插补原理介绍
数控技术第3章插补原理
5. 运算举例（第Ⅰ 象限逆圆弧） 运算举例（ 象限逆圆弧） 加工圆弧AE 起点(4,3) AE， (4,3)， 终点(0,5) E=(4-0)+(5加工圆弧AE，起点(4,3)， 终点(0,5) ，E=(4-0)+(53)=6 插补过程演示
三.逐点比较法的进给速度 逐点比较法的进给速度
逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、 逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、 抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳， 抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳， 精度较高。在两坐标联动机床中应用普遍. 精度较高。在两坐标联动机床中应用普遍. 对于某一坐标而言， 对于某一坐标而言，进给脉冲的频率就决定了进给速 度 ：
插补是数控系统最重要的功能； 插补是数控系统最重要的功能； 插补实际是数据密集化的过程； 插补实际是数据密集化的过程； 插补必须是实时的； 插补必须是实时的； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。 插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、 插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、二次插补器及高 次曲线插补器； 次曲线插补器； 根据插补所采用的原理和计算方法不同， 根据插补所采用的原理和计算方法不同，分为软件插补和硬件 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。
脉冲当量： 脉冲当量：每一个脉冲使执行件按指令要求方向移动的直线 距离，称为脉冲当量， 表示。一般0.01mm 0.001mm。 0.01mm～ 距离，称为脉冲当量，用δ表示。一般0.01mm～0.001mm。 脉冲当量越小， 脉冲当量越小，则机床精度越高
插补原理
插补原理：在实际加工中，被加工工件轮廓形状千差万别，严格说来，为了满足几何尺寸精度要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件轮廓形状来生成，对于简单曲线数控系统可以比较容易实现，但对于较复杂形状，若直接生成会使算法变得很复杂，计算机工作量也相应地大大增加，因此，实际应用中，常采用一小段直线或圆弧去进行拟合就可满足精度要求(也有需要抛物线和高次曲线拟合情况)，这种拟合方法就是“插补”，实质上插补就是数据密化过程。
插补任务是根据进给速度要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干个中间点坐标值，每个中间点计算所需时间直接影响系统控制速度，而插补中间点坐标值计算精度又影响到数控系统控制精度，因此，插补算法是整个数控系统控制核心。
插补算法经过几十年发展，不断成熟，种类很多。
一般说来，从产生数学模型来分，主要有直线插补、二次曲线插补等；从插补计算输出数值形式来分，主要有脉冲增量插补(也称为基准脉冲插补)和数据采样插补[26]。
脉冲增量插补和数据采样插补都有个自特点，本文根据应用场合不同分别开发出了脉冲增量插补和数据采样插补。
1数字积分插补是脉冲增量插补一种。
下面将首先阐述一下脉冲增量插补工作原理。
2.脉冲增量插补是行程标量插补，每次插补结束产生一个行程增量，以脉冲方式输出。
这种插补算法主要应用在开环数控系统中，在插补计算过程中不断向各坐标轴发出互相协调进给脉冲，驱动电机运动。
一个脉冲所产生坐标轴移动量叫做脉冲当量。
脉冲当量是脉冲分配基本单位，按机床设计加工精度选定，普通精度机床一般取脉冲当量为：0.01mm，较精密机床取1或0.5 。
采用脉冲增量插补算法数控系统，其坐标轴进给速度主要受插补程序运行时间限制，一般为1~3m/min。
脉冲增量插补主要有逐点比较法、数据积分插补法等。
逐点比较法最初称为区域判别法，或代数运算法，或醉步式近似法。
这种方法原理是：计算机在控制加工过程中，能逐点地计算和判别加工偏差，以控制坐标进给，按规定图形加工出所需要工件，用步进电机或电液脉冲马达拖动机床，其进给方式是步进式，插补器控制机床。
插补原理
3. 采用单台高性能微型计算机方案。
二、基准脉冲插补
一、 逐点比较法
加工图1所示圆弧AB，如果刀具在起始点A，假设让刀具先从A点 沿－Y方向走一步，刀具处在圆内1点。为使刀具逼近圆弧，同时又 向终点移动，需沿＋X方向走一步，刀具到，然后再沿－Y方向走一步， 如此继续移动，走到终点。
每发出一个脉冲，工作台移动一个基本长度单位， 也叫脉冲当量，脉冲当量是脉冲分配的基本单位。
（二）数据采样插补 数据采样插补又称时间增量插补，这类算法插补结 果输出的不是脉冲，而是标准二进制数。根据编程进 给速度，把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微 小直线段，然后将这些微小直线段对应的位置增量数 据进行输出，以控制伺服系统实现坐标轴的进给。 插补计算是计算机数控系统中实时性很强的一项 工作，为了提高计算速度，缩短计算时间，按以下三 种结构方式进行改进。 1. 采用软/硬件结合的两级插补方案。
