高一数学优质课比赛 平面向量数量积的坐标表示教案
北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案
北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案第一章：向量的概念1.1 向量的定义引导学生复习初中所学向量的概念，即向量是有大小和方向的量。
解释向量在坐标系中的表示方法，例如在二维坐标系中，向量可以表示为由原点出发的箭头，其长度表示向量的大小，箭头方向表示向量的方向。
1.2 向量的表示介绍向量的表示方法，即用粗体字母或箭头表示向量，例如\( \vec{a} \) 或\( \overrightarrow{a} \)。
强调向量是有方向的量，与标量（只有大小没有方向的量）的区别。
第二章：向量的坐标表示2.1 二维向量的坐标表示引导学生复习初中所学二维向量的坐标表示方法，即用(x, y) 表示一个二维向量，其中x 表示向量在x 轴上的分量，y 表示向量在y 轴上的分量。
举例说明如何求解一个二维向量的坐标表示，例如给定向量\( \vec{a} \) 在x 轴上的分量为2，在y 轴上的分量为3，可以表示为\( \vec{a} = (2, 3) \)。
2.2 三维向量的坐标表示介绍三维向量的坐标表示方法，即用(x, y, z) 表示一个三维向量，其中x 表示向量在x 轴上的分量，y 表示向量在y 轴上的分量，z 表示向量在z 轴上的分量。
举例说明如何求解一个三维向量的坐标表示，例如给定向量\( \vec{b} \) 在x 轴上的分量为4，在y 轴上的分量为5，在z 轴上的分量为6，可以表示为\( \vec{b} = (4, 5, 6) \)。
第三章：向量的数量积3.1 向量的数量积定义解释向量的数量积（点积）的定义，即两个向量\( \vec{a} \) 和\( \vec{b} \) 的数量积等于它们对应分量的乘积之和。
给出数量积的数学表达式，对于二维向量\( \vec{a} = (a_x, a_y) \) 和\( \vec{b} = (b_x, b_y) \)，它们的数量积为\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \)。
《平面向量数量积的坐标表示》教案、导学案、课后作业
《6.3.5 平面向量数量积的坐标表示》教案【教材分析】平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章的重点之一.【教学目标与核心素养】课程目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.数学学科素养1.数学抽象：数量积的坐标运算；2.逻辑推理：平面向量的夹角公式，模长公式，垂直关系等；3.数学运算：根据向量垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等；4.数据分析：根据已知信息选取合适方法及公式求数量积；5.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：平面向量数量积的坐标表示；难点：向量数量积的坐标表示的应用.【教学过程】一、情景导入前面，我们学习了: 用坐标表示平面向量的加法和减法, 平面向量的数量积是如何定义, 向量的运算律有哪些.那么可以用坐标表示平面向量的数量积吗？如果可以，怎么表示?要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本34-35页，思考并完成以下问题1、平面向量数量积的坐标表示是什么？2、如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、两向量的数量积与两向量垂直的公式（1）已知两个非零向量a =(x 1,x 2), b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示数量积a ·b 呢？a ·b =x 1x 2+y 1y 2即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 （2）a ⊥b <=> a ·b =0<=>x 1x 2+y 1y 2=0 2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式 （1）若a =(x,y)，则|a |=x 2＋y 2（2）若A(x 1,x 2),B(x 2,y 2)，则两点A 、B 间的距离为 （3）设a , b 都是非零向量，a =(x 1,y 1), b (x 2,y 2), a 与b 的夹角θ， 则四、典例分析、举一反三题型一 平面向量数量积的坐标运算例1 (1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ―→＝(1，－2)，AD ―→＝(2,1)，则AD ―→·AC ―→＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】(1) C ．(2) A ．【解析】(1)∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD ―→·AC ―→＝(2,1)·(3，－,)()(212212y y x x AB -+-=222221212121cos y x y x y y x x +⋅++=θ1)＝5.解题技巧（数量积坐标运算的两条途径）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．跟踪训练一1、在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点坐标分别为O (0,0)，B (1,1)，则AB ―→·AC ―→＝________.2．在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－3,2)，则AD ―→·AC ―→＝________.【答案】1、1 2、3.【解析】1、如图所示，在正方形OABC 中，A (0,1)，C (1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB ―→＝(1,0)，AC ―→＝(1，－1)，从而AB ―→·AC ―→＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.2、设AC ，BD 相交于点O ，则AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝(－1,2)．又AC ―→＝(1,2)，∴AD ―→·AC ―→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.题型二 向量的模的问题例2 (1)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( ) A. 5 B. 6 C.17D.26(2)已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |. 【答案】（1）A （2）a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)，|a ＋b |＝65. 【解析】 (1)∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0， 解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5. (2)设a ＝(x ，y )，则由|a |＝213，得x 2＋y 2＝52. ① 由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝－4.∴a ＝(6,4)或a ＝(－6，－4)． ∴a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)， ∴|a ＋b |＝65.解题技巧： (求向量模的两种基本策略)(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. 跟踪训练二1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 【答案】1、2＋ 3. 2、8 2.【解析】1、2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 2、∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 题型三 向量的夹角和垂直问题例3 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120° D．150°(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，求c 的坐标．【答案】(1)C. (2) c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17. 【解析】 (1)∵a ·b ＝－2－8＝－10， ∴得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152， ∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)设c 的坐标为(x ，y )，则a ＋c ＝(1＋x,2＋y )． ∵(a ＋c )∥b ，∴(1＋x )×3－2×(2＋y )＝0，即3x －2y ＝1. ① 又a ＋b ＝(3,5)，且(a ＋b )⊥c ，∴3x ＋5y ＝0. ②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，3x ＋5y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝521，y ＝－17.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17.