2017-2018太原市百校联考一数学试卷
山西省太原市2017届高三第一学段测评(数学)(含答案)word版
山西省太原市2017届高三第一学段测评（数学）说明：本试卷分第I 卷（必做题）和第II 卷（选做题）两部分。
答题时间120分钟，满分150分。
第I 卷（必做题 100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母代码填入下表相应位置）1．若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，全集U=R ，则()U A C B =（ ）A ．{|01}x x ≤≤B ．{|01}x x x ><-或C ．{|12}x x <≤D ．{|02}x x <≤2．函数23x y =+的值域是（ ） A ．（1，2） B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(0,)+∞ 3．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 （ ）A ．62B ．63C ．64D ．654．下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）内单调递减的函数是（ ） A ．()sin f x x = B ．()||f x x x =-C ．3()f x x =D ．1()1f x x =+ 5．若01a b <<<，则（ ） A ．log 2log 2a b > B ．22b a < C ．22log log a b > D ．11()()22a b <6．已知函数21()log 1,(2011)2,()2011f x a x f f =+=若有则=（ ）A ．-2B ．2C ．0D ．47．根据表格中的数据，可以判定函数()2x f x e x =--的一个零点所在的区间是 （ ）A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）8．某社团由老年18人、中年12人、青年6人组成，现从这些人员中抽取1个样本，当样本容量为n 时，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为 （ ）A ．5B ．6C ．12D ．189．已知函数123(),(),()log x a a f x a f x x f x x ===（其中01a a >≠且），当00x y ≥≥且时，在同一坐标系中画出其中两个函数的大致图象，正确的是 （ ）10．已知函数2,0,()2,0,x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩则[()]1f f x ≥的解集是（ ）A．(,-∞ B．)+∞ C ．(]),1-∞-+∞ D．([),4,-∞+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．函数()lg(1)f x x =+的定义域是 。
2017年山西省太原市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2017年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（1，2）D．（﹣2，2）2．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i3．（5分）在等差数列{a n}中，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）＝36，则a6＝（）A．8B．6C．4D．34．（5分）已知，若，则sin2α＝（）A．B．﹣1C．D．15．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）已知圆C：x2+y2＝1，直线l：y＝k（x+2），在[﹣1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，已知输出的s∈[0，4]．若输入的t∈[0，m]，则实数m的最大值为（）A．1B．2C．3D．48．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝x2+y2的取值范围为（）A．[1，13]B．[1，4]C．D．10．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B 两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．411．（5分）已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0）在（0，π）上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若存在实数m使得不等式f （m）≤2n2﹣n成立，求实数n的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，若，则实数t＝．14．（5分）已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为．15．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BC＝CD＝1，AB＝，则该三棱锥外接球的体积为．16．（5分）已知数列{a n}中，，则其前n项和S n ＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a＝2b cos B，b≠c．（1）证明：A＝2B；（2）若a2+c2＝b2+2ac sin C，求A．18．（12分）某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A，B，C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（Ⅰ）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于2万元的概率；（Ⅱ）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润的平均值；（Ⅲ）根据某税收规定，该汽车经销商每月（按30天计）上交税收的标准如表：若该经销商按上述分期付款方式每天平均销售此品牌汽车3辆，估计其月纯收入（纯收入＝总利润﹣上交税款）的平均值．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥平面ABCD ，DF ∥BE ，且DF ＝2BE ＝2，EF ＝3．（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFD ．（2）若，求几何体ABCDEF 的体积．20．（12分）已知直线l ：y ＝kx +m 与椭圆相交于A ，P两点，与x 轴，y 轴分别相交于点N 和点M ，且PM ＝MN ，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，B 分别做x 轴的垂线，垂足分别为A 1，B 1．（1）若椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆C上，求椭圆C的方程；（2）当时，若点N平分线段A1B1，求椭圆C的离心率．21．（12分）已知函数在x＝2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（其中φ为参数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2017年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（1，2）D．（﹣2，2）【解答】解：y＝lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，解得：x＞1，即A＝（1，+∞），由B中不等式解得：﹣2＜x＜2，即B＝（﹣2，2），则A∩B＝（1，2），故选：C．2．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i【解答】解：∵复数＝＝﹣（2i+1）＝﹣1﹣2i，故选：A．3．（5分）在等差数列{a n}中，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）＝36，则a6＝（）A．8B．6C．4D．3【解答】解：∵等差数列{a n}中，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）＝36，∴2（a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+10d）＝36+3（a1+7d+a1+9d）＝36，∴12a1+60d＝12（a1+5d）＝36，∴a6＝a1+5d＝3．故选：D．4．（5分）已知，若，则sin2α＝（）A．B．﹣1C．D．1【解答】解：，，则sinα+cosα＝0，∴（sinα+cosα）2＝0，∴1+sin2α＝0，∴sin2α＝﹣1，故选：B．5．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x＝时，f（）＝＝故选：D．6．（5分）已知圆C：x2+y2＝1，直线l：y＝k（x+2），在[﹣1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆C：x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径为r＝1；且圆心到直线l：y＝k（x+2）的距离为d＝＝，直线l与圆C相离时d＞r，∴＞1，解得k＜﹣或k＞，故所求的概率为P＝＝．故选：C．7．（5分）执行如图的程序框图，已知输出的s∈[0，4]．若输入的t∈[0，m]，则实数m的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由s＝4t﹣t2＝﹣（t﹣2）2+4，对称轴是t＝2，t∈[0，m]，s∈[0，4]，故s＝4t﹣t2在[0，2）递增，在（2，m]递减，故s（t）max＝s（2）＝4，s（t）min＝s（0）＝s（4）＝0，故m的最大值是4，故选：D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥与圆柱的组合体，且圆锥、圆柱的底面圆半径为1，圆柱的高为2，圆锥的高为1，所以该组合体的表面积为S＝S圆柱+S圆锥侧＝π•12+2π•1•2+π•1•＝（5+）π．故选：D．9．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝x2+y2的取值范围为（）A．[1，13]B．[1，4]C．D．【解答】解：的可行域如图所示，其中A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（0，2），若目标函数z＝x2+y2的几何意义是可行域内的点到坐标原点距离的平方．由图形可知仅在点B（﹣2，3）取得最大值，z＝4+9＝13．由图知，原点到直线2x﹣y+2＝0的距离最小，d＝，可得z＝x2+y2＝d2＝．则z＝x2+y2的取值范围为[，13]，故选：C．10．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B 两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．4【解答】解：根据题意，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0）．设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1）、B （x2，y2），由，消去x，得y2﹣y﹣4＝0，y1+y2＝，y1y2＝﹣4．则x1+x2＝+2＝+2，丨AB丨＝x1+x2+p＝+2+2＝6，则k＝±，|y1﹣y2|＝＝2，S△AOB＝S△AOF+S△BOF＝|OF|•|y1﹣y2|＝×1×2＝，△AOB的面积，故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0）在（0，π）上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sinωx﹣cosωx，化解可得：f（x）＝2sin（ωx﹣）∵x∈（0，π）时，可得：ωx﹣∈（，ωπ﹣）．要是函数f（x）有且只有两个零点，则π＜ωπ﹣≤2π，解得：故选：B．12．（5分）已知函数，若存在实数m使得不等式f （m）≤2n2﹣n成立，求实数n的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由，求导，f′（x）＝e x+f（0）x﹣1，当x＝1时，f′（1）＝f′（1）+f（0）﹣1，则f（0）＝1，f（0）＝＝1，则f′（1）＝e，f（x）＝e x+x2﹣x，则f′（x）＝e x+x﹣1，令f′（x）＝0，解得：x＝0，当f′（x）＞0，解得：x＞0，当f′（x）＜0，解得：x＜0，∴当x＝0时，取极小值，极小值为f（0）＝1，∴f（x）的最小值为1，由f（m）≤2n2﹣n，则2n2﹣n≥f（x）min＝1，则2n2﹣n﹣1≥0，解得：n≥1或n≤﹣，实数n的取值范围（﹣∞，﹣∪[1，+∞），故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，若，则实数t＝﹣1．【解答】解：根据题意，，则+＝（1+t，0），﹣＝（1﹣t，﹣2），若，则有（1+t）×（﹣2）＝（1﹣t）×0＝0，解可得t＝﹣1；故答案为：﹣1．14．（5分）已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为．【解答】解：根据题意，若双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程为﹣y2＝m，（m≠0）又由双曲线经过点，则有﹣12＝m，解可得m＝1，则要求双曲线的标准方程为，故答案为：．15．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BC＝CD＝1，AB＝，则该三棱锥外接球的体积为．【解答】解：取AD的中点O，连结OB、OC∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴CD⊥AC，∵OC是Rt△ADC的斜边上的中线，OC＝AD．同理可得：Rt△ABD中，OB＝AD，∴OA＝OB＝OC＝OD＝AD，可得A、B、C、D四点在以O为球心的球面上．Rt△ABD中，AB＝且BD＝，可得AD＝2，由此可得球O的半径R＝1，π，故答案为：π．16．（5分）已知数列{a n}中，，则其前n项和S n＝．【解答】解：∵a n+1＝2a n+n﹣1（n∈N*），a1＝1，∴a2＝2．n≥2时，a n＝2a n﹣1+n﹣2，相减可得：a n+1﹣a n＝2a n﹣2a n﹣1+1，化为：a n+1﹣a n+1＝2（a n﹣a n﹣1+1），∴数列{a n﹣a n﹣1+1}为等比数列，首项为2，公比为2．∴a n﹣a n﹣1+1＝2×2n﹣1，∴a n﹣a n﹣1＝2n﹣1．∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n﹣1+2n﹣1﹣1+…+22﹣1+1＝＝2n﹣n．∴其前n项和S n＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a＝2b cos B，b≠c．（1）证明：A＝2B；（2）若a2+c2＝b2+2ac sin C，求A．【解答】解：（1）证明：△ABC中，a＝2b cos B，由，得sin A＝2sin B cos B＝sin2B，∵0＜A，B＜π，∴sin A＝sin2B＞0，∴0＜2B＜π，∴A＝2B或A+2B＝π，若A+2B＝π，则B＝C，b＝c这与“b≠c”矛盾，∴A+2B≠π；∴A＝2B；（2）∵a2+c2＝b2+2ac sin C，∴，由余弦定理得cos B＝sin C，∵0＜B，C＜π，∴或，①当时，则A＝2B，且A+B+C＝π，解得，这与“b≠c ”矛盾，∴；②当时，由（1）得A＝2B，且A+B+C＝π，解得A ＝，B ＝，C ＝；综上，．18．（12分）某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A，B，C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（Ⅰ）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于2万元的概率；（Ⅱ）求采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润的平均值；（Ⅲ）根据某税收规定，该汽车经销商每月（按30天计）上交税收的标准如表：若该经销商按上述分期付款方式每天平均销售此品牌汽车3辆，估计其月纯收入（纯收入＝总利润﹣上交税款）的平均值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润不大于2万元的概率为1﹣0.2＝0.8；（Ⅱ）由题意，a＝100﹣35﹣20＝45，∴采用上述分期付款方式销售此品牌汽车1辆，该汽车经销商从中所获得的利润的平均值为1×0.35+2×0.45+3×0.2＝1.85（万元）；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，根据某税收规定，按上述分期付款方式每天平均销售此品牌汽车3辆，该经销商月利润为1.85×3×30＝166.5（万元），∴该经销商上交税款为100×1%+50×2%+16.5×4%＝2.66（万元），∴该经销商月纯收入的平均值为166.5﹣2.66＝163.84（万元）．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD．（2）若，求几何体ABCDEF的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴AC⊥平面BEFD，∴平面ACF⊥平面BEFD；（2）解：设AC与BD的交点为O，AB＝a（a＞0），由（1）得AC⊥平面BEFD，∵BE⊥平面ABCD∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2＝EF2﹣（DF﹣BE）2＝8，∴∴，∵，∴∴，∴OA2＝AB2﹣OB2＝3，∴∴．20．（12分）已知直线l：y＝kx+m与椭圆相交于A，P两点，与x轴，y轴分别相交于点N和点M，且PM＝MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A，B分别做x轴的垂线，垂足分别为A1，B1．（1）若椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆C上，求椭圆C的方程；（2）当时，若点N平分线段A1B1，求椭圆C的离心率．【解答】解：（1）由椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆C上，得，∴，∴椭圆C的方程为；（2）当时，由得M（0，m），N（﹣2m，0），∵PM＝MN，∴P（2m，2m），Q（2m，﹣2m），∴直线QM的方程为，设A（x1，y1），由，得，∴，∴，设B（x2，y2），由得∴，∴，∵点N平分线段A1B1，∴x1+x2＝﹣4m，∴，∴3a2＝4b2，∴，代入椭圆方程得m2＝b2＜b2，符合题意，∵a2＝b2+c2＝a2+c2，即a2＝c2，∴．21．（12分）已知函数在x＝2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，∴，∴f（x）在x＝2处的切线方程为y﹣f（2）＝f'（2）（x﹣2），即，∵点（﹣4，2ln2）在该切线上，∴a＝﹣1，∴，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；（2）由题意知x＞0且x≠1，原不等式等价于，设，由（1）得f（x）在（0，+∞）单调递减，且f（1）＝0，当0＜x＜1时，f（x）＞0，g（x）＞0；当x＞1时，f（x）＜0，g（x）＞0；∴g（x）＞0，假设存在正数b，使得g（x）＞b＞0，若0＜b≤1，当时，；若b＞1，当时，；∴不存在这样的正数b，使得g（x）＞b＞0，∴g（x）的值域为（0，+∞），∴m的取值范围为（﹣∞，0]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（其中φ为参数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y＝0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2＝ρ2＝4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a ＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）＝|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，＝∴，∴或，∴，∴实数a 的取值范围是．第21页（共21页）。
