(完整版)《复变函数》考试试题与答案(十二)

合集下载

(完整版)《复变函数》考试试题与答案(十二)

《复变函数》考试试题（十二）一、判断题。

（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）1．设复数111z x iy =+及222z x iy =+，若12x x =或12y y =，则称1z 与2z 是相等的复数。

（）2．函数()Re f z z =在复平面上处处可微。

（）3．22sin cos 1z z +=且sin 1,cos 1z z ≤≤。

（）4．设函数()f z 是有界区域D 内的非常数的解析函数，且在闭域D D D =+∂上连续，则存在0M >，使得对任意的z D ∈，有()f z M <。

（）5．若函数()f z 是非常的整函数，则()f z 必是有界函数。

（）二、填空题。

（每题2分）1．23456i i i i i ⋅⋅⋅⋅= _____________________。

2．设0z x iy =+≠，且arg ,arctan 22y z x ππππ-<≤-<<，当0,0x y <>时，arg arctan y x=+________________。

3．若已知222211()(1)(1)f z x iy x y x y =++-++，则其关于变量z 的表达式为__________。

4以z =________________为支点。

5．若ln 2z i π=，则z =_______________。

6．1z dz z==⎰________________。

7．级数2461z z z ++++L 的收敛半径为________________。

8．cos nz 在z n <（n 为正整数）内零点的个数为_______________。

9．若z a =为函数()f z 的一个本质奇点，且在点a 的充分小的邻域内不为零，则z a =是1()f z 的________________奇点。

10．设a 为函数()f z 的n 阶极点，则()Re ()z a f z s f z ='=_____________________。

复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则Cz f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分） 1.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz __________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→nz z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re nz ze s ________，其中n 为自然数.9.zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=Cd zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0R e 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0R e 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）1、判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nnf .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz _________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________. 10.____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分) 1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dz z zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若nn ni nn z )11(12++-+=，则=∞→nz n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz _________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nz ze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()z f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-Czz z z e )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时nz M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

完整版)复变函数测试题及答案

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

(完整版)复变函数试题及答案

-5四123456五1一二三四2、、、、、、、、5、、、填（1611-计求将计计求设证使单判计B计证空e算函函算算将函明符选断算i1算明题n）9积数数积实单数：合题题题2题题（解，2分分积位在D条（（（，（（每不析fff2分圆件每每每z7每每小存zzz函CC3e小小小小小在题在zL数CIxz0=2题题题2题题区解的z221zzd1k402y321域2析z零226，共(Di分1k6a7，点分分分=1iD形0，x分z分80z且是zd，，，2，5内,c映,视））1满doC孤本共共共A±1解射iL答zs:足立质，2在…1析成题2134在的6的，x006C），z单情：2C所分分分(证，位a况f9有1i）））i y明圆的可23孤2711n：去)酌01C1立+w函52心情，1z奇iy数的邻给8点41D直域21的（2i，1线内n1f，分包9u，段分展zA式括，1，成也f0线15共洛在2性01n9朗）A变D21z0级处换内分数2的解1n）w留（析,数并nL指z1出,2 收敛）的域函数____________________________________________________________________________________________________________ f z
1 解： C 的参数方程为： z=i+t, 0 t 1 dz=dt
x
y
ix 2
dz ＝
1
t
1
it 2 dt =
1
i
C
0
23
2 解: z 1为 f z 一阶极点
z 1 为 f z 二阶极点
2
2k
1, 2 ) ， 4 ei ln 2 e 4
(k=0, 1, 2 )
5
i , 6 0, 7

复变函数复习题详细答案

复变函数复习题详细答案复变函数复习题详细答案如下：1. 复数的代数形式和几何解释复数 $ z = a + bi $ 可以表示为平面上的一个点 $ (a, b) $，其中 $ a $ 是实部，$ b $ 是虚部。

复数的模 $ |z| $ 表示该点到原点的距离，即 $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $。

2. 复数的运算两个复数 $ z_1 = a + bi $ 和 $ z_2 = c + di $ 的加法和乘法运算如下：\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]3. 复数的共轭和模复数 $ z = a + bi $ 的共轭为 $ \overline{z} = a - bi $，模为 $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $。

4. 复数的指数形式复数 $ z $ 可以表示为指数形式 $ z = re^{i\theta} $，其中$ r = |z| $ 是模，$ \theta $ 是 $ z $ 的辐角，满足$ \cos\theta = \frac{a}{r} $ 和 $ \sin\theta = \frac{b}{r} $。