解题技巧（解决向量夹角问题的方法和注意事项）(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.跟踪训练三1、已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．【答案】(1)b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)3π4. 【解析】(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2·72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4， 即m ，n 的夹角为3π4.题型四 平面向量的数量积问题例4 已知点A ，B ，C 满足|AB ―→|＝3，|BC ―→|＝4，|CA ―→|＝5，求AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→的值．【答案】-25.【解析】[法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45， ∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→ ＝BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35 ＝－25. [法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)． ∴AB ―→＝(－3,0)，BC ―→＝(0,4)， CA ―→＝(3，－4)．∴AB ―→·BC ―→＝－3×0＋0×4＝0， BC ―→·CA ―→＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ―→·AB ―→＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝0－16－9＝－25. 解题技巧（求平面向量数量积常用的三个方法） (1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．跟踪训练四1、如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．【答案】45.【解析】法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，OE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故cos ∠DOE ＝OD ―→·OE―→|OD ―→|·|OE ―→|＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝OA ―→＋12OC ―→， OE ―→＝OC ―→＋CE ―→＝OC ―→＋12OA ―→， ∴|OD ―→|＝52，|OE ―→|＝52， OD ―→·OE ―→＝12OA ―→2＋12OC ―→2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ―→·OE ―→| OD ―→ ||OE ―→|＝45.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本36页练习，36页习题6.3的剩余题.【教学反思】结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。
平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。
2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。
3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。
教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。
二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。
2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。
三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。
2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。
引导学生思考其中的计算思想和规律。
四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。
2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。
五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。
2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。
教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。
2. 学生课堂参与和讨论。
3. 学生课后完成的作业和练习题。
教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。
2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。
6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版
教学设计注意：公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉与a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．探究二:平面向量模的坐标表示问题4：若a ＝(x ，y )，，如何计算向量的模|a |呢？ 问题5：若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的模？ 探究三:平面向量夹角的坐标表示问题6：已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用坐标表示a 与b 的夹角呢？与向量的模、夹角相关的几个重要公式：1.向量的模的坐标表示：设a ＝(x ，y )，则|a |＝ .2.两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝ . 3.向量的夹角的坐标表示：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝ .注意：由三角函数值cos θ 求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π自我检测题： 判断正误(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0.( )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( ) (4)若a ·b>0，则a ，b 的夹角为锐角．( ) (5)若a ·b ＝|a||b|，则a ，b 共线．( ) 自主学习问题反馈 【探究学习】 课堂探究目标：通过探究，理解并能用坐标表示平面向量的数量积，会表示坐两个平面向量的夹角，能用坐标表示平面向量共线和垂直的条件题型一:平面向量的夹角和垂直问题 例1. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)，则ABC 是什么形状？证明你的猜想.(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则B. 5-C. 5D. 6已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =解决向量夹角问题的方法先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a ·以及|a |，|b |，再由θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 2＋y 222直接求出θ例4. 已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2【链接高考】（2022·全国乙） 已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5点拨：求向量的模的两种方法：(1).字母表示下的运算，利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝ x 2＋y 2【归纳总结】知识总结：(一个意义、四个公式)方法总结：化归与转化、数形结合、分类讨论（三种方法） 易错点总结：两向量的夹角公式容易记错（一个易错点） 【分层作业】A 层：基层巩固（必做）、拓广探索（选做） 基础巩固1.若向量(,2),a x =(1,3),b =- a b •＝3，则x ＝( ) A.3 B.－3 C.53 D.－532.已知(3,1),a =--(1,3),b =那么,a b 的夹角θ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6a 等于。
数量积的坐标表示教案
8
3
例3：已知 a (2,1) , b (1,3) , 若存在向
量 c ，使得 a • c 4 ，b • c 9
试求 c 的坐标
答案： c (3, 2)
例4: 已知 A(1, 2), B(2, 3), C(-2, 5)
求证: ABC是直角三角形
•C (2, 5)
y
证明： AB (2 1，3 2) (1，1)
答案： 2 13
已知非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2)
(2)两向量垂直的充要条件 ：a b a • b 0
a b x1x2 y1y2 0 a // b x1y2 y1x2 0
