N次方根的概念精品PPT课件
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课件2：4.1.1 n次方根与分数指数幂
[解]
4 (
(x－1))4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0， ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.
名师提醒 有限制条件根式的化简策略
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被 开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当 根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开 方数或被开方的表达式的正负．
题型三 有限制条件的根式化简 典例 3 设 x∈[1,2]，化简(4 x－1)4＋6 x2－4x＋43.
[解]
4 (
x－1)4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0. ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
变式 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件 不变，化简求值．
2．若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是________．
[解析] 要使4 x－2有意义，则需 x－2≥0，即 x≥2. 因此实数 x 的取值范围是[2，＋∞)． [答案] [2，＋∞)
题型二 简单根式的化简与求值 典例 2 化简下列各式： (1) 5 －25；(2) 4 －104； (3) 4 －92；(4) 4 a－b4.
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标 1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 2．正确运用根式运算性质化简、求值． 3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
要点梳理 1．根式的概念 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ，其 中 n>1，且 n∈N*. (1)当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数 的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号
n次方根课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
r
r
r
当n为奇数时，a的n次方根是 n a 。
当n为偶数时，正数a的n次方根是
0的任何次方根都是0.
a
n
，负数没有偶次方根。
2.根式
根指数
n
a
根式
被开方数
根式的性质1:
思考：
中a的取值范围是什么？
题组3：计算：2
3
3
3.根式的性质2：
， 2
3
3
， 2
4
4
， 2
10
2
2 (2 ) 2 2 ;
10
3
4
5
5 2
5
12
3
3 3 (3 ) 3 3 ;
12
4 3
4
12
4
a12 4 (a 3 )4 a 3 a ;
a (a ) a a
10
5
2 5
2
10
5
结论:当根式的被开方数的指数能
被根指数整除时,根式可以表示为
分数指数幂的形式.
例1：求下列各式的值：
根式化简或求值的注意点:
(1) 8
3
3
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式
(2) 10
2
为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性
(3) 3
4
(4) a b
3
质进行化简或求值．
4
3
(5) 3 2 2
a b
2
若开偶次方根，注意要带上绝对值然后再化简;
m
a n 1m 1 (a 0, m , n N , 且n 1)
r
r
当n为奇数时，a的n次方根是 n a 。
当n为偶数时，正数a的n次方根是
0的任何次方根都是0.
a
n
，负数没有偶次方根。
2.根式
根指数
n
a
根式
被开方数
根式的性质1:
思考：
中a的取值范围是什么？
题组3：计算：2
3
3
3.根式的性质2：
， 2
3
3
， 2
4
4
， 2
10
2
2 (2 ) 2 2 ;
10
3
4
5
5 2
5
12
3
3 3 (3 ) 3 3 ;
12
4 3
4
12
4
a12 4 (a 3 )4 a 3 a ;
a (a ) a a
10
5
2 5
2
10
5
结论:当根式的被开方数的指数能
被根指数整除时,根式可以表示为
分数指数幂的形式.
例1：求下列各式的值：
根式化简或求值的注意点:
(1) 8
3
3
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式
(2) 10
2
为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性
(3) 3
4
(4) a b
3
质进行化简或求值．
4
3
(5) 3 2 2
a b
2
若开偶次方根，注意要带上绝对值然后再化简;
m
a n 1m 1 (a 0, m , n N , 且n 1)
n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人必修第一册
计算： (4^4)^(1/4)
计算： (5^5)^(1/5)
05
n次方根与分数指数幂的应用
n次方根在解决实际问题中的应用
计算器：利用n 次方根进行数值 计算
工程设计：利用 n次方根进行尺 寸和比例的计算
物理学：利用n 次方根进行能量 和功率的计算
化学：利用n次 方根进行浓度和 反应速率的计算
分数指数幂在解决实际问题中的应用
n次方根的运算性质