• 数控系统中常用的插补算法有：逐点比较法、数
字积分法、时间分割法等。
• 目前普遍应用的两类插补方法为基准脉冲插补和
数据采样插补。
（一）基准脉冲插补
基准脉冲插补又称脉冲增量插补，这类插补 算法是以脉冲形式输出，每插补运算一次，最多 给每一轴一个进给脉冲。把每次插补运算产生的 指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动，
令：Fi , j= xe yi－xi ye --------（1）
偏差判别：根据刀具当前位置， 确定进给方向。 坐标进给：使加工点向给定轨迹 趋进，即向减少误差方向移动。 偏差计算：计算新加工点与给定 轨迹之间的偏差，作为下一步判 别依据。 终点判别：判断是否到达终点， 若到达，结束插补；否则，继续 以上四个步骤（如图3所示）。
第3章-插补原理
Y积分器
计t数 器JVX为(XeJ)E，JR均X 为溢三出位Jvy(Ye) JRy 溢出
终点计 数器
JE
备注
二0进制1存01 放器00。0
011 000
000
初始状态
1
101 101
011 011
001 第一次迭代
2
101 010
1
011 110
010
X溢出
3
101 111
011 001
1
011
Y溢出
∑=8-1=7
4
F<0
+Y
F4=F3+xe=-2+6=4
∑=7-1=6
5
F>0
+X
F5=F4-ye=4-4=0
∑=6-1=5
6
F=0
+X
F6=F5-ye=0-4=-4
∑=5-1=4
7
F<0
+Y
F7=F6+xe=-4+6=2
∑=4-1=3
8
F>0
+X
F8=F7-ye=2-4=-2
∑=3-1=2
9
F<0
4
101 100
1
011 100
100
X溢出
5
101 001
1
011 111
101
X溢出
6
101 110
011 010
1
110
Y溢出
7
101 011
1
011 101
111
件加工的要求，现在的数控系统已很少采用这类算法 了。
4
*
插补原理介绍
插补原理介绍3.2 插补原理概念引出：在‘画图板’下绘制垂直、⽔平、45°、⼀般⾓度的直线，圆弧。
找同学写出其加⼯代码。
并让其观察各直线的区别。
存在差别的原因就是插补所致，引出本节题⽬―――插补。
显⽰器显⽰原理与步进电机插补原理同出⼀辙。
插补的地位：插补是加⼯程序与电机控制之间的纽带。
3.2.1 插补概述1、插补定义⽤户在零件加⼯程序中，⼀般仅提供描述该线形所必须的相关参数，如对直线，提供其起点和终点坐标；对圆弧，提供起终点坐标、圆⼼坐标及顺逆圆的信息。
⽽这些信息不能满⾜控制机床的执⾏部件运动（步进电机、交直流伺服电机）的要求。
因此，为了满⾜按执⾏部件运动的要求来实现轨迹控制必须在已知的信息点之间实时计算出满⾜线形和进给速度要求的若⼲中间点。
这就是数控系统的插补概念。
可对插补概念作如下定义：是指在轮廓控制系统中，根据给定的进给速度和轮廓线形的要求，在已知数据点之间插⼊中间点的⽅法，这种⽅法称为插补⽅法。
每种⽅法⼜可能⽤不同的计算⽅法来实现，这种具体的计算⽅法称之为插补算法。
插补的实质就是数据点的密化。
由插补的定义可以看出，在轮廓控制系统中，插补功能是最重要的功能，是轮廓控制系统的本质特征。
插补算法的稳定性和算法精度将直接影响到CNC系统的性能指标。
所以为使⾼级数控系统能发挥其功能，不论是在国外还是国内，精度⾼、速度快的新的插补算法(软件)⼀直是科研⼈员努⼒突破的难点，也是各数控公司竭⼒保密的技术核⼼。
像西门⼦、Fanuc 数控系统，其许多功能都是对⽤户开放的，但其插补软件却从不对⽤户开放。
2、插补分类插补的形式很多，按其插补⼯作由硬件电路还是软件程序完成，可将其分为硬件插补和软件插补。
软件插补的结构简单（CNC装置的微处理器和程序），灵活易变。
现代数控系统都采⽤软件插补器。
完全硬件的插补已逐渐被淘汰，只有在特殊的应⽤场合和作为软件、硬件结合插补时的第⼆级插补使⽤；从产⽣的数学模型来分，有⼀次（直线）插补、⼆次（圆、抛物线等）插补及⾼次曲线插补等。
数控机床的插补原
多项式插补的优缺点
优点
多项式插补能够生成光滑的曲线，适用于复杂形状的加工；可以通过增加控制点来提高插补精度；可以处理多种 类型的插补需求。
缺点
计算量大，需要较高的计算能力；对于某些特殊形状的加工，可能需要特殊的多项式函数形式；需要精确的已知 数据点，否则可能导致插补误差较大。
05
样条插补
样条插补的定义
样条曲线法
样条曲线法是一种更加高级的插补方法，它使用多项式样 条曲线来描述加工路径，能够实现更加复杂的形状加工， 并提高加工精度和表面质量。
插补算法的精度和效率
精度
插补算法的精度是衡量其性能的重要指标之一。高精度的插 补算法能够生成更加精确的路径，从而提高加工精度和表面 质量。
效率
插补算法的效率也是需要考虑的因素之一。高效的插补算法 能够缩短加工时间，从而提高生产效率。在实际应用中，需 要根据具体需求选择精度和效率之间的平衡点。
确定已知数据点
首先需要确定起始点和终止点的坐标位置，以及可能的其他控制点。
构造多项式函数
根据已知数据点，选择合适的多项式函数形式，如线性函数、二次函 数或更高次的多项式。
求解插值方程
通过求解插值方程，得到多项式函数的系数，使得该函数在已知数据 点处的值与实际值相等。