练习：设 a (2, 3),b (4, x) ，若 a 与 b
垂直，求x的值。
i• j j•i 0
a •b x1x2 y1y2
平面向量数量积的坐标运算: a •b x1x2 y1y2
横坐标乘横坐 标+纵坐标乘
纵坐标
即: 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
例1：已知 a (5,7), b (6,4), 求a • b
解：a • b 5 (6) (7) (4) 30 28
二.新课
已知两个非零向量
a
(
x1，y1
)
b (x2 ，y2 ) ，则
a x1i y1 j b x2i y2 j
a •b (x1i y1 j ) • (x2i y2 j )
2
2
x1x2i x1y2i j x2 y1i j y1y2 j
x1x2 y1y2
2
2
i 1 j 1
AC (2 1，5 2) (3，3) 1
1 0
AB AC 1 ( 3) 1 3 0
高一数学教案《5.7 平面向量的数量积的坐标表示》2
教学设计（主备人：李安杰）教研组长审查签名：高中课程标准•数学必修教案执行时间：5.7 平面向量的数量积的坐标表示（第二课时）一．内容及其解析1. 内容：坐标法是用代数方法研究几何问题的一个重要思想方法．用坐标来研究向量的数量积是本节的基本内容．本节内容的重点是平面向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示．难点是用坐标法处理长度、角度、垂直等问题．教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性2. 解析（1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；（2）能熟练进行向量的坐标运算；（3）了解向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.二．目标及其解析1. 目标⑴能用平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；⑵能用平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；⑶能用两个平面向量的夹角的坐标公式；⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；2．解析⑴培养学生的动手能力和探索能力；⑵通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想；三．教学问题诊断分析在做研究性学习时，老师一般自己去选择一些专题，交给学生，让学生在一定时间内完成．我觉得还应当更进一步．老师选最后过渡到学生自己选，即让学生自己提出一个问题，并解决它．这对培养学生思维独立性有巨大帮助，对进一步培养学生的创新能力和创新精神也有巨大的促进作用．四 .教学支持条件分析五. 教学过程设计(一) 教学基本流程(二) 教学情景问题一：平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变. 向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便.上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？设计意图: 设置情境，引出课题，设下问题悬念，引发学生认知冲突，引起注意，唤起学生追求探索新知识的欲望. 由旧知识入手，引导学生复习已学过的知识，以便向新知识进行探索.师生活动：教师引导，学生试着去发现回答问题二：平面向量数量积的坐标表示的性质？⑴向量的模设),(y x a =，则有222y x a +=或22||y x a +=⑵平面内两点间的距离公式设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(1212y y x x AB --=，221221)()(||y y x x AB -+-=⑶两向量垂直的坐标表示的判断条件 设),(11y x a =，),(22y x b =，则02121=+⇔⊥y y x x b a⑷两向量的夹角的坐标表示公式 设非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，θ为a 与b 的夹角，则222221212121||||cos y x y x y y x x b a +⋅++=⋅=θ设计意图: 结合课堂练习，引导学生归纳出坐标表示的性质，让学生构建完整的知识系统，充分展现师生互动师生活动：让学生尝试解答，体会自主应用新知识解决问题的过程，然后给出详细解答.（三）、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b ≠a由a =λb 得， (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 例1 已知A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量AB 与CD 平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , CD =(2-1,7-5)=(1,2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) AB =(2, 4)2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD设计意图：了解学生对所学知识的理解及应用情况师生活动：教师提问，学生回答目标检测：1若a =(2,3),b =(4,-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ） A6B 5 C7 D82若A (x ,-1),B (1,3),C (2,5)三点共线，则x 的值为（ ）A-3 B -1 C1 D33若AB =i +2j , DC =(3-x ) i +(4-y ) j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量) AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（ ）A1，2B 2，2 C3，2 D2，44已知a =(4,2),b =(6,y ),且a ∥b ，则y =5已知a =(1, 2),b =(x ,1),若a +2b 与2a -b 平行,则x 的值为6已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3,x),C (2,3),D (4,x )，则x =参考答案：1C 2B 3B 4 3 5 21 6 5 设计意图：培养学生善于独立思考的能力，并对新知识进行深层次的理解和应用.师生活动：学生自己回答。
【教案】平面向量数量积的坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.3.5平面向量数量积的坐标表示一、内容和内容解析内容：平面向量数量积的坐标表示．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第五课时的内容．由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式.（2）能用公式求向量的数量积、模、夹角．（3）掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.目标解析：（1）利用平面向量正交分解将向量用基底表示，利用数量积的运算律计算，注意到单位向量的数量积为1，推导出向量数量积的坐标表示．（2）利用数量积的坐标公式，将数量积的性质用坐标表示出来，得到模、夹角、垂直的坐标表示.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面向量数量积的坐标表示的教学中，从已知向量的坐标推导平面向量数量积的坐标是进行数学推理教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：研究向量数量积运算的坐标表示是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用正交分解表示向量，结合数乘向量的运算律推导出结论．2. 教学问题二：用公式求向量的数量积、模、夹角及垂直问题的证明是本节课的第二个教学问题．解决方案：公式变形推导，通过数量积性质的复习，结合数量积的坐标运算推导出结论．基于上述情况，本节课的教学难点定为：平面向量数量积的应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量数量积的坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中以问题串的形式引导学生探究，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视平面向量数量积的坐标表示，让学生体会数学推理的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知引出新知[问题1]平面向量的数量积(内积)的定义？[问题2]两个向量的数量积的性质？[问题3]在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？教师1：提出问题1．学生1：cosa b a bθ⋅=.教师2：提出问题2．学生2：2a a a a a a⋅==⋅或，cos.0a ba b a ba bθ⋅=⊥⇔⋅=．教师3：提出问题3．学生3：由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.通过复习向量的坐标表示、数量积的运算引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.探索交流解决问题[问题4]已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用向量的坐标表示a·b？[问题5]若a＝（x，y），如何计算向量的模|a| ？