n次方根的定义：如果一个数x的n次方等于a，那么x就是a的n次方根。 n次方根的性质：n次方根具有封闭性、结合性和分配性。 封闭性：n次方根的结果是一个实数，且满足a^n=b^n，则a=b。 结合性：n次方根的结果可以参与四则运算，且满足a^(m+n)=a^ma^n。 分配性：n次方根的结果可以参与乘除运算，且满足a^(m/n)=a^m/a^n。
应用场景：解 方程、化简表 达式、求值域
等
示例：a^2 + b^2 = (a^2 + b^2)^(1/2)
= (a^2 + b^2)^(1/2)
注意事项：指 数为分数时， 底数不能为0， 否则公式不成
立
04
n次方根与分数指数幂的运算
n次方根与分数指数幂的运算顺序
先进行n次方根的运算，再计算 分数指数幂
遵循先算括号内，再算括号外 的原则
遵循先乘除，后加减的原则
遵循先算指数，再算底数的原 则
运算的优先级
如果有括号，先计算括号内 的运算
同级运算，从左到右进行计 算
先进行分数指数幂的运算， 再计算n次方根
如果有负指数幂，先计算负 指数幂的运算
运算的实例
计算： (2^2)^(1/3)
计算： (3^3)^(1/2)
4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
n次方根与分数指数幂课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
27
根式的概念
式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
根式
根指数
n
被开方数
a
根式的性质：
1. 1)
2 2
4
4
5
2)
-6
5
6
0 0
4
4
3)
4)
6 6
5
5
( a) a
n
2. 1)
4
2
4
2
4
2)
n
n
(2) 2 3)
4
5
(6)
a, n为奇数
, ≥ -,
(3)
-, < -
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为 (-)( -) =
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
无理数指数幂
4．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
3
答案 1a
2
3
－4
2
a b
3
ab2(a>0，b>0)．
2
3
• 3 a 2 a3 • a a
3
2
3
a ,
a 4b 2 • 3 ab 2 a 4b 2 • ab
11
3
1
2 3
1
3
a
根式的概念
式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
根式
根指数
n
被开方数
a
根式的性质：
1. 1)
2 2
4
4
5
2)
-6
5
6
0 0
4
4
3)
4)
6 6
5
5
( a) a
n
2. 1)
4
2
4
2
4
2)
n
n
(2) 2 3)
4
5
(6)
a, n为奇数
, ≥ -,
(3)
-, < -
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为 (-)( -) =
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
无理数指数幂
4．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
3
答案 1a
2
3
－4
2
a b
3
ab2(a>0，b>0)．
2
3
• 3 a 2 a3 • a a
3
2
3
a ,
a 4b 2 • 3 ab 2 a 4b 2 • ab
11
3
1
2 3
1
3
a
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)(3)
x a
如果x4=a，那么x叫做a的四次方根
如果x5=a，那么x叫做a的五次方根
3
x?
x?
……
如果xn=a ，那么x叫做a的n次方根
x?
a
4
9
0
-4
-9
a的平
方根
±2
±3
0
a的立
a
方根
27 3
8
2
0
0
-8 -2
-27 -3
a的四
a 次方根
81 ±3
16 ±2
0
0
-16
-81
a的五
a 次方根
32
(2 + 1)2 + (2 − 3)2
= 2 + 1 + 2 − 3 =
3
4 − 2, >
2
1
3
4, − ≤ ≤
2
2
1
−4 + 2, < −
2
由图像可知最小值为4
谢谢
知识像一艘船让它载着我们驶向理想的
……
=___________________(a>0)
= =
也就是说，当根式的被开方数(看成幂的情势)的指数能被根指数整除
时，根式可以表示成分数指数幂的情势.
思考 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示
为分数指数幂的情势呢？
事实上，任何一个根式都可以表示为分数指数幂的情势，例如：
, ≥ ,
−, < ,
是实数 的n次方，在 有意义的前提下，实数a的取值
高数数学必修一《4.1.1n次方根与分数指数幂》教学课件
m
n
(2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a 有时有意义，有
1
3
1
2
3
时无意义，如 −1 ＝ m−1＝－1，但 −1 就不是实数了，为了保证
m
在 取任何有理数时，a n 都有意义，所以规定a＞0.
n
2
4
(3)注意幂指数不能随意约分．如 −4 ＝
1
2
4
−4 2 ＝ −4
2
1
4
＝2，而
−4 ＝ −4在实数范围内无意义．
2
3
π
＝________．
2
4
+9×
3 3 3
4
＝π－2＋1＋
2
9
9
× 4＝π.
课堂小结
1. 根式的性质化简求值．
2．根式与分数指数幂的互化．
3．有理数指数幂的运算性质进行化简求值．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根；
0＝0
(2)0的任何次方根都是0，记作________；
n
(3)当n为奇数时， an ＝a； ， ≥ 0,
ቊ
n n
－，＜0 .
