结果，准备展示。
四、复习与总结（100字）1. 复习：回顾课堂讲解的知识点和例题，复习多项式的概念、加减乘法运算方法以及相关的应用。
2. 总结：总结多项式的基本概念和运算方法，并强调学生在实践和解题中培养逻辑思维和问题解决能力的重要性。
高等代数02多项式
根据定理2.4.2，我们可以得到f(x)的一个唯一确定的分解：
f ( x) = ap1 ( x) p2 ( x)L pr ( x),
(5)
分解式（5）中的不可约多项式，不一定都不相同.若是在分解式 （5）中不可约因式p(x)出现K次并且只出现 k次，那么p(x)叫做 的f(x)一个 k重因式 重因式.一重因式叫做单因式 单因式.重数大于1的因式叫做 单因式 重因式.若不可约因式在p(x)在f(x)的分解式（5）中不出现，我们 重因式 就说p(x)是f(x)的一个零重因式 零重因式。 零重因式 将（5）改写成以下形状： f ( x) = ap k11 ( x) p k2 2 ( x)L p kt t ( x) （6）
定理 2.1.1
≠ 是数环R上两个多项式 上两个多项式， 设f (x)和 g(x)是数环 上两个多项式，并且 f(x） 0,g(x) ≠ 0, 那么
(i )
当（x）+f(x） 0时， f ≠
0 （f ( x) + g ( x)) ≤ max( 0 ( f ( x)), 0 ( g ( x)))
(ii ) 0 f (x)g(x)) =0 ( f (x)) +0 (g(x)). （
§2.4 多项式的分解
我们知道，给了F(X)的任何一个多项式f(x)，那么的任何不为零 的元素c都是f(x)的因式.另一方面，c与f(x)的成绩cf(x)也总是f(x)的因 式.我们f(x)把的这样的因式叫做他的平凡因式 平凡因式. 平凡因式 定义 令f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在F[X] f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在 的一个次数大于零的多项式 f(x) 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域 上不可约. f(x)除平凡 就是说在数域F 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域F上不可约.若f(x)除平凡 饮食外， F[X]中还有其它因式 f(x)就是说在 上可约。 中还有其它因式， 就是说在F 饮食外，在F[X]中还有其它因式，f(x)就是说在F上可约。 对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的，也 不能说它们是不可约的。在任一多项式环F[X]中都存在不可约多 项式，因为F[X]的任何一个一次多项式总是不可约的. 注意： 注意：我们只能对给定的数域来谈论多项式可约或不可约
高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式
定义 1
令f x 和 gx是F [x]的两个多项式，若是F [x]的一 个多项式 hx同时整除 f x和 gx ，那么hx 叫做
f x与 gx的一个公因式.
定义 2
设dx是多项式 f x 与 gx的一个公因式.若是 dx 能被 f x 与 gx的每一个公因式整除,那么 dx叫做 f x与gx的一个最大公因式.
（3）乘法交换律: f xgx gx f x （4）乘法结合律: f xgxhx f xgxhx
（5）乘法对加法的分配律: f xgx hx f xgx f xhx
注意：要把一个多项式按“降幂”书写
an x n an1x n1 a1x a0 当 an 0 时，an xn叫做多项式的首项.
