物质量量子化方法

摩尔是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0.012kg 碳—12的原子数目相等。使用摩尔时应予以指明基本单元，它可以是原子、分子、离子、电子及其他粒子，或是这些粒子的特定组合。

0.012kg 碳—12中所含的原子数目叫做阿伏加德罗常数，符号为A N 。阿伏加德罗常数的近似值为236.0210⨯/mol ，具体数值是236.022136710⨯/mol ，这个常数可用很多种不同的方法进行测定。这些方法的理论根据各不相同，但结果却几乎一样差异都在实验方法误差范围之内，这说明阿伏加德罗常数是客观存在的重要数据。

物质量量子化方法

1、洛希密脱的理论计算

1865年，洛希密脱根据气体分子运动论并结合固体密度的实验数据，得出关于A N 的最

早可靠估计值23

1010/A N mol ≈⨯他的理论计算如下：

洛希密脱根据气体分子运动论的平均自由程公式

从麦克斯韦速率分布函数求得的平均速率

及由气体输运过程得到的粘滞系数

得到

假定固体分子互相紧接着，每个分子占据一个边长为d 的正方体，则1mol 固体占据体积为3

A N d 于是，固体的密度为

洛希密脱的理论计算结果表明阿伏伽德罗常数是一个大得惊人的天文数字。

2、爱因斯坦的贡献

爱因斯坦在1905年和1906年发表的一系列论文中仔细分析了布朗运动，他的分析主要是关于在时间t内微粒的总位移是在很大范围内变化的，而其分量的均方值2x对于悬浮在粘滞系数为n的液体中半径为a的球形微粒来说，则有【1】

（1）

上式称为布朗运动的爱因斯坦公式。推导如下：

设微粒是半径为a的球体，根据斯托克斯定理，它在流体中运动所受粘滞力

（2）根据经典力学定律微粒的运动方程为

（3）

F F F表示液体分子由于热运动而产生的对微粒的碰撞力。

其中,,

x y z

假设t=0时微粒位于坐标原点, 则x,y,z代表微粒在t时刻的位移, 以x,y,z乘（2）式的3个式子并考虑到

则（1）式可以写为

3式相加并利用

得

（3）对N个相同的微粒取平均值，令

则（3）式变为

由于热运动的无规性，在统计观点上，上式右边总和为零。

把微粒当作理想气体分子，则

于是

其解为

如果微粒的物质密度3

1.2/g cm ρ≈，0.012/g cm s η=，4

0.210a cm -=⨯，则

微粒在液体中运动极短时间后将变为遵从规律

的稳定态，由此式积分得

因为

所以

因在实验观察中，位移的平方总是从t=0起算，可以令2

00x =，则

（17）

如果用实验测定2

x ，则能求得A N 。在爱因斯坦文章发表以后，有两个实验进行了验证，但结果都与他的理论预见有矛盾。

3、佩兰的实验【2】

佩兰推论：胶态粒子（在密度比它小的掖体中永远保持悬浮状态的极小的粒子）的性质与气体分子类似，而这种粒子大到肉眼能观察计数，如能配制成一种胶体悬浮液，其中所有粒子都完全相同，并能测定每个粒子的质量，那么利用重力场中微粒按高度的分布

1908年佩兰利用离心分离法以几个月的时间提取了一定半径的树脂微粒和藤黄微粒，他从5种不同半径的藤黄乳状液和一种树脂乳状液的测量结果，求得阿伏伽德罗常数的数值为235~810⨯。为了求得这些数据，他不得不在显微镜下计点数以万计的微小颗粒，其实验之艰苦可想而知。

佩兰对此并不满足，他又研究了一种新的方法。我们在显微镜下所看到的作布朗运动的微粒的路经是既不规律又不规则的线段，佩兰根据爱因斯坦公式进行实验验证。他先与他的学生对用半径为0.212m μ的藤黄颗粒做成的乳液进行观测，求得的A N 值为：

236.4510⨯ 237.1510⨯ 237.710⨯

后来又用乳香溶液作了3组测量，得到A N 值为：

236.4510⨯ 237.1510⨯ 237.710⨯

按这些结果取其平均值为23

7.510⨯，它与按分布定律求出的数值十分吻合。 佩兰实验证实了气体分子运动论，证实了分子确实存在，证实了爱因斯坦关于布朗运动的理论。 4、其他实验

1931年，卡普勒根据爱因斯坦关于旋转的布朗运动的理论测定了A N 。他观察了小平面镜的布朗运动，平面镜挂在一根很细的扭丝上，由镜反射回来的光射到一运动着的摄影底片上，镜放在压强很低的真空中，运动底片上记录角位移是时间的函数2()t θ。实验表明平面镜转动是一系列角位移所组成的布朗运动，而角位移是由分子对平面镜的不平衡冲击产生的根据摄影记录，求得角位移θ，角速度w 。

能量均分定理要求

式中212I ω和212A θ分别为系统的平均转动动能和平均势能，I 为转动惯量，A 为扭转常

数。卡普勒根据实验结果算出K ，并得到A N 的数值为23

6.05910⨯。

A N 的更准确的数值由间接方法求取主要有下列两种:

4.1 根据法拉第常数F 与电子电荷e 的关系

电子电荷由密立根油滴实验测定有足够准确度，法拉第常数为已知，因此A N 可由上式求得

1917年密立根油滴法计算A N 值为23

(6.0220.06)10±⨯，1930年密立根油滴法计算

A N 值为23(6.0640.006)10±⨯，1936~1940年7次用油滴法测得A N 值为23(6.013~6.027)10⨯。

4.2 根据X 射线衍射的乌利夫——布喇格公式

其中d 为晶体的晶格间距，它可以用已知波长λ的X 射线通过晶体衍射来确定。

假设单位晶胞中分子数为f ，A 为晶体的分子量，ρ是晶体的密度, 则一个分子占据的体积为3/d f ，1mol 分子占据的体积为3//A N d f A ρ=，因此

1928年贝克林用此法测得A N 值为23

(6.0370.008)10±⨯，1935年比尔登测得A N 值为

23(6.02210.0005)10±⨯，1940和1964年用此法测得A N 值分别为23(6.0260.022)10±⨯和

236.0225210⨯。

A N 的最新测定是由于美国国家标准局建立了X 射线/光学干涉仪，德斯兰特等人首先