生成加工路径
将多项式函数与机床的坐标系统关联起来，生成加工路径，控制机床 的运动轨迹。
04
多项式插补
多项式插补的定义
多项式插补是一种数学方法，用于在 两个已知数据点之间生成一条光滑曲 线。它通过构造一个多项式函数来逼 近给定的数据点，使得该函数在数据 点处的值与实际值尽可能接近。
VS
在数控机床中，多项式插补被用于生 成零件加工的路径，使得加工过程更 加精确和光滑。
第四部分插补原理与速度控制
（3）迭代法偏差函数F的推导
①设加工点P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差F≥0， 刀具需向X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点
P（Xi+1，Yi）。新加工点的偏差为： Fi+1，i = (Xi – 1)2 +Yi2 -（X02 + Y02）
=Xi2-2Xi+1-X02+Yi2-Y02 =F-2Xi+1 ②设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
③偏差计算 计算新加工点相对直线的偏差，作为下一步 偏差判别的依据。
④终点判别 判断是否到达终点，未到达终点则返回第一 步，继续插补，到终点，则停止本程序段的插补。终 点判别可采用两种方法：一是每走一步判断Xi-Xe≥0及 Yi-Ye≥0是否成立，如成立，则插补结束否则继续。二 是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe | + | Ye | ， 每走一步n-1，直到n=0为止。
线 型 偏差判别
象
1
2
限
3
4
F≥0
-Y
+X
+Y
-X
G02
F<0
+X
+Y
-X
-Y
F≥0
-X
-Y
+X
+Y
G03
F<0
+Y
-X
-Y
+X
（3）圆弧插补自动过象限处理
为了加工二个象限或二个以上象限的圆弧，圆弧插 补程序必须具有自动过象限功能。自动过象限程序包 括象限边界处理、过象限判断及数据处理等模块。
插补原理概述
2.1 插 补 原 理
2. 逐点比较法圆弧插补
在圆弧加工过程中，要描述刀具位置与被加工圆弧之间关系，可用动
点到圆心距离大小来反映。见图2-8，设圆弧圆心在坐标原点，己知圆弧
起点 A(X，a ,终Ya )点 ，B(X圆b,弧Yb )半径为R。加工点可能在三种情况出现，圆弧 上、圆弧外、圆弧内。
①当动点 P(X位,Y)于圆弧上时有
②若 F ，0 表明动点在圆内，应向+X向进给，计算出新一点的偏差。
如此走一步，算一步，直至终点。
由于偏差计算公式中有平方值计算，下面采用递推公式给予简化。对
第(一Xi象1,Y且i限1) 顺圆，X，i+1 =FXi，，i ³Yi动则+01 =点新Yi点-1的Pi偏应( X差向i , 值-YYi )为向进给，新的动点坐标为
②若点在直线上，则有 X eY - XYe > 0
③若点在直线下方，则有 X eY - XYe = 0
X
Y
e
-
XY e
<
0
因此，可以构造函数偏差为
F = X Y - XY
(2-2)
e
e
2.1 插 补 原 理
对于第一象限直线，其偏差符号与进给方向之间的关系为：
①F=0时，表示动点在OE上，如点P，可向+X向进给，也可向+Y方向进
7
F6 0
+X
F7 F6 Ye 0 0
由直线插补例子看出，在起点和终点处，刀具都在直线上。通过逐点比较法，控
制刀具走出一条尽量接近零件轮廓直线的轨迹，当脉冲当量很小时，刀具走出的折
线非常接近直线轨迹，逼近误差的大小与脉Байду номын сангаас当量的大小直接相关。
第四章 插补原理与速度控制解剖
P(Xi,Yi) F>0
F=0
O
A(Xe,Ye) F<0
X
3、终点判别
不能用M(Xi,Yi)＝A(Xe,Ye)作为条件，可利 用刀具沿X，Y轴走的总步数N来判断 N＝Xe+Ye
终点判别方法：设置减法计数器，进给一 步减1，直至N减到0为止
4、举例
用逐点比较法插补直线OE
Y
2
E(4,2)
1
n=Xe+Ye
– （1）偏差计算；（2）偏差判别；（3）坐标进给； （4）终点判别。
3、插补形式：
– （一）直线插补 – （二）圆弧插补
4、插补方法：
4、插补方法：
1.构造偏差函数：F=F(x,y),x,y为刀具当前坐标， 函数的正负反映刀具与曲线的相对位置关系
2.偏差计算：由x,y计算F（x,y) 3.偏差差别：F(x,y)>0或＜0或＝0 4.进给：F>0，上方（＋X）；F＜0，下方（＋Y） 5.终点判别：是否到达曲线终点。
脉冲 个数
0
偏差判别
进给 方向
偏差计算 F0 = 0
1 F0 = 0
- X F1 = F0 –2X0+1=
0-2×10+1=-19
2 F1 = -19 ＜0 +Y F2 = F1 +2Y1+1=
-19+2×0+1=-18
3 F2 = -18 ＜0 +Y F3 = F2 +2Y2+1=
-18+2×1+1=-15
Fi+1=Fi-2yi+1
❖ Fi<0 ,向+X走一步，到点P2(xi+1,yi+1),得： Fi+1=Fi+2xi+1
数控技术-第3讲-插补原理
xi2 y 2 j
2 2 x0 y0
F>0
2 2 圆弧外 xi2 y 2 x y j 0 0
圆弧内
xi2 y 2 j
2 2 x0 y0
o
F<0