太原市2017--2018学年第一学期高三年级期末考试(理科)
太原市2017----2018学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题时间120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112选项1、已知集合{}()(){}320,130A x x B x x x =+>=+->，则A B =.A (),1-∞-.B ()3,+∞.C ()2,1,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.D 21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭2、某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为.93A .123B .137C .167D 3、已知,a b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件4、对于复数z ，定义映射:f z zi →.若复数z 在映射f 作用下对应复数23i +，则复数z 在复平面内对应的点位于.A 第四象限.B 第三象限.C 第二象限.D 第一象限5、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369,36S S ==，则8a =.A 21.B 15.C 12.D 96、已知31,1,ln ,2ln ,ln 2x a x b x c x ⎛⎫∈===⎪⎝⎭，那么.A a b c<<.B c a b<<.C b a c<<.D b c a<<7、已知2sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.A 59-.B 23-.C 23.D 598、下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的5,2x n ==，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s =.A 10.B 12.C 60.D 639、511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为.A 1.B 21.C 31.D 5110、已知函数3139y x x =-++的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为.A 14.B 12.C 32.D 23311、已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（俯视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为.A 23.B 43.C 83.D 16312、已知函数()()()()ln 1,f x x g x kx k N*=+=∈，若对任意的()()0,0x t t ∈>，恒有()()2f x g x x -<，那么k 的取值集合是.A {}1.B {}2.C {}1,2.D {}1,2,3太原市2017----2018学年第一学期高三年级期末考试数学试卷（理科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）说明：本卷包括必考题和选考题两部分，第13题----第21题是必考题，每个试题考生都必须做答.第22题----第24题为选考题，考生根据要求做答.注意事项：1、用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2、答卷前将密封线内项目填写清楚.题号二三总分171819202122 23得分二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13、已知函数()[]1,2,51x f x x x +=∈-，则()f x 的最大值是_____________.14、不共线的三个平面向量,,a b c 两两组成的角相等，且1,3a b c ===，则________a b c +-=.15、已知()2log 270f x x =+，那么()()()()0126_______f f f f ++++= .16、已知三棱柱111ABC A B C -所有棱长都相等，且1160BAA CAA ∠=∠=.那么异面直线1AB 与1BC 所成的角的余弦值为____________.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1421,16,nn S a a n N *=-=∈.（1）求1a 及数列{}n a 的通项公式；（2）设2n nn b a =，求数列{}n b 的最大项.18、（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知tan tan tan A B A B ++=⋅.（1）求角C ；（2）若3,c ABC =∆的面积为2，求ABC ∆的周长.19、（本小题满分12分）在某年级的联欢会上设计了一个模奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和7个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球.（1）设ξ表示摸出的红球的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）为了提高同学们参与游戏的积极性，参加游戏的同学每人可模球两次，每次模球后放回.若规定两次共摸出红球的个数不少于n ，且中奖概率大于60%时，即中奖，求n 的最大值.20、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，23,,,303PD AB PD BC AB AD BAD ⊥⊥=∠= .（1）证明：AD PB ⊥；（2）若,,60PD AD BC CD BCD ==∠=，求二面角A PB C --的余弦值.21、（本小题满分12分）已知函数()()0x mxf x m e=-≠有极小值.（1）求实数m 的取值范围；（2）若函数()()2ln 1xh x x ex ax =+-+在0x >时有唯一零点，求实数a 的取值范围.说明：请考生在第22、23二题中任选一题做答，写清题号.如果多做，则按所做第一题记分.22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2sin ρθθ=+.以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.且在两坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为,3x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出曲线C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点M 作与直线l 相交的直线，该直线与直线l 所成的锐角为30，设交点为A ，求MA 的最大值和最小值，并求出取最大值和最小值时点M 的坐标.23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()()212,54f x x x g x x x =++-=-+-.（1）求不等式()5f x ≤的解集M ；（2）设不等式()0g x ≥的解集为N ，当x M N ∈ 时，证明：()()3f x g x ≤+.。
2017届山西省太原市高三数学(理)一模试题和答案详细解析
2017届山西省太原市高三数学（理）一模试题一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）2．已知zi=2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）3．已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．334．已知=（1，cosα），=（sinα，1），0＜α＜π，若，则α=（）A．B．C．D．5．函数的图象大致为（）A． B． C．D．6．已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[﹣1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）A．B．C．D．7．执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（A．1 B．2 C．3 D．48．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．9．已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：∃（x，y）∈D，≤﹣4；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P410．已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．6 B．8 C．12 D．1611．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，] B．（，] C．（，] D．（，]12．设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知，若，则实数t= ．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为．15．已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为．16．已知数列{an }中，，则其前n项和Sn= ．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．18．某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．19．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥平面ABCD ，DF ∥BE ，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFD（2）若二面角A ﹣EF ﹣C 是二面角，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值．20．已知椭圆C ：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C 上，直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A 、P两点，与x 轴、y 轴分别相交于点N 和M ，且PM=MN ，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A 、B 分别作x 轴的垂涎，垂足分别为A 1、B 1（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段A 1B 1？若存在，求求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 21．已知函数f （x ）=2lnx+ax ﹣（a ∈R ）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f （x ）的单调性 （2）若不等式恒成立，求实数m 的取值范围．四、解答题（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（其中φ为参数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．五、解答题（共1小题，满分0分）23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2017届山西省太原市高三数学（理）一模试题答案一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1∴A=（﹣1，+∞），B={x||x|＜2}=（﹣2，2）∴A∩B=（﹣1，2）．故选：C2．已知zi=2﹣i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）【解答】解：zi=2﹣i，∴z===﹣1﹣2i，∴复数z在复平面对应点的坐标是（﹣1，﹣2），故选：A．3．已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．33【解答】解：∵Sn 是等差数列{an}的前n项和，2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴2（a1+a1+2d+a1+4d）+3（a1+7d+a1+9d）=36，解得a1+5d=3．∴a6=3，∴S11===11a6=33．故选：D．4．已知=（1，cosα），=（sinα，1），0＜α＜π，若，则α=（）A．B．C．D．【解答】解： =（1，cosα），=（sinα，1），若，可得•=sinα+cosα=0，即有tanα==﹣1，由0＜α＜π，可得α=．故选：B．5．函数的图象大致为（）A． B． C．D．【解答】解：f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x=时，f（）==故选：D6．已知圆C：x2+y2=1，直线l：y=k（x+2），在[﹣1，1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆C：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为r=1；且圆心到直线l：y=k（x+2）的距离为d==，直线l与圆C相离时d＞r，∴＞1，解得k＜﹣或k＞，故所求的概率为P==．故选：C．7．执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s∈[0，4]，当m=0时，n∈[2，4]，n﹣m∈[2，4]，当n=4时，m∈[0，2]，n﹣m∈[2，4]，所以实数n﹣m的最大值为4．故选：D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．【解答】解：由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为2π•1•2+π•12+++1=，故选D．9．已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：∃（x，y）∈D，≤﹣4；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P4【解答】解：不等式组的可行域如图，p1：A（﹣2，0）点，﹣2+0+1=﹣1，故∀（x，y）∈D，x+y≥0为假命题；p2：A（﹣1，3）点，﹣2﹣3+2=﹣3，故∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0为真命题；p3：C（0，2）点， =﹣3，故∃（x，y）∈D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣1，1）点，x2+y2=2故∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项p2，p4正确．故选：C．10．已知抛物线y2=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．6 B．8 C．12 D．16【解答】解：抛物线y2=4x焦点为F（1，0），设过焦点F的直线为：y=k（x﹣1），由⇒可得y2﹣y﹣4=0，y A +yB=，yAyB=﹣4，|yA﹣yB|=△AOB的面积为，可得： |yA ﹣yB|=，，解得k=|AB|=•，|yA ﹣yB|=．