5. 复数的对数复数 $ z $ 的对数定义为 $ \log z = \log r + i\theta $，其中 $ r = |z| $，$ \theta $ 是 $ z $ 的主辐角。

6. 复数的导数设 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $ 是复函数，其中 $ z = x +iy $，则 $ f(z) $ 的导数为：\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partialv}{\partial x} \]前提是 $ u $ 和 $ v $ 的偏导数满足柯西-黎曼方程。

复变函数考试卷试题及答案

应用数理统计应用数理统计试题试题第 1 页共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）分）1．设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î，则()f z 的连续点集合为（的连续点集合为（）。

（A ）单连通区域）单连通区域（B ）多连通区域）多连通区域（C ）开集非区域）开集非区域（D ）闭集非闭区域）闭集非闭区域 2．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的（可微的（）。

()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3．下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（）。

()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4．设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ò（）。

()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5．设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=，那么()()Res ,0f z =（）。

()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题（15分，每空3分）分） 1．()Ln 1i -的主值为的主值为。

2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。

(完整版)复变函数试题及答案

C是复数其实部等于1D是复数其模等于1
2、下列命题正确的是（）
A B零的辐角是零
C仅存在一个数z,使得 D
3、下列命题正确的是（）
A函数在平面上处处连续
B 如果存在,那么在解析
C每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
D如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数
4、根式的值之一是（）
1、的指数形式是
2、 =
3、若0<r<1，则积分
4、若是的共轭调和函数，那么的共轭调和函数是
5、设为函数 = 的m阶零点，则m =
6、设为函数的n阶极点，那么 =
7、幂级数的收敛半径R=
8、是函数的奇点
9、方程的根全在圆环内
10、将点 ,i,0分别变成0,i, 的分式线性变换
二、单选题（每小题2分）
1 2 3 4 5
四计算题（每小题6分，共36分）
1解： , 分
…5分
解得: 分
2解：被积函数在圆周的内部只有一阶极点z=0
及二阶极点z=1 分
= 2i(-2+2)=0 分
3解：
= …4分
（ <2）…6分
4解: 被积函数为偶函数在上半z平面有两个
一阶极点i,2i…1分
I= …2分
= …3分
= …5分
A可去奇点B一阶极点C一阶零点D本质奇点
6、函数，在以为中心的圆环内的洛朗展式
有m个，则m=( )
A 1 B2C3 D 4
7、下列函数是解析函数的为（）
A B
C D
8、在下列函数中，的是（）
A B
C D
9、设a ，C： =1，则（）

(完整)复变函数_期末试卷及答案,推荐文档

复变函数与积分变换第 3 页共 6 页
23. 将函数 f (z)
1
在点 z 0 处展开为洛朗级数.
(z 1)(z 2)
dz
25. 计算 |z|3 (z 1)2 (z i)(z 4) .
四、综合题（共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）
2
25. 计算
1
d .
0 5 4 cos
A. 3 4i 的主辐角为 arctan 4 3
C. a rg(3 4i)2 2 arg(3 4i)
B. arg(3i) arg(i) D. z z | z |2
3．下列命题中，正确的是（）
A. z 1表示圆的内部
B. Re(z) 0 表示上半平面
C. 0 arg z 表示角形区域 4
19.
( 2)n
幂极数
n2
n 1
zn
的收敛半径为_______.
复变函数与积分变换第 2 页共 6 页
20. 设 z3 ，则映射在 z0 1 i 处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数 f (t) t 2 sin t ，则 f (t) 的拉氏变换等于____________.
15．已知 F () F[ f (t)] ，则下列命题正确的是（）
A. F[ f (t 2)] e2 j F ()
B. e2 j f (t) F 1[F ( 2)]
C. F[ f (2t)] 2F (2)
D. F[e2 jt f (t)] F ( 2)
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
解：设曲线 C 的参数方程为 C : z (2 3i)t 0 t 1.