[问题6]若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量AB的模？[问题7]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a⊥b？[问题8]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样教师4：提出问题4．学生4：1122,a x i y jb x i y j=+=+所以1122)()a b x i y j x i y j⋅=++（2212122112x x i x y i j x y i j y y j=+++2121yyxx+=教师5：提出问题5．学生5：|a|＝x2＋y2．教师6：提出问题6学生6：()()221212AB x x y y=-+-（两点间的距离公式）教师7：提出问题7.学生7：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0教师8：提出问题8.学生8：设θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝通过探究让学生理解数量积的坐标表示，培养数学抽象的核心素养.用坐标表示a ， b 的夹角呢？x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.教师9：一起来梳理总结一下这部分内容. 学生9： 平面向量数量积的坐标表示： 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 平面向量的模与夹角的坐标表示：(1)向量的模长公式：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2． (2)两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.(3)向量的夹角公式：设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22．(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0． 注意区分两向量平行与垂直的坐标形式， 二者不能混淆，可以对比学习、记忆. 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.典例分析巩固 落实1.平面向量数量积的运算例1. 在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，点M ，N 分别在DC ，BC 上，且DM ＝12MC ，BN ＝12BC ，则AM →·AN →＝________. 2.平面向量模长的坐标运算 例2.已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |.3.平面向量夹角的坐标运算教师10：完成例1.学生10：AM →·AN →＝(AD →＋13AB →)·(AB →＋12AD →)＝0＋12·22＋13·32＋13·0＝5.教师11：完成例2. 学生11：设a ＝(x ，y )，则由|a |＝213，得x 2＋y 2＝52.① 由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－4. 所以 a ＝(6，4)或a ＝(－6，－4)． 所以a ＋b ＝(8，1)或a ＋b ＝(－4，－7)， 所以|a ＋b |＝65.例3.已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1).求向量a 与b 夹角的余弦值.4.向量垂直的坐标运算例4. 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3，2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.[课堂练习]1.已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．2.已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .教师12：完成例3. 学生12：设a ，b 的夹角为θ，由a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210.教师13：完成例4.学生13：设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2). ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝（1－2）2＋（1＋1）2＝5， 即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1，1).教师14：布置课堂练习1、2．学生14：完成课堂练习，并核对答案．课堂 小结升华 认知[问题9] 通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习] 1．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2，3)，则a·b ＝( ) A ．5 B ．4教师15：提出问题9． 学生15：学生16：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：DAD ，5，5师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．C ．－2D ．－12．已知a ＝(－2，1)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥b ，则x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．平行四边形ABCD 中，AB →＝(1，0)，AC →＝(2，2)，则AD →·BD →等于( )A ．－4B ．－2C ．2D ．44．已知a ＝(3，－4)，则|a|＝________.5．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，求：(1)a·b ； (2)(a ＋b )2； (3)(a ＋b )·(a －b )．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
平面向量数量积的坐标表示教学设计
5．6平面向量的数量积及运算律一、内容及其解析1、内容：平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。
2、解析：平面向量的数量积是两向量之间的一种运算，前面我们已经做了充分研究，这次课通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算, 这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。
本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。
由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。
把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。
所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。
二、目标及解析1、目标1）、掌握平面向量数量积的坐标表示2）、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题3）、掌握向量垂直的条件2、解析：1）、通过建立直角坐标系，用坐标表示出平面向量的数量积；2）、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题.3）、两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
(注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 , 共线的坐标表示x1y2－x2y1=0) 三、教学问题诊断本节课是在学生充分理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的，应该说，从知识的接受上学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示。
本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题，难点是向量垂直的条件的理解与掌握，解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上，通过建立直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标的运算，即数之间的运算。
平面向量的坐标表示与数量积教学设计