那么由上面定理的证明得 f xgx 0
推论2 f xgx f xhx, f x 0 gx hx
证 由 f xgx f xhx得 f xgx hx 。但 f x 0
所以由推论1必有 gx hx 0 ,即
gx hx
惠州学院数学系
例 当 a,b, c 是什么数时，多项式
f x ax3 bx2 c b x3 x2
这里当m < n 时，bm1 bn 0
惠州学院数学系
多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
f x a0 a1x a2 x2 an xn gx b0 b1x b2 x2 bm xm
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f xgx c0 c1x c2 x2 cnn xnm
2.1.1 认识多项式
多项式
令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或
一元多项式指的是形式表达式
a0 a1x a2 x2 an xn
多项式的教案
多项式的教案教案概述：本教案主要介绍多项式的概念、性质和操作方法。
通过课件、示例和练习等方式，帮助学生理解和掌握多项式的基本概念和运算规则，培养学生分析和解决多项式问题的能力。
教学目标：1. 理解多项式的概念，掌握多项式的术语和符号；2. 掌握多项式的加减、乘法运算规则；3. 能够进行多项式的因式分解和提取公因式；4. 能够应用多项式进行实际问题的求解。
教学重点：1. 多项式的定义和术语；2. 多项式的加减和乘法运算；3. 多项式的因式分解和提取公因式。
教学难点：1. 多项式乘法的应用；2. 多项式因式分解和提取公因式的应用。
教学准备：1. 多项式定义和术语的课件；2. 多项式加减乘法运算示例的课件；3. 多项式因式分解和提取公因式的课件；4. 多项式练习题和答案。
教学过程：Step 1：导入新知通过展示多项式的定义和术语，引导学生了解多项式的概念和表示方式，并与学生共同规定多项式的标志和符号。
Step 2：多项式的加减运算1. 展示多项式加减运算的基本规则，通过示例和类比，解释多项式加减运算的具体步骤。
2. 给学生练习题，巩固多项式的加减运算规则。
Step 3：多项式的乘法运算1. 展示多项式乘法运算的基本规则，通过示例和类比，解释多项式乘法运算的具体步骤。
2. 给学生练习题，巩固多项式的乘法运算规则。
Step 4：多项式的因式分解和提取公因式1. 展示多项式因式分解和提取公因式的基本规则，通过示例和类比，解释多项式因式分解和提取公因式的具体步骤。
2. 给学生练习题，巩固多项式因式分解和提取公因式的方法。
Step 5：应用实例引导学生通过实际问题解决多项式的运算和因式分解问题，培养学生应用多项式解决实际问题的能力。
Step 6：总结和拓展总结多项式的定义和运算规则，巩固学生对多项式的理解和掌握程度。
根据学生水平和进度，可以拓展多项式的其他应用和相关知识。
Step 7：课堂小结对本节课进行小结，梳理重点和难点内容，解答学生的疑问。
高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式
2.2.4 系数所在范围对整除性旳影响
二、教学目旳
1．掌握一元多项式整除旳概念及其性质。
2．熟练利用带余除法。
三、要点、难点
多项式旳整除概念，带余除法定理
2.2.1 多项式旳整除概念
设F是一种数域. F [x]是F上一元多项式环.
2.2.2 多项式整除性旳某些基本性质
证 设f (x) = g (x) 那么它们有完全相同旳项, 因而对R旳任何c都有f (c) = g (c)这就是说, f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.反过来设f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.令 u (x) = f (x) – g (x)那么对R旳任何c都有u (c) = f (c) – g (c) = 0这就是说, R中旳每一种数都是多项式u (x)旳根. 但R有无穷多种数, 所以u (x)有无穷多种根.根据定理2.6.3只有零多项式才有这个性质.所以有 u (x) = f (x) – g (x) = 0 , f (x) = g (x) .
f (c)与它相应. 于是就得到R到R旳一种映射. 这个映射是由多项式f (x)所拟定旳,叫做R上一种多项式函数.
综合除法
由此得出
表中旳加号一般略去不写.
例1
用x + 3除
作综合除法:
所以商式是
而余式是
证
假如f (x)是零次多项式,那么f (x)是R中一种不等于零旳数, 所以没有根. 所以定理对于n = 0成立.于是我们能够对n作数学归纳法来证明这一定理.设c∈R是f (x)旳一种根.那么 f (x) = (x – c) g (x)这里g (x) ∈R [x]是一种n – 1次多项式.假如d∈R是f (x)另一种根, d≠c那么 0 = f (d) = (d – c) g (d)因为d – c≠0 , 所以g (d) = 0. 因为g (x)旳次数是 n – 1 ,由归纳法假设, g (x)在R内至多有n – 1个不同旳根.所以f (x)在R中至多有n个不同旳根.
