4 第四次课、Maxwell方程组和波动方程

B
——Faraday电磁感应定律

AD

ds

V
dv
(2) 电位移矢量 D
电荷密度
——电场Gauss定律

AB ds 0
(3) ——磁场Gauss定律

CH

dl

A
(
J
D t
)

ds
(4)

磁场强度矢量 H
电流密度矢量
r J
r
位移电流矢量 JD r
3、均匀各向异性介质中
一般的有：
D

[
]E
(14)
[
]


xx yx
xy yy

xz yz

zx zy zz
(15)
称之为介电张量，是二阶张量，一般情况下，介电张量由9个非零 元素组成。
选取适当坐标如以介电主轴为坐标轴(对应的坐标就称为主坐标系)， 可以使得这个张量变成只有三个非0元素的对角张量：
——Maxwell-Ampère定律
r JD

1
4
D t
3
2、微分形式
对上述积分公式分别用Stokes公式：la
dl


(

a)

ds
和Gauss公式： a ds adV



E


B
t


(5) 电场强度矢量的旋度等于磁感应强度随时间的
变化率(负值)，即空间某一点磁通密度的变化
在该点周围产生一个环形电场。

D
(6)
电位移矢量的散度等于空间同一处的自由 电荷密度，即电位移矢量是由正电荷所在
点向外发散或向负电荷所在点汇聚。
B 0
(7) 磁场中任意一点的磁感应强度的散度恒等于


H

J
D
(8)
t
零，即磁场是无源场，没有起止点。
除了无线电波和光波之外，x射线、γ射线也是电磁波，只是波长短， 将电磁波按照波长或者频率排列，形成电磁波谱。
光谱区包括红外辐射、可见光和紫外辐射，可见光谱区只是电磁波 谱中波长在0.4μm到0.76μm的一段很窄的波段。
对于无色散各向均匀介质 0r 0r
1 c c (29)
1
B
3、均匀各向异性介质中
(11)
nn((HE22

E1) 0 H 1) 0
(18)

nn((DB22

D1 ) B1 )
0 0

F eE e B (21)
五、波动方程 1、无源空间的波动方程
2、有源空间的波动方程
D
是有源场

H和B是有旋无源场


E


B
t
(5)
两边求散度

(
E)

0



( B)
t


H

J
D
t
两边求散度
(8)

B 0
(7)
( H )

0


J

( D)
t
利用电荷守恒定律：

J

1 9 109
F
/
m

8.8542 1012
F
/
m
c 1 2.99794108 m / s
0 0
22
这与实际测得的真空中的数值很接近，1860年左右，Maxwell将之 作为重要依据，提出了光的电磁理论并预言了光就是一种电磁波。
1889年，Hertz发现了电磁波，观察了电磁波在金属表面的反射，在 石蜡棱镜中的折射，并证明电磁波和光波一样具有干涉、衍射和偏 振的现象。
F

eE
e
B
(20)
一个电量为Q体积为V的带电系统受到电磁场作 用的洛仑兹力密度为：
f

Q
E

Q
B


E


B


E
J
B
(21)
VV
18
五、波动方程
1、无源空间的波动方程 2、有源空间的波动方程
19
1、无源空间的波动方程
10
三、边值关系
电磁场总要穿过两种介质的分界面的。
这时，由于界面两侧的物质常数不同，可以设想，界 面两侧电磁场量将发生跃变而不连续。
根据积分形式的麦克斯韦方程组得：
nnnn((D((HBE2222DBHE11)11)))00S
(17)
E dl
C
r r rr r r
Ñ E dl C
E1 l1 E2 l2
R
r r r
(E2 E1) l2
R可以忽略

ds
A t r
B dsr
A0

0
A
t
B 边界两侧 的值有限
t
rr r
(E2 E1) l2 0

0
t

四个方程只有两个是独立的。 D
(6) 5
二、物质方程组
1、真空中 2、均匀各向同性介质中 3、均匀各向异性介质中
6

J E
各矢量满足物质方程：D


E
H

1
B

(9) ε——介电常数
(10) μ——导磁率
σ——导电率 (11)
1、真空中 B 0H (12a)


E


B
t
(5)

D
(6)

B 0
(7)


H

J
D
(8)
t
无源空间
J 0
0


E


B
(22)
t

D 0
(23)

B 0
(24)


H

D
(25)
t
下面讨论最简单的一种情况
20


E


B
第四次课、Maxwell方程组 和波动方程
内容 一、Maxwell方程组 二、物质方程组 三、边值关系 四、洛仑兹力 五、波动方程
1
一、Maxwell方程组
内容 1、积分形式 2、微分形式
2
1、积分形式

CE

dl


A
B t

ds
(1)

电场强度矢量 E
磁感强度矢量
x 0 0
[
]