故选：A．11．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，] B．（，] C．（，] D．（，]【解答】解：f（x）=2sin（ωx﹣），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，∴x=+，或x=+，k∉Z，设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA =，xB=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴xA ＜π≤xB，即＜π≤，解得．故选B．12．设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点P（x0，y）处的切线相同、f′（x）=3x﹣2a，g′（x）=，由题意f（x0）=g（x），f′（x）=g′（x），即x02﹣2ax=a2lnx+b，3x﹣2a=由3x0﹣2a=得x=a或x=﹣a（舍去），即有b=a2﹣2a2﹣a2lna=﹣a2﹣a2lna．令h（t）=﹣t2﹣t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1+lnt），于是当2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；当2t（1+lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0．故h（t）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（）=，故b的最大值为．故选A．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．已知，若，则实数t= ﹣1 ．【解答】解：根据题意，，则+=（1+t，0），﹣=（1﹣t，﹣2），若，则有（1+t）×（﹣2）=（1﹣t）×0=0，解可得t=﹣1；故答案为：﹣1．14．已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为﹣x2=1 ．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则可以设其方程为x2﹣=m，（m≠0），又由其经过点，则有1﹣=m，解可得m=﹣1，则其方程为：x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣x2=1，故答案为：﹣x2=1．15．已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积为π．【解答】解：BC⊥CD，BC=1，CD=，∴DB=2又因为AB=AD=，∴△ABD是直角三角形．取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1∴O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，∴该三棱锥外接球的体积为π，故答案为：π．16．已知数列{an }中，，则其前n项和Sn= 2n+2﹣4﹣．【解答】解：∵数列{an}中，，∴a2=0，n≥2时，an=2an﹣1+3n﹣4，∴an+1﹣an=2an﹣2an﹣1+3，化为an+1﹣an+3=2（an﹣an﹣1+3），a2﹣a1+3=2．∴数列{an ﹣an﹣1+3}是等比数列，首项为2，公比为2．∴an ﹣an﹣1+3=2n，即an﹣an﹣1=2n﹣3．∴an =（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣3+2n﹣1﹣3+…+22﹣3﹣1=﹣3（n﹣1）﹣1=2n+1﹣3n﹣2．∴Sn=﹣3×﹣2n=2n+2﹣4﹣．故答案为：2n+2﹣4﹣．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．【解答】解：（1）证明：△ABC中，a=2bcosB，由，得sinA=2sinBcosB=sin2B，∵0＜A，B＜π，∴sinA=sin2B＞0，∴0＜2B＜π，∴A=2B或A+2B=π，若A+2B=π，则B=C，b=c这与“b≠c”矛盾，∴A+2B≠π；∴A=2B；（2）∵a2+c2=b2+2acsinC，∴，由余弦定理得cosB=sinC，∵0＜B，C＜π，∴或，①当时，则，这与“b≠c”矛盾，∴；②当时，由（1）得A=2B，∴，∴．18．某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．分布列．【解答】解：（1）由题意得：P（A）==0.35，P（B）==0.45，P（C）==0.2，∴甲乙两人采用不同分期付款方式的概率：p=1﹣[P（A）•P（A）+P（B）•P（B）+P（C）•P（C）]=0.635．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，则X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X=2）=P（A）P（A）=0.35×0.35=0.1225，P（X=3）=P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.35×0.45+0.45×0.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（A）=0.35×0.2+0.45×0.45+0.2×0.35=0.3425，P（X=5）=P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.45×0.2+0.2×0.45=0.18，P（X=6）=P（C）P（C）=0.2×0.2=0.04．∴X的分布列为：X 2 3 4 5 6P 0.1225 0.315 0.3425 0.18 0.04E（X）=0.1225×2+0.315×3+0.3425×4+0.18×5+0.04×6=3.7．19．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．标系，利用向量法能求出直线AE与平面ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴AC⊥平面BEFD，∵AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BEFD．解：（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得AC⊥BD，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2=EF2﹣（DF﹣BE）2=8，∴BD=2．设OA=a，（a＞0），由题设得A（a，0，0），C（﹣a，0，0），E（0，），F（0，﹣，2），设m=（x，y，z）是平面AEF的法向量，则，取z=2，得=（），设是平面CEF的一个法向量，则，取，得=（﹣，1，2），∵二面角A﹣EF﹣C是直二面角，∴=﹣+9=0，解得a=，∵BE ⊥平面ABCD ，∴∠BAE 是直线AE 与平面ABCD 所成的角， ∴AB==2，∴tan．∴直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为．20．已知椭圆C ：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C 上，直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A 、P两点，与x 轴、y 轴分别相交于点N 和M ，且PM=MN ，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A 、B 分别作x 轴的垂涎，垂足分别为A 1、B 1（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段A 1B 1？若存在，求求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵椭圆C ：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C 上，∴由题意得，解得a 2=4，b 2=3，∴椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直线QM的方程为y=﹣3kx+m，设A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴x2+=，∴x2=﹣，∵点N平分线段A1B1，∴，∴﹣=﹣，∴k=，∴P（±2m，2m），∴，解得m=，∵|m|=＜b=，∴△＞0，符合题意，∴直线l的方程为y=．21．已知函数f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R），求导f′（x）=+a+，当x=2时，f′（2）=1+a+f′（2），∴a=﹣1，设切点为（2，2ln2+2a﹣2f′（2）），则切线方程y﹣（2ln2+2a﹣2f′（2））=f′（2）（x﹣2），将（﹣4，2ln2）代入切线方程，2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′（2））=﹣6f′（2），则f′（2）=﹣，∴f′（x）=﹣1﹣=≤0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；（2）由不等式恒成立，则（2lnx+）＞m，令φ（x）=2lnx+，（x＞0）求导φ′（x）=﹣﹣1=﹣（﹣1）2≤0，∴φ（x）在（0，+∞）单调递减，由φ（1）=0，则当0＜x＜1时，φ（x）＞0，当x＞1时，φ（x）＜0，∴（2lnx+）在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0，实数m的取值范围（﹣∞，0]．四、解答题（共1小题，满分10分）的参数方程为，（其中φ为参22．在直角坐标系xOy中，曲线C1数），曲线，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当时，求|OA|2+|OB|2的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．五、解答题（共1小题，满分0分）23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）=|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时， =∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．。
2017山西百校联考数学(1)
2017山西中考百校联考数学试卷（一）第I 卷 选择题（共30分）一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.下列四个数中，比-1小的数是 A ．-2 B.0 C. 12-D. 132.民间剪纸是中国古老的传统民间艺术。
它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱。
下列剪纸作品中，是轴对称图形的为3.下列运算错误的是A. 326()a a -=B. 22434a a a +=C. 325236a a a =D. 3232a a a ÷= 4.在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能相同的是5.高速路上赶时间超速而频频发生交通事故，这样给自己和他人的生命带来直接影响。
为A.100，95B.100，100C.102，100D.100，103 6.“五一”小长假，小颖和小梅两家计划从“北京天安门”“三亚南山”“内蒙大草原”三个景区任意选择一景区游玩，小颖和小梅制作了如下三张质地大小完全相同的卡片，背面朝上洗匀后各自从中抽取一张来确定游玩景区（第一人抽完放回洗匀另一人再抽取），则两人抽到同一景区的概率是A.14 B. 13 C. 12 D. 237.如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BC 延长线上的一点， 已知∠BOD=100°，则∠DCE 的度数为 A.40° B. 60° C.50° D.80°8.不等式组3112260x x -⎧≤⎪⎨⎪--<⎩的解集在数轴上表示正确的是9.如图所示是一次函数y kx b =+在直角坐标系中的图象，通过观察图象我们就可以得到方程0kx b +=的解为1x =-，这一求解过程主要体现的数学思想是A.数形结合B.分类讨论C.类比D.公理化10.如图，在菱形ABCD 中，AB=4cm ,∠ADC=120°, 点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为 A.1 B.13 C. 12 D. 43第II 卷二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.分解因式：32___________a ab -=。
山西省太原市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 含答案 精品
太原市 2017~2018 学年第一学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.）1.程序框图中的处理框“ ”的功能是（ ）A. 表示一个算法的输入信息B. 赋值、计算C. 表示一个算法结束D.连接程序框2.已知变量 x 和 y 满足关系式 y = 0.2x - 0.1，且变量 y 和 z 负相关，则下列结论正确的是（ ） A ．变量 x 不 y 正相关， x 不 z 负相关 B ．变量 x 不 y 正相关， x 不 z 正相关C ．变量 x 不 y 负相关， x 不 z 正相关D ．变量 x 不 y 负相关， x 不 z 负相关 3.不二进制数1011( 2) 相等的十进制数是（ ）A. 21B. 13C.11 D . 104. 为评估一种农作物的产量，选了 n 块地作为试验区。
这 n 块地的亩产量分别为 x 1 , x 2 ⋯, x n ，下面给出的指标中可以用来作为评估这种作物亩产量稳定程度的是（ ）A. x 1 , x 2 ⋯, x n 的中位数 B ． x 1 , x 2 ⋯, x n 的平均数C ． x 1 , x 2 ⋯, x n 的最大值D ． x 1 , x 2 ⋯, x n 的标准差5.已知输入的 x = -2 ，运行后面的程序之后得到的 y = （ ）A.4B.-4C.-5D.-66.利用下面随机数表从编号为 01,02,03，...，23,24 的总体中抽取 6 个个体，若选定从第一行第三列的数 字 0 开始，由左向右依次抽取，则抽取的第 4 个个体编号为（ ）63 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 29 A.1978 64 56 07 82B.1052 42 07 44 38 C.1215 51 00 13 4299 66 02 79 54D.077.从装有 2 个白球和 2 个黑球的口袋内随机抽取 2 个球，下列事件是互斥而丌对立的事件的是（ ）A.至少有 1 个白球，都是白球B.至少有 1 个白球，至少有 1 个黑球C.至少有 1 个白球，都是黑球D.恰有 1 个白球， 恰有 2 个白球8.用秦九韶算法求多项式 f (x ) = x 7+ 2x 6+ 3x 5+ 4x 4+ 5x 3+ 6x 2+ 7x + 8 ，当 x = -2 时的值的过程中，v 3 = （ ）A.-2B.3C.1D.49.为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学 生 ， 根 据 测 量 数 据 的 散 点 图 可 以 看 出 y 不 x 之 间 具 有 线 性 相 关 关 系 ， 设 其 回 归 直 线 的 方 程 为10yˆ = b ˆx + a ˆ ，已知 ∑ x i i =110= 225, ∑ y i i =1= 1600, b ˆ = 4 ，该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为A. 160B. 163C. 166D. 17010.现有 5 个气球，其颜色分别是红、黄、蓝、绿、紫（仅颜色丌同），若从这 5 个气球中随机抽取 2个，则取出的这两个气球中含有红的气球的概率为3 22 1 A.B.C.D.5 3 5 311.从某校高一年级期中测评中随机抽取100 名学生的成绩(单位:分)，整理得到如下频率分布直方图，则这100 名学生成绩的中位数的估计值是（ ）A. 75B.222 3C. 78D.235 312.执行如下图所示的程序框图,若输出的 s = 1 ，则输入的 t的所有取值的和为（ ）A. 72 B. 32 C. 214 D. 132二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分.）1 3 . 42 不 315 的 最 大 公 约 数 为 .14 . 某 工 厂 生 产 甲 、 乙 、 丙 三 种 丌 同 型 号 的 产 品 ， 产 品 分 别 为 3 0 0 , 6 0 0 . 4 5 0 件 ， 为 检 验产 品 的 质 量 问 题 ， 现 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 以 上 所 以 产 品 中 抽 取 90 件 进 行 检 验 ， 则 应 该 从 丙 种 型 号 的 产 品 中 抽 取 的 件 数 为.1 5 . 随 着 研 发 资 金 的 持 续 投 入 , 某 公 司 的 收 入 逐 年 增 长 ， 下 表 是 该 公 司 近 四 年 的 息 收 入请况：该 公 司 财 会 人 员 对 上 述 数 据 进 行 了 处 理 ， 令 t = x- 2012 ， z = y - 5 ， 得 到 下 表 ：已知变量 t 不 x 之 闻 具 有 线 性 相 关 关 系 ， 据 此 预 测 该 公 司 2018 年 的 总 收 入 为.n∑ (x i - x )(y i - y )n∑ x i y i - nxy附： bˆ = i =1 = ni =1 n, a ˆ = y - b ˆx ∑ (x i - x )i =1 ∑ x i i =1- nx 21 6 . 执 行 如 下 图 所 示 的 程 序 框 圈 , 若 输 入 的 t ∈ [- 2,2], 则输出的s ∈ [- 2,0]的概率为.三、解答题（本大题共5 小题，共52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10 分）17.已知辗转相除法的算法步骤如下：第一步：给定两个正数m ，n ；第二步：计算m 除以n 所得的余数r ；第三步：m =n ，n =r ；第四步：若r =0，则m ，n 的最大公约数等亍m ；否则，迒回第二步.请根据上述算法将右边程序框图补充完整18（本小题满分10 分）某车间共有12 名工人，从中随机抽取6 名，如图是他们某日加工零件个数的茎叶图（其中茎为十位数，叶为个位数）.（1）若日加工零件个数大亍样本平均值的工人为优秀工人，根据茎叶图能推断出该车间12 名工人中优秀工人人数.（2）现从这6 名工人中任取2 名，求至少有1 名优秀工人的概率。