高等代数第五版第二章 多 项 式
第二章 多 项 式§2.1 一元多项式的定义和运算2.1.1 教学目的2.1.1.1 掌握多项式、多项式相等、多项式次数的概念。
2.1.1.2 掌握多项式加法、减法与乘法的法则和性质。
2.1.2 教学重点多项式的概念，多项式的运算法则和性质。
2.1.3 教学难点对多项式形式表达式的理解。
2.1.4 教学过程本节所说的R ，指的是含1的数环。
一、一元多项式的一些基本概念Def 1： 数环R 上文字x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式 n n 2210x a x a x a a ++++ （1） 这里n 是非负整数，0a ，1a ，…，a n 是R 中的数。
在（1）中0a 叫零次项或常数项，i i x a 叫i 次项，i a 叫i 次项的系数， 一元多项式常用f(x)、g(x)表示.Def 2： 若是数环R 上两个多项式f(x)和g(x)有完全相同的项或者只差一些系数为零的项，则称f(x)=g(x).如 1+0x+5x 2+0x 3=1+0x+5x 2=1+5x 2 ，3+1x+2x 2=3+x+2x 2≠3+x+x 2 Def 3：在多项式中n n 2210x a x a x a a ++++ ，若a n ≠0，n n x a 叫多项式的最高次项，非负整数n 叫多项式的次数多项式f(x)的次数记作0∂（f(x)）. 零多项式记为0且是唯一不定义次数.所以以后谈到多项式)x (f 的次数时总假定0)x (f ≠。
非零常数是零次多项式，它的次数为0，有次数。
二、多项式的运算 （一）运算的定义设nn x a x a x a a x f ++++= 2210)(， 或∑==ni ii x a x f 0)(mm x b x b x b b x g ++++= 2210)(, 或∑==mj j j x b x g 0)(； 是数环R 上两个多项式，并且m ≤n ，则定义：一）加法f(x)+g(x)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+…+(a m +b m )x m +…+(a n +b n )x n当m<n 时取b m+1=…=b n =0，或∑=+=+ni ii i x b a x g x f 0)()()(. 二）减法设f(x)=a 0+a 1x+…+a n x n ，把－f(x)=－a 0－a 1x －…－a n x n 叫f(x)的负多项式，则定义：f(x)－g(x)=f(x)+(－g(x))，或∑=-=-n i ii i x b a x g x f 0)()()(1）在Def1中文字x 不一定代表“数”，可以是一个矩阵A ，或一个变换等，因此不能把x 当作“未知数”2）“n 为非负整数”说明表达式x 1x ,x 1+等都不是多项式。
2.1.3多项式(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对于多项式的定义和运算掌握得还算不错，但在合并同类项这个环节上，确实存在一些困难。我意识到，这可能是因为他们在处理具体问题时，对于如何准确识别同类项还不够熟练。在今后的教学中，我需要在这个环节上多下一些功夫，设计更多的实例和练习，帮助学生更好地掌握这个技能。
另外，我发现在小组讨论环节，学生们表现得非常积极，大家都能主动参与到讨论中，提出自己的观点。这让我感到很欣慰，因为这说明学生们已经开始学会合作、交流，这种能力对他们来说非常重要。
然而，我也注意到，在讨论过程中，部分学生对于多项式在实际生活中的应用还不够了解。这可能是因为他们在日常生活中没有注意到这些数学知识的应用。为了改善这个问题，我打算在接下来的课程中，引入更多与生活相关的例子，让学生们能够更好地理解数学知识在实际生活中的重要性。
2.思维与发展：通过多项式的运算和性质教学，激发学生的数学思维能力，发展他们的逻辑思维和批判性思维，提高分析和解决问题的能力。
3.价值观与态度：培养学生正确的数学价值观和积极的学习态度，使他们认识到数学知识在实际生活中的重要性，激发对数学学科的兴趣和热情。
本节课将紧扣新教材要求，注重培养学生的核心素养，为学生的终身发展奠定基础。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了多项式的定义、运算和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对多项式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
《多项式教案》
《多项式教案》word版第一章：多项式的概念与基本性质1.1 多项式的定义解释多项式的概念，引导学生理解多项式是由常数、变量及它们的运算符组成的代数表达式。
