10-3(2)格林公式

∂P ∂ Q 内恒成立 的充要条件是 = 在G 内恒成立. ∂y ∂x
有关定理的说明： 是一个单连通域. (1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y ), Q( x, y )在G 内具有一 阶连续偏导数. 阶连续偏导数. 两条件缺一不可. 两条件缺一不可 （3）若积分与路径无关，则 ）若积分与路径无关，
( x + ∆x , y )
( x,y)
P ( x , y )dx + Q( x , y )dy P ( x , y )dx
=∫
( x + ∆x , y )
( x,y)
= P ( x + θ∆x ,wenku.baidu.comy )∆x (∃θ ∈ (0,1))
u( x + ∆x , y ) − u( x , y ) = P ( x + θ∆x , y ) ∆x
c a bc cd = − + ∫ab f ( t )dt + ∫bc f ( t )dt d b c a cd = − + ∫ab f ( t )dt d b
当 ab = cd 时, ∫ f ( t )dt = 0
cd ab
c a 所以 I = d − b .
三、二元函数的全微分求积
设开区域G 是一个单连通域 函数 P ( x , y ), Q( x , y )在G 内具有一阶连 续偏导数, 续偏导数, 则 P ( x , y )dx + Q( x , y )dy 在G 内为某一函数 u( x , y )的全微分的充要 条件是等式
L
内任一条闭路； （2） Pdx + Qdy = 0, L为G内任一条闭路； ∫ ∂Q ∂P 内处处成立； （3） = 在G内处处成立； ∂x ∂ y (4)存在函数 u( x , y )使得du = Pdx + Qdy。
L
xdy − ydx 在右半平面( x > 0) 内是 2 2 例3 验证 x +y 的全微分,并求 某个函数 u( x , y ) 的全微分 并求 u( x , y ). x −y 解 P ( x , y ) = 2 2 , Q = 2 2 在右半平面具有 x +y x +y xdy − ydx y2 − x2 ∂P ∂Q 连续偏导数,且 连续偏导数 且 = 2 ,故 x 2 + y 2 故 2 2 = ∂y ( x + y ) ∂x
一、 填空题: 1、 设 闭 区 域 D 由 分 段 光 滑 的 曲 线 L 围 成 , 函 数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 及 在 D 上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则 有
练
习
题
∫∫ D
2、
(
∂Q ∂P − ) dxdy _ _ _ _ _ _ ； ∂x ∂y
xoy
xdy − ydx 五、计算 ∫L 2 2 ,其中 L 为不经过原点 x +y
.(取逆时针方向 取逆时针方向) 的光滑闭曲线 .( 取逆时针方向) 六、验证(3x 2 y + 8 xy 2 )dx + ( x 3 + 8 x 2 y + 12 ye y )dy 在整个 xoy 平面内是某一函数u ( x, y ) 的全 微分, 微分, 并求这样一个 u ( x, y ) .