P(x0,y0)
x
0点在圆弧上 2 2 偏差判别函数 Fij ( xi2 x0 ) ( y2 y j 0 ) 0点在圆弧外 0点在圆弧内
44
6.数字积分法
数字积分器具有运算速度快、脉冲分配 均匀、易于实现多坐标联动，进行空间直线 插补及描给平面各种函数曲线的特点。其缺 点是速度调节不便，插补精度需要采取一定
措施才能满足要求。
ห้องสมุดไป่ตู้
45
6.数字积分法
函数 y = f (t) ，从时刻 t=0 到 t 求函数 y = f (t) 积 分可用如下积分公式计算：
35
5.插逐点比较法
1）逐点比较法直线插补的象限处理：
A2 (Xe ,Ye )
Y
F 0
F 0
A1 ( X e , Y e )
F 0
F 0
F 0
F 0 F 0
F 0
F 0
O
F 0
F 0
X
F 0
F 0 F 0
F 0 F 0
A3 ( X e ,Ye )
A4 ( X e ,Ye )
插补（Interpolation）：数控装置依据 编程时的有限数据，按照一定计算方 法,用基本线型(直线、圆弧等)拟合出 所需要轮廓轨迹。边计算边根据计算 结果向各坐标发出进给指令。
机床导轨是互相垂直的，并且单个导轨只能走直 线，因此，加工平面斜线、曲线时就需要两个导轨 按照一定的一一对应关系协调进给；若要求加工曲 面时就需要三个或三个以上导轨协调进给。
插补原理及控制方法
顺圆
结束
第三章 插补原理及控制方法 36
举例说明圆弧插补过程。
设第一象限有一逆 圆圆弧AB，起点A 的坐标为 =6， ＝0，终点B的坐标 为 =0， =6。
第三章 插补原理及控制方法 37
二、逐点比较法圆弧插补---其它象限
y
y
F>0
F<0
o
x
F<0
o
F>0
x
逆圆
各象限插补进给方向，远离原 点坐标值加一接近原点坐标值 减一。
3.1 逐点比较法插补---不同象限直线插补
第二象限
tg αi= yj / xi tg α=ye / xe
tg αi- tg α
= yj/ xi –ye / xe
=(xe yj-xi ye) / xe xi
令： Fi,j xeyj xiye
为偏差函数
A (xe,ye)
y
M (xi,yj)
αi
x
αo
逐点比较法插补
逐点比较法特 点是：计算机 每控制机床坐 标（刀架）走 一步时都要完 成四个工作节 拍。
位置判别 判 别实际加工点 相对规定几何 轨迹的偏离位 置，然后决定 刀具走向；
坐标进给 控 制某坐标轴工 作台进给一步， 向规定的几何 轨迹靠拢，缩 小偏差；
偏差计算 计 算新的加工点 对规定轨迹的 偏差，作为下 一步判别走向 的依据；
插补技术是数控系统的核心技术。数控加工过程中，数控系统 要解决控制刀具或工件运动轨迹的问题。刀具或工件一步步移 动，移动轨迹是一个个小线段构成的折线，不是光滑曲线。刀 具不能严格按照所加工零件的廓形运动，而用折线逼近轮廓线 型。
插补计算就是对数控系统输入的基本数据，(如直线起点、终 点坐标值，圆弧起点、圆心、圆弧终点坐标值、进给速度等)， 运用一定的算法计算，由数控系统实时地算出各个中间点的 坐标。即需要“插入补上”运动轨迹各个中间点的坐标，通 常将这个过程称为“插补”。
第四部分插补原理与速度控制-
⑷插补步骤
逐点比较法的直线插补过程，每走一步要进行以下四 个步骤，具体如下：
①偏差判别 根据偏差值确定刀具相对加工直线的位置。
②坐标进给 根据偏差判别的结果，决定控制沿哪个坐标 进给一步，以接近直线。
②当F<0时，应该向+Y方向发一脉冲，使刀具向+Y方 向前进一步，以接近该直线。
③当F=0时，既可以向+X方向发一脉冲，也可以向+Y 方向前进一步。但通常将F=0和F>0做同样的处理，既 都向+X方向发一脉冲。
⑶迭代法偏差函数F的推导 为了减少计算量，通常采用迭代法计算偏差函数F:即每
走一步，新加工点的偏差用前一点的偏差递推出来。
（二）数字增量（数据采样）插补算法
1.数字增量插补的特点
数字增量插补也称数据采样插补，它为时间标量 插补，这类插补算法的特点是插补运算分两步完成： 第一步是粗插补：计算出插补周期内各坐标轴的增量 值。第二步是精插补：根据采样得到的实际位置增量 值，计算跟随误差，得到速度指令，输出给伺服系统， 通常称为精插补。
P (Xi,Yi）
若P点在直线OA下方，则： XeYi – XiYe < 0
F＜0
X
定义F= XeYi – XiYe偏差函数，则可得到如下结论： 当F=0时，加工点P落在直线上；
当F>0时，加工点P落在直线上方；
当F<0时，加工点P落在直线下方；
⑵进给方向判别
①当F>0时，应该向+X方向发一脉冲，使刀具向+X方 向前进一步，以接近该直线。
插补的原理
插补的原理插补是数控加工中的重要概念，它是指在机床进行加工过程中，根据加工轨迹的要求，通过控制机床的运动轴进行插补运动，从而实现复杂曲线的加工。
插补的原理是数控加工中的核心内容之一，下面将从插补的基本原理、插补的分类以及插补的应用等方面进行详细介绍。
首先，插补的基本原理是数控加工中的基础知识，它包括直线插补和圆弧插补两种基本插补方式。
直线插补是指机床在直线轨迹上进行插补运动，而圆弧插补则是指机床在圆弧轨迹上进行插补运动。
在数控加工中，插补运动是通过控制机床各个坐标轴的运动来实现的，通过对各个坐标轴的速度、加速度和位置进行合理的控制，可以实现复杂曲线的加工。
其次，插补可以根据其运动方式的不同进行分类，主要包括直线插补、圆弧插补、螺旋线插补等。