举例说明多项式的不同形式，如ax^2 + bx + c。
1.2 多项式的项解释多项式中的项是指由常数与变量的乘积组成的代数表达式。
强调项中的系数、变量和指数的概念，并提供相关例题进行讲解。
1.3 多项式的度数介绍多项式的度数是指多项式中最高次项的次数。
举例说明如何确定一个多项式的度数，并强调度数与多项式长度之间的关系。
1.4 多项式的系数解释多项式中各项的系数是指变量的系数，即变量前的常数。
提供例题讲解如何计算和理解多项式中各项的系数。
第二章：多项式的运算2.1 多项式的加法解释多项式加法是指将两个多项式相加得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的加法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.2 多项式的减法解释多项式减法是指将一个多项式减去另一个多项式得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的减法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.3 多项式的乘法解释多项式乘法是指将两个多项式相乘得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的乘法运算，并提供练习题让学生进行实践。
2.4 多项式的除法解释多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式得到一个新的多项式。
演示如何进行多项式的除法运算，并提供练习题让学生进行实践。
第三章：多项式的因式分解3.1 因式分解的概念解释因式分解是指将一个多项式分解成两个或多个因式的乘积的形式。
强调因式分解的重要性，并展示因式分解的应用示例。
3.2 提取公因式解释提取公因式是指从多项式中提取出一个共同的因式，简化多项式的形式。
演示如何提取公因式，并提供练习题让学生进行实践。
3.3 因式分解的常用方法介绍因式分解的常用方法，如分组分解法、交叉相乘法等。
演示如何应用这些方法进行因式分解，并提供练习题让学生进行实践。
3.4 因式分解的应用解释因式分解在解决代数方程、不等式等问题中的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 多项式教学目的要求 一元多项式在本章中占有突出的重要位置．它对培养、提高 学生的数学素质是非常必要的.应着重掌握以下问题：多项式的确切定义、多项 式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项 式与方程的联系与区别、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实 数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及基本定理等．教学内容及学时分配 多项式的定义和运算（2 学时）；多项式的整除性（4 学时）；最大公因式（4 学时）；因式分解定理（4 学时）；重因式（4 学时）；多 项式函数及多项式的根（4 学时）；复数域和实数域上的多项式（4 学时）；有理 数域上的多项式（4 学时）多元多项式；对称多项式（2 学时）；习题课（2 学时）．重点、难点 理解基本概念，掌握一元多项式次数定理，多项式的乘法消去 律；带余除法定理的证明及应用，多项式因式分解的存在唯一性定理，多项式的 可约与数域有关，多项式没有重因式的充分必要条件，余数定理，综合除法，代 数基本定理，C 、R 、Q 上多项式，多元多项式的字典排列法，初等对称多项式表 示对称多项式．教学手段 传统教学和多媒体教学相结合．2．1 一元多项式的定义和运算教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质. 重点、难点 一元多项式次数定理，多项式的乘法消去律． 教学过程 讲授练习．１.多项式的定义令 R 是一个数环,并且 R 含有数 1,因而 R 含有全体整数.在这一章里,凡是说到数环,都作这样的约定,不再每次重复 先讨论R 上一元多项式定义 1 数环 R 上一个文字 x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式nn x a x a x a a ,2210 +++ ， （１）这里 n 是非负整数而n a a a a ,,,,210 都是 R 中的数.在多项式(1)中,0a 叫做零次项或常数项, x a 1 叫做一次项,一般, ii x a 叫做 i 次项, i a 叫做 i 次项的系数.一元多项式常用符号 f(x),g(x),⋯来表示.2. 