(完整版)《复变函数》考试试题与答案(十二)

《复变函数》考试试题（十二）

一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）

1．设复数111z x iy =+及222z x iy =+，若12x x =或12y y =，则称1z 与2z 是相等的复数。（ ）

2．函数()Re f z z =在复平面上处处可微。 （ ）

3．22sin cos 1z z +=且sin 1,cos 1z z ≤≤。 （ ）

4．设函数()f z 是有界区域D 内的非常数的解析函数，且在闭域D D D =+∂上连续，则存在0M >，使得对任意的z D ∈，有()f z M <。 （ ）

5．若函数()f z 是非常的整函数，则()f z 必是有界函数。（ ）

二、填空题。（每题2分）

1．23456i i i i i ⋅⋅⋅⋅= _____________________。

2．设0z x iy =+≠，且arg ,arctan 22

y z x π

πππ-<≤-<<，当0,0x y <>时，arg arctan y x

=+________________。 3．若已知222211()(1)(1)f z x iy x y x y =+

+-++，则其关于变量z 的表达式为__________。

4以z =________________为支点。

5．若ln 2z i π

=，则z =_______________。

6．1z dz z

==⎰________________。 7．级数2461z z z ++++L 的收敛半径为________________。

8．cos nz 在z n <（n 为正整数）内零点的个数为_______________。

9．若z a =为函数()f z 的一个本质奇点，且在点a 的充分小的邻域内不为零，则z a =是1()

f z 的________________奇点。 10．设a 为函数()f z 的n 阶极点，则()Re ()

z a f z s f z ='=_____________________。

三、计算题（50分）

1．设区域D 是沿正实轴割开的z 平面，求函数w =在D 1=-的单值连续解析分支在1z i =-处之值。 （10分）

2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分）

（1）2n ()1

L z f z z =-的各解析分支在1z =各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数 （10分） （2）求10Re z

n z e s z

+=。 （5分） 3．计算下列积分。（15分）

（1）7

2322(1)(2)

z z dz z z =-+⎰ （8分）， （2）2222(0)()x dx a x a +∞

-∞>+⎰ （7分）。

4．叙述儒歇定理并讨论方程66100z z ++=在1z <内根的个数。（10分）

四、证明题（20分）

1．讨论函数()z f z e =在复平面上的解析性。 （10分）

2．证明：

21()2!!

n z n

n C z e d z i n n ξξπξξ⋅=⎰。 此处C 是围绕原点的一条简单曲线。（10分）

《复变函数》考试试题（十二）参考答案

一、判断题.

1. ×

2. ×

3. ×

4. √

5. ×

二、填空题.

1. 1-

2. ()π-

3. 1()f z z z

=+ 4. 0,∞ 5. i 6. 2π 7. 1 8.

2

21n π- 9.本性 10. π-

三、计算题.

1.解：arg 2155z k i k w z e

π+= 0,1,2,3,4k =

1=- 得251k i e ππ+-= 从而有2k =

411410510233(1)22(cos sin )44w i e

i i ππππ-+-=⋅=+=

2.解：（1）2()1Lnz f z z =-的各解析分支为2ln 2()1

k z k f z z π+=-，(0,1,)k =±L . 1z =为0()f z 的可去奇点，为()k f z 的一阶极点(0,1,)k =±L 。

0Re ((),1)0s f z = Re ((),1).k s f z k i π= (1,2,)k =±±L

（2）1100011Re Re !!z

n n n z z n e z s s z z n n ∞++===⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦

∑ 3.计算下列积分

解：（1）7232322

1()12(1)(2)(1)(1)z f z z z z z z ==-+-+ 1Re (,)1s f C -∞=-=-

2()2[Re (,)]2z f z dz i s f i ππ==-∞=⎰

（2）设22

22222()()()()

z z f z z a z ai z ai ==++- 令22()()z z z ai ϕ=+， 3

2()()aiz z z ai ϕ'=+ 则23()

2()1Re (,)1!(2)4ai ai s f ai i ai a

ϕ'===- Im 0

()2Re (,)2z f z dz i s f ai a ππ>==⎰ 2222()2x dx x a a

π+∞-∞=+⎰ 4.儒歇定理：设c 是一条围线，()f z 及()z ϕ满足条件：

（1）它们在c 的内部均解析，且连续到c ；

（2）在c 上，()()f z z ϕ>

则f 与f ϕ+在c 的内部有同样多零点，

即()10f z = 6

()6g z z z =+有 ()()f z g z >