1984年全国统一高考数学试卷(理科)
史上最难的1984全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分 1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果） 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解（1） （2）解：1. 2.四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行 证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c Θ从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,，∴所以a ，b ，c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b ，则由a c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ，b ，c 互相平行五．（本题满分14分）设c ，d ，x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log )(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4)((3),0(2),0(1) ,01x x d cx x d cx x dcx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以12=+d cx 再由c ≠0，可得 .12cdx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-c d这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0，1-d ＞0，即c ＞0，d ＜1；②c ＜0，1-d ＜0，即c ＜0，d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0，d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0，d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是cdx -=1 六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1，z 2.再设z 1，z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分） 2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p ，q 为实数，0≠p ，z 1，z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1，z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b =|z 1+z 2|=2|p |，焦距离=2c =|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+， 长轴长=2a =.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x ，y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为),23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d =1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得1)2(432(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程 七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值 解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有,sin sin cos cos ABB A = .2sin 2sin cos sin cos sin B A B B A A =∴=∴ 因为A ≠B ，所以2A =π-2B ，即A +B =2π由此可知△ABC 是直角三角形 由c =10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC =.12)6810(21=++但上式中AD+DB =c =10，所以内切圆半径r = EC = 2. 如图建立坐标系，则内切圆方程为：(x -2)2+(y -2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x ，y )，则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， 于是S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72 解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设α＞2，给定数列{x n }，其中x 1=α，)2,1()1(221Λ=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21Λ=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31Λ=+≤≤-n x n n 那么如果α3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n 必有时那么当如果α1．证：先证明x n ＞2(n =1，2，…）用数学归纳法 由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n =1时成立 假设不等式当n =k (k ≥1)时成立 当n =k +1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立 (归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n =1，2，…）成立） 再证明).2,1(11Λ=<+n x x nn 由条件及x n >2(n =1，2，…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11Λ=<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11Λ=<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n =1时成立 假设不等式当n =k (k ≥1)时成立 当n =k +1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2)212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k kk k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kk x 2121+≤+也成立， 从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n =k +1时成立用以下证法： 由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x Λ因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++Λ 即34lg 3lg an <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 交于点M 又知当AP =43π时，点P 的速度为v 求这时点M 的速度解：作CD ⊥AM ，并设AP = x ，AM = y ，∠COD =θ 由假设，AC 的长为x AP 3232=，半径OC =1，可知θx 32= 考虑),0(π∈x∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴ 而dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y )32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(2----+--=∴--=解得.)43()843(2 ,,4322v dt dy M v dt dx x ---===ππππ点的速度代入上式得时当（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。
史上最难的1984全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解（1） （2）解：1. 2.四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,，∴所以a ，b ，c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b ，则由c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ，b ，c 互相平行五．（本题满分14分）设c ，d ，x 为实数，c ≠0，x 讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) ((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得 .12cdx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0，1-d ＞0，即c ＞0，d ＜1；②c ＜0，1-d ＜0，即c ＜0，d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0，d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0，d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1，z 2.再设z 1，z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程9分）解：1.因为p ，q 为实数，0≠p ，z 1，z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1，z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b =|z 1+z 2|=2|p |，焦距离=2c =|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+， 长轴长=2a =.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x ，y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d =1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得1)2(432(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有,sin sin cos cos ABB A = .2sin 2sin cos sin cos sin B A B B A A =∴=∴ 因为A ≠B ，所以2A =π-2B ，即A +B 2由此可知△ABC 是直角三角形 由c =10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC =.12)6810(21=++但上式中AD+DB =c =10，所以内切圆半径r = EC = 2.如图建立坐标系，则内切圆方程为：(x -2)2+(y -2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x ，y )，则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， 于是S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设α＞2，给定数列{x n }，其中x 1=α，)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x n n 那么如果α3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n 必有时那么当如果α1．