第三章-中子慢化和中子能谱

105～107eV 快中子裂变 1. 弹性散射 (质心系各向异性，P 波)； 2.非弹性散射； 3.没有向上散射； 4.有共振吸收(未分辨的共振)； 5.有裂变源。
空间与能量分离，对空间作简化，无限介质（最简单的情况，不考虑空间变量） 。
1
§3.1 中子的弹性散射过程
§3.1.1 弹性散射时能量的变化：
故用“一次碰撞”后的 中子代表有效源。
<3>
Fc ( E )恰好满足源中子在源能 量E 0 处作一次碰撞后的方程 ，
6
先求微分： dFc ( E ) Σ (E) =− s ⋅ Fc ( E ) dE Σt (E)E dFc ( E ) dE Σ a ( E ) dE =− + ⋅ dE E Σt (E) E <4> S 0 Σ s ( E0 ) ⋅ E0 Σ s ( E0 )
E ∞
=∫
E /α
E
Σ s ( E ′)φ ( E ′) dE ′ + S ( E ) (1 − α ) E ′
<1>
对于q( E )，按照定义： q( E ) = ∫ dE ′∫ Σ s ( E ′)φ ( E ′) f ( E ′ → E ′′)dE ′′
E 0 ∞ E
= ∫ dE ′
Σ s ( E ′)φ ( E ′) E dE ′′ E (1 − α ) E ′ ∫αE ′ E /α E − αE ′ dE ′ = ∫ Σ s ( E ′)φ ( E ′) E (1 − α ) E ′
§3.1.2 弹性散射的中子能量分布：
由(*)式，E ′和θ c 是一一对应的关系。 f ( E → E ′)dE ′ = f (θ c )dθ c 由于质心系各向同性，f (θ c )dθ c＝ 由(*)式两边求微分，可得： dE ′ − f ( E → E ′)dE ′ = (1 − α ) E 0 dS 2π ⋅ R sin θ c ⋅ Rdθ c 1 = = sin θ c dθ c S 2 4πR 2 (均匀分布，与E ′无关)
' 在C系内，可以证明(据动量，能量守恒)： = v c , Vc' = Vc , 根据余弦定理， vc
A −1 并引入α ≡ , 可得： A + 1 E ′ (1 + α ) + (1 − α ) cosθ c = LLLLLLLLLLLLL (*) 2 E 又由θ l 和θ c的关系： cosθ l = A cosθ c + 1 A + 2 A cosθ c + 1
§3.2 无限均匀介质内中子的慢化能谱： （弱吸收情况）
§3 3.2.1 无限均匀介质内中子的慢化方程
无泄漏，无空间变化。
两个定义：
碰撞密度(collision density)：在单位时间单位体积和单位能量间隔内，粒子与粒子(包括 原子核)之间的碰撞数目。该概念是将反应率概念予以推广，将能量变化包含在内。
据E = E 0的初始条件(代入 < 3 > 式可得)：Fc ( E 0 ) =
可得解(对上微分方程 < 4 > 积分，并代入初始条件)： E0 Σ ( E ′) dE ′ E a 0 ln Fc ( E ) E E = ln E E0 + ∫ E Σ ( E ′) E ′ t ∴ Fc ( E ) = ⇒ φ (E) = E0 Σ a ( E ′) dE ′ S 0 Σ s ( E0 ) exp − ∫ EΣ t ( E 0 ) E Σ t ( E ′) E ′ ( E < E0 ) (*)
ξ＝ln E − ln E ′(= ln
∫ (ln E − ln E ′) f ( E → E ′)dE ′ = 1 + 当A > 10时，ξ ≈ 2 A+ 2 3
α
1+α
ln α
，仅与A有关，与能量无关。
例：中子由2MeV慢化到0.0253eV，H： 18次(117)；石墨(1204)： 114次； Σ U 238(1.08)： 2172次。括号内数为 s Σa 的值
2
2
或tgθ l =
sin θ c 1 + cos θ c A
由此，可得： cosθ l = 1 E′ E′ − ( A − 1) ( A + 1) 2 E E
2
根据(*)式： ′ = E，中子未损失能量。 1)若θ c = 0(相当于未碰撞)，E max ′ = αE。 2)若θ c＝180 o (反散射碰撞)，E min 与H碰撞，∆E max＝E 故∆E max = (1 − α ) E. → 应选轻核作慢化剂。 与 U 238 碰撞， E 0 . 02 E ∆ ≈ max 3)一次碰撞，只能在E～αE之间，不可能小于αE.