复变函数考试题及答案

复变函数考试题及答案一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列哪个不是复数的实部？A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案：B2. 设z = x + yi，其中x和y都是实数，若z和z*的虚部相等，则x和y满足的关系是：A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案：C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数，若f(z)满足Cauchy-Riemann方程，则u和v满足的关系是：A. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x，∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x，∂u/∂x = -∂v/∂y答案：A4. 设f(z)是复平面上的解析函数，若f(z)的实部为2x^2 + 3y，则f(z)的虚部为：A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案：C5. 若f(z) = z^3，其中z为复数，则f(z)的导数为：A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案：A......二、计算题（共60分）1. 计算下列复数的模和辐角：（1）z1 = 3 + 4i（2）z2 = -2 + 2i（3）z3 = -4 - 3i答案：（1）|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5，arg(z1) = arctan(4/3)（2）|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2)，arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4（3）|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5，arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3，且arg(z-2) = π/3，求z的值答案：由题意得，z-2的模为3，即|z-2| = 3，且z-2的辐角为π/3，即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义，可以得到：3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到：Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i，可以计算得到：z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式，并计算z^3的值。

复变函数试题库(含答案)

复变函数一、选择题1. 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是（ C ）时, )(z f 在D 内解析. A. 可导函数B.调和函数C.共轭调和函数2、复积分()nCdzz a -⎰的值为（ B ） (A) 0 (B) 0;2(C)(D)2i i ππ不存在 3、0z =是sin ()zf z z=的奇点类型是（ D ） (A) (B) (C)(D) 一阶极点本性奇点不是奇点可去奇点 4、计算12()i eπ-的结果是（ B ）(A) (B) (C)(D)i i i ±-05、下列函数在z S 处处解析的是（ C ）(A) (B) (C)(D)z z e z z z e z zRe z f()=f()=f()=f()= 6．当x 〈0, y 0≥时,argz=( C ).A. π-x y arctan; B. x yarctan ; C π+x y arctan ; D. π2arctan +xy.7．argz 1z 2=( A )..A ．argz 1+argz 2; B. argz 1+argz 2+2k π(k 是整数); C.argz 1+argz 2+2k 1π（k 1是某个整数）; D.argz 1+argz 2+π. 8.下列集合是有界闭区域的是（ C ） A 0<R z ≤;B Rez<2; C.1≤z 且Imz 0≥; D.1≥z 且 Rez>0 .9.方程z=t+)(R t ti∈在平面上表示的是（ B ）.A ．直线y=x; B. 双曲线 y=x1;C 椭圆周；D 圆周 10.函数)(z f =z 在0z =处（ A ）. A. 连续B. 可导C. 解析11.ii-+23=( A ). A ．i +1 i B +2. i C 32.+ i D -1.12.函数w=f(z)仅在点z 0可微，则w=f(z)在点z 0（ D ） A 解析； B 某邻域内处处解析； C.不解析。

复变函数考试题和答案

复变函数考试题和答案****一、选择题（每题5分，共30分）1. 复数 $ z = a + bi $ 的共轭复数为（）。

A. $ a - bi $B. $ a + bi $C. $ -a + bi $D. $ -a - bi $**答案：A**2. 复数 $ z = a + bi $ 的模长为（）。

A. $ \sqrt{a^2 + b^2} $B. $ \sqrt{a^2 - b^2} $C. $ \sqrt{a^2 + b} $D. $ \sqrt{a + b^2} $**答案：A**3. 函数 $ f(z) = \frac{1}{z} $ 在 $ z = 0 $ 处的性质是（）。

