示范教案{第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时}

第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时

导入新课

思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，

使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π

4

－α)

等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开．

思路 2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，本节主要研究函数y ＝a sin x ＋b cos x 的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能． 推进新课

新知探究 提出问题

①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期，最大值和最小值是多少？ ②函数y ＝a sin x ＋b cos x 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？

活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是2π，函数y ＝sin2x 的周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．

函数y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b 2sin x ＋b

a 2＋b

2cos x )，

∵(a a 2＋b 2)2＋(b a 2＋b 2)2＝1，从而可令a a 2＋b 2＝cos φ，b a 2＋b

2＝sin φ，

则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)

＝

a 2＋

b 2sin(x ＋φ)．

因此，我们有如下结论：a sin x ＋b cos x ＝

a 2＋

b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b

a

.在以后的学习

中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．

我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．

讨论结果：

①y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.

②～③(略)见活动． 应用示例

思路1

例1如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π

3

的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是

扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．

活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．

找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S ＝AB ·BC ＝(cos α－

33sin α)sin α＝sin αcos α－3

3

sin 2α. 求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx ＋φ)型的三角函数求最值．

教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行：

(1)找出S 与α之间的函数关系；

(2)由得出的函数关系，求S 的最大值．

解：在Rt △OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α，

图1

在Rt △OAD 中，DA

OA ＝tan60°＝3，

所以OA ＝33DA ＝33BC ＝3

3

sin α.

所以AB ＝OB －OA ＝cos α－3

3

sin α.

设矩形ABCD 的面积为S ，则

S ＝AB ·BC ＝(cos α－3

3sin α)sin α

＝sin αcos α－3

3

sin 2α

＝12sin2α＋36cos2α－36 ＝13(32

sin2α＋12cos2α)－36

＝13

sin(2α＋π6)－36.

由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π

2，

即α＝π6时，S 最大＝13－36

＝36.

因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36

.

点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种

选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－

3

3

x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.

π]

活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．

解：y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x

＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin2x ＝3sin2x －cos2x

＝2sin(2x －π

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)．

故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，π3]，[5π

6，π]．

点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.