直线插补是最简单的插补方式，它是通过控制机床的各个坐标轴，使其在直线轨迹上进行插补运动。
圆弧插补则是在圆弧轨迹上进行插补运动，它需要通过对圆弧的半径、起点和终点等参数进行合理的控制。
螺旋线插补则是在三维空间中进行插补运动，它需要对螺旋线的半径、螺距、起点和终点等参数进行合理的控制。
不同的插补方式可以实现不同形状的曲线加工，从而满足不同加工要求。
最后，插补在数控加工中有着广泛的应用，它可以实现复杂曲线的加工，提高加工精度和效率。
在实际加工中，通过合理的插补运动，可以实现各种复杂曲线的加工，如汽车零部件、航空航天零部件、模具等领域的加工。
同时，插补运动还可以实现多轴联动，从而实现更加复杂的加工要求，如五轴联动加工、六轴联动加工等。
因此，插补在数控加工中具有非常重要的意义，它是实现复杂曲线加工的关键技术之一。
综上所述，插补是数控加工中的重要概念，它通过合理的运动控制，实现复杂曲线的加工。
插补的基本原理包括直线插补和圆弧插补，可以根据其运动方式的不同进行分类。
插补在数控加工中有着广泛的应用，可以实现各种复杂曲线的加工，提高加工精度和效率。
因此，深入理解插补的原理对于提高数控加工的质量和效率具有重要意义。
插补原理
要求
插补器完成插补工作。 插补器分为：硬件插补器、软件插补器
插补器的基本要求
1. 插补所需的原始数据较少 2. 插补结果没有累计误差 3. 进给速度保持恒定 4. 插补计算速度快
§2-1 概述
2. 分类
插补是数控系统必备功能，NC中由硬件完成， CNC中由软件实现，两者原理相同。 脉冲增量插补（开环数控系统） 逐点比较法 数字积分法 数字脉冲乘法器 矢量判别法 比较积分法
§2-2 逐点比较法
应用广泛，能实现平面直线、圆弧、二次曲线插补， 精度高。
一、逐点比较法直线插补
y
A(xe,ye)
o
x
每次插补计算出一个脉冲，不是进给到x轴，就是进给 到y轴，不可能两坐标都进给。
§2-1 概述
1.
插补的定义
数据密集化的过程。数控系统根据输入的基本 数据（直线起点、终点坐标，圆弧圆心、起点、终 点坐标、进给速度等）运用一定的算法，自动的在 有限坐标点之间形成一系列的坐标数据，从而自动 的对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹 分析，以满足加工精度的要求。 插补的任务：根据起点、终点、轨迹轮廓、进给 速度，按数控系统的当量，对轮廓进行细化（计算 若干个中间点的坐标值）
数字增量插补 粗插补 将曲线划分为若干条微小直线段
精插补
对每条直线段进行数据点的密化工作
§2-2 逐点比较法
一、逐点比较法直线插补
1. 基本原理
在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不 断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据 比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小误差的 方向进给。其算法最大偏差不会超过一个脉冲当量δ 。 每进给一步需要四个节拍： 偏差判别 坐标进给 新偏差计算 终点比较
插补原理及控制方法
插补原理及控制方法插补原理是指在数控机床运动控制系统中，通过对多个轴同时进行定长或定角度的运动控制，实现复杂曲线的加工。
插补控制方法包括线性插补和圆弧插补两种。
一、线性插补线性插补是指在工件加工中，沿直线轨迹进行直线段的插补控制方法。
线性插补的原理是通过控制系统对多个轴的运动速度和方向进行精确控制，使得工件能够沿着设定的直线路径进行加工。
线性插补的控制方法包括点位控制和连续控制两种。
1.点位控制点位控制是将每个插补段分解成多个线性插补点，通过对每个点的坐标进行控制，实现工件的加工。
点位控制方式适用于工件形状简单、精度要求不高的情况下。
2.连续控制连续控制是通过对每个时间段内的轴位置进行插补计算，实现工件的连续运动。
此命令适用于工件形状复杂、精度要求较高的场景。
在连续控制中，通常使用插补算法进行计算，将每个时间段内需要插补的线性段分割成多个小段，并根据小段的长度和速度来确定每个小段的运动规律。
二、圆弧插补圆弧插补是指在数控机床加工中，通过对多个轴的运动进行控制，实现工件上圆弧曲线的加工。
圆弧插补的原理是通过对多个轴进行同步运动，控制圆弧路径的切线和加工速度，使得工件能够按照设定的半径和圆弧角度进行加工。
圆弧插补的控制方法包括圆心插补法和半径插补法。
1.圆心插补法圆心插补法是通过控制系统中的插补算法，计算每个时间段内轴的位置和速度，实现工件画圆弧的加工。
在圆心插补中，需要手动指定圆心的坐标位置和圆弧的半径、角度来实现加工。
2.半径插补法半径插补法是指通过在控制系统中指定圆弧的起点、终点和半径来实现工件圆弧的加工。
在半径插补中，插补算法会根据起始点和终点的位置，计算出圆心的位置和圆弧的角度，从而实现工件的加工。
总结：插补原理及控制方法是数控机床系统中非常重要的部分，通过对多个轴的运动进行精确控制，实现工件曲线轨迹的加工。
线性插补适用于直线段的加工，圆弧插补适用于曲线段的加工。
掌握插补原理及控制方法，对于数控机床加工精度的提高和加工效率的提高具有重要意义。
第二讲 插补原理
不同象限，顺逆不同，插补公式也不一样。
例.用DDA法进行圆弧插补，半圆弧AE起点A(0,5),