当n为偶数时， a ＝|a|＝__________
【即时练习】
1．二次根式 x 2 ＝－x成立的条件是(
A．x>0
B．x≠0
＝22＝2 ，你能发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根
指数整除时，可以将根式改用什么形式表示？
提示：分数指数幂的形式．
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).
(1)a2 ；(2) ；
3
(3) 2 · 3 ；(4)( 3 )2· 3 .
n
(2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a 有时有意义，有
1
3
1
2
3
时无意义，如 −1 ＝ m−1＝－1，但 −1 就不是实数了，为了保证
m
在 取任何有理数时，a n 都有意义，所以规定a＞0.
n
2
4
(3)注意幂指数不能随意约分．如 −4 ＝
1
2
4
−4 2 ＝ −4
2
1
4
＝2，而
−4 ＝ −4在实数范围内无意义．
2
3
π
＝________．
2
4
+9×
3 3 3
4
＝π－2＋1＋
2
9
9
× 4＝π.
课堂小结
1. 根式的性质化简求值．
2．根式与分数指数幂的互化．
3．有理数指数幂的运算性质进行化简求值．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根；
0＝0
(2)0的任何次方根都是0，记作________；
n
(3)当n为奇数时， an ＝a； ， ≥ 0,
ቊ
n n
－，＜0 .
当n为偶数时， a ＝|a|＝__________
【即时练习】
1．二次根式 x 2 ＝－x成立的条件是(
A．x>0
B．x≠0
＝22＝2 ，你能发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根
指数整除时，可以将根式改用什么形式表示？
提示：分数指数幂的形式．
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).
(1)a2 ；(2) ；
3
(3) 2 · 3 ；(4)( 3 )2· 3 .
《N次方根的概念》课件
N次方根的性质
1 唯一性
每个数的N次方根是唯一的。
3 次序
随着N次方的增加，根的值逐渐变小。
2 符号
根的符号与被开方数的符号相同。
4 扩展性
N次方根的计算方法可以扩展到负数和分数次 根。
实际应用举例
1
பைடு நூலகம்工程测量
使用N次方根计算物体的长度和体积。
2
金融利率计算
利息计算和复利计算涉及到N次方根的使用。
《N次方根的概念》
欢迎来到《N次方根的概念》幻灯片课件！今天我们将深入探讨什么是N次方 根以及它的计算方法和性质。
什么是N次方根？
N次方根是一个数学概念，用于求解一个数的平方、立方或任意次方的倒运算。 它告诉我们一个数的N次方等于给定的数。
N次方根符号表示
N次方根符号
我们使用√代表二次方根，³√代表三次方根，ⁿ√ 代表任意次方根。
3
科学研究
在各个科学领域，N次方根都是求解方程和计算数据的重要工具。
结论和要点
结论
通过学习N次方根的概念，我们了解了它的计算方 法和性质，以及其在实际应用中的重要性。
要点
• 每个数的N次方根是唯一的。 • 根的符号与被开方数的符号相同。 • 根的值随着N次方的增加而逐渐变小。 • N次方根可应用于工程、金融和科学领域。
数学符号例子
比如，√4表示2的二次方根，³√27表示3的三次方 根。
N次方根的计算方法
整数次幂求根
如果给定数是一个整数的N次方， 那么求N次方根就可以通过取整 除法来计算。
小数次幂求根
如果给定数是一个小数的N次方， 我们可以使用逼近和迭代方法 来计算。
复杂数求根
对于复杂数的N次方根，我们需 要使用极坐标和复数运算进行 计算。
高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质课件 新人教A版必修1
碳14含量P的值为原来
ห้องสมุดไป่ตู้故知新
• 如果一个正方形的面积为a，那 么它的边长为多少？
如果一个正方体的体积为a，那么它的棱长 为多少？ 回顾平方根和立方根的定义？
借水行舟 • 探究一：n次方根的概念 如果一个实数 x 满足
那么
x a, x 叫做 a 的 n
n
(n 1, n N )
4 4
(2)
5
4
5
4
n n
(4) (8) 8
4 4
n为奇数时，a a a, a 0 n为偶数时，a a a, a 0 (n 1, n N )
n n
乘风破浪 • 例1求下列各式的值
(1) (3)
3 4
(8)3 (3 )
4
(2) (4)
(10) 2 ( a b) 2
乘风破浪 • 例2化简下列各式
(1) 3 2 2 (1 2) (1 2)
3 3 4 4
(2)若代数式 2 x 1 2 x有意义， 化简 4 x 4 x 1 2 ( x 2)
2 4 4
• 例3
3
乘风破浪
a的n次方 根
n
a
n
a
n a 无意义
0 0(n 1, n * )
( n a )n a a, a 0 n为偶数时，a a a, a 0
n n n n n为奇数时， a a
(n 1, n N )
课堂小结
类比
思想
数学 思想
分类
讨论 特殊到 一般
2.1.1 N次方根的概念及性质
问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20 年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到 7.3% 。如 果把我国2000年的GDP看成是1个单位，那么 （1）1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000年 的 (1 7.3%) 倍； （2）2年后（即2002年），我国的GDP可望为2000 2 (1 7.3%) 年的 倍； x年后，设我国的GDP可望为2000年的 y （ 3） 倍，则
n次方根与分数指数幂ppt课件
而已.