证：先证明x n ＞2(n =1，2，…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n =1，2，…）成立）再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n =1，2，…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k k k k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kk x 2121+≤+也成立， 从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n =k +1时成立用以下证法： 由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP =43π时，点P 的速度为v 求这时点M解：作CD ⊥AM ，并设AP = x ，AM = y ，∠COD =θ由假设，AC 的长为x AP 3232=，半径OC =1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴ 而.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(x x y xy x DC x y DM --=∴=--=dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y )32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(2----+--=∴--=解得.)43()843(2 ,,4322v dt dy M v dt dx x ---===ππππ点的速度代入上式得时当（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。
1984年全国高考数学试题
1984年全国高考数学试题(理工农医类)一、（本题满分15分）本题共5个小题，每一个小题都给出代号为A,B,C,D 的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.1.数集{}(21),X x x n n Z π==+∈与数集{}(41),Y x x k k Z π==±∈之间的关系是A. X Y ⊆B. Y X ⊆C. X Y =D. X Y ≠2.如果圆220x y Gx Ey F ++++=与x 轴相切于原点,那么A. 0,0,0F G E =≠≠B. 0,0,0E F G ==≠C. 0,0,0F G E ==≠D. 0,0,0E G F ==≠3.如果n 是正整数，那么211(1)(1)8n n ⎡⎤---⎣⎦ A.一定是零 B.一定是偶数 C.是整数但不一定是偶数 D.不一定是整数 4. arccos()x -大于arccos x 的充要条件是A. (]0,1x ∈B. []1,0x ∈-C. []0,1x ∈D. 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5.如果θ是第二象限角，且满足cos sin 22θθ-=那么2θ A.是第一象限角 B.是第三象限角C.可能是第一象限角,也可能是第三象限角D.是第二象限角二、（本题满分24分）本题共有6个小题，每个小题满分4分.只要求直接写出结果.6.已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.7.函数20.5log (44)x x ++在什么区间上是增函数?8.求方程21(sin cos )2x x +=的解集. 9.求31(2)x x+-的展开式中的常数项. 10.求12lim 31nn n →∞-+的值.11.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).三、（本题满分12分）本题只要求画出图形.（1）设00()10x H x x ≤⎧=⎨>⎩,画出函数(1)y H x =-的图像. （2）画出极坐标方程(2)()04πρθ--=的曲线. 四、（本题满分12分）已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.五、（本题满分14分）设,,c d x 为实数，0c ≠,x 为未知数.讨论方程()log1d cx x x +=-在什么情况下有解.有解时求出它的解.六、（本题满分16分）（1）设0p ≠,实系数一元二次方程220z pz q -+=有两个虚数根12,z z .再设12,z z 在复平面内的对应点是12,Z Z .求以12,Z Z 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.（2）求经过定点(1,2)M ,以y 轴为准线，离心率12为的椭圆的左顶点的轨迹方程.七、（本题满分15分）在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，且10c =，cos 4cos 3A b B a ==, P 为ABC ∆的内切圆上的动点，求点P 到顶点,,A B C 的距离的平方和的最大值与最小值.八、（本题满分12分）设2a >,给定数列{}n x ,其中1x a =,212(1)n n n x x x +=-,（1,2,n =）,求证：（1）12x >,且11n n x x +<,（1,2,n =）；（2）如果3a ≤,那么1122n n x -≤+，（1,2,n =）；（3）如果3a>,那么当lg34lg3an≥时，必有13nx+<.九、（附加题,本题满分12分，不计入总分）如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧AC的长为23AP,直线PC与直线AO交于点M.又知当34APπ=时，点P的速度为ν,求这时点M的速度.。
1984年高考试题(理科)
1984年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）数学一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是(C)X=Y (D)X≠Y(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么(A)F=0,G≠0,E≠0(B)E=0,F=0,G≠0(C)G=0,F=0,E≠0 (D)G=0,E=0,F≠0(A)一定是零(B)一定是偶数(C)是整数但不一定是偶数(D)不一定是整数(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是(A)x∈(0,1] (B)x∈(-1,0)(A)是第一象限角(B)是第三象限角(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角(D)是第二象限角二、只要求直接写出结果.(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).三、本题只要求画出图形.四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.九、附加题,不计入总分.自切点A沿直线l 如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P向右移动时,取弧的长为,直线PC与直线1984年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医卷）数学参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C; (2)C; (3)B; (4)A; (5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)x<-2;(4)-20;(5)0;三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c与b或交于一点或互相平行.(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且c⊂β,有P∈β;又由P∈b,且b⊂γ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.所以a,b,c交于一点(即P点).(2)若c∥b,则由b⊂γ,有c∥γ.又由c⊂β,且β∩γ=a,可知c∥a.所以a,b,c互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解法一:由原对数方程得cx2+d=1.这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.解法二:原对数方程有解的充要条件是:(1)x>0,cx2+d=1.因此,条件组(1) (4)可简化为以下的等价条件组:(1)x>0,(5)x≠1,这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以(-2p)2-4q<0,q>p2>0.由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,解法二:同解法一,得q>p2>0.根据实系数一元二次方程的求根公式,得可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴.即这就是所求的轨迹方程.七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.a=6,b=8.如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则如图建立坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72.解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.内切圆的参数方程为所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而因为0≤α≤2π,所以S最大值=80+8=88,S最小值=80-8=72.八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.(1)证明:先证明x n>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式(x k-2)2>0成立,所以不等式x k+1>2也成立.从而不等式x n>2对于所有的正整数n成立.数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:所以不等式x n>2(n=1,2,…)成立.也可以这样证:对所有正整数n有还可以这样证:由于对所有正整数n有(2)证法一:用数学归纳法.由条件x1=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及x k>2知证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知再由x k>2及归纳假设可得x1>x2>…>x n>x n+1≥3.因此,由上面证明的结论及x1=α可得若x n≤3,则由第(1)小题可知x n+1<x n,从而有x n+1<3.若x n>3,则由第(1)小题可知x1>x2>…>x n>3.由此式及上面证明的结论,可得九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解得。
史上最难的1984全国高考理科数学试卷