【全国市级联考】山西省太原市2017-2018学年高二下学期阶段性测评(期中)数学理试题(解析版)
2017～2018学年第二学期高二年级阶段性测评数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复平面内，点表示的复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:一般利用复平面内复数的几何意义(复数x+yi（x,y∈R）在复平面内与点（x,y）一一对应)解答即可.详解：由复数的几何意义得点(0,-1)表示的复数为0+(-1)×i=-i.故选D.点睛：本题涉及到的知识点是复数的几何意义，复数x+yi（x,y∈R）在复平面内与点（x,y）一一对应.2. 已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：一般先求导，再求.详解：因为所以，所以=cos0-1=1-1=0,故选A.点睛：注意基本初等函数的导数，，有些同学容易记错.3. 下列结论正确的是（）A. 归纳推理是由一般到个别的推理B. 演绎推理是由特殊到一般的推理C. 类比推理是由特殊到特殊的推理D. 合情推理是演绎推理【答案】C【解析】分析：直接利用归纳推理、演绎推理、类比推理和合情推理的定义分析判断.详解：对于A选项，由于归纳推理是从个别到一般的推理，所以A不正确；对于B选项，由于演绎推理是从一般到特殊的推理，所以B不正确；对于C选项，由于类比推理是从特殊到特殊的推理，所以C正确；对于D选项，由于合情推理是归纳推理和类比推理，所以D不正确.点睛：对于归纳推理、演绎推理、类比推理和合情推理的定义要理解掌握，不要死记硬背，要理解它们之间的区别和联系.4. 已知是复平面内的平行四边形，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数为（）A. B. C. D.【答案】D学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...详解：由题得A(-2，1),B(1，-1),C(2，2),设D(x,y)，则因为，所以，解之得x=-1,y=4.所以点D的坐标为（-1，4），所以点D对应的复数为-1+4i,故选D.点睛：本题方法比较多，但是根据求点D的坐标，是比较简单高效的一种方法，大家解题时，注意简洁高效.5. 已知推理：“因为所有的金属都能够导电，而铜能导电，所以铜是金属”.则下列结论正确的是（）A. 此推理大前提错误B. 此推理小前提错误C. 此推理的推理形式错误D. 此推理无错误【答案】C【解析】分析：一般利用三段论来分析解答. 如果三段论的大前提是范围对象A具有某性质，小前提应该是B元素属于范围对象A，结论是B具有某性质,这个推理的形式才是正确的.详解：已知推理的大前提是：因为所有的金属都能够导电，所以推理的小前提应该是说A材料是金属，结论是A能导电. 但是推理的小前提是说铜能导电，违背了三段论的推理要求，所以此推理的推理形式错误，故选C.点睛：三段论看似简单，但是遇到真正的问题，有些同学又比较含糊. 如果三段论的大前提是范围对象A具有某性质，小前提应该是B元素属于范围对象A，结论是B具有某性质,这个推理的形式才是正确的.6. 用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于”时的假设为（）A. 三个内角中至多有一个不大于B. 三个内角中至少有两个不大于C. 三个内角都不大于D. 三个内角都大于【答案】D【解析】分析：一般利用命题的否定来解答，三角形的三个内角中至少有一个不大于的否定应该是三个内角都大于.详解：由于“三角形的三个内角中至少有一个不大于”的否定是“三个内角都大于60°”，故选D.点睛：利用反证法证明时，首先要假设原命题不成立，原命题的反面成立，所以这里涉及到命题的否定，命题的否定就是只否定命题的结论，命题的否命题是条件和结论都同时否定，这两个大家要区分开来.7. 复平面内，若与复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：复数对应的点在第四象限，就是说复数的实部大于零，虚部小于零，得到关于m的不等式组，解不等式组即得m的取值范围.详解：由题得，解之得0＜m＜1，故选B.点睛：本题解答主要是根据复数的几何意义来解答的，复数x+yi（x,y∈R）与复平面内的点(x,y)一一对应.8. 观察下列各式：，，，……，则的末两位数字为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定72018的末两位数．详解：根据题意得，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，79=40353607…，发现：74k﹣2的末两位数字是49，74k﹣1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，74k+1的末两位数字是07，（k=1、2、3、4、…），∵2018=504×4+2，∴72018的末两位数字为49，故选D.点睛：要解答本题，一定要多列举找到规律，不能只写几个就下结论,所以本题列举了8个式子，这样总结的结论才更准确.9. 函数的单调递减区间是A. B.和 C. D.【答案】B【解析】分析：一般先求导得再解不等式得到它的解集，最后和定义域求交集，即可得到原函数的单调减区间.详解：由题得，令，所以x<1,因为x≠0，所以x＜1，且x≠0，所以函数的单调减区间为和，故选B.点睛：本题是一个易错题,容易漏掉函数的定义域,得到函数的减区间为,主要是因为没有考虑定义域{x|x≠0}.对于函数的任何问题，必须遵循定义域优先的原则，否则会出错.10. 已知函数在处的切线平行于轴，则的极大值与极小值的差为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求导，再求出，再解方程，求出a的值，再求函数的极大值和极小值，最后求极大值和极小值的差.详解：由题得，所以故a=0,所以，所以函数f(x)在（1，+∞）和（-∞，-1）上是增函数，在（-1,1）上是减函数.∴，∴的极大值与极小值的差为2+b+2-b=4,故选C.点睛：求函数的极值的一般步骤是：求定义域求导解方程列表下结论.11. 在直角坐标平面内，由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出直线y=x和曲线xy=1的交点的横坐标，再利用定积分求出曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积.详解：联立xy=1和y=x得x=1,(x=-1舍).由题得由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为，故选A.点睛：求曲线围成的不规则的图形的面积，一般利用定积分来求解.12. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥在恒成立，令g（x）=，x∈，根据函数的单调性求出函数g(x)的最大值，即得实数a的范围．详解：：f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx），=2a﹣1+sin2x﹣a（cosx﹣sinx），若f（x）在递增，则≥0在恒成立，即a≥在恒成立，令g（x）=，x∈，则=，令＞0，即sinx＞cosx，解得：x＞，令＜0，即sinx＜cosx，解得：x＜，故g（x）在[0，）递减，在（，]递增，故g（x）max=g（0）或g（），而g（0）=1，g（）=，故a≥1，故选D．点睛：本题解答用到了分离参数的方法，把≥0在恒成立通过分离参数转化为a≥在恒成立,再求函数g（x）=，x∈的最大值.处理参数问题常用的有分类讨论和分离参数方法，如果分离参数不便，就利用分类讨论.大家要注意这两种方法的区别和联系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知复数满足，则复数的共轭复数为__________．【答案】【解析】分析:先由题得到，再利用复数的除法化简得到z,最后求z的共轭复数.详解:由题得.所以z的共轭复数为2-i.故填2-i.点睛：本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的概念，解题时，不要求出z就直接填进去了，主要还要求z的共轭复数.14. 若，则实数__________．【答案】【解析】分析：直接利用微积分基本原理化简已知，得到m的方程，求出m的值.详解：由题得，所以，∴m=2.故填2.点睛：本题主要考查微积分基本原理，关键是找到的原函数.15. “扫雷”游戏，要求游戏者找出所有的雷，游戏规则是：一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数学是，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“”表示它的周围八个方块中有且仅有个雷.图乙是小明玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，在这七个方块中，有雷的方块为__________．【答案】ADFG【解析】分析：解答时，先确定F和G有雷，再确定C,D中必有一个有雷，这时再利用假设法否定C有雷D无雷，后面再确定A和B是否有雷.详解：第4行第7个数字2，所以F、G方块有雷. 第4行第6个数字4，说明E方块没有雷.由于第4行第4个数字3，说明C、D中必有一个有雷. 假设C有雷，D无雷. 由于第6行第7个数字2，所以第7行6、7、8、9都没有雷，第5个有雷，但是第6行第4 个数字2，这样第6行第4个数字周围就有3个雷，与题目矛盾，故C无雷，D有雷.由于第4行第3个数字1，所以B五雷，由于第4行第2个数字1，所以A有雷. 故有雷的是A、D、F、G.故填A、D、F、G.点睛：本题主要考查推理论证，在推理时主要要从简单的入手，再讨论复杂的，如果不能确定可以进行假设分析，找到矛盾和答案.16. 设函数，观察下列各式：，，，，…，，……，根据以上规律，若，则整数的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先归纳得到f n（x）=f（f n﹣1（x））=，再求出f n（）=，最后解不等式，得到n的最大值.详解：由题意，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n.∴f n（x）=f（f n（x））=，﹣1∴f n（）=．∴，∴，∴整数的最大值为9.故填9.点睛：本题主要考查归纳推理，所以归纳出f n（x）=f（f n﹣1（x））=是关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数，，，是实数，为虚数单位.（1）若，求复数，；（2）若，求复数，.【答案】(1)，；(2)，.【解析】分析：（1）把代入，得到关于a、b的方程，根据复数相等的概念得到关于a、b的方程组，解方程组即可求出复数、.(2) 把代入，得到关于a、b的方程，根据复数相等的概念得到关于a、b的方程组，解方程组即可求出复数，.详解：（1）∵，∴，∴∴，；（2）∵，∴∴，∴，.点睛：本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，属于基础题.18. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，求的值域.【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为；(2).【解析】分析：（1）先求导，再利用导数求函数的单调区间. (2)先写出函数在的单调区间，再根据函数的单调区间写出函数f(x)的值域.详解：（1）由题意得，，令，则或；令，则；∴的单调增区间为和，单调减区间为；（2）由（1）得在和上单调递增，在上单调递减，∵，，，，∴的值域为.点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和函数的值域，属于基础题.19. 已知点，是椭圆的左右顶点，是椭圆上异与，的点，则直线与的斜率满足.（1）类比椭圆的上述结论，写出双曲线的相应结论，并证明；（2）请利用（1）的结论解决以下问题：已知点，是双曲线的左右顶点，是该双曲线上异与，的点，若直线的斜率为，求直线的方程.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）类比椭圆的上述结论，写出双曲线的相应结论,再证明.（2）先利用前面的结论得到再写出直线的点斜式方程化简即得直线的方程.详解：（1）已知点，是双曲线的左右顶点，双曲线上异与，的点，则直线与的斜率满足；证明：由题意得，，∴∵是双曲线上的点，∴，∴，∴直线与的斜率满足.（2）由（1）得，∵，∴，∵是双曲线的右顶点，∴，∴直线的方程为.点睛：本题主要考查类比推理的能力和圆锥曲线的基本运算，属于基础题.说明：请考生在（A）,（B）两个小题中任选一题作答.20. 已知数列满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算，，，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论.详解：（1）当时，；当时，；当时，，由此猜想；（2）下面用数学归纳法证明，①当时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴当时猜想也成立；由①和②，可知猜想成立，即.点睛：在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.21. 已知数列的前项和为，且满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算，，，根据计算结果，猜想. （2）用数学归纳法证明猜想的结论.详解：（1）当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，由此猜想，（2）下面用数学归纳法证明，①当时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴，∴，∴当时猜想也成立，由①和②，可知猜想成立，即.说明：请考生在（A）,（B）两个小题中任选一题作答.22. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：在上至多有一个零点.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论，求函数的单调性.(2)对a分类讨论，根据函数的图像分析每一种情况函数在上零点个数，即得在上至多有一个零点.详解：（1）由题意得①当时，令，则；令，则，∴在上单调递减，在上单调递增；②当时，令，则或，（ⅰ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（ⅱ）当时，，∴在上单调递增；（ⅲ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）得当时，在和上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，∵，∴此时在上至多有一个零点；当时，在上单调递增，∴此时在上至多有一个零点；当时，在和上单调递增，在上单调递减；∴在处取得极大值，∵，∴此时在上至多有一个零点；综上所述，当时，在上至多有一个零点.点睛：对于函数的零点问题，一般利用图像法分析解答.一般先求导，再求出函数的单调区间、最值、极值等，再画图分析函数的零点情况.23. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论，求函数的单调区间. (2)对a分类讨论，作出函数的图像，分析出函数f(x)有两个零点所满足的条件，从而求出a的取值范围.详解:（1）由题意得①当时，令，则；令，则，∴在上单调递减，在上单调递增；②当时，令，则或，（ⅰ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（ⅱ）当时，，∴在上单调递增；（ⅲ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）得当时，在和上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，∵，∴此时不符合题意；当时，在上单调递增，∴此时不符合题意；当时，在和上单调递增，在上单调递减；∴的处取得极大值，∵，∴此时不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，∵，，∴在上有一个零点，（ⅰ）当时，令，当时，∵，∴在上有一个零点，∴此时符合题意；（ⅱ）当时，当时，，∴在上没有零点，此时不符合题意；综上所述，实数的取值范围为.点睛：对于含参的问题，注意分类讨论思想的运用. 本题的导数，由于无法直接写出函数的单调区间，所以必须要分类讨论.分类讨论时，要注意分类的起因、分类的标准、分类的过程和分类的结论.。
山西省太原市2017_2018学年高二数学10月调研考试试题
