空间解析几何基础知识优秀课件
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高教社2024高等数学第五版教学课件-7.1 空间解析几何
(, 0,0) ,y轴上点的坐标为 (0, , 0) ,z轴上点的坐标为 (0,0, ) ；
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为：
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→
其中、都是实数.
∘
→
→
→
设 是一个非零向量,常把与 同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→
→
,且±
→
→
均是与→
平行的单位向量（同向或反向
的两向量称为平行向量）.
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为：
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→
其中、都是实数.
∘
→
→
→
设 是一个非零向量,常把与 同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→
→
,且±
→
→
均是与→
平行的单位向量（同向或反向
的两向量称为平行向量）.
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →
空间解析几何28965-PPT文档资料25页
§7．7 平面及其方程
一、平面的点法式方程
法线向量、 平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ， 所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}， n
M 1M3{2， 31}， 可取
一、平面的点法式方程
法线向量、 平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ， 所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}， n
M 1M3{2， 31}， 可取
高等数学-01空间解析几何(课件
向量的数量积
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示 为向量，通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个 向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程，可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示 为向量，通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个 向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程，可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
空间解析几何基本知识优秀课件
C 观察柱面的形 成过程:
14
三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动
直线L 叫柱面的
母线.
观察柱面的形
C
成过程:
15
三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
23
例1 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几 何中分别表示什么图形？
(1)x2; (2) x2y24; (3) yx1.
解 方程 平面解析几何中 空间解析几何中
x2 平行于y轴的直线平 行 于yo面 z的 平 面
圆心在(0,0)，
x2y2 4
半径为2的圆
以z 轴为中心轴的圆
柱面
yx1 斜率为1的直线
C 观察柱面的形 成过程:
8
三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
C 观察柱面的形 成过程:
9
三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
C 观察柱面的形 成过程:
16
三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
C 观察柱面的形 成过程:
17
三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
14
三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动
直线L 叫柱面的
母线.
观察柱面的形
C
成过程:
15
三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
23
例1 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几 何中分别表示什么图形？
(1)x2; (2) x2y24; (3) yx1.
解 方程 平面解析几何中 空间解析几何中
x2 平行于y轴的直线平 行 于yo面 z的 平 面
圆心在(0,0)，
x2y2 4
半径为2的圆
以z 轴为中心轴的圆
柱面
yx1 斜率为1的直线
C 观察柱面的形 成过程:
8
三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
C 观察柱面的形 成过程:
9
三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
C 观察柱面的形 成过程:
16
三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线.
C 观察柱面的形 成过程:
17
三、柱面
(1) 定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所 形成的曲面称为柱面.
《空间解析几何简介》PPT课件
.
7
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7(补充) 空间解析几何简介
例2 作z = d （d为常数）的图形.
解 A x B y C zD 0
A0,B0,C 1.
z
d
o
x
y
.
8
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7(补充) 空间解析几何简介
例3 求球心在点
,半径为R的球面方程.
M0(x0, y0,z0)
.
9
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7(补充) 空间解析几何简介
例4 作 x2y2R2的 图 形 .
解
z
x2 y2 R2
o y
x
.
10
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7(补充) 空间解析几何简介
例5 作 zx2y2的 图 形 .
解
z
z x2 y2
x2 y2 0 zx2y2在xoy面的上方,
2. 空间曲面与方程
定义 如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0, 不在曲面S上的点的坐标都不满足F(x,y,z)=0,则称方程 F(x,y,z)=0为曲面S的方程,而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图 形.
.
6
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7(补充) 空间解析几何简介
z
o x
y
.
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7(补充) 空间解析几何简介
(5) 抛物面 x2 y2 z(p、q同号）
2p 2q
z
z
o y
x
xo
空间解析几何(精品课件)
AB
2 3
AB BQ
AB
2 3
BQ
AB BT
AT
§3.1-2 空间向量及空间坐标系
一. 空间向量的线性运算
1. 向量的概念及其表示：方向和大小
2. 向量的加法 平行四边形、三角形、多边形法则
向量的减法
AB AD DB
3. 数乘
向量的伸缩
向量的单位化： 0
,
引言
解析几何利用代数方法来研究几何图形的性质.
几何与代数间最早的桥梁是由17世纪笛卡尔和 费马建立的平面解析几何. 1715年，瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间 解析几何. 解析几何为微积分的出现创造了条件.