/ 10 编者说明 1984年的第六题，考查解析几何。第1小题将椭圆参数藏在复数方程的根中；第2小题求椭圆的轨迹方程，给出的“衍生轨迹”而不是“直接轨迹”。使得广大考生无模式可套。本题 解：1.因为p，q为实数，0p，z1，z2为虚数，所以 0,04)2(22pqqp 由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称， 所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点 根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|， 焦距离=2c=|z1-z2|=2212212|4)(|pqzzzz， 长轴长=2a=.2222qcb 2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴 设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的21， 从而左焦点F的坐标为),23(yx 设d为点M到y轴的距离，则d=1 根据21||dMF及两点间距离公式，可得 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222yxyx即 这就是所求的轨迹方程 七．（本题满分15分） 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10， 34coscosabBA，P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值
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四．（本题满 分 12 分） 已知三个平面 两两相交，有
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b ,有c // .又由c ,且 a
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x 0,
(cccxxxdxdxd
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
史上最难1984全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题128（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解（1） （2）解：1. 2.年的第四大题，考查立体几何内容。
题目从表面看去，似乎不难。
然而，由于命题人四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,，∴所以a ，b ，c 交于一点（即P 点） 2.若c ∥b ，则由c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ，b ，c 互相平行五．（本题满分14分）设c ，d ，x 为实数，c ≠0，x 讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4)((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得 .12cdx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0，1-d ＞0，即c ＞0，d ＜1；②c ＜0，1-d ＜0，即c ＜0，d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0，d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0，d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1，z 2.再设z 1，z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程9分） 解：1.因为p ，q 为实数，0≠p ，z 1，z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1，z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b =|z 1+z 2|=2|p |，焦距离=2c =|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+， 长轴长=2a =.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x ，y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d =1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得 1)2(432(9,21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有,sin sin cos cos ABB A = .2sin 2sin cos sin cos sin B A B B A A =∴=∴因为A ≠B ，所以2A =π-2B ，即A +B 2由此可知△ABC 是直角三角形 由c =10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC =.12)6810(21=++但上式中AD+DB =c =10，所以内切圆半径r = EC = 2.如图建立坐标系，则内切圆方程为：(x -2)2+(y -2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x ，y )，则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， 于是S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设α＞2，给定数列{x n }，其中x 1=α，)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x n n 那么如果α3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x an 必有时那么当如果α1．证：先证明x n ＞2(n =1，2，…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n =1，2，…）成立）再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n =1，2，…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，由条件及2>k x 知,0212()[2(0)212(2)212(2212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k kk k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kk x 2121+≤+也成立， 从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n =k +1时成立用以下证法： 由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP =43π时，点P 的速度为v 求这时点M解：作CD ⊥AM ，并设AP = x ，AM = y ，∠COD =θ由假设，AC 的长为x AP 3232=，半径OC =1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴ 而.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(x x y xy x DC x y DM --=∴=--=dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y ])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(2----+--=∴--=解得.)43()843(2 ,,4322v dt dy M v dt dx x ---===ππππ点的速度代入上式得时当（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。
史上最难的1984全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ）（A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）懲卺鯇蕲騮摟輔艰脅党顽坏裝揮饿鋼债懒迳蔥艺廩賧譾垦鋒賄赇诋贐愤烂試骈隽刪编答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象编者说明1984年的第三大题，是1983年第二大题的发展。
1984年全国高考数学试题及其解析
1984年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题（本试卷共八大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y⊂⊃2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ ）（A ）F=0，G≠0，E≠0. （B ）E=0，F=0，G≠0.（C ）G=0，F=0，E≠0. （D ）G=0，E=0，F≠0.3.如果n 是正整数，那么的值 （ ）)1]()1(1[812---n n（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）不一定是整数（D ）是整数但不一定是偶数4.大于的充分条件是 （ ）)arccos(x -x arccos （A ） （B ） （C ） （D ）]1,0(∈x )0,1(-∈x ]1,0[∈x ]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足那么（ ）,sin 12sin 2cosθ-=θ-θ2θ（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角（C ）是第二象限角 （D ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积2.函数在什么区间上是增函数？)44(log 25.0++x x 3．求方程的解集 21)cos (sin 2=+x x 4．求的展开式中的常数项3)2||1|(|-+x x 5．求的值1321lim +-∞→n nn 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设画出函数y=H(x-1)的图象⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当2．画出极坐标方程的曲线)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c≠0，x 为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时1log)(-=+x xdcx 求出它的解六．（本题满分16分）1．设，实系数一元二次方程有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平0≠p 022=+-q pz z 面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）21七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为,b,c ，且c=10，a ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的34cos cos ==a b B A 最大值与最小值八．（本题满分12分）设＞2，给定数列{x n },其中x 1=,求证：a a )2,1()1(221=-=+n x x x n nn 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=时，点P 的速度为V43π求这时点M 的速度文史类试题（本试卷共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y⊂⊃2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ ）（A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称3复数的三角形式是 （ ）i 2321-（A ） （B ） （C ） （D ）)3sin()3cos(π-+π-i 3sin 3cosπ+πi 3sin 3cos π-πi 65sin3cos π+πi 4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ ）（A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ ）（A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率（C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知函数，求x 的取值范围0)32(log 5.0>-x 2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值4.