∂x ∂y
∂Q ∂ P 内处处成立,所以 充分性 因为 x = y . 在G 内处处成立 所以 ∂ ∂ 内与路径无关。 积分 ∫ Pdx + Qdy 在G 内与路径无关。
L
在 G 内任取一定点A( x0 , y0 )和一动点 C ( x , y ) C ( x, y) 记 u( x , y ) = ∫A( x , y ) P ( x , y )dx + Q( x , y )dy 由积分
D
设 函 续 路 内
为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域 , 数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 D 内 有 一 阶 连 偏 导 数 , 则 ∫L Pdx + Qdy 在 D 内 与 径 无 关 的 充 要 条 件 是 ____ 在 D 处处成立；
二 、 计 算 ∫L ( 2 xy − x 2 ) dx + ( x + y 2 ) dy 其 中 L 是 由 抛 物 线 y = x2 和 y2 = x 所 围 成 的 区 域 的 正 向边 界 曲线,并验 证格 林 公式 的 正确性 . 三、证明曲线积分 (3,4 ) ( 6 xy 2 − y 3 ) dx + ( 6 x 2 y − 3 xy 2 ) dy 在 整 个 ∫(1, 2 ) 面内与路径无关. 四 、 利 用 格 林 公 式 ,计 算 下 列 曲 线 积 分 : ∫L ( x 2 − y ) dx − ( x + sin 2 y ) dy 其 中 L 是 在 圆 周 y = 2 x − x2 上 由 点 (0,0) 到 点 (1,1)的 一 段 弧 ；
1
π
例 2 设曲线积分 ∫ xy dx + yϕ( x )dy 与路径
2 L
无关,其中ϕ 具有连续的导数,且 无关, 具有连续的导数, ( 1 ,1 ) 2 ϕ(0) = 0 ,求ϕ ( x ) 并计算 ∫ xy dx + yϕ( x )dy . ( 0,0 )
解
P ( x , y ) = xy 2 , Q( x , y ) = yϕ( x ),
1 x I = ∫ [1 + y f ( xy )]dx + [ y f ( xy ) − 1]dy y y
2 2 L 2
(1) 证明曲线积分 I 与路径 L无关 无关. (2) 当 ab = cd 时求 I 的值
解: (1) 因为
1 ∂ 1 2 [1 + y f ( xy )] = − y 2 − f ( xy ) + 2 f ( xy ) + xyf ′( xy ) ∂y y ∂ x 2 = 2 [ y f ( xy ) − 1] ∂x y
y0 x0
y
x
u( x , y ) = ∫( x , y ) P ( x , y )dx + Q( x , y )dy
( x,y)
0 0
u( x + ∆x , y ) = ∫( x , y ) P ( x , y )dx + Q( x , y )dy
( x + ∆x , y )
0 0
u( x + ∆x , y ) − u( x , y ) = ∫
∫L Pdx + Qdy = ∫A( x , y ) Pdx + Qdy
0 0
B( x , y )
A起点 终点。 起点,B终点 起点 终点。
利用积分与路径无关可以简化曲线积分 计算。 计算。
例1 计算
其中 L 为 2 x = π y 上由点 ( 0 ,0 )到( ,1)的一段弧 . 2 解 P = 2 xy 3 − y 2 cos x , Q = 1 − 2 y sin x + 3 x 2 y 2 在 xoy ∂Q ∂P 2 平面内具有连续偏导数且 = 6 xy − 2 y cos x =
否则称 积分与 路径有关. 否则 称 积分 与 路径有关 .
推论： 推论：在单连通区域
G
内积分
∫L P ( x , y )dx + Q( x , y )dy
与路径无关充分必要条件是:在 与路径无关充分必要条件是 在 G 内沿任意 等于零。 闭曲线的积分 ∫L P ( x , y )dx + Q( x , y )dy 等于零。
2
I = ∫ ( 2 xy 3 − y 2 cos x )dx + (1 − 2 y sin x + 3 x 2 y 2 )dy
L
π
所以积分与路径无关。 所以积分与路径无关。 取积分曲线为折线 OAB 则
∂x
y
∂y
B A
o
x
3π 2 2 π2 I = ∫ 2 0dx + ∫ (1 − 2 y + y )dy = 0 0 4 4
的全微分. 是某个函数 u( x , y ) 的全微分 取
( x0 , y0 ) = (1,0) ,则 则
x y
u( x , y ) = ∫ 0dx + ∫
1
0
x y dy = arctan . 2 2 x x +y
四、小结