（2） 0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数
幂没有意义.
（3） 指数概念在引入了分数指数幂概念后 ，指数概念就
实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进
行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
③(ab)r=ar·
br(b>0)
④ar÷as=ar－s
r
(5)( ) =
(a>0,b>0,r∈R).
类比推广：实数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
为什么负数没有偶
次方根？
构建数学
二、根式运算性质
若n 1且n N , 则 :
①( n a ) n a
注 : n为奇数时, a R; n为偶数时, a 0.
a, n为奇数
②n a n
| a |, n为偶数
2
2 ____
2
3
3
(3 )3 _____
(5)a a
2
12
12
2
( a a 1 ) 2 a 2 a 2 2 25, a 2 a 2 23.
12 2
1
2
1
（2） 0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数
幂没有意义.
（3） 指数概念在引入了分数指数幂概念后 ，指数概念就
实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进
行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
③(ab)r=ar·
br(b>0)
④ar÷as=ar－s
r
(5)( ) =
(a>0,b>0,r∈R).
类比推广：实数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
为什么负数没有偶
次方根？
构建数学
二、根式运算性质
若n 1且n N , 则 :
①( n a ) n a
注 : n为奇数时, a R; n为偶数时, a 0.
a, n为奇数
②n a n
| a |, n为偶数
2
2 ____
2
3
3
(3 )3 _____
(5)a a
2
12
12
2
( a a 1 ) 2 a 2 a 2 2 25, a 2 a 2 23.
12 2
1
2
1
《n次根式》课件
n次根式的发展历程
早期起源
n次根式最早可追溯到古希腊数 学家，他们开始探索多边形的面 积和体积的计算方法，从而引入
了n次根式的概念。
中世纪发展
在中世纪，阿拉伯数学家进一步 发展了n次根式，将其应用于代
数和三角学等领域。
01
03
02 04
文艺复兴时期
欧洲文艺复兴时期，多位数学家 如笛卡尔、牛顿等都对n次根式 进行了深入研究，推动了其理论 的发展。
详细描述
对于根号内的复杂因式，我们可以尝 试将其有理化，以便更容易地处理。 例如，我们可以将$sqrt{a+b}$有理 化为$sqrt{a}+sqrt{b}$，从而简化表 达式。
03
n次根式的应用
解决实际问题
01
02
03
计算物理问题
在解决物理问题时，经常 需要使用n次根式来计算 速度、加速度、力等物理 量。
02
n次根式的化简
根号内的因式分解
总结词
通过因式分解，将根号内的表达式转换为易于处理的简单形 式。
详细描述
对于根号内的复杂表达式，我们可以尝试将其因式分解，以 便更容易地处理。例如，我们可以将$sqrt{a^2+b^2}$分解 为$sqrt{a^2}+sqrt{b^2}$，从而简化表达式。
根号内的有理化分母
金融计算
在金融领域，n次根式常 用于计算复利、折现率等 金融指标。
化学计算
在化学领域，n次根式用 于计算化学反应速率、平 衡常数等化学指标。
在数学其他领域的应用
代数方程求解
在求解代数方程时，n次根 式常用于求解一元或多元 方程。
微积分
在微积分中，n次根式用于 计算定积分、不定积分等 。
人教A版高中数学必修第一册 n次方根与分数指数幂 课件(2) (共27张PPT)
[跟踪训练一]
1. 化简：
n
(1)
x－πn(x＜π，n∈N*)；
6
(2)
4a2－4a＋1
a≤12
.