求的值)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 5．求的展开式中x 的一次幂的系数6)12(xx -6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数的图象2)1(1+=x y四．（本题满分12分）已知等差数列,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的a 数列cb a 1,1,1五．（本题满分14分）把化成三角函数的积的形式(要求结果最简）α-β-α-422cos sin 2sin 411六．（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程理工农医类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1） （2）x ＜-2.（3）.84ππ或},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=（4）-20 （5）0 （6）!647⋅P 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c 与b 或交于一点或互相平行.(1)若c 与b 交于一点,设c ∩b=P.由P ∈c,且c β,有P ∈β;又由P ∈b,且b γ,有P ∈γ.于是P ∈β∩γ=a.所以a,b,c 交于一点(即P 点).(2)若c ∥b,则由b γ,有c ∥γ.又由c β,且β∩γ=a,可知c ∥a.所以a,b,c 互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) )((3) ,0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知，所以c≠0，可得1)(=+x d cx x 2=+dcx .12cd x -=又由及x ＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中1)(=+x d cx x 0>+xdcx 再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组：1(=+xdcx x .1≠x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5) 1,x (1) ,02c d x 由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：.01>-cd①c＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1;②c＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知dc -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且时，或者当c ＜0,d ＞1且时，原方程有解，它的解d c -≠1d c -≠1是cd x -=1六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.解：1.因为p,q 为实数，，z 1,z 2为虚数，所以0≠p 0,04)2(22>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=,2212212|4)(|p q z z z z -=-+长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为，21所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的，21从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据及两点间距离公式，可得21||=d MF 22222312(1)(2)(,9()4(2)1223x y x y -+-=-+-=即这就是所求的轨迹方程七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.解：由，运用正弦定理，有a bB A =cos cos .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴=因为A≠B，所以2A=π-2B，即由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，.12)6810(21=++所以内切圆半径r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以，40≤≤x S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=-因为，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72πα20<≤八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件＞2及x 1=知不等式当n=1时成立a a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x 再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立从而不等式x n ＞20)2(2>-k x 21>+k x 对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x 所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明由条件及x n >2(n=1,2,…）知).2,1(11=<+n x x nn 因此不等式也成立,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x x nn （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有所以）,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x xnn 2．证一：用数学归纳法x 1=≤3知不等式当n=1时成立a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，由条件及知2>k x 22111111112(1)(22(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也2>k x k k x 2121+≤+成立，从而不等式对所有的正整数n 成立1212-+≤n n x 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知再由及归纳假设可得)111(211-++=+k k k x x x 2>k x k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+3．证：先证明若这是因为.43,31<>+k k k x x x 则.431311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当时，有则由第1小题知34lg 3lgan >,31≥+k x .3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=可得a ,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即，这与假设矛盾所以本小题的结论成立34lg 3lgan <九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解：作CD⊥AM，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，AC 的长为，x AP 3232=半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM∽△DCM，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得文史类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)D;(3)A;(4)C;(5)A.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）（2） （3）m=0,x=-..223<<x ππ84或21（4）1 （5）240 （6）!647⋅P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形解：四．（本题满分12分）证：如果成等差数列，那么cb a 1,1,1,,,1111cc b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即又因为,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以由以上两式，可知a .0≠-=-c b b a .11ca =两边都乘以c ，得=c.a a 但由数列,b,c 的公差不为零，知≠c，这就得出矛盾a a 从而cb a 1,1,1五．（本题满分14分）六．（本题满分14分）解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE⊥AB，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截用S 底表示△ABC 的面积，则S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥七．（本题满分14分）解：设1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即1=2.a a 并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为2,3, ….根据题意，a a 数列{n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为a 12.12-⨯=n n a 根据题意，设 两边取常用对数，得122.121=⨯-n 84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品x y 2.12⨯=的产量超过12万台 答：略八．（本题满分15分）1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程28,205626006912)422(50133211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0.解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2）所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以解得m=-1,或m=14.01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理当m=-1时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;52=r 当m=14时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2-28x+71=0.55=r。
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题含答案
x
1,
(5)
x 2
=
1− d c
.
(6)
由条件（1）（6）知 1− d 0.这个不等式仅在以下两种情形下成立：
c
①c＞0,1-d＞0,即 c＞0,d＜1;
②c＜0,1-d＜0,即 c＜0,d＞1.
再由条件（1）（5）及（6）可知 c 1− d 从而，当 c＞0,d＜1 且c 1− d 时，或者当 c＜0,d＞1 且c 1− d 时，原
AD+DB+EC= 1 (10 + 8 + 6) = 12.但上式中 AD+DB=c=10，
2
所以内切圆半径 r=EC=2.