A. 可导B. 连续C. 可微D. 奇点**答案：D**4. 函数 $ f(z) = z^2 $ 在复平面上是（）。

A. 单叶函数B. 多叶函数C. 常数函数D. 线性函数**答案：A**5. 函数 $ f(z) = \sin(z) $ 是（）。

A. 整函数B. 亚纯函数C. 非解析函数D. 多项式函数**答案：A**6. 函数 $ f(z) = e^z $ 在复平面上是（）。

A. 整函数B. 亚纯函数C. 非解析函数D. 多项式函数**答案：A**二、填空题（每题5分，共20分）1. 复数 $ z = 3 + 4i $ 的共轭复数是 $ \_\_\_\_\_\_\_ $。

**答案：3 - 4i**2. 复数 $ z = 1 + i $ 的模长是 $ \_\_\_\_\_\_\_ $。

**答案：$ \sqrt{2} $**3. 函数 $ f(z) = z^3 $ 在 $ z = 1 $ 处的导数是 $ \_\_\_\_\_\_\_ $。

**答案：3**4. 函数 $ f(z) = \frac{1}{z-1} $ 的奇点是 $ \_\_\_\_\_\_\_ $。

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A)i (B)i - (C)1 (D)1- 2.设复数z 满足3)2(π=+z arc ,65)2(π=-z arc ,那么=z ( ) (A)i 31+- (B)i +-3 (C)i 2321+-(D)i 2123+- 3.复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式就是( ) (A))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i (B))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i (D))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系就是( ) (A)z z z z 222≥- (B)z z z z 222=- (C)z z z z 222≤- (D)不能比较大小５.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹就是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线６.一个向量顺时针旋转3π,向右平移３个单位,再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数就是( )(A)2 (B)i 31+(C)i -3 (D)i +3７.使得22z z =成立的复数z 就是( )(A)不存在的 (B)唯一的 (C)纯虚数 (D)实数８.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解就是( )(A)i +-43 (B)i +43 (C)i -43 (D)i --43９.满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合就是( ) (A)有界区域 (B)无界区域 (C)有界闭区域 (D)无界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线就是( )(A)中心为i 32-,半径为2的圆周 (B)中心为i 32+-,半径为２的圆周 (C)中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D)中心为i 32-,半径为２的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不就是圆周的为( ) (A)221=+-z z (B)433=--+z z (C))1(11<=--a azaz (D))0(0>=-+++c c a a z a z a z z12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A)i 44-- (B)i 44+ (C)i 44- (D)i 44+- 13.00)Im()Im(lim0z z z z x x --→( )(A)等于i (B)等于i - (C)等于0 (D)不存在14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件就是( ) (A)),(y x u 在),(00y x 处连续 (B)),(y x v 在),(00y x 处连续(C)),(y x u 与),(y x v 在),(00y x 处连续(D)),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为( )(A)3- (B)2- (C)1- (D)1 二、填空题1.设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=,则=z2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg3.设43)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5.以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６.不等式522<++-z z 所表示的区域就是曲线的内部７.方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线就是连续点与的线段的垂直平分线９.对于映射zi =ω,圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10.=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ,试求2+z 的取值范围.四、设0≥a ,在复数集C 中解方程a z z =+22、五、设复数i z ±≠,试证21zz+就是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM 、六、对于映射)1(21zz +=ω,求出圆周4=z 的像、七、试证１、)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+; ２、)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j Λ=≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ΛΛ2121、八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ,则存在0>δ,使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>、九、设iy x z +=,试证y x z y x +≤≤+2、十、设iy x z +=,试讨论下列函数的连续性:1、⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2、⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章解析函数一、选择题:1.函数23)(z z f =在点0=z 处就是( )(A)解析的 (B)可导的(C)不可导的 (D)既不解析也不可导 2.函数)(z f 在点z 可导就是)(z f 在点z 解析的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件也非必要条件3.下列命题中,正确的就是( )(A)设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x(B)若0z 就是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C)若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析 (D)若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析 4.下列函数中,为解析函数的就是( )(A)xyi y x 222-- (B)xyi x +2(C))2()1(222x x y i y x +-+- (D)33iy x +5.函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )(A)等于0 (B)等于1 (C)等于1- (D)不存在6.若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析,那么实常数=a ( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)2-7.如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零,且1)0(-=f ,那么在1<z 内≡)(z f ( )(A)0 (B)1 (C)1- (D)任意常数 8.设函数)(z f 在区域D 内有定义,则下列命题中,正确的就是(A)若)(z f 在D 内就是一常数,则)(z f 在D 内就是一常数 (B)若))(Re(z f 在D 内就是一常数,则)(z f 在D 内就是一常数 (C)若)(z f 与)(z f 在D 内解析,则)(z f 在D 内就是一常数 (D)若)(arg z f 在D 内就是一常数,则)(z f 在D 内就是一常数 9.