几何向量是研究空间解析几何的工具；也是 研究数学中其它一些分支、力学及三维计算机 图形学、三维游戏设计等学科的工具.
z
x
O
P 1 P2
P1P2 = OP2OP1 = (x2, y2, z2) (x1, y1, z1)
y
= (x2x1, y2y1, z2z1).
后项减前项
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
例4. 设两个定点为P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2),
C
C
AC
C B
C
C
u A’ B’ C’
(AB+BC)u = (AB)u + (BC)u
§3.1-2空间向量及空间坐标系
投影的应用
与,共面∃唯一实数k,l 使得 = k + l
何时？ ？= +
当 , 且|||| =|| ||=1
空间解析几何基本知识_ppt课件
M
O x P(x,0,0)
在直角坐标系下
1 1
Q (0 ,y ,0 )
y
A (x ,y ,0 )
(x, y, z) (称为点 M 的坐标) 点 M 有序数组
8
4.各卦限坐标的符号： Ⅰ(+,+,+), Ⅱ(-,+,+), Ⅲ(-,-,+), Ⅳ(+,-,+), Ⅴ(+,+,-), Ⅵ(-,+,-),
14 14 解得 z ， 即所求点为 M(0, 0, ) . 9 9
13
二、曲面及其方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M AM BM ,即 ( x ,y ,z ) ,则
( x 1 ) ( y 2 ) ( z 3 )
2
第七章 第一节 空间解析几何基本知识
一、空间直角坐标系
二、曲面及其方程的概念 三、几种常见的曲面及其方程
3
一、空间直角坐标系
为了确定空间上一个点的位 置，我们需要引入空间直角坐 标系． 为此,过空间中一点 o 分别作 ,oy ,oz 三条互相垂直的数轴 ox
z
o
y
x
(见右图所示)，常称这三条数轴为三个坐标轴，分别 oy轴和 oz 记为ox 轴、 轴．
4
一、空间直角坐标系
(一)空间坐标系的建立 定义：由原点重合且互相 垂直的三条数轴(单位一般
o
x
z
y
一致)， 而且三条数轴的正方
向符合右手系. 即构成一个空间直角坐标系.
右手系： 即以右手握住z轴，当右手的四个手指从 轴的正向以 角度转向 y轴的正向时,大拇指的 x 2 指向就是 z 轴的正向.
空间解析几何-第2章-空间的平面与直线ppt
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解
n (1,1, 2), s (2,1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A, B,C},
已知点
( x0 ,
y0 ,
z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
化简得 2x 3 y z 6 0.
例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段 MN的垂直平分面方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
z
s
L
M
M0
M0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x, y, z), o
y
M L,
M0M // s
x
s (m, n, p), M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 m
y y0 z z0
n
p
直线的对称式方程 （标准方程、点向式
方程）
注: 当方向向量的某个坐标 为零时，比如
解析几何
第2章 空间的平面与直线
10/26/2024
§2.1.1 平面的方程
例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解
n (1,1, 2), s (2,1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A, B,C},
已知点
( x0 ,
y0 ,
z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
化简得 2x 3 y z 6 0.
例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段 MN的垂直平分面方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
z
s
L
M
M0
M0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x, y, z), o
y
M L,
M0M // s
x
s (m, n, p), M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 m
y y0 z z0
n
p
直线的对称式方程 （标准方程、点向式
方程）
注: 当方向向量的某个坐标 为零时，比如
解析几何
第2章 空间的平面与直线
10/26/2024
§2.1.1 平面的方程
空间解析几何ppt1.8
（1.8－4）
（1.8－5）
（1.8－6）
定理 1.8.5
向量积满足分配律，即 a+b c a c b c .
推论
c a+b c a c b .
二、向量积的运算
（1）反交换律 （2）结合律 （3）右分配律 （4）左分配律
ab ba .
a b a b a b .
a +b c a c b c
.
c a +b c a c b .
（1.8－2）
定理 1.8.4 向量积满足关于数因子的结合律，即 a b a b a b . 式中 a, b 为任意向量， 为任意实数.
Fra bibliotek（1.8－3）
推论 设 , 为任意实数，那么 a b a b .