如图建立坐标系， 则内切圆方程为:
Y B（0，6） D
(x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点 P 的坐标为
E
O＇ P（x,y)
O C（0，0）
X A（8，0）
S =| PA |2 + | PB |2 + | PC |2
1 xk+1 1 + 2k
xk2
2(xk
1 −1)(2 + )
2k
xk2
− 2(2 +
1 2k
)xk
+
2(2 +
1 2k
)
0
(xk
−
2)[ x k
− (2
+
1 2k−1 )]
0,
再由 xk 2 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等
式 xk+1
2+
1 2k
也成立，从而不等式 xn
2+
1 2 n−1
(n
1984年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （ B ） （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值 答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由ac c b ,.//,且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：2．1．P b αβ a γ ca⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2),0(1),01x x d cx x d cx x dcx x 由条件（4）知1)(=+xdcx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得.12c d x -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21， 从而左焦点F 的坐标为),23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有 .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ，S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72Y B （0，6） D X ）解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31 =+≤≤-n x a n n 那么如果 3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2)212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k k k k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=43π时，点P 的速度为V 求这时点M 的速度解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，，∠COD=θ由假设， AC 的长为x AP 3232=， 半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）A P L。
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （ B ） （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值 答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分） 已知三个平面一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由 ∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由ac c b ,.//,且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：由条件（4）知1)(=+xd cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中2． O 1 2 X 1．Pb αβ γ cb α β γ c再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组： 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+,长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21， 从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得 这就是所求的轨迹方程 七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为:YB （0，6） D E O ＇ P （x,y) X OC （0，0） A （8，0）(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为 从而222||||||PC PB PA S ++= 因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31 =+≤≤-n x a n n 那么如果 3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证： 所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为然后用反证法若当34lg3lgan>时，有,31≥+kx则由第1小题知因此，由上面证明的结论及x1=a可得即34lg3lgan<，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O、半径为1A，一动点P自切点A沿直线L向右移动时，取弧AC的长为AP32，直线PC与直线AO交于点M又知当AP=43π时，点P的速度为V求这时点M的速度解：作CD⊥AM，并设AP=x，，∠COD=θ由假设，AC的长为xAP3232=，半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x∵△APM∽△DCM，DCDMAPAM=∴MO 1D θ CA P L而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得 （有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。
史上最难的1984全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P编者说明1984年的第三大题，是1983年第二大题的发展。
1984年高考数学试题(全国理)及答案(历年最难)
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ）（A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin2cosθ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84ππ或2.函数)44(log25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项答：-205．求1321lim+-∞→nnn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相 1．平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由 a P P b b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由a c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log(-=+x xd cx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3) ,0(2) ,0(1) ,01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以12=+d cx 再由c ≠0，可得.12c d x -= 又由1)(=+xd cx x 及x ＞0，知0>+xd cx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5) 1,x (1),02c dx 由条件（1）（6）知.01>-c d 这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1;②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1 从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--pq q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上 P b αβ a γ ca经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+,长轴长=2a=.2222q cb =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为),23(y x 设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=dMF 及两点间距离公式，可得22222312(1)(2)(,9()4(2)1223xy x y -+-=-+-=即 这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b BA ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b ac ba ab 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则22222222222||||||(8)(6)3[(2)(2)]47634476884.S P A P B P C x y x y x y x y x x x =++=-+++-++==-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=- Y X ）因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72 八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn 求证：1．);2,1(1,21 =<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg3lg,31<≥>+n x an a 必有时那么当如果 1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立).2,1(11 =<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n nn x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x x nn 也成立（也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n nn x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x x nn ）2．证一：用数学归纳法件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知22111111112(1)(2)2(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k kkkkk x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kk x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+kk k x x x 则这是因为.43)1311(21)111(211=-+<-+=+k kk x x x 然后用反证法若当34lg3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211nnn n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg3lg an <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当4P 的速度为V 求这时点M 的速度 解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，x AP 3232=， 半径OC=1，可知θx 32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDM APAM =∴而.)43()843(2,,43)32sin()32cos321)(32cos 1()32sin3232cos1)(32sin([/.32sin)32cos1(.32sin)32cos 1(,32sin),32cos1(222v dtdy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy x x x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得A P L。