设22)(iy x z f +=,则=+')1(i f ( )(A)2 (B)i 2 (C)i +1 (D)i 22+10.ii 的主值为( )(A)0 (B)1 (C)2πe (D)2π-e11.ze 在复平面上( )(A)无可导点 (B)有可导点,但不解析 (C)有可导点,且在可导点集上解析 (D)处处解析 12.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的就是( )(A))(z f 在复平面上处处解析 (B))(z f 以π2为周期(C)2)(iziz e e z f --= (D))(z f 就是无界的13.设α为任意实数,则α1( )(A)无定义 (B)等于1(C)就是复数,其实部等于1 (D)就是复数,其模等于1 14.下列数中,为实数的就是( )(A)3)1(i - (B)i cos (C)i ln (D)i e 23π-15.设α就是复数,则( )(A)αz 在复平面上处处解析 (B)αz 的模为αz(C)αz 一般就是多值函数 (D)αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1.设i f f +='=1)0(,1)0(,则=-→zz f z 1)(lim2.设iv u z f +=)(在区域D 内就是解析的,如果v u +就是实常数,那么)(z f 在D 内就是3.导函数xv i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为4.设2233)(y ix y x z f ++=,则=+-')2323(i f 5.若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=,那么=)(z f 6.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7.设z i z z f )1(51)(5+-=,则方程0)(='z f 的所有根为 8.复数ii 的模为 9.=-)}43Im{ln(i 10.方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数,若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=,则0=∂∂z w . 四、试证下列函数在z 平面上解析,并分别求出其导数 1.;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2.);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ,求22,dz wd dz dw 、六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程,但却不可导、七、已知22y x v u -=-,试确定解析函数iv u z f +=)(、八、设s ρ与n ρ为平面向量,将s ρ按逆时针方向旋转2π即得n ρ、如果iv u z f +=)(为解析函数,则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,(s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ρ,n ρ的方向导数)、九、若函数)(z f 在上半平面内解析,试证函数)(z f 在下半平面内解析、十、解方程i z i z 4cos sin =+、第三章复变函数的积分一、选择题:1.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2( )(A)i 6561- (B)i 6561+- (C)i 6561-- (D)i 6561+ 2.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc ⎰+-2)1)(1(为( ) (A)2i π (B)2i π- (C)0 (D)(A)(B)(C)都有可能 3.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz zzc c c 212sin ( ) （A ） i π2- (B)0 (C)i π2 (D)i π4 4.设c 为正向圆周2=z ,则=-⎰dz z zc2)1(cos ( ) (A)1sin - (B)1sin (C)1sin 2i π- (D)1sin 2i π5.设c 为正向圆周21=z ,则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )(A))1sin 1cos 3(2-i π (B)0 (C)1cos 6i π (D)1sin 2i π-6.设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(,其中4≠z ,则='）i f π(( ) (A)i π2- (B)1- (C)i π2 (D)17.设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零,c 为B 内任何一条简单闭曲线,则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )(A)于i π2 (B)等于i π2- (C)等于0 (D)不能确定 8.设c 就是从0到i 21π+的直线段,则积分=⎰cz dz ze ( )(A)21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9.设c 为正向圆周0222=-+x y x ,则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) (A)i π22(B)i π2 (C)0 (D)i π22- 10.设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1,则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) (A)ie π2 (B)eiπ2 (C)0 (D)i i cos 11.设)(z f 在区域D 内解析,c 为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D .如果)(z f 在c 上的值为2,那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )(A)等于0 (B)等于1 (C)等于2 (D)不能确定 12.下列命题中,不正确的就是( ) (A)积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 (B)2)(22≤+⎰cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段(C)若在区域D 内有)()(z g z f =',则在D 内)(z g '存在且解析 (D)若)(z f 在10<<z 内解析,且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零,则)(z f 在0=z 处解析13.设c 为任意实常数,那么由调与函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(就是 ( )(A)c iz +2(B) ic iz +2(C)c z +2(D)ic z +214.下列命题中,正确的就是( )(A)设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调与函数,则必有21v v = (B)解析函数的实部就是虚部的共轭调与函数 (C)若iv u z f +=)(在区域D 内解析,则xu∂∂为D 内的调与函数 (D)以调与函数为实部与虚部的函数就是解析函数15.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调与函数,则下列函数中为D 内解析函数的就是( )(A)),(),(y x iu y x v + (B)),(),(y x iu y x v -(C)),(),(y x iv y x u - (D)xv i x u ∂∂-∂∂ 二、填空题1.设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=⎰cdz z 22.设c 为正向圆周14=-z ,则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233.设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ,则=')3(f4.设c 为正向圆周3=z ,则=+⎰cdz zzz 5.设c 为负向圆周4=z ,则=-⎰c zdz i z e 5)(π 6.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7.设)(z f 在单连通域B 内连续,且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ,那么)(z f 在B 内8.调与函数xy y x =),(ϕ的共轭调与函数为9.