[解] (1)∵x＜π，∴x－π＜0.
当 n 为偶数时，n x－πn＝|x－π|＝π－x；
当 n 为奇数时，n x－πn＝x－π.
综上可知，n
x－πn＝
π－x，n x－π，n
为偶数，n∈N*， 为奇数，n∈N*.
a
相乘．
n
(5)0 的任何指数幂都等于 0.
(√) (√) ( √)
(×) ( ×)
2. 5 a-2 可化为(
A．a
-
2 5
)
5
B．a 2
2
C．a 5
答案：A
3
3．化简 25 2 的结果是( )
A．5 答案：D
B．15
C ．25
4．计算：π0＋2－2×214
1 2
＝________.
答案：11 8
-23 ;
(2)0.008-
2 3
;
(3)
81 2 401
-
3 4
;
(4)(2a+1)0;
(5)
5 6
-
3 5
-1
-1
.
解:(1)
125 27
-
2 3
53
-
2 3
33
5-2 3-2
32 52
295.
(2)0.
008-
2 3
=
(0.23
)-
2 3
=0.2-2=
1
-2
=52=25.
5
(3)
4.1 第1课时 n次方根公开课一等奖优秀课件
4.1 指 数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
第一课时 n次方根
课标要求
素养要求
1.理解n次方根、n次根式 理解n次方根及n次根式的
的概念.
概念，正确运用根式运算
2.能正确运用根式运算性 性质，化简求值，发展数
质化简求值.
学抽象及数学运算素养.
一、知识回顾
1、平方根
如果
x2
a ,那么 x叫做 a
x
的平方根；
a
x 3 a
2、立方根 如果 x3 a ,那么 x叫做 a 的立方根
观察归纳 形成概念
(2)4 16 -2和2称为16的四次方根
(2)5 32 -2称为-32的五次方根
二、n次方根定义：
如果一个数的 n次方等于a(n 1, n N *) 那么这个数叫做 a的 n次方根．
,
n为奇数
n a , n为偶数
33 27
3 3 27
(2)3 8
2 3 8
(2)5 32
(2)2 4
(3)2 9
2 5 32
2 4
3 9
(2)4 16
2 4 16
三、根式有关概念
根指数 根式
na
被开方数
2 x x (x 0)
x2 x (x R)
根式的运算性质：
n na a
n
an
a
a
n为奇数 n为偶数
课堂练习：判断题
1
5 2
5
2
(对); 2 4 (-2)4 2
(错);
4
3 4 2 2
(错); 413 513 5 (对);
5 2n b2n b (错); 6 4 b8 b2 (对);
第一课时 n次方根
课标要求
素养要求
1.理解n次方根、n次根式 理解n次方根及n次根式的
的概念.
概念，正确运用根式运算
2.能正确运用根式运算性 性质，化简求值，发展数
质化简求值.
学抽象及数学运算素养.
一、知识回顾
1、平方根
如果
x2
a ,那么 x叫做 a
x
的平方根；
a
x 3 a
2、立方根 如果 x3 a ,那么 x叫做 a 的立方根
观察归纳 形成概念
(2)4 16 -2和2称为16的四次方根
(2)5 32 -2称为-32的五次方根
二、n次方根定义：
如果一个数的 n次方等于a(n 1, n N *) 那么这个数叫做 a的 n次方根．
,
n为奇数
n a , n为偶数
33 27
3 3 27
(2)3 8
2 3 8
(2)5 32
(2)2 4
(3)2 9
2 5 32
2 4
3 9
(2)4 16
2 4 16
三、根式有关概念
根指数 根式
na
被开方数
2 x x (x 0)
x2 x (x R)
根式的运算性质：
n na a
n
an
a
a
n为奇数 n为偶数
课堂练习：判断题
1
5 2
5
2
(对); 2 4 (-2)4 2
(错);
4
3 4 2 2
(错); 413 513 5 (对);
5 2n b2n b (错); 6 4 b8 b2 (对);
n次方根的定义(精)
一、n 次方根的定义 引例（1）(±2)2＝４，则称±2为4的 ； （2）23=8，则称2为8的 ；（3）(±2)4=16，则称±2为16的 。
定义：一般地，如果x n =a (n>1,且n ∈N*),那么x 叫做a 的n 次方根。
记作,其中n 叫根指数,a 叫被开方数。
练习:(1)25的平方根等于_______________ (2)27的立方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于_______________ (4)81的四次方根等于_______________ (5)a 6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于________________ 二、n 次方根的性质：1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
表示（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.表示。
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0。
记作00=a探究：归纳： 1、当n 为奇数时, 2、当n 为偶数时,例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）练习１：练习２：(1)当6<a<7,则(2)=---22)7()6(aa =-++625625na x= 一定成立吗？ a a nn =.na )0>±a a n（_____233=-）（______844=-）（_____)3()32=>-a a （=nn a a =nn a a{0,0,≥<-=a a a a (2) (4))a b .>_____________________________==三、分数指数幂注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示； （2）根式与分式指数幂可以互化. 例如： 5102552510)(a a a a=== （a ＞0）4123443412)(a a a a === （a ＞0）规定：正分数指数幂的意义是 负分数指数幂的意义是如0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义。
N次方根的概念PPT课件
数
a的n次 n a n a n a 无意义
学
2.n次方
方根
知
根的表示
n 0 0(n 1, n *)
识 (n a)n a
3.n次方 根的性质
n为偶数时，n an
a
a, a 0 a, a 0
n为奇数时，n an a
(n 1, n N )
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
(1)若( 3 6 m )3 4 (5 m)4 11， 求m的取值范围.