1984年全国高考数学试题及其解析
1984年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题（本试卷共八大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y ⊂⊃2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ ）（A ）F=0，G≠0，E≠0. （B ）E=0，F=0，G≠0. （C ）G=0，F=0，E≠0. （D ）G=0，E=0，F≠0.3.如果n 是正整数，那么的值 （ ）)1]()1(1[812---n n （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）不一定是整数（D ）是整数但不一定是偶数4.大于的充分条件是 （ ）)arccos(x -x arccos （A ） （B ） （C ） （D ）]1,0(∈x )0,1(-∈x ]1,0[∈x ]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足那么（ ）,sin 12sin 2cosθ-=θ-θ2θ（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角（C ）是第二象限角 （D ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积2.函数在什么区间上是增函数？ )44(log 25.0++x x 3．求方程的解集 21)cos (sin 2=+x x 4．求的展开式中的常数项3)2||1|(|-+x x 5．求的值1321lim +-∞→n nn 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设画出函数y=H(x-1)的图象⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当2．画出极坐标方程的曲线)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c≠0，x 为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时1log)(-=+x xd cx 求出它的解六．（本题满分16分）1．设，实系数一元二次方程有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平0≠p 022=+-q pz z 面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）21七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为,b,c ，且c=10，a ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的34cos cos ==a b B A 最大值与最小值八．（本题满分12分）设＞2，给定数列{x n },其中x 1=,求证：a a )2,1()1(221=-=+n x x x n nn 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=时，点P 的速度为V 43π求这时点M 的速度文史类试题（本试卷共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y⊂⊃2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ ）（A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称3复数的三角形式是 （ ）i 2321-（A ） （B ） （C ） （D ）)3sin()3cos(π-+π-i 3sin 3cosπ+πi 3sin 3cos π-πi 65sin3cos π+πi 4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ ）（A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ ）（A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率（C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知函数，求x 的取值范围0)32(log 5.0>-x 2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值4.求的值)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 5．求的展开式中x 的一次幂的系数6)12(xx -6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数的图象2)1(1+=x y四．（本题满分12分）已知等差数列,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的a 数列cb a 1,1,1五．（本题满分14分）把化成三角函数的积的形式(要求结果最简）α-β-α-422cos sin 2sin 411六．（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程理工农医类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1） （2）x ＜-2.（3）.84ππ或},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=（4）-20 （5）0 （6）!647⋅P 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c 与b 或交于一点或互相平行.(1)若c 与b 交于一点,设c ∩b=P.由P ∈c,且c β,有P ∈β;又由P ∈b,且b γ,有P ∈γ.于是P ∈β∩γ=a.所以a,b,c 交于一点(即P 点).(2)若c ∥b,则由b γ,有c ∥γ.又由c β,且β∩γ=a,可知c ∥a.所以a,b,c 互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) )((3) ,0(2) ,0(1) ,01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知，所以c≠0，可得1)(=+x d cx x 2=+dcx .12cd x -=又由及x ＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中1)(=+x d cx x 0>+xdcx 再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组：1(=+xdcx x .1≠x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5) 1,x (1) ,02c d x 由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：.01>-cd①c＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1;②c＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知dc -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且时，或者当c ＜0,d ＞1且时，原方程有解，它的解d c -≠1d c -≠1是cd x -=1六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.解：1.因为p,q 为实数，，z 1,z 2为虚数，所以0≠p 0,04)2(22>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=,2212212|4)(|p q z z z z -=-+长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为，21所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的，21从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据及两点间距离公式，可得21||=d MF 22222312(1)(2)(,9()4(2)1223x y x y -+-=-+-=即这就是所求的轨迹方程七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.解：由，运用正弦定理，有a bB A =cos cos .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴=因为A≠B，所以2A=π-2B，即由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，.12)6810(21=++所以内切圆半径r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以，40≤≤x S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=-因为，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72πα20<≤八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件＞2及x 1=知不等式当n=1时成立a a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x 再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立从而不等式x n ＞20)2(2>-k x 21>+k x 对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x 所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明由条件及x n >2(n=1,2,…）知).2,1(11=<+n x x nn 因此不等式也成立,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x x nn （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有所以）,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x xnn 2．证一：用数学归纳法x 1=≤3知不等式当n=1时成立a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，由条件及知2>k x 22111111112(1)(22(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也2>k x k k x 2121+≤+成立，从而不等式对所有的正整数n 成立1212-+≤n n x 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知再由及归纳假设可得)111(211-++=+k k k x x x 2>k x k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+3．