1
三、向量积的坐标表示（直角坐标系下）
定理 1.8.6 如果 a X1i Y1 j Z1 k ， b X 2 i Y2 j Z2 k ，那么
Y1 ab Y2
或写成
Z1 Z1 X 1 X 1 Y1 i j k， Z2 Z2 X 2 X 2 Y2 i j k a b X 1 Y1 Z1 . X 2 Y2 Z 2
（1.8－8）
（1.8－9）
例3
已知空间三点 A1,2,3 , B 2, 1,5 , C 3,2, 5 ，试求： （1） ABC 的面积；（2） ABC 的 AB 边上的高.
《空间解析几何》课件
了解空间解析几何在计算机图形 学中的应用，如3D建模、动画制 作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
《空间解析几何基础》PPT课件
24
(5)二次锥面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
0
(6)椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
0
(a,b,c 0) (a,b 0)
(7.10) (7.11)
25
(7)双曲抛物面(马鞍面) x2 y2 2z 0 (a,b 0) a2 b2
(7.12)
26
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
27
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
பைடு நூலகம்
28
三、平面区域的概念及其解析表示 设P0(x0,y0)是xOy平面上的一定点,δ>0为一实
4
空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
5
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
(7.4)
其 中 a,b,c,d 为 常 数 , 且 a,b,c 不 全 为 零 . 例 如 , 当
空间解析几何精ppt课件
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ， 或 作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ， 或 作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
空间解析几何简介课件
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
a r sin
a M
且
符合右手法则
l
v r
O
*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
设 P是 中3一个平面， VP 定义如上，则 中3 与二维子
空间VP 正交的非零向量称为平面P的法向量；平面 P的
所有法向量添上零向量组成 的3 一个一维子空间， 中3
以平面 的P法向量为方向向量的直线称为平面 的法P 线 。
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
4. 数量积的坐标表示
设 a ax e1 ay e2 az e3 , b bx e1 by e2 bz e3 ,则
( ax e1 ay e2 az e3 ) (bx e1 by e2 bz e3 )
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
a b (ax bx , ay by , az bz )
a (ax ,ay ,az )
a b axbx ayby azbz
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
高等数学第八章空间解析几何教学精品PPT课件
高等数学(下册)
§8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
高等数学(下册)
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若S1：F(x,y),z0;
z
S2：G(x,y),z0,
S1
则 M ( x ,y ,z ) C M S 1 且 M S 2
x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
解 截线方程为
y2 z2 x x2y z 0
如图,
高等数学(下册)
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
高等数学(下册)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
§8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
高等数学(下册)
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若S1：F(x,y),z0;
z
S2：G(x,y),z0,
S1
则 M ( x ,y ,z ) C M S 1 且 M S 2
x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
解 截线方程为
y2 z2 x x2y z 0
如图,
高等数学(下册)
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
高等数学(下册)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
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例2 一动点M( x, y, z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的 距离相等, 求此动点M的轨迹方程. 解因MAMB
( x 1 ) 2 y 2 ( z 4 ) 2 ( x 1 ) 2 （ y 2 ） 2 ( z 1 ) 2
4 x 4 y 1 0 z 1 1 0 故M( x, y, z)的轨迹方程 (即A、B两点连线的垂直平分 面的方程)为 4x4y 1 0z 1 10 因x y平面上任意一点的坐标满足z = 0；而凡满足z = 0的 点又都在 x y平面上；故坐标平面的方程分别为
当c=0时,只有原点(0, 0, 0)满足此方程；
当c>0时,其截痕为以(0,0,c)为圆心,以 c 半径为R的圆.
显然c越大，其截痕圆越大.
z
若用平面x=a或y=b去截曲面,其 截痕为 抛物线.
x
故曲面 z x2 y2 是 一个旋转抛物面(如图).
常见的空间曲面主要有平面、柱面、二次曲
面等.
f (x, y) 0 z 0 表示.
2.柱面 设L是空间中的一条曲线,与给定动直线l沿曲
线L平行的移动所得的空间曲面称为柱面,L称为 柱面的准线,动直线l称为柱面的母线.
柱面的准线不是唯一的,柱面上与所有母线 都相交的曲线都可作为准线.