课题：平面向量的坐标表示与数量积目标要求1. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2. 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．3. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义．5. 掌握数量积的坐标表达式，能熟练进行平面向量数量积的运算．6. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系． 知识原理1. 平面向量的坐标表示 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．在直角平面坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，则对于平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a =x i ＋y j ．把有序数对（x ，y ）叫做向量的坐标，记做a =（x ，y ），设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a =b ⇔（x 1，y 1）=（x 2，y 2）⇔⎩⎨⎧==2121y y x x 2. 平面向量线性运算的坐标表示（1） 若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）则，a ±b =（x 1±x 2，y 1±y 2）（2） 若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）．（3） 若a =（x ，y ），λ∈R ，则λa =（λx ，λy ）3. 两个向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），其中b ≠0，则a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1=0．4. 平面向量数量积（1） 两个非零向量OA =a ，OB =b ，则∠AOB 叫向量a 与b 的夹角．夹角的取值范围是．（2） 若两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则把|a ||b |cosθ叫做与的数量积（内积）记作a ·b ．（3） 若向量与的夹角为θ，则|a |cosθ把叫做向量a 在b 方向上的投影．（4） 对两个非零向量a 与b ，有a ⊥b ⇔a ·b =0．（5） a ·b =b ·a ；(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )；(a ＋b )2=a 2＋2a ·b ＋b 2；(a ＋b )·(a －b )=a 2－b 2；(a ＋b )·c =a ·c ＋b ·c ．5. 平面向量数量积的坐标表示（1） 若a =（x 1，y 1）、b =（x 2，y 2），则a ·b =x 1x 2＋y 1y 2．（2） 若a =（x ，y ），则a ·a =|a |2=x 2＋y 2（3） 若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则|AB |=212212)()(y y x x -+-（4） 若a =（x 1，y 1）、b =（x 2，y 2）是非零向量，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2=0．（5） 若为向量a =（x 1，y 1）与b =（x 2，y 2）的夹角，则cosθ=||||b a b a ⋅⋅=222221212121y x y x y y x x +⋅++ 例题分析例1 已知平面内三点A ，B ，C 在同一条直线上，OA ＝（－2，m ），＝（n ，1），＝（5,－1），且OA ⊥，求m ，n 的值．例2 已知向量a =（sinθ，1），b ＝（1,cosθ），－2π＜θ＜2π． （1）若a ⊥b ，求θ；（2）求｜a ＋b ｜的最大值．例3 已知O 为坐标原点，A （0,2），B （4,6），＝t 1＋t 2.（1） 求点M 在第二象限或第三象限所满足的条件；（2） 求证：当t 1=1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线；（3） 若t 1=a 2，求当⊥且ΔABM 的面积为12时，a 的值.例4 已知O 为坐标原点，向量＝（s inα，1）, ＝（cosα，0），＝（－sinα，2），点P 是直线AB 上的一点，且点B 分有向线段AP 的比为1．（1）记函数f (α)=PB ·CA ，α∈(－8π, 2π)，讨论函数f (α)的单调性，并求其值域； （2）若O ，P ，C 三点共线，求｜＋｜的值．巩固练习一、选择题1.已知向量a ＝（3，1）,b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 为（ ）A ．（23，21）B ．（21，23）C ．（41，433）D ．（1,0） 2.已知非零向量与满足）·BC ＝0,·＝21，则ΔABC 为（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形3.设O （0,0），A （1,0），B （0,1），点P 是线段AB 上的一个动点，＝λ，若OP ·AB ≥PA ·PB ，则实数λ的取值范围是（ ）． A ．21≤λ≤1 B ．1－22≤λ≤1 C ．21≤λ≤1＋22 D ．1－22≤λ≤1＋22 4.已知向量m =（cosθ，sinθ）和n =（2－sinθ，cosθ），θ∈（π，2π）且｜m ＋n ｜＝528，则cos （2θ＋8π）的值是（ ） A ．53 B ．－53 C ．54 D ．－54 二、填空题5.关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b =a ·c ，则b =c ；②若a =(1，k )，b =(－2，6),a ∥b ，则k =－3；③非零向量a ，b 满足｜a ｜＝｜b ｜＝｜a －b ｜，则a 与a ＋b 的夹角为60o ．其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）6.直角坐标平面上三点A （1,2），B （3,－2），C （9，7），若E ，F 为线段BC 的三等分点，则·＝ ．7. 函数y=tan(4πx －2π)的部分图象如图所示，则(＋)·＝三、解答题8. 设向量＝（3,－3），＝（cos θ，sin θ），其中0≤θ≤2π． （1）若||=13，求t anθ的值；（2）求△AOB 面积的最大值．9. 设a =(1,cos2θ)，b ＝（2,1），c ＝（4sinθ,1），d ＝（21sinθ，1），其中θ∈（0, 4） （1）求a ·b －c ·d 的取值范围； （2）若函数f (x )=|x －1|,比较f (a ·b )与f (c ·d )的大小．10.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的三边AB ，BC ，CA 上的动点，且它们在初始时刻分别从A ，B ，C 点出发，沿各边分别向B ，C ，A 移动，当t =1时分别到达B ，C ，A ，求证：在0≤t ≤1的任何时刻，△DEF 的重心不变．。
高一数学 平面向量的数量积的坐标表示教案
湖南省师范大学附属中学高一数学教案：平面向量的数量积的坐标表示 教材：平面向量的数量积的坐标表示目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
过程：一、 复习：1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示2．平面向量数量积的运算3．两平面向量垂直的充要条件4．两向量共线的坐标表示：二、 课题：平面两向量数量积的坐标表示1． 设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ⋅i = 1，j ⋅j = 1，i ⋅j = j ⋅i = 02． 推导坐标公式：∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j∴a ⋅b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ⋅j + x 2y 1i ⋅j + y 1y 2j2 = x 1x 2 + y 1y 2 从而获得公式：a ⋅b = x 1x 2 + y 1y 2例一、 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：a ⋅b = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -23． 长度、角度、垂直的坐标表示1︒a = (x , y ) ⇒ |a|2 = x 2 + y 2 ⇒ |a | =22y x +2︒若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+-3︒ co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=4︒∵a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）4． 例二、已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。
高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
所以sinA= 1 cos2A 2 5 .
5
(2)若A为钝角,则 AB=A-C3(c-3)+16<0且
解得c>25.显然此时 AB和不A共C线.
3
故当A为钝角时,c取值范围为 ( 25， ).
3
AB与不A共C线,
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【方法技巧】三角形或四边形形状判定 (1)可先求各边对应向量及模,看各边长度关系. (2)再求它们两两数量积,从而判定其内角是否为锐角(直角、钝角). 四边形还能够从对角线对应向量入手.
2 2 22 2 2 2 2
所以(a-b)⊥b,故C正确;
由 1 1 0 1 故 0D，错误.
22
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2.方法一:设c=(x,y),则a·c=( ,3-1)·(x,y)
= 3x-y,b·c=(1, )3·(x,y)=x+ y3,
由a·c=b·c及|c|= 2 ,得
3x y பைடு நூலகம் 3y,
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类型二 向量夹角与垂直问题 【典例】1.(·长春高一检测)已知三个点A,B,C坐标分别为 (3,-4),(6,-3),(5-m,-3-m),若△ABC为直角三角形,且∠A为直角, 则实数m值为________. 2.已知a=(1,2),b= (1, 1 )，求a与b夹角.