高二年级第一学期第一次调研考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1.给出下列四个命题：①若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，则a ∥b ；②若直线a ∥直线b ，直线a 、c ∥平面α，b 、c ∥平面β，则α∥β； ③若平面α∥平面β，直线a ⊂α，则a ∥β； ④若直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，则α∥β. 其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是 （ ） A ．23 B ．76 C ．45D ．563.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比( )A 3:2:1B 3:2:1C 33:22:1D 9:4:1 4.如图，1111ABCD A BC D -为正方体，下面结论错误．．的是( )(填序号)A.BD ∥平面11D CBB.BD AC ⊥1C.⊥1AC 平面11D CBD.异面直线AD 与1CB 所成的角为60°.5.将正三棱柱截去三个角如图一所示，A,B,C 分别是GHI ∆三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为（ ）6.直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在平面α内的射影为1C ,且AB C ∉1,则AB C 1∆为（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 以上都不对4题图7．如图，矩形''''C B A O 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中,6''cm A O = cm C O 2''=，则原图形是( )A.正方形B. 菱形C. 矩形D.一般的平行四边形8.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=原工件的体积新工件的体积）（ ）Aπ278 B π98Cπ3)128-（ Dπ3)1224-（9.正方体1111ABCD A BC D -中，点M 是棱CD 的中点，点O 是侧面D D AA 11的中点，若点P 在侧面C C BB 11及其边界上运动，并且总是保持AM OP ⊥,则动点P 的轨迹是（ ） A. 线段C B 1 B. 线段B B 1 C. 线段C C 1 D. 线段1BC 10.梯形ABCD 中， 90=∠ABC ,以A 为圆心，AD 为半径作圆，如图所示（单位：cm ），则图中阴影部分绕AD 旋转一周所形成的几何体的表面积为（ )A π80B 84πC 60πD 68π 11．已知,,A B C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3(,)22ππα∈，若1AC BC ⋅=-，则21tan 2sin sin 2ααα++的值为 （ ）A ．59-B ．95-C ．2D ．312.已知0,0>>b a ，若不等式0133≤--+ba b a m 恒成立，则m 的最大值为（ ） A.4 B.3 C.9 D.16第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13．我国古代数学名著 《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长 尺。
山西省太原市2017-2018学年高一上学期第一次测评(期中)数学试题 PDF版含答案
又
f
(x)
x
k x
x
k x
f
(x)(k
0)
，所以
f
(x)
为奇函数
(2) f (x) 在 (0, k ) 为单调递减，在 ( k ,) 单调递增
证明：任取
x1
x2 (0,)
，
f
x1
f
x2
x1
k x1
x2
k x2
实数 a ,使得 f (a) g(b) 成立，则实数 b 的取值范围是
A. [2, 1] [1 , 2] 22
C. [2, 2]
B. [ 1 ,0] [0, 1]
2
2
D (,2] [2,)
答案：A
二．填空题（本大题共 4 个，每小题 3 分，满分 12 分，把答案填在题中横线上）
所以 f (x) 在 (0,1) 为单调递减
（B）已知 f (x) x k (k 0) x
（1）判断函数 f (x) 的奇偶性，并说明理由 （2）判断函数 f (x) 在 (0,) 单调性，并证明你的判断 考点：函数奇偶性的判断 解析：(1) f (x) 为奇函数
理由：因为 f (x) x k (k 0) 的定义域为 x 0 x
2
A. 1
B. 1
C. 2
D.2
2
2
答案： B
4 .下列函数中，在区间 0， 上单调递减的函数是
A.y log2 x 答案： D .
B.y x
C.y x
5.
山西省太原市2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题(pdf)
B.10
C.12
D.07
7.从装有 2 个白球和 2 个黑球的口袋内随机抽取 2 个球，下列事件是互斥而丌对立的事件的是（ ）
A.至少有 1 个白球，都是白球 C.至少有 1 个白球，都是黑球
B.至少有 1 个白球，至少有 1 个黑球 D.恰有 1 个白球， 恰有 2 个白球
8.用秦九韶算法求多项式 f x x7 2x6 3x5 4x4 5x3 6x2 7x 8 ，当 x 2 时的值的过程中，
2.已知变量 x 和 y 满足关系式 y 0.2x 0.1，且变量 y 和 z 负相关，则下列结论正确的是（ ）
A．变量 x 不 y 正相关， x 不 z 负相关 B．变量 x 不 y 正相关， x 不 z 正相关
C．变量 x 不 y 负相关， x 不 z 正相关 D．变量 x 不 y 负相关， x 不 z 负相关 3.不二进制数10112 相等的十进制数是（ ）
直方图，则这100 名学生成绩的中位数的估计值是（ ）
A. 75 B. 222
3 C. 78 D. 235
3
12.执行如下图所示的程序框图,若输出的 s 1，则输入的 t
的所有取值的和为（ ）
A. 7 2
B. 3 2
C. 21 4
D. 13 4
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分.）
s 2,0的 概 率 为
.
答案： 1 2
三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17（本小题满分 10 分） 17.已知辗转相除法的算法步骤如下：
第一步：给定两个正数 m ， n ； 第二步：计算 m 除以 n 所得的余数 r ； 第三步： m n ， n r ； 第四步：若 r 0 ，则 m ， n 的最大公约数等亍 m ；
2017-2018学年山西省太原市高一上学期第一次测评(期中)数学试题(解析版)
2017-2018学年山西省太原市高一上学期第一次测评（期中）数学试题一、选择题1．已知集合{}1,0,1A =-,集合{}=012B ，，，则()A B ⋂=A. {}01，B. []01，C. {}-1012，，，D. []1,2- 【答案】A【解析】 集合{}{}1,0,1,0,1,2,A B =-=所以0,1是两集合的公共元素， {}0,1A B ∴⋂= 故选A.2．函数()1lg 1f x x x =+-的定义域是()A. ()0,+∞B. ()()011+⋃∞，，C. ()01，D. ()1+∞， 【答案】B【解析】要使函数()1lg 1f x x x =+-的解析式有意义，自变量x 需满足10{ 0x x -≠>，解得0x >且1x ≠，即()()0,11,x ∈⋃+∞，故选B.3．函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上的最小值是()A. 12-B. 12C. -2D. 2 【答案】B【解析】由指数函数的性质可得函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上单调递减，所以函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上的最小值是()111122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选B.4．下列函数中，在区间()0,+∞上单调递减的函数是()A. 2log y x =B. y =C. y x =D. 1y x=【答案】D【解析】A 选项： 2log y x =在()0,+∞上单调递增，故排除； B 选项： y 在()0,+∞上单调递增，故排除； C 选项： y x =是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增，故排除；D 选项： 1y x =在()0,+∞上是减函数， 1y x∴=在()0,+∞上单调递减，故正确，故选D.5．已知函数()()2log ,0{ 2,0x x f x f x x >=+≤，则()()-3f =A. -1B. 0C. 1D. 2 【答案】B【解析】因为函数()()2log ,0{ 2,0x x f x f x x >=+≤，所以()()()2311log 10f f f -=-===，故选B.6．已知幂函数()()21mf x m m x =--在()0,+∞上增函数，则实数()m =A. 2B. -1C. -2或2D. 12【答案】A【解析】幂函数()()21m f x m m x =--在()0,+∞上为增函数， 211m m ∴--=，并且0m >，解得2m =，故选A.7．已知lg lg 0a b +=，则函数x y a =与函数log b y x =-的图象可能是()A. B. C. D.【答案】D【解析】lg lg 0a b += ， 11,ab b a ∴=∴=， ()1log log log b a ag x x x x ∴=-=-=的函数()xf x a =与函数()log b g x x =-互为反函数， ∴二者的单调性一至，且图象关于直线y x =对称，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查指数函数、对数函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 8．下列结论正确的是()A. 53log 2log 2>B. 30.90.93>C. 20.3log 20.3>D. 3121log 32log > 【答案】D【解析】对于A ， 53222111log 2log 2log 5log 5log 3==<=，故A 错；对于B ， 20.920.90.91,31,0.93∴<，故B 错；对于C ， 220.30.3log 20,0.30,log 20.3∴<，故C错；对于D ， 3312211log log 20,log 3log 312-<=-<=-<-， 3121log log 32∴>， D 对，故选D.9．如图所示的Venn 图中， ,A B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合，若(){},,{ lg lg 2,3,0xx y R A x y x x B y y x ∈==+-==>，则()A B ⊗=A. {}02x x <<B. {}12x x <<C. {}012x x x <≤≥或D. {}012x x x <或 【答案】C【解析】由Venn 图可知， ()()(){},|lg lg 2U A B A B A B A x y x x ⊗=⋃⋂⋂==+- ð{}|02x x =<<，{}{}3,01x B y y x y y ===，{}0A B x x ⋃=，{}|12A B x x ⋂=<<，(){| 1U A B x x ⋂=≤ð或}2x ≥，{}|12{| 1A B x x x x ⊗=<<⋂≤或}2{| 01x x x ≥=<≤或}2x ≥，故选C.【方法点睛】本题考查集合的基本运算、新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过Venn 图定义一种集合元素运算()()U A B A B A B ⊗=⋃⋂⋂ð达到考查集合运算的目. 10．函数()22xf x x =-的零点个数为A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】由题意可知，要研究函数()22xf x x =-的零点个数，只需研究函数22,xy y x ==的图象交点个数即可，画出函数22,xy y x ==的图象，由图象可得有3个交点，如第一象限的()()2,4,4,16A B 及第二象限的点C ，故选C.11．已知奇函数()f x 在R 上单调递减，且()11f -=，则不等式()121f x -≤-≤的解集是()A. []1,1-B. []3,1--C. []0,2D. []1,3 【答案】D【解析】因为()f x 是奇函数且()11f -=，所以()11?f =-，又因为函数()f x 在R 上单调递减且()121f x -≤-≤，即()()()121f f x f ≤-≤-，所以121x -≤-≤， 13x ≤≤，不等式()121f x -≤-≤的解集是[]1,3，故选D.12．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()21,01={ 1,1x x f x x x-≤<≥，偶函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，且当0x >时， ()2log g x x =，若存在实数a ,使得()()f a g b =成立，则实数b 的取值范围是()A.112,,222⎡⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ B. 11,00,22⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C. []2,2- D.(][),22,-∞-⋃+∞【答案】A【解析】分别作出函数()f x 和()g x 的图象如图，若存在实数a ，使得()()f a g b =成立，则b 一定在函数()g x 使两个函数的函数值重合的区间内， 函数的最大值为1，最小值为1-，由2log 1x =-，解得12x =，由2log 1x =，解得2x =；由()2log 1x -=-，解得12x =-，由()2log 1x -=，解得2x =-，故b 的取值范围是112,,222⎡⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故选A.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知集合()1,2,3A =， {}21,B y y x x A ==-∈，则 A B ⋃=__________． 【答案】{}1,2,3,5【解析】根据题意，集合{}1,2,3A =，而{}|21,B y y x x A ==-∈，则{}1,3,5B =，则{}1,2,3,5A B ⋃=，故答案为{}1,2,3,5.14．函数()log 1(0 a f x x a =+>且()1a ≠的图象必经过的定点是__________． 【答案】()1,1【解析】根据对数函数的性质可知，函数log (0a y x a =>且1)a ≠过定点()1,0，所以函数log 1(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点()1,1，故答案为()1,1.15．已知13x x -+=，则22x x --=__________．【答案】± 【解析】()211223,9,29x x x x x x ---+=∴+=++= ，22227,25x x x x --∴+=∴-+=，()2115,x x x x --∴-=∴-=当1x x --= ()()2211x x x x x x ----=+-=，当1x x --=时，()()2211x x x x x x ----=+-=-，即22x x --=±±16．某品牌手机销售商今年1，2，3月份的销售量分别是1万部，1.2万部，1.3万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量y （单位：万部）与月份x 之间的关系,现从二次函数()20y ax bx c a =++≠ 或函数()0,1x y ab c b b =+>≠ 中选用一个效果好的函数行模拟，如果4月份的销售量为1.37万件，则5月份的销售量为__________万件. 【答案】1.375【解析】由题意可得，当选用函数()2f x ax bx c =++时， 1{42 1.2 93 1.3a b c a b c a b c ++=++=++=，解得0.05{0.35 0.7a b c =-==， ()()20.050350.7,40.3f x x x f ∴=-++=，当选用函数()x g x ab c =+时231{ 1.2 1.3ab c ab c ab c +=+=+=，解得0.8{0.5 1.4a b c =-==， ()()0.80.5 1.4,4 1.35x g x g ∴=-⨯+=， ()4g 更接近于1.37，选用函数()xg x ab c =+拟合效果较好， ()5 1.375g ∴=， 5 月份的销售量为1.375，故答案为1.375.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及回归分析的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题的关键是先求解两函数的解析式，利用4 月份的销售量判断哪个函数拟合效果较好，从而得出5 月份的销售量.三、解答题17．已知全集U R =, {}32A x x =-<<， {}13B x a x a =-<<+. （1）当0a =时，求A B ⋂, A B ⋃； （2）若U B C A ⊆,求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}12A B x x ⋂=-<<， {}33A B x x ⋃=-<<;（2）6a ≤-或3a ≥. 【解析】试题分析：（1）当0a =时， {}13B x x =-<<，根据集合交集、并集的定义可得A B ⋂, A B ⋃；（2）先求出U C A ,根据包含关系列不等式组求解即可.试题解析：（1）当0a =时， {}13B x x =-<<， {}12A B x x ⋂=-<<，{}33A B x x ⋃=-<<（2）{}=32U C A X x ≤-≥或若B =∅,则有13a a -≥+，不合题意. 若B ≠∅，则满足13{33a a a -<++≤-或13{ 12a a a -<+-≥，解得6a ≤-或3a ≥故答案为6a ≤-或3a ≥18．计算下列各式的值： （1）12249π--⎛⎫+- ⎪⎝⎭（2）34log 2?log 9lg5lg4-【答案】（1）12-;（2）12. 【解析】试题分析：（1）直接利用指数幂的运算法则求解即可，求解过程一定要细心，避免出现计算错误；（2）直接利用对数的运算法则及换底公式求解即可. 试题解析：（1）12249π--⎛⎫+- ⎪⎝⎭()132121111849⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭1311222=+-- 12=-（2）34log 2?log 9lg5lg4-32log 2?log 3lg5lg4-=1lg5lg4-=4lg21log 2lg42=== 19．