终点E(5，0),半径r=5。 解：溢出基值
m=r=5
Δx=y0=5
y
A
x轴增量值
y轴增量值
Δy=x0=0 0
∑x=∑y=0
插补过程如下： E
x
三、提高积分法插补的精度
减小DDA圆弧插补轮廓误差的措施
以控制各轴从而形成要求的轮廓轨迹，这种“数据
密化”机能就称为“插补”。 插入 补充 数据点 得到具体控制方法 加密 数据点
零件程序 … N12 G00 X12 Y24 N13 G01 X24 Y56 …
y
56
24
0
12
24
x
二.软件插补算法 Ⅰ.脉冲增量插补
原理
产生的单个行程增量，以一个个脉冲
方式输入给伺服系统。
y
56
24
脉冲当量： 一个控制脉 冲所对应的 控制坐标轴 的移动量 （转动量）。
12
24
0
x
应用
步进电机为驱动装置的开环数控系统。
机 床
计算机 数控柜
步进电机 驱动电源
步进 电机 滚珠丝杆
Ⅱ.数字采样插补（时间标量插补）
插补程序每调用一次，算出坐标轴在一个周期 中的增长段（不是脉冲），得到坐标轴相应的指令 位置，与通过位置采样所获得的坐标轴的现时的实
0
Fi+1 = Fi －Ye
2.若沿+y向走一步，即
, yi1 yi 1 xi1 xi F x y x y i1 e i1 i1 e
于是有
y Pi+ 1
E(xe,ye)
插补原理介绍范文
插补原理介绍范文插补原理是用来实现数控机床加工的基本原理，它是数控机床进行加工时控制运动轨迹和速度的核心机制。
以下是关于插补原理的详细介绍。
1.插补原理的基本概念插补原理是指根据数学模型和运动规划策略，通过计算机控制系统控制多个成分运动轨迹和速度的基本方法。
在数控机床加工中，常常需要进行直线插补、圆弧插补和螺线插补等运动，插补原理正是用来实现这些运动方式的关键。
2.插补原理的基本流程插补原理的基本流程包括坐标系转换、插值计算和控制指令生成等步骤。
首先，需要将加工对象的几何模型转换为机床坐标系下的坐标系，这样才能进行后续的数学计算。
然后，在插值计算中，根据加工轨迹的特点和要求，进行插值计算，得到每个时刻的位置和速度信息。
最后，根据计算结果，生成相应的控制指令，通过伺服系统控制机床的运动。
3.插补原理的数学模型插补原理的数学模型通常采用多项式函数来描述曲线的运动轨迹。
对于直线插补，可以使用线性函数或者高次多项式函数来进行描述。
而对于圆弧插补，通常采用二次多项式函数或者三次贝塞尔曲线来进行描述。
不同的数学模型能够更加准确地描述曲线的形状和运动轨迹，并且在实际应用中需要根据具体情况选取合适的模型。
4.插补原理的运动规划策略插补原理的运动规划策略是根据实际需要，通过数学计算得到加工路径和速度的最优解。
在运动规划中，需要综合考虑加工效率、精度要求、工件形状和加工工艺等因素，通过合理选择插补速度和运动路径，使得加工效果最好。
同时，还需要考虑机床本身的运动特性和限制条件，以便在满足加工要求的前提下尽可能提高机床的工作效率。
5.插补原理的实现方法插补原理的实现方法主要包括离散插值法和参数插值法两种。
离散插值法是将连续的曲线插值问题转化为离散点的插值问题，根据已知的离散点进行插值计算。
参数插值法则是根据给定的控制参数，通过数学计算得到曲线的运动轨迹。
离散插值法适用于简单的插值问题，而参数插值法适用于复杂的曲线插值问题。
插补和刀补计算原理
刀具补偿计算是数控加工中的一项重要 技术，用于补偿刀具的尺寸、形状和位 置误差，提高加工精度和表面质量。
刀具补偿计算包括刀具长度补偿、刀具半 径补偿和刀具角度补偿等，分别用于补偿 刀具长度、半径和旋转角度的误差。
刀具补偿计算基于刀具路径数据和刀具参 数，通过计算刀具实际轮廓与工件理论轮 廓之间的偏差，实现对刀具路径的修正。
刀具补偿计算的优缺点
优点
通过刀具补偿计算，可以减小加工误差，提高加工精度和表面质量。同时，还可以通过补偿刀具磨损、热变形等 因素，延长刀具使用寿命。
缺点
刀具补偿计算需要精确的刀具参数和加工数据，如果数据不准确或误差较大，会导致修正后的刀具路径偏离实际 加工需求，影响加工质量和效率。此外，对于复杂零件的加工，需要进行复杂的刀具补偿计算，对计算资源要求 较高。
缺点
多项式插补可能过于复杂，需要选择合适 的多项式形式和系数，否则可能导致过拟 合或欠拟合。此外，对于大规模数据集， 多项式插补可能计算量大，效率较低。
04
样条插补
样条插补原理
插补原理概述
样条插补是一种数学方法，通过 构建多项式曲线来平滑数据点之 间的空隙，从而生成连续的插值
曲线。
多项式选择
在样条插补中，通常选择多项式函 数作为插值函数，例如二次样条、 三次样条等。
插补算法基于数学原理，通过构建多项式函数来 逼近给定的数据点，从而生成平滑的曲线或曲面。
2
多项式插补通过选择合适的多项式函数形式，如 线性、二次、三次等，来适应不同的插补需求。
3
插补过程中，需要确定多项式的系数，通常采用 最小二乘法或其他优化算法来求解。
多项式插补的应用场景
数据平滑处理
01
在数据分析中，多项式插补可用于对离散数据进行平滑处理，
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3.2 插补原理概念引出：在‘画图板’下绘制垂直、水平、45°、一般角度的直线，圆弧。
找同学写出其加工代码。
并让其观察各直线的区别。
存在差别的原因就是插补所致，引出本节题目―――插补。