我们只讨论母线与坐标轴平行的柱面. 设L是xOy平面上方程为f(x,y)=0的曲线,在空间,曲 线L可以用联立方程组
下面来解决关于曲面的两个基本问题:
1. 巳知曲面的几何轨迹, 建立曲面的方程
例1 求球心在点 M0(x0,y0,z0), 半径为R的球面方程. 解 设 球 面 上 任 意 一 点 为 M ( x , y , z ) , 则 动 点 M ( x , y , z ) 与 定 点 M 0(x0,y0,z0)之 间的长度为 MM0 R,则
我们称与点M对应的 三个有序的实数为点M 的坐标,记为
M=M(x,y,z) 其中x,y,z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐 标,或称为x坐标、y坐标、z坐标.
三个坐标平面将空间分成八块,每一块叫做 一个卦限,我们将八个卦限编号,在上半空间为 I,II,II,IV,在它们的下方分别为V,VI,VII,VIII.
一、空间直角坐标系 在空间中取定一点O,过O点作三条相互垂直
的数轴Ox,Oy,Oz,取定正方向,各轴上再规定一个 共同的单位长度,这就构成了一个空间直角坐标 系,记为Oxyz,并称O为坐标原点,称数轴Ox,Oy,Oz 为坐标轴.
称由两坐标轴决定的平面为坐标平面,简称 xOy,yOz,zOx平面.
对于空间直角坐标系,我们采用右手系.所谓 右手系是指将右手的拇指、食指和中指伸成相 互垂直的形状,若拇指、食指分别指向x轴、y轴 正向时,中指正好指向z轴方向.
设给定空间中一点M,过点M作三个平行于 坐标平面的平面,它们与x,y,z轴分别交于点P、Q、 R,其所在坐标轴上的坐标分别为x,y,z.
空间解析几何基础 知识
ห้องสมุดไป่ตู้
主要内容
第一节 空间解析几何基础知识 第二节 多元函数的概念 第三节 偏导数与全微分 第四节 多元复合函数与隐函数微分法
第五节 多元函数极值与最值 第六节 二重积分
第六章
第一节 空间解析几何基础知识
一、空间直角坐标系 二、常见的空间曲面与方程 三、平面区域的概念及其解析表示
(7.2)
二、常见的空间曲面与方程
空间中的任意曲面S都是点的几何轨迹.凡位于这一
曲面上的点的坐标x,y,z都要满足一个三元方程
F(x,y,z)=0 (7.3)
z
而不在这个曲面上的点的坐
M(x, y, z)
标都不满足方程(7.3).我们称方程
(7.3)为曲面S的方程.曲面S的几何
y
x
图形称为方程(7.3)的图形.
(xx0)2(yy0)2(zz0)2R ( x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R 2 特别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为
x2y2z2 R2 则z R2x2y2 是 此 球 面 的 上 半 部 ;
z R2x2y2 是 此 球 面 的 下 半 部 .
对于空间中任意两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之 间的距离为
| AB | d d12 (z2 z1)2 (x2 x1)2 ( y22 y12 ) (z22 z12 ) (7.1)
特别地,空间中任意一点M(x,y,z)到原点O的 距离为
| OM | x2 y2 z2
重要结论: 平面方程均为一次方程. 一般地,x, y, z的三元一次方程所表示的图形均是平面.
空间平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz + D = 0
其中A、B、C、D均为常数, 且A、B、C不全为0.
2. 已知曲面的方程, 研究方程的图形
通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于 一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定.
1.平面 空间平面方程的一般形式为
ax+by+cz+d=0
(7.4)
其 中 a,b,c,d 为 常 数 , 且 a,b,c 不 全 为 零 . 例 如 , 当
a=b=d=0,而c≠0时,得平面方程z=0,也就是xOy平
面.若a≠0,b≠0,c=d=0时,得平面方程ax+by=0.该平
面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.
但若依次用平行于坐标面的平面x = a、y = b和z = c去截
曲面S，则可得一系列的截口曲线；再将它们综合起来就 会得出曲面S的全貌——这种方法称为 “平行截口”法. 例 考察下列的图形方程:
(1)x2y2 R2
(1) zx2 y2
解 用平面z=c(c≥0)去截曲面,其截痕为圆 x2 y2 c
xo y面的方程为 z = 0 yo z面的方程为 x = 0 xo z面的方程为 y = 0
平行于xy面的平面方程为 z = c(c为常数, 表示此平面 在 z 轴上的截距)
平行于xz面的平面方程为y=b(b为常数, 表示此平面 在 y 轴上的截距)
平行于yz面的平面方程为x=a(a为常数, 表示此平面 在 x 轴上的截距)