利用导数研究函数的单调性的题型分析

3.已知函数 ，则 的大小关系是
A、 B、
C、 D、
解：因为函数 为偶函数，所以 ， ，当 时， ，所以函数在 递增，所以有 ，即 ，选B.
4．[2013·太原 三模 ] 已知函数f(x＋1)是偶函数，且x>1时，f′(x)<0恒成立，
又f(4)＝0， 则(x＋3)f(x＋4)<0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(4，＋∞)B．(－6，－3)∪(0，4)
故a的取值范围是[ ，＋∞)．
(2)∵b＝ a2，∴f(x)＝(x＋a)2－4a2lnx＋1，x∈(0，＋∞)．
∴f′(x)＝ ＝ .
当a>0时，f′(x)>0，得x>a或x<－2a，故f(x)的减区间为(0，a)，增区间为(a，＋∞)；
当a<0时，f′(x)>0，得x>－2a或x<a，故f(x)的减区间为(0，－2a)，增区间为(－2a，＋∞)．
（II）若函数 的图象在直线 图象的下方，求 的取值范围；
7.已知函数 ，函数 ．
⑴当 时，函数 的图象与函数 的图象有公共点，求实数 的最大值；
⑵当 时，试判断函数 的图象与函数 的图象的公共点的个数；
⑶函数 的图象能否恒在函数 的图象的上方？若能，求出 的取值范围；若不能，请说明理由．
解：⑴ ,
∵f′(x)＝
当0＜x＜1时，x2＋1＞0，(x2－1)2＞0，∴
∴当b＞0时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在 (0,1)上是减函数；
当b＜0时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在(0,1)上是增函数；
又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：
当b＞0时，f(x)在(－1,1)上是 减函数；
训练：
1.若函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数，则实数k的取值范围_______________.
解：函数 的定义域为 ， ，
由 得 ，由 得 ，要使函数在定义域内的一个子区间 内不是单调函数，则有 ，解得 ，即 的取值范围是 .
2.(2013·湖北省八校高三第二次联考)已知函数f(x)＝(x＋a)2－7blnx＋1，其中a，b是常数且a≠0.(1)若b＝1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
C．(－∞，－6)∪(4，＋∞)D．(－6，－3)∪(0，＋∞)
解：函数f(x＋1)是偶函数，其图象关于y轴对称，这个函数图象向右平移1个单位得函数y＝f(x)的图象，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，x>1时，f′(x)<0恒成立，说明函数在(1，＋∞)上单调递减，根据对称性可得函数在(－∞，1)上单调递增．根据f(4)＝0可得当x>4时，f(x)<0，根据对称性可得当x<－2时，f(x)<0，当－2<x<1或1<x<4时，f(x)>0.不等式(x＋3)f(x＋4)<0等价于 或 当 时， 解得x>0；当 时，
由f′(x)＞0结合x＞0，得0＜x＜ 或x＞2，
∴f(x)的递增区间为(0， ]和[2，＋∞)，递减区间为( ，2).6分
(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f′(x)≥0对x＞0恒成立，8分
∵f′(x)＝a＋ － ＝ ，∴需x＞0时ax2－2x＋a≥0恒成立10分
化为a≥ 对x＞0恒成立，
∵ ＝ ≤1，当且仅当x＝1时取等号．
所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)，(－∞，1)．
(2)此函数的定义域为R.
y′＝3x2－4x＋1，
令3x2－4x＋1＞0，解得x＞1或x＜ .
因此y＝x3－2x2＋x的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞， )．
再令3x2－4x＋1＜0，解得 ＜x＜1.
因此y＝x3－2x2＋x的单调递减区间为( ，1)．
变式训练：
求函数y＝x＋ (b≠0)的单调区间．
【解】 函数y＝x＋ (b≠0)的定义域为{x|x≠0}，y′＝1－ ＝ .
①当b＜0时，在函数定义域内y′＞0恒成立，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)和
(0，＋∞)；
②当b＞0时，令y′＞0，解得x＞ 或x＜－ ，所以函数的单调递增区间为(－∞，－ )和( ，＋∞)；令y′＜0，解得－ ＜x＜ 且x≠0，
(1)求函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－3的单调区间；
(2)求函数y＝x3－2x2＋x的单调区间．
【解】(1)此函数的定义域为R，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
令6(x－1)(x－2)＜0，解得1＜x＜2，
所以函数f(x)的单调递减区间是(1,2)．
令6(x－1)(x－2)＞0，解得x＞2或x＜1，
例：定义在R上的函数 的导函数为 ,已知 是偶函数且 . 若 ,且 ,则 与 的大小关系是
A. B. C. D.不确定
解析：由 可知,当 时, 函数递减.当 时, 函数递增.因为函数 是偶函数,所以 , ,即函数的对称轴为 .所以若 ,则 .若 ,则必有 ,则 ,此时由 ,即 ,综上 ,选C.
变式训练：
即 在 时恒成立，……10分
① 时 图象开口向下，即 在 时不可能恒成立，
② 时 ，由⑴可得 ，
时 恒成立， 时 不成立，
③百度文库时，
若 则 ，由⑵可得 无最小值，故 不可能恒成立，
若 则 ，故 恒成立，
若 则 ，故 恒成立，……15分
综上， 或 时
函数 的图象恒在函数 的图象的上方．……16分
【思路点拨】（1）由a=0，可得f（x）=bx，由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b取最大值，利用导数的几何意义即可得出；
令y′＝6x2－3＜0，解得－ ＜x＜ ，
当x∈(－ ， )时，函数为减函数．
故函数的递增区间为(－∞，－ )和( ，＋∞)，递减区间为(－ ， )．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－ ＝2· .