显示器显示原理与步进电机插补原理同出一辙。
插补的地位：插补是加工程序与电机控制之间的纽带。
3.2.1 插补概述1、插补定义用户在零件加工程序中，一般仅提供描述该线形所必须的相关参数，如对直线，提供其起点和终点坐标；对圆弧，提供起终点坐标、圆心坐标及顺逆圆的信息。
而这些信息不能满足控制机床的执行部件运动（步进电机、交直流伺服电机）的要求。
因此，为了满足按执行部件运动的要求来实现轨迹控制必须在已知的信息点之间实时计算出满足线形和进给速度要求的若干中间点。
这就是数控系统的插补概念。
可对插补概念作如下定义：是指在轮廓控制系统中，根据给定的进给速度和轮廓线形的要求，在已知数据点之间插入中间点的方法，这种方法称为插补方法。
每种方法又可能用不同的计算方法来实现，这种具体的计算方法称之为插补算法。
插补的实质就是数据点的密化。
由插补的定义可以看出，在轮廓控制系统中，插补功能是最重要的功能，是轮廓控制系统的本质特征。
插补算法的稳定性和算法精度将直接影响到CNC系统的性能指标。
所以为使高级数控系统能发挥其功能，不论是在国外还是国内，精度高、速度快的新的插补算法(软件)一直是科研人员努力突破的难点，也是各数控公司竭力保密的技术核心。
像西门子、Fanuc 数控系统，其许多功能都是对用户开放的，但其插补软件却从不对用户开放。
2、插补分类插补的形式很多，按其插补工作由硬件电路还是软件程序完成，可将其分为硬件插补和软件插补。
软件插补的结构简单（CNC装置的微处理器和程序），灵活易变。
现代数控系统都采用软件插补器。
完全硬件的插补已逐渐被淘汰，只有在特殊的应用场合和作为软件、硬件结合插补时的第二级插补使用；从产生的数学模型来分，有一次（直线）插补、二次（圆、抛物线等）插补及高次曲线插补等。
大多数数控机床的数控装置都具有直线插补和圆弧插补。
根据插补所采用的原理和计算方法的不同，可有许多插补方法。
目前应用的插补方法分为两类：(一) 基准脉冲插补(reference-pulse interpolator)基准脉冲插补又称行程标量插补或脉冲增量插补。
这种插补算法的特点是每次插补结束，数控装置向每个运动坐标输出基准脉冲序列，每个脉冲插补的实现方法较简单（只有加法和移位）可以用硬件实现。
目前，随着计算机技术的迅猛发展，多采用软件完成这类算法。
脉冲的累积值代表运动轴的位置，脉冲产生的速度与运动轴的速度成比例。
由于脉冲增量插补的转轴的最大速度受插补算法执行时间限制，所以它仅适用于一些中等精度和中等速度要求的经济型计算机数控系统。
基准脉冲插补方法有一下几种：1、数字脉冲乘法器插补法；2、逐点比较法；3、数字积分法；4、矢量判别法；5、比较积分法；6、最小偏差法；7、目标点跟踪法；8、直接函数法；9、单步跟踪法；10、加密判别和双判别插补法；11、Bresenham 算法早期常用的脉冲增量式插补算法有逐点比较法、单步跟踪法、DDA 法等。
插补精度常为一个脉冲当量，DDA 法还伴有运算误差。
80年代后期插补算法有改进逐点比较法、直接函数法、最小偏差法等，使插补精度提高到半个脉冲当量，但执行速度不很理想，在插补精度和运动速度均高的CNC 系统中应用不广。
近年来的插补算法有改进的最小偏差法，映射法。
兼有插补精度高和插补速度快的特点。
总的说来，最小偏差法插补精度较高，且有利与电机的连续运动 (二) 数据采样插补(sampled-word interpolator)数据采样插补又称为时间标量插补或数字增量插补。
这类插补算法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是标准二进制字。
插补运算分两步完成。
第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来逼近给定曲线，每一微小直线段的长度L ∆都相等，且与给定进给速度有关。
粗插补在每个插补运算周期中计算一次，因此，每一微小直线段的长度L ∆与进给速度F 和插补周期T 有关，即FT l =∆。
第二步为精插补，它是在粗插补算出的每一微小直线段的基础上再作“数据点的密化”工作。
这一步相当于直线的脉冲增量插补。
采样速度的选取：在数控系统中，采样周期的选取对于实际加工的精度影响很大，如果采样周期选取太大，加工精度就不能的得到保证，但是采样周期选取太小，又会影响加工速度，所以在实际选取时要尽量二者兼顾。
数据采样插补方法适用于闭环、半闭环以直流和交流伺服电机为驱动装置的位置采样控制系统。
粗插补在每个插补周期内计算出坐标实际位置增量值，而精插补则在每个采样周期内采样闭环或半闭环反馈位置增量值及插补输出的指令位置增量值。
然后算出各坐标轴相应的插补指令位置和实际反馈位置，并将二者相比较，求得跟随误差。
根据所求得跟随误差算出相应轴的精速度，并输给驱动装置。
我们一般将粗插补运算称为插补，用软件实现。
而精插补可以用软件，也可以用硬件实现。
数据采样插补方法很多，常用方法如下：1、直接函数法；2、扩展数字积分法；3、二阶递归扩展数字积分圆弧插补法；4、圆弧双数字积分插补法；5、角度逼近圆弧插补法；6、“改进吐斯丁”（Improved Tustin Method――ITM）法。
近年来，众多学者又研究了更多的插补类型及改进方法。
改进DDA圆弧插补算法，空间圆弧的插补时间分割法，抛物线的时间分割插补方法，椭圆弧插补法，Bezier、B样条等参数曲线的插补方法，任意空间参数曲线的插补方法。