(2)若 ( x 5)( x2 25) (5 x) x 5， 求x的取值范围.
课堂小结 本节课收获
数学知识 数学思想 数学方法
课堂小结
1.n次方 根的定义
n n是奇数 n是偶数
a的正 负
a0 a0
a0 a0
借水行舟
探究二：a的n次方根的表示
n a的正负
n是奇数
a0 a0
n是偶数
a0 a0
a的n次方根 n a
na
n a 无意义
n 0 0(n 1, n *)
借水行舟
探究二：n次方根的表示
n为偶数时，
辨析下列说法中正确的个数为（A ）n a具有双重非负性
（1）16的4次方根是2；
即a 0, n a 0.
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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(1)若( 3 6 m )3 4 (5 m)4 11， 求m的取值范围.
(2)若 ( x 5)( x2 25) (5 x) x 5， 求x的取值范围.
课堂小结 本节课收获
数学知识 数学思想 数学方法
课堂小结
1.n次方 根的定义
n n是奇数 n是偶数
a的正 负
a0 a0
a0 a0
规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间
的关系：
P
(1
t
) 5730
。
2
（1）当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P的值为
原来的
1
.
2
（2）当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量P的
值为原来的
1
.
（3） 当生物死亡了60040年后，它体内的碳14含量P的值
为原来的
(
1
)
例1求下列各式的值
(1) 3 (8)3
(3) 4 (3 )4
(2) (10)2 (4) (a b)2
乘风破浪
例2化简下列各式
(1) 3 2 2 3 (1 2)3 4 (1 2)4
(2)若代数式 2x 1 2 x有意义， 化简 4x2 4x 1 2 4 (x 2)4
乘风破浪
例3
数
a的n次 n a n a n a 无意义
学
2.n次方
方根
知
根的表示
n 0 0(n 1, n *)
识 (n a)n a
3.n次方 根的性质
n为偶数时，n an
a
a, a 0 a, a 0
n为奇数时，n an a
(n 1, n N )
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
6000 5730
.
2
温故知新
如果一个正方形的面积为a，那么它的边长 为多少？
如果一个正方体的体积为a，那么它的棱长 为多少？
回顾平方根和立方根的定义？
借水行舟
探究一：n次方根的概念
如果一个实数 x 满足 xn a, (n 1, n N )
那么 x 叫做 a 的 n 次方根.
an naa0
借水行舟
探究二：a的n次方根的表示
n a的正负
n是奇数
a0 a0
n是偶数
a0 a0
a的n次方根 n a
na
n a 无意义
n 0 0(n 1, n *)
借水行舟
探究二：n次方根的表示
n为偶数时，
辨析下列说法中正确的个数为（A ）n a具有双重非负性
（1）16的4次方根是2；
即a 0, n a 0.
