研究生考试真题

华东师范大学 2006 年攻读硕士学位研究生入学试题
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考试科目代码及名称：322 量 子力学 招生专业：课程与教学论（物理） 理论物理
生物物理学
凝聚态物理
光学 无 线电物理
考生注意：
无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案作在考场另发的答题纸上（写明题号）。
提 示：下列几个公式可能在计算中是有用的
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二、（
20
分）一
维运动的粒子处于状态
(x)
Axe
x
,
x 0 上，其中 0 。求：
0,
x0
（1）归一化正常数 A ?
（2）粒子坐标的平均值 x 和坐标平方的平均值 x2 ；
（3）粒子动量的平均值 p 和动量平方的平均值 p 2 ；
（4）计算该问题的不确定性关系 x2 p2 ?
三、（20 分）一个质量为 m 的粒子在 0 x a 的一维无限深方势阱中运动， t 0 时刻在阱内的 初态波函数为
1）均方差涨落公式
A2
(源自文库 A)2
A2
2
A
2）
一维谐振子基态波函数为 0 (x)
m
1/
4
exp
m 2
x2
3）Gauss 型积分公式 ex2 dx
一、简答题（本题共有 6 小题，每小题 6 分，满分 36 分） 1. 对于正统量子力学的哥本哈根学派，其代表性的三大理论基础是什么？ 2. “电子双缝干涉实验中，电子必定通过两缝之一而打到屏上，因此落到屏上的总电子数必 定等于分别通过两缝的电子数之和”，这种说法对吗? 判断之，并简述你的理由。 3. 若 Aˆ, Bˆ 都是厄密算符， Fˆ Aˆ iBˆ 。在什么条件下 Fˆ 2 也是厄密算符？
（1）在 A 表象中 Aˆ, Bˆ 的矩阵表达形式； （2）由 A 表象到 B 表象的么正变换矩阵 S 。
六、（15 分）考虑三个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的系统，哈密顿量为
Hˆ
A 2
Sˆ1
Sˆ2
B 2
(Sˆ1
Sˆ2 ) Sˆ3
（A 和 B 为两个实常数）
其中 Sˆ1, Sˆ2 , Sˆ3 分别为三个粒子的自旋算符。求该系统的能级及能级简并度。
z
轴大小为
B0
的均匀常磁场中。
在 t 0 时，再在沿 x 轴方向加入一个大小为 B1 的均匀常磁场。此时新合成的磁场仍是常磁场，
设其方向为 z'轴。在 t 0 时刻及以前，体系自旋处于 sz / 2 本征态上。问：
（1）在 t 0 时刻 B1 磁场加入瞬间，体系自旋沿 z' 轴的投影 sz' / 2 的概率各是多少？
4. 是实参数， x 是泡利矩阵，试把 eix 化为 2 2 矩阵。
5. 某玻色子的一对互共轭算符 a, a 满足对易关系 a, a 1，已知存在某种么正变换使得
c c
1a 2a
1a
2a
若 c, c 仍是一对互为共轭的玻色型算符（满足如前的玻色对易关系），问：四个复系数
1, 2 ,1, 2 之间应满足什么关系？ 6. 现有三个全同玻色子，可以分布在四个不同的量子态上，则该体系可能的态的数目有几种？
七、（15 分）一个质量为 m 的粒子在一维谐振子势场中运动。在动能与动量之间为T p 2 的非 2m
相对论极限下，其基态能量是我们所熟知的，为 E0
1 2
。若考虑动能与动量之间的相对论
修正，试用微扰论计算基态能量的移动 E0
（到
1 c2
阶）。
八、（15
分）一个磁矩为
0
的自旋
1/2
体系处于一个沿
察量 B 的算符 B 有两个本征函数 1 和 2 ，相应的本征值为 b1 和 b2 。两种本征态有如下关系：
1
21
32 13
,
2
31
22 13
,
当第一次测量 A 时得到 a1 ，若接着再测量 B ，然后再测量 A 。问：第二次测 A 时得到 a1 的概率
是多少？
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五、（15 分）两个无简并的厄密算符 Aˆ, Bˆ 满足 Aˆ 2 Bˆ 2 1， Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 。求：
(x,0) A1 cos 2x sin x
a a
试求： （1）归一化正常数 A 的值；
（2）在 t 0 和 t t0 时的平均能量；
（3）在 t t0 时的波函数 (x,t0 ) 。
四、（14 分）已知可观测量 A 的算符 Aˆ 有两个本征函数 1 和 2 ，相应的本征值为 a1 和 a2 ；观
（2）在 t 0 时，体系所处的态矢量的矩阵表示 (t) ?
（3）在 t T 时，体系处于自旋 sz / 2 态的概率。
（提示：设 z 轴与 z'轴夹角为 arctanB1 / B0 ， t 0 时的磁场大小为 B B02 B12 。可用以
上的量来表示结果）
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