上述的方法均为基于时间分割的思想，根据编程的进给速度，将轮廓曲线分割为插补周期的进给段（轮廓步长），即用弦线或割线等逼近轮廓轨迹，(注意，这里的“逼近”是为了产生基本的插补曲线(直线和圆等)。
编程中的“逼近”是用基本的插补曲线代替其它曲线)，然后在此基础上，应用上述不同的方法求解各坐标轴分量。
不同的求解方法有不同的逼近精度和不同的计算速度。
随着STEP标准的颁布，NURBS曲线、曲面插补方法的应用将越来越广泛。
因为NURBS 描述方法囊括了圆弧等二次曲线及自由曲线曲面的表达式，使得未来的CNC系统的型线代码指令可以“瘦身”为直线和NURBS两大类。
如果脱离速度控制谈插补算法，那么插补只能用于计算机图形学中。
只有将加减速控制与插补算法有机结合起来，才能构成完整的CNC系统运动控制模块。
在脉冲增量式插补算法中，可以靠改变插补周期来控制进给速度，而在数据采样算法中，进给速度与插补周期没有直接联系。
数据采样算法的加减速控制分为插补前加减速控制和插补后加减速控制。
由于后加减速方式是以各个轴分别考虑的，不但损失加工精度而且可能导致终点判别错误，所以在高精度加工中均采用前加减速方式。
但是对于任意曲线曲面加工来说，前加减控制的减速点预测是非常困难的。
加减速控制的方法分为梯形、指数型、抛物线型和复合曲线加减速法等。
直线型加减速方法计算简单，但是存在冲击；指数型方法没有冲击，但速度慢于直线型的，而且计算复杂；复合曲线加减速法不存在冲击，速度适中，但计算复杂。
所以根据所需要的不同的控制精度、控制速度选择合适的加减速控制方法是很重要的。
3.2.2 逐点比较法直线插补原理逐点比较法是一种逐点计算、判别偏差并逼近理论轨迹的方法，逐点比较法要完成如下四个工作节拍：1）偏差判别――判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏离情况，以此决定刀具进给方向2）进给控制――根据偏差判别结果，控制刀具相对于工件轮廓进给一步，即向给定的轮廓靠拢，减小偏差3）新偏差计算――由于刀具在进给后已改变了位置，因此应计算出刀具当前位置的新偏差，为下一次偏差判别作准备4）终点判别――判断刀具是否已到达被加工轮廓的终点，若已到达终点，则停止插补，若还未到达终点，再继续插补。
如此不断循环进行这四个节拍就可以加工出所要求的轮廓。
流程图：（有余力的同学画直线插补流程图）1、逐点比较法直线插补原理第一象限直线插补原理： 1）偏差判别以第一象限直线段为例。
用户编程时，给出要加工直线的起点和终点。
如果以直线的起点为坐标原点，终点Pe 的坐标为(,)e e X Y ，插补点Pi 的坐标为(,)i i X Y （i ＝1，2，3），如图3.3所示。
直线OPe ，OPi 与X 轴的夹角分别为,e i αα，则e e e tg Y X α=i i i tg Y X α=若插补点P1(,)i i X Y 恰在直线上，则 e i tg tg αα=0i i e i e F Y X X Y =-=若插补点P2(,)i i X Y 在直线上方，则 i e tg tg αα>0i i e i e F Y X X Y =->若插补点P3(,)i i X Y 在直线下方，则i e tg tg αα<0i i e i e F Y X X Y =-<综上：令偏差函数 i i e i e F Y X X Y =-，则有：0i F =，则插补点(,)i i X Y 恰在直线上； 0i F >，则插补点(,)i i X Y 在直线上方； 0i F <，则插补点(,)i i X Y 在直线下方；2）进给控制：当0i F ≥时，向X +方向进给一步； 当0i F <时，向Y +方向进给一步；3）新偏差计算：计算机并不善于做乘法运算，在其内部乘法运算是通过加法运算完成的。
因此判别函数F 的计算实际上是由以下递推迭加的方法实现的。
如果向X +向进给一步，则Fi ＋1=YiXe -（Xi ＋1）Ye =YiXe -（Xi ＋1）Ye ＝ YiXe – XiYe - Ye =Fi - Ye 同理，如果向Y +向进给一步，则Fi ＋1=（Yi ＋1）Xe-XiYe ＝ Fi ＋ Xe4）终点判别：（1）单向计数：取Xe 和Ye 中较大的作为计数长度 （2）双向计数：将Xe 和Ye 的长度加和，作为计数长度（3）分别计数：即计X ，又计Y ，直到X 减到0，Y 也减到0，停止插补这样从原点出发，走一步判别一次F ，再走一步，所运动的轨迹总在直线附近，并不断趋向终点。
综上所述第一象限直线插补软件流程如图3.4所示。
图3.4逐点比较法计算流程图3-3 插补点与直线的位置关系Xe ，Ye ）2、逐点比较法直线插补实例例：脉冲当量为1，起点（0，0），终点（5，3）注意：1、插补是锯齿形的，而肉眼看到的或者是测量时却是直线呢？2、水平线，垂直线及45°斜线的插补轨迹3、其它象限的偏差计算公式4、如果直线不在原点如何处理？3各象限直线插补公式及图形表格4、逐点比较法插补精度 精度为不大于一个脉冲当量5、速度分析逐点比较法合成进给速度逐点比较法的特点是脉冲源每发出一个脉冲，就进给一步，不是发向X 轴，就是发向Y轴，如果f g 为脉冲源频率(Hz)，f x ，f y 分别为X 轴和Y 轴进给频率(Hz)，则图3-7 四象限直线偏差符号和进给方向(3-10)从而X 轴和Y 轴的进给速度 (mm/min) 为式中 —脉冲当量（mm/脉冲）。