相等多项式:定义 2 若是数环 R 上两个一元多项式 f(x)和 g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么 f(x)和 g(x)说是相等;f (x)=g(x)非负整数 n 叫做多项式nn x a x a x a a ,2210 +++ ,( 0≠n a )的次数.系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式.按照定义2,零多项式总可以记为 0.以后谈到多项式 f(x)的次数时,总假定 f(x)≠0.多项式的次数有时就简单地记作()()x f 0∂.3. 多项式的运算:()nn x a x a a x f +++= 10 ()mm x b x b b x g +++= 10是数环 R 上两个多项式，并且设 m ≤n ，多项式 f(x)与 g(x)的和 f(x)+g(x)指的是多项式()()()()nn n m m m x b a x b a x b a b a +++++++++ 1100这里当 m<n 时,取01===+n m b b多项式 f(x)与 g(x)的积 f(x)g(x)指的是多项式mn m n x c x c c +++++ 10这里m n k b a b a b a b a c k k k k k +=++++=--,,1,0,011110 我们定义 f(x)和 g(x)的差f(x)-g(x)= f(x)+(-g(x)) 4. 多项式加法和乘法的运算规则① 加法交换律: f(x)+g(x)= g(x) + f(x)；② 加法结合律: (f(x)+g(x))+h(x)= f(x)+(g(x)+h(x)) ; ③ 乘法交换律: f(x)g(x)=g(x)f(x);④ 乘法结合律: (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x));⑤ 乘法对加法的分配律: f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x) 有时候把一个多项式按"降幂"书写是方便的，这时将多项式写成n n n n a x a x a x a ++++--1110 ⑵当00≠a 时，nx a 0叫做多项式⑵的首项 5. 多项式的运算性质定理 2.1.1 设 f(x)和 g(x)是数环 R 上两个多项式,并且 f(x)≠0, g(x)≠0.那么a) 当 f(x)+g(x)≠0 时, ()()()()()()()()x g x f x g x f 000,m ax ∂∂≤+∂ b) ()()()()()()()x g x f x g x f o00∂+∂=∂ 证： 设()()()()m x g n x f =∂=∂00,()0,10≠+++=n nn a x a x a a x f ， ()0,10≠+++=m mm b x b x b b x g ，并且n m ≤.那么()()()()()nn n x b a x b a b a x g x f ++++++=+ 1100， ⑶ ()()()mn m n x b a b a b a b a x g x f +++++= 011000， ⑷由（3），f(x)+g(x)的次数显然不超过 n ，另一方面，由 a n ≠0，b m ≠0 得 a n b m ≠0．所以由(5)得 f(x)g(x)的次数是 n +m.推论 2.1.2 f(x)g(x)=0 必要且只要 f(x)和 g(x)中至少有一个是零多式．证 若是 f(x)和 g(x)中有一个是零多项式，那么由多项式乘法定义得f(x)g(x)=０(x)≠0 且 g(x)≠0，那么由上面定理的证明得 f(x)g(x)≠0．推论 2.1.3 若是 f(x)g(x)= f(x)h(x),且 f(x)≠0，那么 h(x)=g(x)证 由 f(x)g(x)= f(x)h(x)得 f(x)(g(x)-h(x))=0．f(x)≠0，所以由推论2.1.2 必有 g(x)-h(x)=0,即 g(x)=h(x).由于推论 2.1.3 成立,我们说,多项式的乘法适合消去法。