若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部,则常数=a10.设),(y x u 的共轭调与函数为),(y x v ,那么),(y x v 的共轭调与函数为三、计算积分 1、⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2、⎰=++22422z z z dz. 四、设)(z f 在单连通域B 内解析,且满足)(1)(1B x z f ∈<-、试证１.在B 内处处有0)(≠z f ; ２.对于B 内任意一条闭曲线c ,都有0)()(=''⎰cdz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析,若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-,则),2,1()(!)()(Λ=≤n r r M n a fnn 、六、求积分⎰=1z zdz z e ,从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e 、七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界,对于任意给定的两个复数b a ,,试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =(刘维尔Liouville 定理)、八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析,且2)0(,1)0(='=f f ,试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值、九、设iv u z f +=)(就是z 的解析函数,证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂、十、若)(22y x u u +=,试求解析函数iv u z f +=)(、第四章级数一、选择题:1.设),2,1(4)1(Λ=++-=n n nia n n ,则n n a ∞→lim ( ) (A)等于0 (B)等于1 (C)等于i (D)不存在2.下列级数中,条件收敛的级数为( )(A)∑∞=+1)231(n ni (B)∑∞=+1!)43(n n n i(C) ∑∞=1n nn i (D)∑∞=++-11)1(n n n i3.下列级数中,绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in(B)∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nni (D)∑∞=-12)1(n nn n i 4.若幂级数∑∞=0n nnz c在i z 21+=处收敛,那么该级数在2=z 处的敛散性为( ) (A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)不能确定 5.设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 与∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ,则321,,R R R 之间的关系就是( )(A)321R R R << (B)321R R R >> (C)321R R R <= (D)321R R R == 6.设10<<q ,则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )(A)q (B)q1(C)0 (D)∞+ 7.幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 (B)2 (C)2 (D)∞+8.幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的与函数为 (A))1ln(z + (B))1ln(z -(D)z +11ln(D) z-11ln 9.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ,那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )(A)∞+ (B)1 (C)2π(D)π 10.级数Λ+++++22111z z z z的收敛域就是( ) (A)1<z (B)10<<z (C)+∞<<z 1 (D)不存在的11.函数21z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) (A))11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n(B))11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n(C))11()1(11<++-∑∞=-z z n n n (D))11()1(11<++∑∞=-z z n n n12.函数z sin ,在2π=z 处的泰勒展开式为( )(A))2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n(B))2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n(C))2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n(D))2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13.设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0,c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线,那么=-⎰c dz z z z f 2)()(( )(A)12-ic π (B)12ic π (C)22ic π (D))(20z f i 'π14.若⎩⎨⎧--==-+=ΛΛ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ,则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) (A)3141<<z (B)43<<z (C)+∞<<z 41 (D)+∞<<z 3115.设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个,那么=m ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题 1.若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散,那么该级数在2=z 处的收敛性为 .2.设幂级数∑∞=0n nn z c与∑∞=0)][Re(n nnz c 的收敛半径分别为1R 与2R ,那么1R 与2R 之间的关系就是 . 3.幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4.设)(z f 在区域D 内解析,0z 为内的一点,d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离,那么当d z z <-0时,∑∞=-=00)()(n n n z z c z f 成立,其中=n c .5.函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 .6.设幂级数∑∞=0n nnzc的收敛半径为R ,那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 .7.双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 . 8.函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 . 9.设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c,那么该洛朗级数收敛域的外半径=R . 10.函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 .三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ,则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列,试确定n a 满足的递推关系式,并明确给出n a 的表达式. 四、试证明 1.);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2.);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析,∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1.)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ、2.)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