已知函数()21212,12{1,11, log , 1.x x f x x x x x -<-=--≤≤>，（1）在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象，并根据图象写出()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x m =-由四个零点，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)详见解析;(2) 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）分别画出1y 22x=-在1x <-时的图象、2y 1x =-在11x -≤≤时的图象、12y log x =在1x >时的图象，即可得函数()f x 的图象，由函数图像可得函数的单调区间；（2）函数()()g x f x m =-有四个零点等价于()y f x =的图象与y m =的图象有四个交点，由函数的图象可得m 的取值范围. 试题解析：（1）函数()f x 的图象如图，由图象可得，单调递增区间为(),1-∞-， ()0,1，单调递减区间为()1,0-， ()1,+∞ （2）函数()()g x f x m =-有四个零点等价于()f x 的图象与y m =的图象有四个交点，由函数()f x 的图象可得m 的取值范围为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭时， ()x 的图象与y m =的图象有四个交点，即）函数()()g x f x m =-有四个零点，所以m 的取值范围为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 20．已知()()0kf x x k x=+> （1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由（2）当1k =时，判断函数()f x 在()0,1单调性，并证明你的判断 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（1）由()()()0k k f x x x f x k x x ⎛⎫-=-+=-+=-> ⎪-⎝⎭，结合函数的定义域可得()f x 为奇函数；（2）任取()120,1x x <∈，()()()()121212121212111x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫-=+-+=⎪⎝⎭，可得()()120f x f x ->，从而可得结果.试题解析：（1）()f x 为奇函数. 理由：因为()()0kf x x k x=+>的定义域为0x ≠ 又()()()0k k f x x x f x k x x ⎛⎫-=-+=-+=-> ⎪-⎝⎭，所以()f x 为奇函数. （2）()f x 在()0,1为单调递减.证明：任取()120,1x x <∈， ()()()()121212121212111x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭， 因为()120,1x x <∈，所以1212120,10,01x x x x x x -<-<<<，所以()()120f x f x ->， 所以()f x 在()0,1为单调递减.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=± (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， ()()=0f x f x -±（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， ()()1f x f x -=±（1为偶函数， 1- 为奇函数） . 21．已知()()0kf x x k x=+> （1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.（2）判断函数()f x 在()0,+∞单调性，并证明你的判断. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（1）由()()()0k k f x x x f x k x x ⎛⎫-=-+=-+=-> ⎪-⎝⎭，结合函数的定义域可得()f x 为奇函数；（2）任取(12x x <∈，所以1212120,0,0x x x x k x x -<-，得()()120f x f x ->，可得()f x在(为单调递减，同理可得()f x在)+∞为单调递增.试题解析：（1）()f x 为奇函数. 理由：因为()()0kf x x k x=+>的定义域为0x ≠又()()()0k k f x x x f x k x x ⎛⎫-=-+=-+=-> ⎪-⎝⎭，所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在(为单调递减，在)+∞单调递增.证明：任取(12x x <∈，所以1212120,0,0x x x x k x x -<-，所以()()120f x f x ->，所以()f x 在(为单调递减当)12x x <∈+∞，所以1212120,0,0x x x x k x x -->，所以()()120f x f x -<，所以()f x 在)+∞为单调递增综上： ()f x 在(为单调递减，在)+∞单调递增. 22．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意的x 、y ，都有()()()·f x y f x f y +=，设0x <时， ()1f x >且()12f -=.（1）求()0f ；（2）证明：对于任意的x R ∈， ()0f x >；（3）若不等式()()()143f k x f x ->-在()0,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1) ()01f =; (2)详见解析;(3) (],0k ∈-∞.【解析】试题分析：（1）令0x <， 0y =，()()()()()()10001f x f x f x f x f f >∴+==⇒=；（2）令0x >， 0x >， 0x -< ()()()()01f f x f x f x ∴==--， ()01f x <<，结合0x <时， ()1f x >即可得结果；（3）先证明函数()f x 在()0,+∞单调递减，根据()()()·f x y f x f y +=，将原不等式化为()()()112f k x f x -+>-，可得()112k x x -+<-化简，利用不等式恒成立可得结果. 试题解析：（1）令0x <， 0y =， ()()()()()()10001f x f x f x f x f f >∴+==⇒=.（2）由题意当0x <时， ()1f x >.由（1）知，当0x =时， ()010f =>所以下证，当0x >时， ()0f x >()()()·0f x y f x f y x +=∴>， 0x >， 0x -< ()()()()01f f x f x f x ∴==--， ()01f x <<所以x R ∈时， ()0f x >.（3）()()()()()0111?112f f f f f =-=-⇒-= ()()()()()11?21f k x f f x f x ∴+>-+-+令1x y x +=， 2x x =， 12y x x ∴=-，假设12x x >， 0y ∴>()()()1f x y f y f x +∴=< ()()12f x f x <故函数()f x 在()0,+∞单调递减 ()()()143f k x f x ->-()()()11232f k x f x ∴->-即()()()()()1?11?3f f k x f f x ∴->--，()()()112f k x f x ∴-+>- ()112k x x -+<-化简得1k x <()0,x ∈+∞， (],0k ∴∈-∞.23．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意的,x y 都有()()()f x y f x f y +=，设0x <时， ()1f x >.（1）求()0f ；（2）证明：对于任意的x R ∈， ()0f x >；（3）当()112f =时，若不等式()()()122f k x f x +>+在()0,+∞上恒定成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1) ()01f =; (2)详见解析;(3) (],0k ∈-∞.【解析】试题分析：（1）令0x <， 0y =，()()()()()()10001f x f x f x f x f f >∴+==⇒=；（2）令0x >， 0x >， 0x -< ()()()()01f f x f x f x ∴==--， ()01f x <<，结合0x <时， ()1f x >即可得结果；（3）先证明函数()f x 在()0,+∞单调递减，根据()()()·f x y f x f y +=，将原不等式化为()()()112fk x f x -+>-，可得()112k x x -+<-化简，利用不等式恒成立可得结果.. 试题解析：（1）令0x <， 0y =， ()1f x > ()()()()()0001f x f x f x f f ∴+==⇒=.（2）由题意当0x <时， ()1f x >由（1）知，当0x =， ()010f =>所以下证，当0x >时， ()0f x >()()()·f x y f x f y += 0x ∴>， 0x -< ()()()()010f f x f x f x ∴==>--. （3）()()()()()0111?112f f f f f =-=-⇒-= ()()()()()11?21f k x f f x f x ∴+>-+=+令1x y x +=， 2x x =， 12y x x ∴=-，假设12x x >， 0y ∴>()()()1f x y f y f x +∴=< ()()12f x f x <故函数()f x 在()0,+∞单调递减，()112k x x -+<-化简得： 1k x <()0,x ∈+∞， (],0k ∴∈-∞.【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成()()()()f g x f h x ≥ 后再利用单调性和定义域列不等式组。
{3套试卷汇总}2017-2018太原市单科质检数学试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3π-C ．23π-D ．223π-【答案】D 【解析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，33，∴△ABC 的面积为12BC•AD=1232⨯3 S 扇形BAC =2602360π⨯=23π， ∴莱洛三角形的面积S=3×23π﹣3﹣3 故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．2．一次函数y=kx ﹣1的图象经过点P ，且y 的值随x 值的增大而增大，则点P 的坐标可以为（ ） A ．（﹣5，3）B ．（1，﹣3）C ．（2，2）D ．（5，﹣1） 【答案】C【解析】根据函数图象的性质判断系数k ＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y 轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．【详解】∵一次函数y=kx ﹣1的图象的y 的值随x 值的增大而增大，∴k ＞0，A 、把点（﹣5，3）代入y=kx ﹣1得到：k=﹣45＜0，不符合题意；B 、把点（1，﹣3）代入y=kx ﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；C 、把点（2，2）代入y=kx ﹣1得到：k=32＞0，符合题意； D 、把点（5，﹣1）代入y=kx ﹣1得到：k=0，不符合题意，故选C ．【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k ＞0是解题的关键．3．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折 【答案】B【解析】设可打x 折，则有1200×10x -800≥800×5%， 解得x≥1．即最多打1折．故选B ．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．4．如图，在热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，热气球C 的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米B ．3C ．3D ．100(31)米【答案】D 【解析】在热气球C 处测得地面B 点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt △ACD 中求出AD 的长，据此即可求出AB 的长．【详解】∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，∴BD＝CD＝100米，∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，∴AC＝2×100＝200米，∴AD＝22200100-＝1003米，∴AB＝AD+BD＝100+1003＝100（1+3）米，故选D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．5．在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（）A．513B．512C．1213D．125【答案】B【解析】如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=24，过A作AD⊥BC于D，则BD=12，在Rt△ABD中，AB=13，BD=12，则，AD=225AB BD-=，故tanB=512 ADBD=.故选B．【点睛】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理．6．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状．选项C左视图与俯视图都是，故选C.7．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（）A．15B．25C．35D．45【答案】B【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是2 5 .故选B.考点：概率.8．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接MM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE，若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则∠EBF的余弦值是（）A 213B313C．23D13【答案】B【解析】首先证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，在△ABF和△DEA中BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2，在Rt △BEF中，222313BE =+=，∴313cos 1313BF EBF BE ∠===． 故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形． 9．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞－1B ．k≥－1C ．k ＜－1D ．k≤－1 【答案】C【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k 的不等式，解出即可. 由题意得，解得 故选C.考点：一元二次方程的根的判别式点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．10．如图，已知l 1∥l 2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）A．40°B．60°C．80°D．100°【答案】D【解析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°．故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为．【答案】1．【解析】试题解析：根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，又∵AB+BC+AC=1，∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=1．考点：平移的性质．12．若不等式组130x abx->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．【答案】-2 -3【解析】先求出每个不等式的解集, 再求出不等式组的解集, 即可得出关于a、b的方程, 求出即可.【详解】解：由题意得：1?30? x abx->⎧⎨+≥⎩①②解不等式① 得: x>1+a ,解不等式②得:x≤3 b -不等式组的解集为: 1+a＜x≤3 b -不等式组的解集是﹣1＜x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为: -2, -3.【点睛】本题主要考查解含参数的不等式组.13．若圆锥的底面半径长为10，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为_____．【答案】2【解析】侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长．依此列出方程即可．【详解】设母线长为x，根据题意得2πx÷2=2π×5，解得x=1．故答案为2．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，难度不大．14．如图，在□ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动_____秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【答案】3或1【解析】由四边形ABCD是平行四边形得出：AD∥BC，AD=BC，∠ADB=∠CBD，又由∠FBM=∠CBM，即可证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠FBM=∠CBM，∴∠FBD=∠FDB ，∴FB=FD=12cm ，∵AF=6cm ，∴AD=18cm ，∵点E 是BC 的中点，∴CE=12BC=12AD=9cm ， 要使点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ 即可，设当点P 运动t 秒时，点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，根据题意得：6-t=9-2t 或6-t=2t-9，解得：t=3或t=1．