我们用 R[X]来表示数环 R 上一个文字 x 的多项式的全体，并且把在 R 中如上定义了加法和乘法运算的 R[X]叫做数环 R 上的一元多项式环．作业 P31: 1, 3.2.2 多项式的整除性教学目的 掌握一元多项式整除的概念及其性质, 熟练运用带余除法求以 g(x) (g(x)≠0)除 f(x)所得的商式和余式.重点、难点 带余除法定理的证明 . 教学过程 讲授练习. 1. 多项式整除的概念设 F 是一个数域. F[x]是 F 上一元多项式环.定义 令 f(x)和 g(x)是数域 F 上多项式环 F[x]的两个多项式.如果存在F[x]的多项式h(x),使 g(x)=f(x)h(x),我们就说,f(x)整除(能除尽)g(x),用符号 f(x) g(x)表示，f(x)不能整除 g(x)，f(x)g(x)时,f(x)说是 g(x)的一个因式. 2.多项式整除性的一些基本性质 1) 如果 f(x) g(x),g(x)h(x),那么 f(x)h(x).2) 如果 h(x)f(x), h(x)g(x),那么 h(x)(f(x) ± g(x)).3) 如果 h(x)f(x),那么对于 F[x] 中任意多项式 g(x) 来说,h(x)f(x)g(x). 4) 如果()()x f x h i ,i=1,2,⋯,t,那么对 F[x]中任意 g i (x) ,i=1,2,⋯,t, ()()()()()()()()x g x f x g x f x g x f x h t t ±±± 2211 5) 零多项式，也就是 F 中不等于零的数，整除任一多项式.6) 每一个多项式 f(x) 都能被 cf(x) 整除，这里 c 是 F 中任一不等于零的数.事实上,f(x) =1/c(cf(x)).7) 如果()()()()x f x g x g x f ,,那么 f(x)=cg(x),这里 c 是 F 中任一不等于零的数.定理 2.2.1 设 f(x)和 g(x) 是 F[x] 的任意两个多项式,并且g(x) ≠0.那么在 F[x]中可以找到多项式 q(x) 和 r(x),使f(x) =g(x)q(x) +r(x), （3）这里或者 r(x)=0,或者 r(x)的次数小于 g(x) 的次数.满足以上条件的多项式 q(x) 和 r(x) 只有一对.证 先证定理的前一部分.若是 f(x) =0, 或 f(x)的次数不小于 g(x)的次数.那么可以取q (x)=0, r(x)=f(x).现在假定 f(x) 的次数不小于 g(x) 的次数,我们把 f(x)和g(x)按降幂 写:()n mn n n n a xa x a x a x f ++++=---1110()n mn n n n b xb x b x b x f ++++=---1110 这里0,000≠≠b a ,并且 n ≥m.用中学代数中多项式除多项式的方法，自 f(x)减去g(x)与m n x a b --010的积，那么 f(x)的首项被消去，而我们得到 F[x]的一个多项式)(1x f :).()()(0101x g x a b x f x f m n ---=)(1x f 有以下性质：或者)(1x f =0,或者)(1x f 的次数小f(x)的次数n. 若是)(1x f ≠0，并且)(1x f 的次数1n 仍不小于g(x)的次数 m,那么用同样的 步骤我们可以得到 F[x]的一个多项式)(2x f :).()()(1101012x g xa b x f x f mn ---=这里10a 是)(1x f 的首项系数. )(2x f 有以下性质：或者)(2x f =0，或者)(2x f 的次数小于)(1x f 的次数1n . 这样作下去，由于多项式)(1x f ,)(2x f ，⋯的次数是递降的，最后一定达到这样的一个多项式)(x f k :).()()(10,1101x g xa b x f x f mn k lk k k ------=而)(x f k ＝0或)(x f k 的次数小于m.总起来，我们得到等式： ),()()(1010x f x g x a b x f m n =--- ),()()(2101011x f x g x a b x f mn =---………….),()()(10,1101x f x g x a b x f k mn k k k =------把这些等式加起来，得()).())((110,110101010x f x a b x a bx a b x g x f k m n k m n om n k ++++=--------这样，Ｆ［x ］的多项式(),110,110101010m n k m n om n k x a b x a bx a b x q --------+++=)()(x f x r k =满足等式（３），并且或者 r(x)=0，或者 r(x)的次数小于 g(x)的次数． 现在证明定理的后一部分．假定还能找到Ｆ[x]的多项式 q (x)和 r (x)，使f(x)=g(x) q (x)+ r (x),并且或者 r (x)＝０，或者 r (x)的次数小于 g(x)的次数，那么由等式（３）减去 等式（４），得g(x)[q(x)－q (x)]= r (x)－r(x) (4)若是,0)()(≠-x r x r 那么 q(x)－ q (x)也不能等于零．这时等式右边的次数将 小于 g(x)的次数，而等式左边的次数将小于 g(x)的次数．这不可能．因此必然有 ,0)()(=-x r x r 因而,0)()(=-x q x q 这就是说，q(x)= q (x)，r(x)= r (x)．