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
年的 (1 7.3%) 倍；
（2）2年后（即2002年），我国的GDP可望为2000
年的 (1 7.3%)2 倍；
（3）x年后，设我国的GDP可望为2000年的 y 倍，则
y (1 7.3%)x
实际问题
问题2 生物死去后，它机体内原有的碳14会按确定的
规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半.根据此
（2）因为 (2)4 16 ,所以 4 16 的运算结果为 2 ；
（3）m 的5次方根是 5 m ；
（4）当 n 为大于1的偶数时， n a 只有当 a 0 时才有
意义；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（5 4）5
借水行舟
探究三：n次方根的性质1
(1)( 5 4)5 4
(n a)n a
(2)( 2 5)2 5
2.1.1 N次方根的概念及性质
实际问题
问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20 年我国发展源自景分析》判断，未来20年，我国GDP
（国内生产总值）年平均增长率可望达到 7.3% 。如
果把我国2000年的GDP看成是1个单位，那么 （1）1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000
(n 1, n N )
(3)( 5 4)5 4
（5 4）5
借水行舟
探究三：n次方根的性质2
(1) 5 45 4
(3) 4 84 8
(2) 5 45 4
(4) 4 (8)4 8
n为奇数时，n an a
n为偶数时，n an
a
a, a 0 a, a 0
(n 1, n N )
乘风破浪
(2)若 ( x 5)( x2 25) (5 x) x 5， 求x的取值范围.
课堂小结 本节课收获
数学知识 数学思想 数学方法
课堂小结
1.n次方 根的定义
n n是奇数 n是偶数
a的正 负
a0 a0
a0 a0
规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间
的关系：
P
(1
t
) 5730
。
2
（1）当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P的值为
原来的
1
.
2
（2）当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量P的
值为原来的
1
.
（3） 当生物死亡了60040年后，它体内的碳14含量P的值
为原来的
(
1
)
例1求下列各式的值
(1) 3 (8)3
(3) 4 (3 )4
(2) (10)2 (4) (a b)2
乘风破浪
例2化简下列各式
(1) 3 2 2 3 (1 2)3 4 (1 2)4
(2)若代数式 2x 1 2 x有意义， 化简 4x2 4x 1 2 4 (x 2)4
乘风破浪
例3
数
a的n次 n a n a n a 无意义
学
2.n次方
方根
知
根的表示
n 0 0(n 1, n *)
识 (n a)n a
3.n次方 根的性质
n为偶数时，n an
a
a, a 0 a, a 0
n为奇数时，n an a
(n 1, n N )
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
6000 5730
.
2
温故知新
如果一个正方形的面积为a，那么它的边长 为多少？
如果一个正方体的体积为a，那么它的棱长 为多少？
回顾平方根和立方根的定义？
借水行舟
探究一：n次方根的概念
如果一个实数 x 满足 xn a, (n 1, n N )
那么 x 叫做 a 的 n 次方根.
an naa0
借水行舟
探究二：a的n次方根的表示
n a的正负
n是奇数
a0 a0
n是偶数
a0 a0
a的n次方根 n a
na
n a 无意义
n 0 0(n 1, n *)
借水行舟
探究二：n次方根的表示
n为偶数时，
辨析下列说法中正确的个数为（A ）n a具有双重非负性
（1）16的4次方根是2；
即a 0, n a 0.
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
年的 (1 7.3%) 倍；
（2）2年后（即2002年），我国的GDP可望为2000
年的 (1 7.3%)2 倍；
（3）x年后，设我国的GDP可望为2000年的 y 倍，则
y (1 7.3%)x
实际问题
问题2 生物死去后，它机体内原有的碳14会按确定的
规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半.根据此
（2）因为 (2)4 16 ,所以 4 16 的运算结果为 2 ；
（3）m 的5次方根是 5 m ；
（4）当 n 为大于1的偶数时， n a 只有当 a 0 时才有
意义；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（5 4）5
借水行舟
探究三：n次方根的性质1
(1)( 5 4)5 4
(n a)n a
(2)( 2 5)2 5
2.1.1 N次方根的概念及性质
实际问题
问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20 年我国发展源自景分析》判断，未来20年，我国GDP
（国内生产总值）年平均增长率可望达到 7.3% 。如
果把我国2000年的GDP看成是1个单位，那么 （1）1年后（即2001年），我国的GDP可望为2000
(n 1, n N )
(3)( 5 4)5 4
（5 4）5
借水行舟
探究三：n次方根的性质2
(1) 5 45 4
(3) 4 84 8
(2) 5 45 4
(4) 4 (8)4 8
n为奇数时，n an a
n为偶数时，n an
a
a, a 0 a, a 0
(n 1, n N )
乘风破浪