2
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【解题探究】1.典例1中由∠A为直角得出什么样结论? 提醒:由∠A为直角,得出 AB AC.即AB AC 0. 2.典例2中求向量a与b夹角需求哪些量? 提醒:依据向量夹角公式需求|a|,|b|以及a·b.
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(2)利用数量积条件求平面向量坐标,普通来说应该先设出向量坐标, 然后依据题目中已知条件找出向量坐标满足等量关系,利用数量积坐 标运算列出方程组来进行求解. (3)形如(ma+nb)·(ka+eb)(m,n,k,e∈R)坐标运算,有两条路径:其一, 展开转化为a2,a·b,b2坐标运算;其二,先求ma+nb与ka+eb坐标,再运 算.
北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案
北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案第一章：向量概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量的表示方法：用字母表示向量的名称，后面跟上箭头和坐标表示其大小和方向。
1.2 向量的坐标表示二维空间中的向量可以用两个坐标表示，通常用(x, y) 表示。
向量的长度（模）：表示向量的大小，计算公式为√(x^2 + y^2)。
第二章：向量的数量积2.1 向量数量积的定义两个向量的数量积（点积）是指它们之间的乘积再进行加法运算。
向量a 和向量b 的数量积表示为a ·b，计算公式为a ·b = |ab| cosθ，其中|a| 和|b| 分别表示向量a 和b 的长度，θ表示它们之间的夹角。
2.2 向量数量积的坐标表示两个二维向量a = (x1, y1) 和b = (x2, y2) 的数量积表示为a ·b = x1x2 + y1y2。
数量积的性质：交换律、分配律、共线向量的数量积为零。
第三章：向量的投影3.1 向量的投影概念向量的投影是指向量在某个方向上的位移，可以是正方向或负方向。
向量a 在向量b 方向上的投影表示为proj_b a，计算公式为proj_b a =(a ·b / |b|^2)b。
3.2 向量的投影坐标表示向量a = (x1, y1) 在向量b = (x2, y2) 方向上的投影表示为proj_b a = ((x1x2 + y1y2) / (x2^2 + y2^2))(x2, y2)。
投影的性质：投影是标量倍数不变、共线向量的投影相等。
第四章：数量积的应用4.1 向量的垂直判断两个向量垂直的条件是它们的数量积为零。
即a ·b = 0，表示向量a 和向量b 垂直。
4.2 向量的模长计算已知向量的数量积和其中一个分量，可以求解另一个分量。
例如，已知a ·b 和x1，可以求解y1 = (a ·b x1^2) / y2。
高一数学教案《5.7 平面向量的数量积的坐标表示》1
5.7 平面向量的数量积的坐标表示（第一课时）一．内容及其解析1. 内容：（1）理解平面向量的坐标概念（2）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念；（3）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标教学重点理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．教学难点对平面向量坐标表示的理解．2. 解析（1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；（2）能熟练进行向量的坐标运算；（3）了解向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系二．目标及其解析1. 目标（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）理解平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线垂直2．解析1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；2．理解平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；3．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.三．教学问题诊断分析本节课内容难度不高，但知识点比较繁多，而且各知识点之间的衔接不够紧凑，对初学者来说容易产生杂乱无章的感觉.教师作为教学活动的设计者，在教学设计中应力求突出知识间的联系，指引学生理清众多的思绪，主动参与到思考、观察、猜想、验证、应用的教学活动中去，从而顺利地突破重、难点.四 .教学支持条件分析五. 教学过程设计(一) 教学基本流程(二) 教学情景问题一：平面直角坐标系内，每个点可以用一对实数来表示，向量可以吗？解决途径：以向量i、j为基底，利用平面向量基本定理构造平行四边形，如图：结论：若a = xi+ yj，则a =(x,y)叫做向量的坐标表示.设计意图:让学生经历知识的形成、发展、应用的过程，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用，充分体会数学探索的乐趣.师生活动：学生独立完成，进一步体会特殊化思想.问题二：若已知a =（1,3）,b =(5,1)，如何求a ＋ b 、a － b的坐标呢？解决途径：若a =（x1 ,y1）,b =(x2 ,y2),则：a ＋b = (x1＋x2 ,y1＋y2 ),a －b = (x1－x2 ,y1－y2)设计意图:让学生经历主动观察、大胆猜想、积极验证，顺利得出向量的坐标运算法则，突出重点.同时培养学生的观察能力、推理能力、逻辑思维能力.师生活动：以学生回答为主，教师板书过程；练习学生笔答（三）、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1,3), C(3, 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D 1=(2,2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4, 6)当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6, 0)设计意图：让学生熟练运算法则的应用，体会向量坐标运算的优势师生活动：学生观察回答、教师来完善例2已知三个力1F (3, 4), 2F (2, -5), 3F (x, y)的合力1F +2F +3F =0 求3F 的坐标 解：由题设1F +2F +3F =0 得：(3, 4)+ (2, -5)+(x, y)=(0, 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5,1) 设计意图：熟练向量的坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.师生活动：在教师提问的基础上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充.