我们看到，在以上的证明中，对于已给多项式 f(x)和 g(x)来求出 q(x)和 r(x) 方法正是中学代数中多项式除多项式的方法，这种方法叫作带余除法．多项式q(x)和 r(x)分别叫作以 g(x)除 f(x)所得的商式和余式,若是 g(x)=0，那根据整除的定义，g(x)只能整除零多项式 0.若是 g(x)‡0，那么由以上定理，当且仅当以g(x)除 f(x)所得余式 r(x)=0 的时候，g(x)能整除 f(x).3.系数所在范围对整除性的影响设Ｆ和 F 是两个数域，并且 F 含有Ｆ，那么多项式环 F ［x ］含有多项式环Ｆ[x]．因此Ｆ上的一个多项式 f(x)也是 F 上的一个多项式．设数域 F 含有数域Ｆ而 f(x) 和 g(x)是Ｆ[x]的两个多项式．如果在 F[x]里g(x)不能整除 f(x)，那么在 F ［x ］里 g(x)也不能整除 f(x)．事实上，若 g(x)＝０，那么由于在Ｆ[x]里 g(x)不能整除 f(x)，f(x)不能等于 0．因此在 F ［x ］里 g(x)显然仍不能整除 f(x).假定()0≠x g ，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立：f(x) =g(x)q(x) +r(x)，并且()0≠x r ．但是Ｆ[x]的多项式 q(x)和 r(x)都是 F ［x ］的多项式，因而在 F ［x ］里，这一等式仍然成立．于是由 r(x)的唯一性得出， F ［x ］里 g(x)仍然不能整除 f(x).作业：P38： 1， 2， 3， 4， 5， 7.2.3多项式的最大公因式教学目的要求 掌握两个(n 个)多项式的公因式, 最大公因式互素的概念 及性质;熟练地应用辗转相除法求出(f(x),g(x)), 并会求 u(x),v(x). 使得:f(x)u(x)+g(x)v(x)=(f(x),g(x))，运用概念或充要条件判断问题.重点难点 多项式最大公因式的存在唯一性定理 . 教学过程 讲授、练习.1. f(x)与 g(x)的最大公因式设 F 是一个数域,F [x ]是 F 上一元多项式环.定义一 令f(x)和 g(x)是 F [x ]的两个多项式.若是 F [x ]的一个多项式 h(x)同时整除 f(x)和g(x),那么h(x)叫做 f(x)与 g(x)的一个公因式.定义二 设d(x)是多项式 f(x)与g(x)的一个公因式.若是 d(x)能被 f(x)与g(x)的每一个公因式整除,那么d(x)叫做f(x)与 g(x)的一个最大公因式.定理 2.3.1 F [x ]的任意两个多项式 f(x)与 g(x)一定有最大公因式.除一个零次因式外, f(x)与 g(x)的最大公因式是唯一确定的,这就是说,若是 d(x)是f(x)与 g(x)的一个最大公因,那么数域 F 的任何一个不为零的数 c 与 d(x)的乘积cd(x),而且只有这样的乘积是 f(x)与 g(x)的最大公因式.证 我们可以完全类比着定理 1.4.2 的证明来证明这个定理. 然而为了给出一种实际求最大公因式的方法,我们另外给出一个证明.先证明定理的前一部分.若是f(x)=g(x)=0,那么根据定义, f(x)与g(x)的最大公因式就是0.假定 f(x)与g(x)不都等于零,比方说,g(x)≠0.应用带余除法,以 g(x)除f(x),得商 式 q 1(x)及余式 r 1(x).如果 r 1(x) ≠0,那么再以r 1(x)除 g(x), 得商式 q 2 (x)及余式 r 2 (x ). 如果 r 2 (x) ≠0,再以r 2 (x) 除r 1(x),如此继续下去,因为余式的次数每次降低,所以作了有限次这种除法后,必然得出这样一个余式 r k (x),它整除前一个余式 r(x). 这样我们得到一串等式:),()()()(11x r x q x g x f += ),()()()(221x r x q x r x g += ),()()()(3321x r x q x r x r += (1)……………………),()()()(1123x r x q x r x r k k k k ----+= ),()()()(12x r x q x r x r k k k k +=-- ).()()(11x q x r x r k k k +-= 我们说, r k (x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式.(1) 的最后一个等式说明)(x r k 整除)(1x r k -.因此得, )(x r k 整除倒数第二个等式右端的两项,因而也就整除)(2x r k -. 同理,由倒数第三个等式看出)(x r k 也整除)(3x r k -.如此逐步往上推，最后得出)(x r k 能整除 g(x)与 f(x). 这就是说,r k (x)是 f(x)与g(x)的一个最大公因式.