0
y
0

(16)
0 0 z
9
纵论：
*电磁场的物质方程反映了所处介质的宏 观电磁性质，这个性质称为极化性质。
*真空和均匀各向同性介质的极化性质 与外场强度呈线性，方向相同；
*各向异性介质也与外场强度呈线性， 方向不同。强电磁场下，还呈非线性， 超出本课程范围。

r r
r
对于一般非磁性介质
r 1
n c

rr
r
(30)
介质的折射率
23
总结
一、Maxwell方程组
1、积分形式 2、微分形式

J E
(9) 1、真空中
二、物质方程组
D

E
2、均匀各向同性无色散介质中
(10)
三、边值关系 四、洛仑兹力
H

t

在没有电流的情况下，J 0
l1
A
ds
l2
图1
采用相同的方法可求出
H
的边界条件：
n (H2 H1) 0
这表明磁场强度的切向分量连续。
C 1 2
n
17
四、洛仑兹力
当一个电量为e，速度为的运动电荷位于电
磁场中时，将同时受到电场和磁场的作用力，称
为洛仑兹力，表示为：
n
(D2 D1) n 0
A1
A2
图3
1
界面
2
这说明，电位移矢量在界面两侧的法向分量是连续的。
16
4．磁场强度H 的边界条件
Maxwell-Ampère定律：

CH

dl

A
(
J

D ) t

ds
界面
结合图1所规定的 积分域，
h
并限定界面处 D为有限值，

B A

ds

B2

A2n

B1

A1n

R

A2
(B2

B1 )

n

0
(B2

B1 )

n

0
表明磁感应强度在界面两侧的法向分量是连续的
15

3．电位移矢量 D 的边界条件
电场Gauss定律

AD

ds

V
dv
h
结合图3规定的积分
域，在没有自由电荷 的导情出况D下的，边 界 0条，件可：
2
在界面两侧，电场强度的切 向分量连续。
E1
E2 E1
θ1 E2
θ2
界面
O
n
图2
14

2．磁场 B的边界条件
A1
扁盒的高度h→0
B2 B1
B1
1

界面
h
B2
上下面线度均
1
界面远远小于波长
2 O
2
n
An2
图图3 4

AB ds 0

n
为界面法线方向的单位矢量 为界面上的传导电流密度
S 为自由电荷(体)密度。
11
当不存在自由电荷、电流分布时
nnnn((D((HBE2222DBHE11)11)))00S
nn((HE22

E1) 0 H 1) 0
磁场强度的旋度等于引起该磁场的传导电流密度 和位移电流密度(电位移矢量随时间的变化率)之
和，也可这样理解：环形磁场可以由传导电流产
生，也可以由位移电流产生。
4
简单讨论


E


B
(5)
t

D
(6)

B 0
H J
D
(7) (8)
t
E
是涡旋场


B H 0r H (13b)
是介质的磁导率
r 是介质的相对磁导率
对于一般非磁性介质 r 1
对于导电介质，还有： J E (9)
它描述了介质中电流密度和电场强度矢量之间的关系，电导率 σ是一个量纲不为1的标量物质常数，单位是‘西门子/米(S/m)’。
真空中的电导率为0。 8

nn((DB22

D1 ) B1 )

0 0
(18)
E2t E1t
DH22nt

H t1 D1n
B2n B1n
(19)
下标n，t表示场的法向和切向分量。
可见，不存在自由电荷、电流分布时， 电场强度和磁场强度矢量的切向分量连续； 而电位移矢量和磁感应强度的法向分量连续。
1
2E
2 t 2
2B

2B t 2
(27)
r 2H

1
2
r 2H t 2


交变的电场 E 和磁场 B 以波的形式在物质常数为σ=0、μ、ε
无色散的介质里传播，其传播速度为：
1
(28)
对于真空
0 4 107 H / m


0

4
(26)
称为Laplace算符 同样

于是对于一维的情形，有：
r
r
2E(z,t) z 2


2E t 2
(26')
2B

2B t 2
(27)
公式(26)、(27)就是普通物理光
学里的波动方程。
21
2E

2E t 2
(26) 2 1

r
r 2E
24
预告： 几种光波及相关知识
25
0 4 107 H / m
——真空中的磁导率。

D 0E (12b)
0

4
1 9 109
F
/
m

8.85421012
F
/
m
——真空的介电常数。
7
2、均匀各向同性无色散介质中


D E 0r E (13a)
是介质的介电常数
r 是介质的相对介电常数
12
在界面处的条件(18)或(19)可利用积分形式的麦克斯韦方
程组来讨论

1．电场 E 的边界条件
长边长度l<<λ
界面
l1
C
A
1
h
ds
2
短边长度h<<l
规定矩形的周边为 逆时针方向为正
l2
图1
n 界面法线单位矢量的方向自 媒质1指向媒质2
积分面积元

ds自纸面 向外为正 B
(22)
t

H

D
t
两端对时间微分
(25) r r B H rr D E


(B ) 2E
t
t 2
r
( E)
r
r
( E) 2E
2

2 x 2

2 y 2

来自百度文库
2 z 2
2E

2E t 2
(E1 E2 ) l2
13
小矩形的取法是不唯一的，它可以在原位绕着界面的法线 n 旋转
只线要n保的持结n果。l2
，即可得到(E2

E1
) 垂直于界面或平行于界面法
这个结论可表示成：
n (E2 E1) 0
E1 cos1 E2 cos2
1
由此得出结论：