《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[1]

《高等数学》试卷（同济六版上）

一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、若函数x x

x f =)(，则=→)(lim 0

x f x （ ）. A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在

2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）.

A 、1ln (0)x x +→

B 、ln (1)x x →

C 、cos (0)x x →

D 、22(2)4

x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）.

A 、极大值点

B 、极小值点

C 、驻点

D 、间断点

4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）.

A 、必要但非充分条件

B 、充分但非必要条件

C 、充分必要条件

D 、既非充分又非必要条件

5、下列无穷积分收敛的是（ ）.

A 、⎰+∞0sin xdx

B 、dx e x ⎰+∞-02

C 、dx x ⎰+∞01

D 、dx x ⎰+∞01 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

6、当k= 时，2,0

(),0x e x f x x k x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在0=x 处连续.

7、设x x y ln +=,则_______________dx dy

=. 8、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是 .

9、若⎰+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x =.

10、定积分dx x x x ⎰-+5

54231sin =____________. 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）

11、求极限 x

x x 2sin 24lim

0-+→.

12、求极限 2cos 12

lim x t x e dt x -→⎰.

13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy .

14、设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧=+=t

y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d .

15、求不定积分212sin 3dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

⎰

.

16、设,0()1,01x e x f x x x

⎧<⎪=⎨≥⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰.

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17、证明：dx x x n m )1(10-⎰=dx x x m n )1(10

-⎰ (N n m ∈,).

18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当0a b <<时，

ln b a b b a b a a

--<<.

五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分）

19、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 各等于多少时，才能使表面积最小？

20、设曲线2x y =与2y x =所围成的平面图形为A ，求

（1）平面图形A 的面积；

（2）平面图形A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积.

《高等数学》试卷（同济六版上）答案

一．选择题（每小题3分，本题共15分） 1-5 DBCAB

二．填空题（每小题3分，本题共15分）

6、1

7、1x x

+ 8、1y = 9、2cos2x 10、0 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）

11、解：x x x 2sin 2

4lim 0

-+

→x →= 3分

01128

x →== 6分

12、解： 2cos 1

02lim x dt

e x

t x ⎰-→2

cos 0sin lim 2x

x xe x -→-= 3分

1

2e =- 6分

13、解：)111(11

22x x x y ++++=' 4分

211

x += 6分

14、解：t

t t t dx dy 21

1211

22

=++

= 3分

22

223

21

12()241d y t d dy

dx t dt t dt dx dx t t -+===-+ 6分

15、解：21

21

2

2

sin(3)sin(3)(3)23dx d x x x +=-++⎰⎰ 3分

1

2

cos(3)2C x =++ 6分

16、解：⎰⎰⎰⎰--+==-01101

120d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 01

10d 1x x e dx x -=++⎰⎰

3分

1

010|ln(1)x e x -=++

11ln 2e -=-+ 6分

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分）

17、证明：1001(1)(1)m n m n

x x dx t t dt -=--⎰⎰ 4分

1100(1)(1)m n m n t t dt x x dx

=-=-⎰⎰ 8分

18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈，0a b <<

显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有