证：先证明若这是因为.43,31<>+k k k x x x 则.431311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当时，有则由第1小题知34lg 3lgan >,31≥+k x .3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=可得a ,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即，这与假设矛盾所以本小题的结论成立34lg 3lgan <九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解：作CD⊥AM，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，AC 的长为，x AP 3232=半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM∽△DCM，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得文史类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)D;(3)A;(4)C;(5)A.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）（2） （3）m=0,x=-..223<<x ππ84或21（4）1 （5）240 （6）!647⋅P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形解：四．（本题满分12分）证：如果成等差数列，那么cb a 1,1,1,,,1111cc b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即又因为,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以由以上两式，可知a .0≠-=-c b b a .11ca =两边都乘以c ，得=c.a a 但由数列,b,c 的公差不为零，知≠c，这就得出矛盾a a 从而cb a 1,1,1五．（本题满分14分）六．（本题满分14分）解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE⊥AB，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截用S 底表示△ABC 的面积，则S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥七．（本题满分14分）解：设1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即1=2.a a 并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为2,3, ….根据题意，a a 数列{n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为a 12.12-⨯=n n a 根据题意，设 两边取常用对数，得122.121=⨯-n 84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品x y 2.12⨯=的产量超过12万台 答：略八．（本题满分15分）1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程28,205626006912)422(50133211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0.解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2）所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以解得m=-1,或m=14.01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理当m=-1时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;52=r 当m=14时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2-28x+71=0.55=r。
1984高考数学全国卷及答案理
1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （ B ） （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值 答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解：四．（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c Θ从而c 与b 或交于一点或互相平行1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,∴所以a ,b,c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b,则由ac c b ,.//,且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ,b,c 互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：2．1．P b αβ a γ ca⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+xdcx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得.12c dx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xd cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21， 从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由abB A =cos cos ，运用正弦定理，有 .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=.12)6810(21=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x,y),则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ，S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72Y B （0，6） D X ）解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()1(221Λ=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21Λ=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31Λ=+≤≤-n x a n n 那么如果 3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明).2,1(11Λ=<+n x x nn 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11Λ=<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11Λ=<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k ≥1)时成立当n=k+1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2)212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k k k k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立，从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x Λ因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++Λ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=43π时，点P 的速度为V 求这时点M 的速度解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，，∠COD=θ由假设， AC 的长为x AP 3232=， 半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）A P L。
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1984年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（）A．X⊂Y B．X⊃Y C．X=Y D．X≠Y2．（3分）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）A．F=0，G≠0，E≠0 B．E=0，F=0，G≠0 C．G=0，F=0，E≠0D．G=0，E=0，F≠03．（3分）如果n是正整数，那么的值（）A．一定是零B．一定是偶数C．是整数但不一定是偶数D．不一定是整数4．（3分）arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件是（）A．x∈（0，1]B．x∈（﹣1，0）C．x∈[0，1]D．5．（3分）如果θ是第二象限角，且满足，那么（）A．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角二、解答题（共15小题，满90分）6．（4分）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．7．（4分）函数log0.5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？8．（4分）求方程的解集．9．（4分）求式子（|x|+﹣2）3的展开式中的常数项．10．（4分）求的值．11．（4分）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．12．（6分）设画出函数y=H（x﹣1）的图象．13．（6分）画出极坐标方程的曲线．14．（12分）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．15．（12分）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．16．（12分）设p≠0，实系数一元二次方程z2﹣2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．17．（9分）求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．18．（12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，，P为△ABC 的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值．19．（12分）设a＞2，给定数列{x n}，其中x1=a，求证：（1）x n＞2，且；（2）如果a≤3，那么．20．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．1984年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k±1）π，k是整数}之间的关系是（）A．X⊂Y B．X⊃Y C．X=Y D．X≠Y考点：集合的包含关系判断及应用．分析：题中两个数集都表示π的奇数倍的实数，根据集合的相等关系得这两个数集的关系．解答：解：∵数集X={（2n+1）π，n是整数}∴其中的元素是π的奇数倍．∵数集Y={（4k±1）π，k是整数}∴其中的元素也是π的奇数倍．