复变函数考试题及答案

复变函数考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则以下关系式中正确的是（）。

A. u_x = v_yB. u_y = -v_xC. u_x = -v_yD. u_y = v_x答案：B2. 复变函数中，柯西-黎曼方程成立的条件是（）。

A. u和v都是调和函数B. u和v都是解析函数C. u和v都是连续函数D. u和v都是可微函数答案：D3. 以下哪个函数是解析函数？（）A. f(z) = |z|B. f(z) = z^2C. f(z) = z^3D. f(z) = z^4答案：B4. 函数f(z)=e^z的实部和虚部分别是（）。

A. u(x,y)=e^x*cos(y), v(x,y)=e^x*sin(y)B. u(x,y)=e^x*sin(y), v(x,y)=e^x*cos(y)C. u(x,y)=e^x*cos(y), v(x,y)=e^x*sin(y)D. u(x,y)=e^x*sin(y), v(x,y)=e^x*cos(y)答案：C5. 以下哪个函数是多值函数？（）A. f(z) = log(z)B. f(z) = sin(z)C. f(z) = cos(z)D. f(z) = z^2答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 若f(z)=z^2，则f'(z)=________。

答案：2z2. 函数f(z)=z+1/z的极点是________。

答案：z=03. 函数f(z)=1/z的留数在z=0处为________。

答案：14. 函数f(z)=z^3的导数是________。

答案：3z^25. 函数f(z)=e^z的导数是________。

答案：e^z三、解答题（每题10分，共30分）1. 证明函数f(z)=z^2是解析函数，并求其导数。

答案：函数f(z)=z^2是解析函数，因为其满足柯西-黎曼方程。

设z=x+iy，则f(z)=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy。

复变函数试题及答案解析

复变函数试题及答案解析一、选择题（每题3分，共15分）1. 若复数z满足|z|=1，则z的辐角的取值范围是（）。

A. [0, 2π)B. [0, π]C. [0, π/2]D. [π/2, 3π/2]答案：A解析：复数z的模长|z|=1表示z在复平面上位于单位圆上，因此其辐角可以取遍[0, 2π)范围内的所有值。

2. 函数f(z)=1/z在z=0处（）。

A. 可导B. 不可导C. 连续D. 间断答案：B解析：函数f(z)=1/z在z=0处没有定义，因此不可导。

3. 函数f(z)=z^2在z=i处的导数为（）。

A. 2iB. -2iC. -2D. 2答案：A解析：根据复变函数的导数定义，f'(z)=2z，代入z=i得到f'(i)=2i。

4. 若f(z)是解析函数，则以下哪个选项是正确的（）。

A. f(z)的实部和虚部都是调和函数B. f(z)的实部和虚部都是解析函数C. f(z)的实部和虚部都是连续函数D. f(z)的实部和虚部都是可导函数答案：A解析：解析函数的实部和虚部都是调和函数，这是解析函数的基本性质之一。

5. 以下哪个函数不是解析函数（）。

A. f(z)=sin(z)B. f(z)=e^zC. f(z)=z^2D. f(z)=|z|答案：D解析：解析函数在其定义域内处处可导，而函数f(z)=|z|在z=0处不可导，因此不是解析函数。

二、填空题（每题4分，共20分）6. 复数z=3+4i的共轭复数为______。

答案：3-4i解析：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，因此z=3+4i的共轭复数为3-4i。

7. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的实部为______，虚部为______。

答案：u(x,y)；v(x,y)解析：根据复变函数的表示，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)为实部，v(x,y)为虚部。

8. 若f(z)在区域D内解析，则f(z)满足柯西-黎曼方程，即______。

复变函数考试题及答案

复变函数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 复变函数中，以下哪个选项是解析函数的必要条件？A. 函数在定义域内连续B. 函数在定义域内可导C. 函数在定义域内满足柯西-黎曼方程D. 函数在定义域内处处有界答案：C2. 如果函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析的，则以下哪个等式成立？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = -∂v/∂xC. ∂u/∂x = -∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x答案：B3. 在复平面上，以下哪个区域是单连通的？A. 整个复平面B. 去掉原点的复平面C. 去掉实轴的复平面D. 去掉单位圆的复平面答案：A4. 复变函数的柯西积分定理适用于以下哪种情况？A. 函数在整个复平面上解析B. 函数在简单连通域内解析C. 函数在任意区域解析D. 函数在任意区域连续答案：B5. 对于解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，以下哪个等式是正确的？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = -∂v/∂x答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果f(z)是解析函数，且f(z)=z^2，则f'(z)=________。

答案：2z2. 函数f(z)=1/z在z=0处是________。

答案：无定义的3. 函数f(z)=e^z的导数是________。

答案：e^z4. 函数f(z)=z^n（n为正整数）的n阶导数是________。

答案：n!5. 函数f(z)=sin(z)的解析延拓是________。

答案：sin(z)三、计算题（每题10分，共20分）1. 计算积分∮_C z^2 dz，其中C是由z=1和z=i围成的矩形的边界。

答案：02. 计算积分∮_C (z^2-1)/z dz，其中C是单位圆|z|=1的正向边界。

答案：2πi四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明如果f(z)是解析函数，且f(z)在某个区域内有界，则f(z)在该区域内是常数函数。