慢化能力 cm-1 1.53 0.177 0.063
慢化比 70 2100 170
①H 2 O的ξΣ s 最大，堆芯体积最小。但ξΣ s / Σ a 最小，故需富集铀。 ②D2 O的ξΣ s / Σ a，堆芯体积最大，可用天然铀，但价格昂贵。 ③C的ξΣ s 最小，故堆芯体积最大。 (如HTGR )
<2>
(奇异源)
则解的形式为：F ( E ) = Fc ( E ) + Cδ ( E − E 0 )
Fc ( E )是非奇异分量
将解的形式代入方程可得： E 0 dE ′ Σ ( E ′) C Σ s ( E 0 ) F ( E ′) s + ⋅ + S 0δ ( E − E 0 ) Fc ( E ) + Cδ ( E − E 0 )＝∫ E Σ t ( E ′) E 0 Σ t ( E 0 ) E′ 奇异项相等 ⇒ C = S 0 E 0 dE ′ Σ ( E ′) S 0 Σ s ( E 0 ) Fc ( E ′) s ∴ Fc ( E ) = ∫ + ⋅ E E′ Σ t ( E ′) E 0 Σ t ( E 0 )
∞
下面求解慢化方程(1)。 分氢(A=1)和 A>1 的其它介质，有吸收（或弱吸收）和无吸收讨论，最后讨论混合物介质。
§3.2.2 在氢内的慢化（无其它慢化剂）
这时慢化方程可写成(以碰撞密度形式写)
F (E) = ∫
E0
E
Σ ( E ′) dE ′ + S 0δ ( E − E 0 ) F ( E ′) s Σ t ( E ′) E′
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第二章 单速中子扩散理论 第三章
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5
中子慢化和慢化能谱 ............................... 1
中子的弹性散射过程 ........................................2 无限均匀介质内中子的慢化能谱： （弱吸收情况） ...............5 均匀介质中的共振吸收(强吸收情况) ..........................8 扩散年龄近似 .............................................12 分群扩散近似 .............................................14
§3 3.1.5 慢化剂的选择：
大Σ s，大ξ，小Σ a
ξΣ，慢化能力( slowing − down power )：某介质的宏观散射截面与中子
平均对数能降的乘积。
ξΣ / Σ a , 慢化比(mod erating rate)：慢化剂的慢化能力与其热中子宏观
吸收截面的比。
4
介质 H2O D2O C
§3.1.3 对数能降和平均对数能降增量：
勒(Lethargy)：基准能量与中子能量之比的自然对数。
E = E0 e −u E0 ⇒ u = ln E E ↓→ u ↑
平均对数能降(average logarithmic energy decrement)：当中子和某个动能与中子动能 相比可以忽略不计的原子核发生弹性碰撞时，每次碰撞使中子能量的自然对数减少的平均 值。
vl' vl m M M v c'
θl
vl' m
vc
Vc M v c'
m M
θc
a
Lᇹ
b
a
Cᇹ
b
ᅄ4.12!Ᏼဣዩ၀ᇹDŽLᇹDžਜ਼ᒠቦᇹDŽCᇹDžดᒦᔇᎧਖ਼ࡼࡧቶྲ࿴
a
ྲ࿴༄Ǘ b
ྲ࿴ઁ
（点击图片可放大显示）
可看作两个弹性钢球，动量、能量守恒。