目标检测：1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 21=MP MN , 求P 点的坐标； 解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=21(-8, 1)=(-4, 21)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-21243y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y x ∴P 点坐标为(-1, -23)2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC =(-3,-3)3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD 是梯形 解：∵AB =(-2, 3) DC =(-4, 6) ∴AB =2DC ∴AB ∥DC 且 |AB |≠|DC | ∴四边形ABCD 是梯形设计意图：培养学生善于思考和严谨的学习态度，并对新知识进行深层次的理解和应用.师生活动：学生自己回答。
2019-2020年高一数学优质课比赛 平面向量数量积的坐标表示教案
2019-2020年高一数学优质课比赛 平面向量数量积的坐标表示教案一、本教学设计主要思考的几个问题：1、 教材的地位和作用是什么？2、 学生在学习中会遇到什么困难？3、 如何根据新课程理念，设计教学过程？4、 如何结合教学内容，指导学生学法、发挥评价作用、发展学生能力？二、教材分析：1、 向量是近代数学中最重要的概念之一；2、 向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具”和“桥梁”；3、 数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便；4、 有助于理解和掌握 数形结合的思想方法；5、 为学习物理等其他学科解决实际问题作准备；三、教学目标分析：⒈知识目标：(1)掌握数量积和模的坐标；(2)掌握两向量垂直的充要条件(等价条件)、夹角公式．⒉能力目标：(1)领悟数形结合的思想方法；(2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力．⒊情感目标：体验探索的乐趣认识世间事物的联系与转化．四、教学的重点、难点分析：重点：数量积坐标表示的推理过程． 难点：公式的建立与应用． 五、学生分析：知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等； 方法上：研究过向量加减法坐标运算的推理过程；思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维； 能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱. 六、教学方法和教学手段分析：1、建构主义学习理论认为：学生的认知结构是通过同化和顺化而不断发展，学习不是对教师所授予的知识被动接受，而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动的建构过程。
学生真正获得知识的消化，是把新的学习内容正确纳入已有的认知结构，使其成为整个认知结构的有机组成部分，所以在教学中，以向量为载体，按照“直观感知----操作确认-----思辩论证”的认识过程展开。
通过创设良好的问题情境，不断引导学生观察、实验、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生学习的主动性，培养学生的自主、合作、探索能力。
6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计20232019必修二
6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册课程基本信息1.课程名称：平面向量数量积的坐标表示2.教学年级和班级：高一下学期数学3.授课时间：第16周周三上午第1节4.教学时数：45分钟教学目标1. 知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生掌握平面向量数量积的坐标表示方法，并能够运用该方法解决实际问题。
2. 过程与方法目标：培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生的数学应用能力。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作精神，使学生能够在学习过程中形成良好的学习习惯。
学习者分析1. 学生已经掌握了哪些相关知识在学习本节课之前，学生已经学习了向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的加法、向量的数乘、向量的坐标表示等。
此外，学生还掌握了平面直角坐标系的基本知识，包括点的坐标表示、直线的方程、圆的方程等。
这些知识为本节课的学习奠定了基础。
2. 学生的学习兴趣、能力和学习风格本节课的内容涉及平面向量的坐标表示和数量积的计算，具有一定的抽象性和逻辑性。
对于喜欢数学、善于思考的学生来说，他们会对此类问题产生浓厚的兴趣。
然而，对于一些基础较差或者缺乏学习动力的学生，可能会感到一定的困难和挑战。
因此，在教学过程中，教师需要关注不同学生的学习兴趣和能力，采取适当的教学方法和手段，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习动力。
3. 学生可能遇到的困难和挑战在本节课的学习过程中，学生可能会遇到以下困难和挑战：（1）对向量的坐标表示和方法不熟悉，导致在学习过程中产生困惑。
（2）对平面直角坐标系中的点、线、圆等基本元素的坐标表示和方法不熟悉，导致在学习过程中产生困难。
高一数学教案：平面向量的坐标运算和数量积教案
【课题】平面向量基本定理 【教学目标】1.了解平面向量基本定理；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.【教学重点】平面向量基本定理【教学难点】平面向量基本定理的理解与应用 【教学过程】一.复习引入⒈实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa=0 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb3.向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .4.由火箭升空和小练习:已知向量1e ，2e ,求作向量 2.51e +32e 引入二.新课讲解1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+．其中我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