复变函数考试答案

复变函数考试答案单选题（共40题，每题2分）1 .• A.充分• B.必要• C.充要• D.以上都不对2 .• A.只有一个• B.至少一个• C.没有• D.无法确定3 .• A.•• B.•• C.•• D.•4 .• A.•• B.•• C.•• D.•5 .• A.•• B.•• C.•• D.•6 .• A.•• B.•• C.•• D.•7 .• A.•• B.•• C.-1• D.18 .• A.•• B.•• C.•• D.•9 .• A.条件收敛• B.绝对收敛• C.发散• D.以上都不是• A.0• B.•• C.•• D.•11 .• A.连续• B.可导• C.可微• D.某一邻域内可微• A.•• B.•• C.•• D.•13 .• A.•• B.•• C.•• D.以上都不对14 .• A.直线• B.圆• C.双曲线• D.抛物线15 .• A.负实轴•• B.正实轴• C.实轴• D.单位圆16 .• A.•• B.•• C.•• D.•17 .• A.•• B.•• C.•• D.•18 .• A.第一、二、三• B.第二、三、四• C.第三、四、一• D.第四、一、二19 .• A.•• B.•• C.•• D.•20 .• A.三点共圆• B.三点共线• C.•• D.•••••• A.•• B.•• C.•• D.023 .• A.无关• B.有关• C.不一定有关• D.与方向有关24 .• A.1• B.2• C.•• D.•25 .• A.单值• B.有限的多值• C.无限多值• D.以上都不对26 .• A.必要非充分• B.充分非必要• C.充分必要• D.以上都不对27 .• A.•• B.•• C.•• D.•28 .• A.3• B.•• C.•• D.•29 .• A.•• B.•• C.•• D.•• A.三级极点• B.三级零点• C.可去奇点• D.本性奇点31 .• A.•• B.•• C.•• D.•32 .• A.•• B.•• C.•• D.•33 .• A.•• B.•• C.•• D.•••••35 .• A.极点•• B.非孤立奇点• C.本性奇点• D.可去奇点36 .• A.零点• B.一级极点• C.二级极点• D.三级极点37 .• A.•• B.•• C.•• D.•38 .• A.•• B.•• C.•• D.•••••• A.•• B.•• C.•• D.•多选题（共10题，每题2分）1 .• A.不连续• B.连续• C.不可微• D.可微• E.解析2 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•3 .••• B.•• C.•• D.•• E.•4 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.••••••6 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•7 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•8 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•9 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•10 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•。

(完整版)复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数xvix u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dz w d dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量，将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）.九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a f nn .六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i（C ） ∑∞=1n nni （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i （D ）∑∞=-12)1(n nn n i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题 1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z z e e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

复变函数试题及答案

复变函数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个函数在全平面上是解析的？A. f(z) = |z|^2B. f(z) = e^zC. f(z) = ln(z)D. f(z) = 1/z答案：B2. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

下列哪个条件是解析函数的充分必要条件？A. u满足柯西-黎曼方程B. v满足柯西-黎曼方程C. u和v满足柯西-黎曼方程D. u和v的一阶偏导数满足柯西-黎曼方程答案：C3. 设f(z) = u(r, θ)是解析函数，其中r和θ是极坐标系下的变量。

下列哪个条件是解析函数的充分必要条件？A. u满足极坐标下的柯西-黎曼方程B. f(z)在全平面上是解析的C. f(z)在圆心附近是解析的D. f(z)在正实轴上是解析的答案：A4. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

若u和v满足柯西-黎曼方程，则A. f(z)在全平面上是解析的B. f(z)在实轴上是解析的C. f(z)在虚轴上是解析的D. f(z)在解析的那部分上满足柯西-黎曼方程答案：A5. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

若f(z)在实轴上是解析的，则A. u(x, y)在全平面上是解析的B. v(x, y)在全平面上是解析的C. u(x, y)和v(x, y)满足柯西-黎曼方程D. u(x, y)和v(x, y)处处可微分答案：C二、填空题（每空5分，共30分）1. 若f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi是解析函数，则它的共轭函数为________。

答案：f*(z) = x^2 - y^2 - 2xyi2. 设f(z) = u(x, y)是解析函数，且满足柯西-黎曼方程的实部形式，则函数f(z)可表示为f(z) = ________。

(完整版)复变函数试题及答案

2、计算积分
5z 2 z 2 z( z 1)2 dz
3、将函数 f z z 1 在 z 1的邻域内展成泰勒级数 , 并指出收敛范围 z1
x2
4、计算实积分 I= 0
(x2
1)( x 2
dx 4)
5、求 f ( z)
1 1 z2 在指定圆环 2
zi
内的洛朗展式
6、求将上半平面 Im z 0 共形映射成单位圆 w 1的分式线性变换
I=
1 2
(x2
x2 1)( x 2
dx 4)
= 1 2 i Re s f ( z) Resf (z)
2
zi
z 2i
z2
=i (z
i )( z2
4) z i
z2 ( z2 1)( z 2i ) z 2i
= 6
5 解： f ( z)
1
( z i)( z i )
1
1
=
2
(z i) 1
2i
zi
= 6 解:
1
(z
i)2
n
(
0
1) n
(2i )n (z i )n
w =L(i)=k z i zi
2i
w
k (z
i)2
2 zi
-3 -
6分
…4 分 …６分 …1 分 …2 分 …3 分 …5 分 …6 分 …1 分 …3 分
…6 分 2分
…3 分
____________________________________________________________________________________________________________
w L z ，使符合条件 L i 0 ， L i 0