其次,假定h(x)是f(x)与g(x)的任一公因式,那么由(1)的第一个等式,h(x)也一定能整除r 1(x)同理,由第二个等式,h(x)也能整除)(2x r . 如此逐步往下推,最后得出h(x)能整除)(x r k . 这样, )(x r k 的确是f(x)与g(x)的一个最大公因式.定理的后一论断可由最大公因式的定义以及前一章的性质 1), 6)及 7)直接推出.我们不但证明了任意两个多项式都有最大公因式,并且也获得了实际求出这样一个最大公因式的一种方法. 这种方法叫做辗转相除法.我们也看到, 两个零多项式的最大公因式就是 0,它是唯一确定的. 两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零多项式,它们之间只有常数因子的差别. 在这一情形我们约定,最大公因式指的是最高次项系数是1的那一个.这样,在任何情形,两个多项式f(x)与g(x)的最大公因式就都唯一确定了.我们以后用符号(f(x),g(x))来表示这样确定的最大公因式.由于可以用辗转相除法求出两个多项式的最大公因式,我们还可以得出一个 结果.我们知道,若是数域___F 含有F,那么F [x ]的多项式f(x)与g(x)可以看作 ()x F ___的多项式. 我们有以下事实:令___F 是含F 的一个数域,d(x)是这两个多项式在 F [x ]中最高项系数为1的最大公因式,而()x d __是这个多项式在()x F ___中最高项系数为1的最大公因式.那么)()(x d x d =.这就是说,从数域F 过渡到数域___F 时, f(x)与g(x)的最大公因式没有改变. 事实上,若 f(x)=g(x)=0,那么()0)(==x d x d .设 f(x)与 g(x)之中至少有一个不等于零. 不论我们把 f(x)与 g(x)看成 F [x ]或()x F ___ 的多项式,在我们对这两个多项式施行辗转相除法时,总得到同一的最后 余式)(x r k . 因此这样得来的)(x r k 既是 f(x)与 g(x)在F [x ]里的也是它们在()x F ___里的一个最大公因式.令)(x r k 的首项系数是c.那么由上面的约定()x cr x d x d k /1)()(==例1 令 F 是有理数域.求 F [x ]的多项式3442)(234-+--=x x x x x f ，3452)(23+--=x x x x g的最大公因式.把 f(x)先乘以 2,再用 g(x)来除68842234-+--x x x x345223+--x x xx x x x 3452234+-- 1+x23 (乘以 2)12108223-+-x x x345223+--x x x151433-+-x x 这样，得到 第一余式()1514331-+-=x x x r 把)(x g 乘以3，再用)(1x r 去除：91215623+--x x x 151432-+-x xx x x 3028623+-132--x942132+--x x （乘以3）27126392+-x x195182392+-x x 16856-x约去公因子56后，得出第二余式()32-=x x r且()x r 2整除()x r 1∴ ()()()3,-=x x g x f例 2．令 F 是有理域．求出Ｆ[x]的最大公因式951624)(234++--=x x x x x f452)(23+--=x x x x g的最大公因式 d(x)以及满足等式（２）的多项式 u(x)与 v(x)．对 f(x)与g(x)施行辗转相除法．但是现在不允许用一个零次多项式或除式．因为在求多项式 u(x)与v(x)时，不仅要用到余式，同时也要用到商式．施行除法的结果，我们得到以下一串等式：()()9362)(2+--+•=x x x x g x f()()()13/13/1936)(2--+-+--=x x x x x g()()9619362+--=+--x x x x 由此得出，x-1 是 f(x)与 g(x)的最大公因式，而u(x)=-1/3(x-1)，v(x)=1/3(2x 2-2x-3)．定义 3 如果Ｆ[x]的两个多项式除零次多项式外不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素．显然，若多项式 f(x)与 g(x)互素，那么，１是它们的最大公因式；反之，若１是 f(x)与 g(x)的最大公因式，那么这两个多项式互素．定理 2.3.3 F[x]的两个多项式 f(x)与 g(x)互素的充分且必要条件是：在Ｆ[x]中可以求得多项式 u(x)与 v(x),使()()()1)(=+x v x g x u x f ⑷事实上，若 f(x)与 g(x)互素，那么它们有最大公因式１，因而由定理 2.3.2,可以找 u(x)与v(x),使等式(4)成立。