在L系内： V CM = 1 1 M (mvl + M Vl ) = vl，其中A = m+M 1+ A m A 大写字母表示核的量 vl vc + V CM = vl ⇒ vc = 1+ A 小写字母表示中子的量 V + V CM = V ⇒ V = − 1 v 带脚标" ' " 表示碰撞后的量 c l c l 1+ A
E0 Σ a ( E ′) dE ′ F ( E ) S 0 Σ s ( E0 ) 1 exp − ∫ = Σ t ( E ) EΣ t ( E 0 ) Σ t ( E ) E Σ t ( E ′) E ′
q ( E )由两部分组成： S 0 Σ s ( E0 ) ⋅E ⋅ E0 Σ t ( E0 ) E0 Σ ( E ′)φ ( E ′) s 第二部分：φ ( E )引起 dE ′ E∫ E E′ E0 Σ a ( E ′) dE ′ ′ exp − ∫ ∴ q ( E ) = EFc ( E ) = S 0 E Σ ( E ′) E ′ t 第一部分：源中子(一次碰撞)
第四章 均匀反应堆临界理论
第三章 中子慢化和慢化能谱
慢化(moderation)：在无明显俘获的情况下，由散射引起中子能量降低的过程。 慢化能谱：稳态时，中子通量密度按能量有稳定的分布。
0～1eV 中子热化 1.有向上散射；(核的热运动) 2.化学结合键效应； 3.衍射(与原子间距离相当)
1eV～105eV(轻核可到 MeV) 中子慢化 1. 由静止自由核产生弹性散射 (质心系各向同性，S 波)； 2.没有向上散射； 3.有共振吸收(已分辨的共振)。
E 0 ∞ E
5
无限均匀介质慢化方程：
稳态时，E → E + dE间隔内的中子平衡(产生＝消失)，由 E ′ > E散射进入的中子＋中子源＝散射出的中子＋吸收 进入项 = Σ s ( E ′)φ ( E ′) f ( E ′ → E ) dE 中子源 = S ( E ) dE 消失项 = Σ t ( E )φ ( E )dE = F ( E )dE 故F ( E ) = Σ t ( E )φ ( E ) = ∫ Σ s ( E ′)φ ( E ′) f ( E ′ → E )dE ′ + S ( E )
F (r , E ) = [Σ a (r , E ) + Σ s (r , E )]φ (r , E ) = Σ t (r , E )φ (r , E )
慢化密度(slowing-down density)： 在单位体积与单位时间内慢化通过某一给定能量的中 子的数目。
E, 设给定能量 q(r, E) = ∫ dE ′∫ Σ s (r, E ′)φ (r, E ′) f (r, E ′ → E ′′)dE ′′
αE ≤ E ′ ≤ E
其它情况
可计算中子遭受一次弹性碰撞的平均最终能量为： 1 (1 + α ) E 2 1 平均损失能量为： ∆E ′ = E − E ′ = (1 − α ) E 2 E ′ ≡ ∫ E ′f ( E → E ′) dE ′ =
E
αE
核的平均反冲能量 ，若对快中子，可达 KeV 到 MeV 级别。
3
一次碰撞的最大对数能降增量：
γ = ∆u max = ln
E0 E 1 − ln 0 = ln E αE α 对数能降分布： f (u → u ′)du ′ = f ( E → E ′)dE ′ = 其中∆u = u ′ − u 1 − ∆u e du ′ 1−α u ≤ u′ ≤ u + γ
平均对数能降：
§3.1.4 平均散射角余弦：
C系： µ c = ∫ cosθ c f (θ c )dθ c = 0
0
π
各向同性 前冲占优； A越小，各向异性越强（轻核） A越大，趋向各向同性（重核）
L系： µl = ∫
π
0
2 cosθ l f (θ l )dθ l = >0 3A
注：f (θ c )dθ c＝f (θ l )dθ l