令f′(x)＞0，即2· ＞0.且x＞0，可解得x＞ ；
令f′(x)＜0，即2· ＜0，由x＞0得，0＜x＜ ，
由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时 取最大值，……1分
设切点横坐标为 ， ，
, 即实数 的最大值为 ；……4分
⑵ ，
即原题等价于直线 与函数 的图象的公共点的个数，……5分
，
在 递增且 ， 在 递减且 ，
时，无公共点，
时，有一个公共点，
时，有两个公共点；……9分
⑶函数 的图象恒在函数 的上方，
(2)当b＝ a2时，讨论f(x)的单调性．
【解】(1)∵b＝1，∴f(x)＝(x＋a)2－7lnx＋1，∴f′(x)＝2x＋2a－ .
∵当x>1时，f(x)是增函数，∴f′(x)＝2x＋2a－ ≥0在x>1时恒成立．
即a≥ －x在x>1时恒成立．
∵当x>1时，y＝ －x是减函数，∴当x>1时，y＝ －x< ，∴a≥ .
（2）由于b=0，x＞0，可得 ，即原题等价于直线y=a与函数r（x）= 的图象的公共点的个数，利用导数研究函数r（x）的单调性即可得出；
（3）函数f（x）的图象恒在函数y=bg（x）的上方，即f（x）＞bg（x）在x＞0时恒成立．对a，b分类讨论，再利用（1）（2）的结论即可得出．
所以函数的单调递减区间为(－ ，0)和(0， ).
题型二：利用函数单调性求参数
例：(2013·郑州模拟)函数f(x)＝ax＋xlnx，且图象在点 处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)．(1)求实数a的值；(2)设 ，研究函数g(x)的单调性
解：(1)f(x)＝ax＋xlnx，f′(x)＝a＋1＋lnx，依题意 ＝a＝1，所以a＝1.
解得－6<x<－3.故不等式(x＋3)f(x＋4)<0的解集为(－6，－3)∪(0，＋∞)．
5.设 是定义在R上的奇函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为____．
解：因为函数 为奇函数。当 时， ，函数单调递增，所以 ，由图象可知不等式 的解为 或 ，即不等式的解集为 。
6.函数 。（I）若函数 在 处取得极值，求 的值；
2．导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数．
3．导数法求参数的取值范围：已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)，转化为不等式恒成立求解．
∴a≥1，即a∈[1，＋∞).12分
4.已知函数f(x)＝ －2x2＋lnx，其中a为常数．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．
解：(1)若a＝1时，f(x)＝3x－2x2＋lnx，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ －4x＋3＝ ＝ (x>0)．
1.函数 在定义域 内可导，若 ，且当 时， ，设 ， ， ，则（D）
A． B． C． D．
2.已知函数 对定义域 内的任意 都有 = ,且当 时其导函数 满足 若 则
A. B.
C. D.
解：由 = ,可知函数关于 对称.由 得 ,所以当 时, ,函数递增,所以当 时,函数递减.当 , , ,即 .所以 ,所以 ,即 ,所以 ,即 ,选C.
利用导数研究函数的单调性题型分析
题型一：利用导数求函数的单调区间
例：求下列函数的单调区间．
(1)y＝2x3－3x(2)f(x)＝3x2－2lnx.
解：(1)由题意得y′＝6x2－3.
令y′＝6x2－3＞0，解得x＜－ 或x＞ ，
当x∈(－∞，－ )时，函数为增函数，当x∈( ，＋∞)时，函数也为增函数．
f′(x)＝ －4x＋ ≥0或f′(x)＝ －4x＋ ≤0，
即 －4x＋ ≥0或 －4x＋ ≤0在[1,2]上恒成立．即 ≥4x－ 或 ≤4x－ .
令h(x)＝4x－ ，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增，所以 ≥h(2)或 ≤h(1)，
即 ≥ 或 ≤3，解得a<0或0<a≤ 或a≥1.
题型三：利用导数解决不等式
当b＜0时，f(x)在(－1,1)上是增函数．
规律方法：
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式
f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．
2．导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论．
∴f(x)的增区间为( ，＋∞)，减区间为(0， )．
规律总结：
1．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写．
2．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接，如(1)题中的增区间．
变式训练：求下列函数的单调区间：
3.设函数f(x)＝ax－ －2lnx.
(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(2)＝0，且f′(x)＝a＋ － ，
∴a＋ －1＝0，∴a＝ .3分
∴f′(x)＝ ＋ － ＝ (2x2－5x＋2)，
对∀x∈(0,1)，φ(x)>φ(1)＝0，即当0<x<1时，g′(x)>0，故g(x)在(0,1)上为增函数．
方法规律：1．导数法求函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
(2)因为 ＝ ，所以g′(x)＝ .
设φ(x)＝x－1－lnx，则φ′(x)＝1－ .
当x>1时，φ′(x)＝1－ >0，φ(x)是增函数，
对∀x>1，φ(x)>φ(1)＝0，即当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上为增函数；
当0<x<1时，φ′(x)＝1－ <0，φ(x)是减函数，
例：讨论函数f(x)＝ (－1＜x＜1，b≠0)的单调性．
【思路探究】 (1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？(2)若先讨论x∈(0,1)上的单调性，能否判断f′(x)在(0,1)上的正负？b的取值对其有影响吗？
解：因f(x)的定义域为(－1,1)；函数f(x)是奇函数，∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性．
当f′(x)>0，x∈(0,1)时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递增．
当f′(x)<0，x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递减．
故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)f′(x)＝ －4x＋ ，若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，