注：①1e ，2e 均非零向量；②1e ，2e 不唯一（事先给定）； ③1λ，2λ唯一；④20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ==时，0a =．⑤一个平面向量用一组基底12,e e 表示成1122a e e λλ=+的形式,称它为向量a 的分解.当12,e e 所在直线互相垂直时这种分解称为a 的正交分解.2．例题分析： 例1.书69P 例1变式练习:1.已知OADB 的对角线交于点C,且11,33BM BC CN CD ==.如果,OA a OB b ==,试用,a b 表示,O M O N.2.已知ABCD 中,M,N 分别是DC,BC 的中点且,AM c AN d == 用,c d 表示,AB AD .例2. 书69P 例3. 变式练习:1.如果向量12e e λ-与12e e λ-共线,求λ.D B OAC MNBN2.如果1223,a e e =-1223,b e e =+其中12,e e 为基底,向量1229,c e e =-问是否存在这样的实数λ和μ,使d a b λμ=-与c 共线?例3. 书69P 例2.【课堂小结】1.熟练掌握平面向量基本定理；2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表示。
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平面向量数量积的坐标表示
一、本教学设计主要思考的几个问题：
1、 教材的地位和作用是什么？
2、 学生在学习中会遇到什么困难？
3、 如何根据新课程理念，设计教学过程？
4、 如何结合教学内容，指导学生学法、发挥评价作用、发展学生能力？
二、教材分析：
1、 向量是近代数学中最重要的概念之一；
2、 向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具”
和“桥梁”；
3、 数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便；
4、 有助于理解和掌握 数形结合的思想方法；
5、 为学习物理等其他学科解决实际问题作准备；
三、教学目标分析：
⒈知识目标：(1)掌握数量积和模的坐标；
(2)掌握两向量垂直的充要条件(等价条件)、夹角公式．
⒉能力目标：(1)领悟数形结合的思想方法；
(2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力．
⒊情感目标：体验探索的乐趣认识世间事物的联系与转化．
四、教学的重点、难点分析：
重点：数量积坐标表示的推理过程． 难点：公式的建立与应用． 五、学生分析：
知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等； 方法上：研究过向量加减法坐标运算的推理过程；
思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维； 能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱. 六、教学方法和教学手段分析：
1、建构主义学习理论认为：学生的认知结构是通过同化和顺化而不断发展，学习不是对教师所授予的
知识被动接受，而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动的建构过程。
学生真正获得知识的消化，是把新的学习内容正确纳入已有的认知结构，使其成为整个认知结构的有机组成部分，所以在教学中，以向量为载体，按照“直观感知----操作确认-----思辩论证”的认识过程展开。
通过创设良好的问题情境，不断引导学生观察、实验、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生学习的主动性，培养学生的自主、合作、探索能力。
同时采用电脑课件的教学手段，加强直观性和启发性，提高课堂效益；
2、 运用“导学探究式” 教学方法；
3、 本节课的基调定为，自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、分层评价；
4、多媒体信息技术教学手段整合教学过程.
七、学法指导：
1、根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”这一方面，学生在教师营
造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力；
2、 紧紧围绕数形结合这条主线；
认知主体
3、 注意前后知识的联系与区别,不断反思建构形成知识网络.
八．教学基本流程：
九．教学过程分析：
第一种:选择恰当的实例； (一) 第二种:
第三种: 第四种:; (二)导学诱思、探索研究；教师通过学生已有经验，启发其思、疑、探，在讨论、设计中得到问题的解答，
培养其求异思维、创新能力的形成；
(三) 建模应用；数学作为科学独立分支，其重要工具作用无处不在；关键是否体会数学本质，构建数学
模型使问题得到解决；
(四) 反思建构；学生在反思建构中，寻找知识、方法、能力、情感等方面的收获规律，有利于纳入知识
系统，形成知识网络；
(五)分层评价.充分发挥课堂教学评价的针对性、 激励性、导向性、创新性；使评价更有利于学生的身心健康发展，更符合新课程改革理念.
?a b =新课引入
设置情景
cos a b =a b =；a b -；
2
a a a a ==⋅，或；
cos a b
a b
θ⋅=； 若能求a b ⋅=？
a b 、有解，从而cos 其关键是如何用坐标表示标表
)()221212y x x y y =，，；
)()122y x y x x x y x y y ⋅=+，，++（自我评价，若i 、①1i i j ⋅=⋅，②()10i =，，，；
j j i =⋅=？思考：两个向量的数量积是“向量”还是“数量”？运算过程与向量坐标有何关系？
师：有没有可“类比”的东西？有没有用坐标表示过除“积”以外的其它运算？ 鼓励学生去探，
2a x y =+a a a =⋅
(AB x =AB a b =
2212y x ⋅+cos a b a b ⋅=
0a a b ⇔⋅=
）a b λ⇔=1v =10km ／h ，水流速度2v =4 km ／h ，那么的夹角θ多大时，船才能垂直到达正对岸B 处？（多媒体
动画演示船运行情况）生B （0，y 0）
D （4，1
v
v
十．教学设计主要理论依据与反思：
(一)主要理论依据:
1、结构课程理论认为，发现的过程是一种同科学家一样的智力活动；
2、建构主义理论强调，学生学习的主动性、社会性和情景性；
3加工转换储存输入反馈控制的过程；
4、系统论：目标“人人”系统“人环境”系统；
5、
的空间从而促进教学方式的转变；
（二）反思：本课以向量坐标为线索，在教学中，让学生从自己设计问题入手，引发学生去思、去疑、去设计、去探索，同时以向量为载体，通过对问题的探索，得出数量积坐标运算的猜想，然后让学生通过逻辑论证，证明猜想的正确性，进而得到结论及性质；接着，让学生运用该性质去解决例题这样与实际生活有关的问题，在解决例题的过程中通过实物多媒体教学手段，有目的的把学生的思维引导到用数量积坐标运算结论及性质解决问题上来，在这过程中，通过师生合作讨论研究，充分让学生表述自己的观点，共同分析解答，
找到解决问题的方法。
并通过问题的变式延伸，适当的引导，让学生通过化归，紧紧抓住数形结合这条主线将建构知识、能力、情感系统；并有目的的指导学生学法，创设使每个学生都能发挥创新的平台，开放式的课堂兼之分层评价的激励，能够及时反馈与调节本节课教学效果与学生的掌握情况。