(1)曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关的条件; 曲线积分与路径无关的条件 (2)等价命题 等价命题 (3)第二类曲线积分的计算方法 第二类曲线积分的计算方法: 第二类曲线积分的计算方法 1)首先看积分是否与路径无关 首先看积分是否与路径无关. 首先看积分是否与路径无关 若是,则取尽可能简单路径积分 则取尽可能简单路径积分; 若是,则取尽可能简单路径积分; 2)若积分与路径有关 检查格林公式的条件.若 若积分与路径有关,检查格林公式的条件 若 若积分与路径有关 检查格林公式的条件 满足,且二重积分容易计算则使用格林公式 且二重积分容易计算则使用格林公式. 满足 且二重积分容易计算则使用格林公式 ∂Q ∂ P 3)若格林公式的条件不满足 但 ∂x − ∂y 很简单 若格林公式的条件不满足,但 很简单, 若格林公式的条件不满足 则补线用格林公式.补线原则是所补曲线上积 则补线用格林公式 补线原则是所补曲线上积 分容易,且用格林公式时二重积分容易计算 且用格林公式时二重积分容易计算. 分容易 且用格林公式时二重积分容易计算 4)基本计算公式 基本计算公式. 基本计算公式
所以结论成立. 所以结论成立 (2) 因为 I 与路径无关,故可取 L 与路径无关 故可取 所以 为由点 (a , b) 到点 (c , d ) 的折线段 ,所以
d c 1 2 I = ∫ [1 + b f (bx )]dx + ∫ 2 [ y 2 f (cy ) − 1]dy ab b y c
c−a c c c d = + ∫a bf (bx )dx + ∫b cf (cy )dy + − b d b
第三节 格林公式及其应用(2)
一、 曲线积分与路径无关的定义 二、 曲线积分与路径无关的条件 三、 二元函数的全微分求积 四、 小结 习题课
一、曲线积分与路径无关的定义
如果在区域G 如果在区域G内有
∫L Pdx + Qdy
1
=∫L Pdx + Qdy
2
与路径无关, 则称曲线积分 ∫L Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关,
0 0
与路径无关知:取 与路径无关知 取 L : A( x0 , y0 ) → B( x , y0 ) → C ( x , y ) 如图
u( x , y ) = ∫ P ( x , y0 )dx + ∫ Q( x , y )dy
x0 y0
x
y
或
u( x, y) = ∫ Q( x0 , y)dy + ∫ P( x, y)dx
定理3 定理3
∂P ∂Q = ∂y ∂ x
内恒成立. 在G 内恒成立.
必要性设 证明 必要性设
du = P ( x , y )dx + Q( x , y )dy ，则
u′ = P ( x , y ), u′y = Q( x , y ) x
，又 P, Q在G内具有一 u′′ = u′yx 。从而 ∂Q = ∂P . 所以 xy ′ 阶连续偏导数， 阶连续偏导数，
2
故
∫( 0 , 0 ) xy dx + yϕ ( x)dy
(1,1) 2
= ∫ 0dx + ∫ ydy
0 0
1
1
1 = . 2
例(020108) 设函数 f ( x )在 ( −∞ , +∞ ) 内有一阶连续导 数, L 是上半平面( y > 0)内的有向分段光 滑,其起点为 (a , b) ,终点为 (c , d ) 记 其起点为 终点为
∂Q ∂ = [ yϕ( x )] = yϕ′( x ), ∂ x ∂x ∂P ∂ = ( xy 2 ) = 2 xy , ∂y ∂y
∂P ∂Q 因为积分与路径无关， = ， 因为积分与路径无关，所以 ∂y ∂x
′( x) = 2 xy ⇒ ϕ ( x) = x 2 + c 由 yϕ
由ϕ ( 0 ) = 0 ， 知 c = 0 ⇒ ϕ ( x ) = x .
令
∆x → 0 ,
得
u′x = p( x , y )
u′ = Q( x , y ) 类似验证 所以定理结论成立. 所以定理结论成立 等价命题: 等价命题 设 P ( x , y ), Q( x , y )在单连通区域G内 具有一阶连续偏导数, 具有一阶连续偏导数 则下列说法等价.
y
(1)积分 ∫ Pdx + Qdy在G内与路径无关； 内与路径无关；
二、曲线积分与路径无关的条件
是一个单连通域 , 定理2 定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数
P ( x , y ), Q( x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数, 内具有一阶连续偏导数,
则曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关
L
内任意闭曲线的曲线积分为零） （或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）