故答案为3或1．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．15．如图，扇形的半径为6cm ，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得的圆锥的高为 ______ .【答案】2cm【解析】求出扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．【详解】扇形的弧长=0208161π⨯=4π， 圆锥的底面半径为4π÷2π=2，2262-2,故答案为2cm ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，重点考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．16．已知，如图，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ∶DF ∶FB ＝1∶2∶3，若EG ＝3，则AC ＝ ．【答案】1【解析】试题分析：根据DE ∥FG ∥BC 可得△ADE ∽△AFG ∽ABC ，根据题意可得EG ：AC=DF ：AB=2:6=1:3，根据EG=3，则AC=1．考点：三角形相似的应用．17．如图，已知函数y ＝3x+b 和y ＝ax ﹣3的图象交于点P （﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b ＞ax ﹣3的解集是_____．【答案】x ＞﹣1．【解析】根据函数y=3x+b 和y=ax-3的图象交于点P （-1，-5），然后根据图象即可得到不等式 3x+b ＞ax-3的解集．【详解】解：∵函数y=3x+b 和y=ax-3的图象交于点P （-1，-5），∴不等式 3x+b ＞ax-3的解集是x ＞-1，故答案为：x ＞-1．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，熟练掌握是解题的关键.18．与直线2y x =平行的直线可以是__________（写出一个即可）．【答案】y=-2x+5（答案不唯一）【解析】根据两条直线平行的条件：k 相等，b 不相等解答即可．【详解】解：如y=2x+1（只要k=2，b≠0即可，答案不唯一）．故答案为y=2x+1．（提示：满足y 2x b =+的形式，且b 0≠）【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题．直线y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数），当k 相同，且b 不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条直线重合．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点．求反比例函数的表达式在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标求△PAB 的面积．【答案】（1）反比例函数的表达式y=，（2）点P坐标（，0），(3)S△PAB= 1.1．【解析】（1）把点A（1，a）代入一次函数中可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表达式；（2）作点D关于x轴的对称点D，连接AD交x轴于点P，此时PA+PB的值最小.由B可知D点坐标，再由待定系数法求出直线AD的解析式，即可得到点P的坐标；（3）由S△PAB=S△ABD ﹣S△PBD即可求出△PAB的面积.解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，得a=﹣1+4，解得a=3，∴A（1，3），点A（1，3）代入反比例函数y=kx，得k=3，∴反比例函数的表达式y=3x，（2）把B（3，b）代入y=3x得，b=1∴点B坐标（3，1）；作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，∴D（3，﹣1），设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，331m nm n+=⎧⎨+=-⎩，解得m=﹣2，n=1，∴直线AD的解析式为y=﹣2x+1，令y=0，得x=52，∴点P坐标（52，0），(3)S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=12×2×2﹣12×2×12=2﹣12=1.1．点晴：本题是一道一次函数与反比例函数的综合题，并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式，再通过函数解析式反过来求坐标，为接下来求面积做好铺垫.20．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．求证：EF＝ED；若AB＝22，CD＝1，求FE的长．【答案】（1）见解析；（2）EF＝5 3 .【解析】（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．【详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠BAE+∠DAC＝45°，∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，∴△AEF≌△AED（SAS），∴DE＝EF（2）∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴BC＝4，∵CD＝1，∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，∵∠ABF＝∠ABC＝45°，∴∠EBF＝90°，∴BF2+BE2＝EF2，∴1+（3﹣EF）2＝EF2，∴EF＝53【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．21．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.22．如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．【答案】（1）见解析；（2）图见解析；1 4 .【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可．（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示．（2）△A2B2C2如图所示．∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为12．∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（12）2=14．23．如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，请仅用无刻度直尺作图：在图1中作出圆心O；在图2中过点B作BF∥AC．【答案】见解析.【解析】（1）画出⊙O的两条直径，交点即为圆心O．（2）作直线AO交⊙O于F，直线BF即为所求．【详解】解：作图如下：（1）；（2）.【点睛】本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O ，C 为弧BE 的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC 、BC ．试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由若AD=2，AC=6，求⊙O 的半径．【答案】（1）直线CD 与⊙O 相切；（2）⊙O 的半径为1.1． 【解析】（1）相切，连接OC ，∵C 为BE 的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC ，∴∠1=∠ACO ，∴∠2=∠ACO ，∴AD ∥OC ，∵CD ⊥AD ，∴OC ⊥CD ，∴直线CD 与⊙O 相切；（2）连接CE ，∵AD=2，AC=6，∵∠ADC=90°，∴CD=22AC AD -=2，∵CD 是⊙O 的切线，∴2CD =AD•DE ，∴DE=1，∴CE=22CD DE +=3，∵C 为BE 的中点，∴BC=CE=3，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AB=22AC BC +=2．∴半径为1.125．解方程：3x 2﹣2x ﹣2＝1．【答案】121717x x +-==【解析】先找出a ，b ，c ，再求出b 2-4ac=28，根据公式即可求出答案．【详解】解：x ＝22-2-43-2±⨯⨯（）（） =17± 即121717x ,x +-== ∴原方程的解为121717x ,x +-==. 【点睛】本题考查对解一元二次方程-提公因式法、公式法，因式分解法等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键．26．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；商场的营销部结合上述情况，提出了A 、B 两种营销方案方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B ：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由【答案】 (1) w ＝－10x 2＋700x －10000;(2) 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大;(3) A 方案利润更高.【解析】试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可.（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值.（3）分别求出方案A 、B 中x 的取值范围，然后分别求出A 、B 方案的最大利润，然后进行比较.【详解】解：（1）w ＝（x －20）（250－10x ＋250）＝－10x 2＋700x －10000.（2）∵w ＝－10x 2＋700x －10000＝－10（x －35）2＋2250∴当x ＝35时，w 有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大.（3）A 方案利润高,理由如下：A 方案中：20＜x≤30，函数w ＝－10（x －35）2＋2250随x 的增大而增大，∴当x=30时，w 有最大值，此时，最大值为2000元.B 方案中：10x 50010x 2025-+≥⎧⎨-≥⎩，解得x 的取值范围为：45≤x≤49. ∵45≤x≤49时，函数w ＝－10（x －35）2＋2250随x 的增大而减小，∴当x=45时，w 有最大值，此时，最大值为1250元.∵2000＞1250，∴A方案利润更高中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．据中国电子商务研究中心() 发布2017《年度中国共享经济发展报告》显示，截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得1159.56亿元投资，数据1159.56亿元用科学记数法可表示为( )A ．81159.5610⨯元B ．1011.595610⨯元C ．111.1595610⨯元D ．81.1595610⨯元【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】1159.56亿=115956000000，所以1159.56亿用科学记数法表示为1.15956×1011，故选C ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤【答案】A 【解析】由抛物线的开口方向判断a 与2的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与2的关系，然后根据对称轴判定b 与2的关系以及2a+b=2；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞2．【详解】①∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴ab ＜2，故正确；②∵对称轴1,2b x a=-= ∴2a+b=2；故正确；③∵2a+b=2，∴b=﹣2a ，∵当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜2，∴a ﹣（﹣2a ）+c=3a+c ＜2，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am 2+bm+c≤a+b+c ，所以a+b≥m （am+b ）（m 为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x ＜3时，y 不只是大于2．故错误．故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a ＞2时，抛物线向上开口；当a ＜2时，抛物线向下开口；②一次项 系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞2），对称轴在y 轴 左； 当a 与b 异号时（即ab ＜2），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛 物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（2，c ）．3．若23，则a 的值可以是（ ）A ．﹣7B ．163C ．132D ．12【答案】C【解析】根据已知条件得到4＜a-2＜9，由此求得a 的取值范围，易得符合条件的选项．【详解】解：∵23，∴4＜a-2＜9，∴6＜a ＜1．又a-2≥0，即a≥2．∴a 的取值范围是6＜a ＜1．观察选项，只有选项C 符合题意．故选C ．【点睛】考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用夹逼法．4．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D【解析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．【详解】设多边形的边数是n，则(n−2)⋅180=3×360，解得：n=8.故选D.【点睛】此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握其定理.5．等式33=11x xxx--++成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【详解】由题意可知：3010xx-≥⎧⎨+>⎩,解得：3x,故选：B．【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件. 6．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A 3B5C23D25【答案】D【解析】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，221310+=22222+=cosA=AD AB =2210=25， 故选D ．7．若点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）都是反比例函数y ＝﹣1x 图象上的点，并且y 1＜0＜y 2＜y 3，则下列各式中正确的是（ ）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 2＜x 1＜x 3D ．x 2＜x 3＜x 1【答案】D 【解析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及在每一象限内函数的增减性，再根据y 1＜0＜y 2＜y 3判断出三点所在的象限，故可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y ＝﹣1x中k ＝﹣1＜0， ∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，∵y 1＜0＜y 2＜y 3，∴点（x 1，y 1）在第四象限，（x 2，y 2）、（x 3，y 3）两点均在第二象限，∴x 2＜x 3＜x 1．故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键． 8．下列运算正确的是（ ）A ．a 3•a 2=a 6B ．a ﹣2=﹣21aC ．333D ．（a+2）（a ﹣2）=a 2+4 【答案】C【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、负指数幂的性质、二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算即可得出答案． 【详解】A 、a 3•a 2=a 5，故A 选项错误；B 、a ﹣2=21a ，故B 选项错误； C 、3﹣33C 选项正确；D 、（a+2）（a ﹣2）=a 2﹣4，故D 选项错误，故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．9．估计8-1的值在（ ）A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3至4之间【答案】B【解析】试题分析：∵2＜8＜3，∴1＜8-1＜2，即8-1在1到2之间，故选B ．考点：估算无理数的大小．10．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABD=∠CB ．∠ADB=∠ABC C ．AB CB BD CD = D ．AD AB AB AC= 【答案】C 【解析】由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A 与B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A 是公共角，∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB ∽△ABC （有两角对应相等的三角形相似），故A 与B 正确，不符合题意要求；当AB ：AD=AC ：AB 时，△ADB ∽△ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；AB ：BD=CB ：AC 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误，符合题意要求， 故选C ．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，已知m n ∕∕，1105∠=︒，2140∠=︒则a ∠=________.【答案】65°【解析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解. 【详解】∵m ∥n,∠1=105°，∴∠3=180°−∠1=180°−105°=75°∴∠α=∠2−∠3=140°−75°=65°故答案为：65°.【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于利用同旁内角互补求出∠3.12．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60，则该直尺的宽度为____________cm ．【答案】533【解析】连接OC,OD,OC 与AD 交于点E ，根据圆周角定理有130,2BAD BOD ∠=∠=︒根据垂径定理有：15,2AE AD == 解直角OAE △即可. 【详解】连接OC,OD,OC 与AD 交于点E ，130,2BAD BOD ∠=∠=︒ 10 3.cos303AE OA ==︒ 5tan 303,3OE AE =⋅︒= 直尺的宽度：105533 3.333CE OC OE =-=-= 故答案为533【点睛】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.13．关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+6x+k 2-k=0的一个根是0，则k 的值是______．【答案】2．【解析】试题解析：由于关于x 的一元二次方程()22160k x x k k -++-=的一个根是2，把x=2代入方程，得20k k -= ，解得，k 2=2，k 2=2当k=2时，由于二次项系数k ﹣2=2，方程()22160k x x k k -++-=不是关于x 的二次方程，故k≠2． 所以k 的值是2．故答案为2．14．如图，矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点'D 处.则重叠部分AFC ∆的面积为______.【答案】10【解析】根据翻折的特点得到'AD F CBF ∆≅∆，AF CF =.设BF x =，则8FC AF x ==-.在Rt BCF ∆中，222BC BF CF +=，即()22248x x +=-，解出x,再根据三角形的面积进行求解.【详解】∵翻折，∴'4AD AD BC ===，'90D B ∠=∠=︒，又∵'AFD CFB ∠=∠，∴'AD F CBF ∆≅∆，∴AF CF =.设BF x =，则8FC AF x ==-.在Rt BCF ∆中，222BC BF CF +=，即()22248x x +=-，解得3x =，∴5AF =，∴11541022AFC S AF BC ∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】 此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知翻折的性质及勾股定理的应用.15．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是_____．【答案】25【解析】利用平方根定义即可求出这个数.【详解】设这个数是x （x≥0），所以x ＝（-5）2＝25.【点睛】本题解题的关键是掌握平方根的定义.16．如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是36，则它的表面积是_______.【答案】2【解析】分析：∵由主视图得出长方体的长是6，宽是2，这个几何体的体积是16，∴设高为h ，则6×2×h=16，解得：h=1．∴它的表面积是：2×1×2+2×6×2+1×6×2=2．17．如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差是 ℃．【答案】11.【解析】试题解析：∵由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃；周二的日温差=7℃+1℃=8℃；周三的日温差=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温差=13℃﹣5℃=8℃；周六的日温差=15℃﹣71℃=8℃；周日的日温差=16℃﹣5℃=11℃，∴这7天中最大的日温差是11℃．考点：1.有理数大小比较；2.有理数的减法．18．点 C 在射线 AB 上，若 AB=3，BC=2，则AC 为_____．【答案】2或2．【解析】解：本题有两种情形：（2）当点C在线段AB上时，如图，∵AB=3，BC=2，∴AC=AB﹣BC=3-2=2；（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，∵AB=3，BC=2，∴AC=AB+BC=3+2=2．故答案为2或2．点睛：在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．三、解答题（本题包括8个小题）19．观察猜想：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D 落在点E处，如图①所示，则线段CE和线段BD的数量关系是，位置关系是．探究证明：在（1）的条件下，若点D在线段BC的延长线上，请判断（1）中结论是还成立吗？请在图②中画出图形，并证明你的判断．拓展延伸：如图③，∠BAC≠90°，若AB≠AC，∠ACB=45°，AC=2，其他条件不变，过点D作DF⊥AD交CE于点F，请直接写出线段CF长度的最大值．【答案】（1）CE=BD，CE⊥BD．（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）1 4 .【解析】分析：（1）线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．（2）证明的方法与（1）类似．（3）过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根据旋转的性质得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，则NE=MA，由于∠ACB=45°，则AM=MC，所以MC=NE，易得四边形MCEN为矩形，得到∠DCF=90°，由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF，得MD AMCF DC，设DC=x，MD=1-x，利用相似比可得到CF=-x2+1，再利用二次函数即可求得CF的最大值．详解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，∴BD⊥CE；故答案为CE=BD，CE⊥BD．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴AE=AD，∠DAE=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠CAE=∠BAD，∴△ACE≌△ABD，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠BCE=90°，即CE⊥BD，∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系分别为：CE=BD，CE⊥BD．（3）如图3，过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE∴∠DAE=90°，AD=AE，∴∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，∴NE=AM，∵∠ACB=45°，。
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2017-2018学年太原市百校联考一数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1.若等式()5-⃝51=-成立，则⃝内的运算符号为（
）
.A +.B -.C ⨯
.D ÷
2.观察下列图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
3.在一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，
是黄球的概率为（
）
7.
10
A
1
.
2
B 3.
10
C 1.
5
D 4.计算(
)
3
2ab
-的结果是（）
2.3A ab -36
.B a b 35.C a b -36
.D a b -5.由一些大小相同的小正方体搭成的几何题的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何题的主视图是（
）
6.太原市出租车的收费标准是：白天起步价8元（即行驶距离不超过3km 都需付8元车费）
，超过3km 以后，每增加1km ，加收1.6元（不足1km 按1km 计）.某人从甲地到乙地经过的路程是x km ，出租车费为16元，那么x 的最大值是
.11A .8B .7C .5
D 7.《九章算术》是中国古代数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.问牛羊各直金几何？译文：“假设5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，则列方程组错误的是（
）
5210
.258x y A x y +=⎧⎨
+=⎩5210.7718x y B x y +=⎧⎨
+=⎩7718.258x y C x y +=⎧⎨
+=⎩528.2510
x y D x y +=⎧⎨
+=⎩A
B C D
8.如图，AB 是O 的直径，点,,C D E 在O 上，若20AEC ∠=
，则BDC ∠的度数为（
）
.100A .110B .115C .120D
9.如图，小岛在港口P 的北偏西60 方向，距港口56n mile 的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45
方向匀速驶离港口,4P 小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是（
）
.72/A n mile
h .73/B n mile h .76/C n mile h .282/D n mile h
10.如图，在平面直角坐标系中，直线()1120y k x k =+≠与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数2k y x
=在第二象限内的图象交于点C ，连接OC .若1
1,tan 3
OBC S BOC ∆=∠=
，则2k 的值是（）.
.3A 1.2
B -
.3C -.6
D -二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.不等式组20122
x x x -≥⎧⎪
⎨<+⎪⎩的解集是_________.
12.2017年11月7日，山西省人民政府批准发布的《山西省第一次全国地理国情普查公报》显示，山西省国土面积约为2
156700km ，该数据用科学记数法表示为_____________2
km .
13.有5张背面看上去无差别的扑克牌，正面分别写着5,6,7,8,9洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是___________.
14.如图，在ABC ∆中，90,,ABC AB CB F ∠==
为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =.若
32CAE ∠= ，则ACF ∠的度数为______ .
15.如图，在平面直角坐标系中，A 的圆心A 的坐标为()1,0，半径为1，点P 为直线3
34
y x =
+上的动点，过点P 作A 的切线，切点为B ，则
PB 的最小值为______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（每小题5分，共10分）
（1）计算：())
2
2
214cos 60-- ；
（2）化简：232111x x x x x -+⎛⎫
÷- ⎪-⎝⎭
；
17.（本题6分）观察与发现
计算两个两位数的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10.
53573021,38321216,84867224,71795609⨯=⨯=⨯=⨯=.
（1）你发现上面每两个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的____________.请写出一个符合上述规律的算式__________________________.（2）设其中一个数的十位数字为a ，个位数字为b ，请用含,a b 的算式表示这个规律.________________________________________________________.18（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点的坐标分别为()()()2,4,4,1,0,1A B C --.
（1）画出与ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆，并写出点1C 的坐标；（2）画出以1C 为旋转中心，将111A B C ∆逆时针旋转90
后的
221A B C ∆；
（3）尺规作图：连接12A A ，在12C A 边上求作一点P ，使得点P 到
12A A 的距离等于1PC 的长（保留作图痕迹，不写作法）；
（4）请直接写出11C A P ∠的度数.
19.（本题8分）某教育局组织了“落实十九大精神、立足岗位见行动”教师演讲比赛，根据各校初赛乘积在小学组、中学组分别选出10名教师参加决赛，这些选手的决赛成绩如图所示：
根据上图提供的信息，回答下列问题：（1）请你把下面表格填写完整；
（1）请你把下面表格填写完整；
（2）考虑平均数与方差，你认为那个组的团体成绩更好些，并说明理由；
（3）若在每组的决赛中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个组获胜的可能性大些？请说明理由.
20.（本题9分）如图，在平行四边形ABCD 中，,60,BD BC BDC DAB ⊥∠=∠
和DBC ∠的平分线相交于点E ，
F 为AE 上一点，EF EB =，
G 为BD 延长线上一点，BG AB =，连接GE .
（1）若平行四边形ABCD 的面积为9
3,
求AB 的长；（2）求证：AF GE =.
21.（本题9分）如图，城市规划部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为2
1500m 的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道.已知长方形空地的长为60m ，宽为40m .（1）求通道的宽度；
（2）某公司承揽了修建停车场的工程（不考虑修通道），为了尽量减少施工对城市交通的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务.求该公司原计划每天修建多少平方米？
团体成绩众数
平均数方差小学组85.7
39.6中学组
8527.8
22.（本题11分）综合与实践美妙的黄金矩形阅读理解
在数学上称短边与长边的比是
51
2
-（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形（Golden Rectangle ）.黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调、匀称的美感.
（1）某校团委举办“五·四手抄报比赛”.手抄报规格统一设计成：长是40cm 的黄金矩形，则宽约为______cm ；（精确到0.1cm ）操作发现
利用一张正方形纸片折叠出一个黄金矩形.
第一步，如图1，折叠正方形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕EF （点,E F 分别在边,AD BC 上），然后把纸片展平；
第二步，如图2，折叠正方形纸片ABCD ，使得BC 落在BE ，点C '和点C 对应，得到折痕BG （点G 在CD 上），再次展平纸片；
第三步，如图3，沿过点G 的直线折叠正方形ABCD ，使点A 和点D 分别落在AB 和CD 上，折痕为HG ，显然四边形HBCG 是矩形.
（2）在上述操作中，以2AB =为例，证明矩形HBCG 是黄金矩形；（参考计算：
51
4
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-=
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拓广探索
（3）“希望小组”的同学通过探索发现：以黄金矩形的长边为一边，在原黄金矩形外作正方形，得到的新矩形仍然是黄金矩形.
如图4，如果四边形ABCD 是黄金矩形（AB AD >），四边形DCEF 是正方形，那么四边形ABEF 也是黄金矩形.
他们的发现正确吗？请说明理由.
23.（本题14分）综合与探究:如图，抛物线2
45y x x =--与x 轴交于,A B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D .（1）求,,A B C 三点的坐标及抛物线的对称轴.
（2）如图1，点(),E m n 为抛物线上一点，且25m <<，过点E 作//EF x 轴，交抛物线的对称轴于点F ，作
EH x ⊥轴于点H ，求四边形EHDF 周长的最大值.
（3）如图2，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点P ，使以,,P B C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.。