∴它们之间的关系是X=Y．故选C．点评：本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．2．（3分）如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）A．F=0，G≠0，E≠0 B．E=0，F=0，G≠0 C．G=0，F=0，E≠0D．G=0，E=0，F≠0考点：圆的一般方程．分析：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0 解答：解：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0．故选C．点评：本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题．3．（3分）如果n是正整数，那么的值（）A．一定是零B．一定是偶数C．是整数但不一定是偶数D．不一定是整数考点：进行简单的合情推理．专题：分类讨论．分析：这是一个简单的合情推理问题，我们可以对n的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案．解答：解：∵n是正整数①当为为奇数时，n2﹣1必为8的整数倍，不妨令n2﹣1=8Z，Z∈N*则=2Z，Z∈N*即此时的值为偶数．②当为为偶数时，1﹣（﹣1）n=0则=0故的值一定是偶数故选B点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．4．（3分）arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件是（）A．x∈（0，1]B．x∈（﹣1，0）C．x∈[0，1]D．考点：反三角函数的运用．专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：充分考虑arccosx的范围，推出arccos（﹣x）的范围，然后确定arccos（﹣x）大于arccosx的充分条件解答：解：∵arccosx∈[0，π]，（1）arccosx∈[0，）时，x∈∈（0，1]，arccos（﹣x）∈（，π]＞arccosx，（2）arccosx∈（，π]时，x∈[﹣1，0），arccos（﹣x）∈[0，）＜arccosx，（3）arccosx=时x=0，arccosx==arccos（﹣x），故选A．点评：本题考查反三角函数的运用，考查分类讨论的思想，是基础题．5．（3分）如果θ是第二象限角，且满足，那么（）A．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角考点：半角的三角函数．专题：计算题；压轴题．分析：先根据θ的范围确定的范围，再由可确定的大小关系，进而确定的象限．解答：解：∵θ是第二象限角∴∴（k∈Z）∴当k为偶数时，在第一象限；当k为奇数时，在第三象限；∵==∴∴是第三象限角故选B．点评：本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系．属基础题．二、解答题（共15小题，满90分）6．（4分）已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；分类讨论．分析：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．解答：解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，当母线为4时，圆柱的底面半径是此时圆柱体积是当母线为2时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是综上所求圆柱的体积是：或．点评：本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题．容易疏忽一种情况．7．（4分）函数log0.5（x2+4x+4）在什么区间上是增函数？考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可．解答：解：令x2+4x+4＞0，得x≠﹣2，由t=x2+4x+4知，其对称轴为x=﹣2故内层函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，+∞）上是增函数．因为外层函数的底数0.5＜1，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间故函数y=log0.5（x2+4x+4）在（﹣∞，﹣2）上是增函数．答：函数y=log0.5（x2+4x+4）在（﹣∞，﹣2）上是增函数．点评：本题的考点是复合函数的单调性，考查了对数与二次函数的单调性的判断方法以及定义域的求法．8．（4分）求方程的解集．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；数形结合．分析：利用平方关系和倍角公式对方程进行整理，根据一个周期内的正弦函数值求解，最后解集写出几何形式．解答：解：由题意知，，即1+sin2x=，∴sin2x=﹣，则2x=+2nπ或﹣+2nπ（n∈Z），解得x=+nπ或﹣+nπ（n∈Z），∴所求方程的解集是：{x|x=+nπ，n∈Z}∪{x|x=﹣+nπ，n∈Z}点评：本题考查了三角函数方程的求解，即利用同角的基本关系、倍角公式、两角和差公式等等，对方程进行化简，再由三角函数在一个周期内的函数值和周期求出解集．9．（4分）求式子（|x|+﹣2）3的展开式中的常数项．考点：二项式系数的性质．分析：解法一：利用分步乘法原理展开式中的常数项是三种情况的和，解法二：先将利用完全平方公式化成二项式，利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．解答：解法一：（|x|+﹣2）3=（|x|+﹣2）（|x|+﹣2）（|x|+﹣2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取﹣2，得（﹣2）3；②一个括号取|x|，一个括号取，一个括号取﹣2，得C31C21（﹣2）=﹣12，∴常数项为（﹣2）3+（﹣12）=﹣20．解法二：（|x|+﹣2）3=（﹣）6．设第r+1项为常数项，则T r+1=C6r•（﹣1）r•（）r•|x|6﹣r=（﹣1）6•C6r•|x|6﹣2r，得6﹣2r=0，r=3．∴T3+1=（﹣1）3•C63=﹣20．点评：本题考查解决二项展开式的特定项问题的重要工具有二项展开式的通项公式；还有分步乘法原理．10．（4分）求的值．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子、分母同时除以3n，原式转化为，由此能求出的值．解答：解：==0．点评：本题考查数列的极限和运算，解题时要注意合理地进行等价转化．11．（4分）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案．解答：解：此题采用插空法，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，即可把6个歌唱节目每个的前后当做一个空位，共有7个空位，只需把舞蹈节目安排到空位上就不会相邻了，共有P74种排法，舞蹈节目排好后再排歌唱节目共有A66种所以共有种P74•A66排法，答案为P74•A66．点评：此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆．12．（6分）设画出函数y=H（x﹣1）的图象．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．分析：考查函数图象的变化，y=H（x﹣1）的图象是由y=H（x）的图象向右平移一个图象得到的．故可以先画出H（x）的图象然后再向右平移1个单位得到H（x﹣1）的图象．解答：解：点评：考查函数图象的平移问题．记y=f（x），则y=f（x+1），y=f（x﹣1），y=f（x）+1，y=f（x）﹣1的图象，是由y=f（x）图象分别向左，向右，向上，向下平移1个单位得到的．13．（6分）画出极坐标方程的曲线．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：作图题．分析：先将方程化简一下，然后根据极坐标方程的几何意义进行画图即可．解答：解：方程∴ρ﹣2=0或θ﹣=0，即ρ=2表示圆心在极点，半径为2的圆θ=表示极角为的射线画出图象即可．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及作图能力的考查，属于基础题．14．（12分）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；综合题．分析：三个平面两两相交，有三条交线，这三条交线交于一点，或互相平行．证明时要分三条交线交于一点，和三条交线互相平行两种情况；（1）证三线交于一点时，先由两线交于一点，再证这一点也在第三条直线上；（2）证三线平行时，先由两线平行，再证第三条直线与这两条平行线中的任一条直线平行即可．解答：证明：设三个平面为α，β，γ，且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a；∵α∩β=c，α∩γ=b，∴c⊂α，b⊂α；∴c与b交于一点，或互相平行．（1）如图①，若c与b交于一点，可设c∩b=P．由P∈c，且c⊂β，有P∈β；又由P∈b，b⊂γ，有P∈γ；∴P∈β∩γ=a；所以，直线a，b，c交于一点（即P点）．图①；图②（2）如图②，若c∥b，则由b⊂γ，且c⊄γ，∴c∥γ；又由c⊂β，且β∩γ=a，∴c∥a；所以a，b，c互相平行．点评：本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明，特别是几何符号语言的应用，是有难度的问题．15．（12分）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．考点：对数的运算性质；对数函数图象与性质的综合应用；根的存在性及根的个数判断．分析：先将对数式转化为指数式，再根据对数函数的真数大于0，底数大于0且不等于1找到方程有根的等价条件后可解题．解答：解：原方程有解的充要条件是：由条件（4）知，所以cx2+d=1再由c≠0，可得又由及x＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及，知x≠1因此，原条件可简化为以下的等价条件组：由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c＞0，1﹣d＞0，即c＞0，d＜1；②c＜0，1﹣d＜0，即c＜0，d＞1、再由条件（1）（5）及（6）可知c≠1﹣d从而，当c＞0，d＜1且c≠1﹣d时，或者当c＜0，d＞1且c≠1﹣d时，原方程有解，它的解是点评：本题主要考查对数式与指数式的互化和方程根的判定．属中档题．16．（12分）设p≠0，实系数一元二次方程z2﹣2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．考点：复数的基本概念；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意两个虚数根z1，z2是共轭复数，可得椭圆的短轴长：2b=|z1+z2|=2|p|，焦距为2c=|z1﹣z2|，然后求出长轴长．解答：解：因为p，q为实数，p≠0，z1，z2为虚数，所以（﹣2p）2﹣4q＜0，q＞p2＞0由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，焦距离=2c=|z1﹣z2|=，长轴长=2a=点评：本题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．17．（9分）求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．考点：椭圆的标准方程；轨迹方程．分析：先确定椭圆的位置，设左定点的坐标为A（x，y），然后根据离心率的含义得到左焦点的坐标，根据椭圆的第二定义确定方程．解答：解：因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的，从而左焦点F的坐标为设d为点M到y轴的距离，则d=1根据及两点间距离公式，可得这就是所求的轨迹方程点评：本题主要考查椭圆方程的第二定义，平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合．18．（12分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值．考点：三角函数的最值；正弦定理．专题：计算题．分析：利用正弦定理可求得，进而根据题设等式求得整理求得A+B=判断出三角形为直角三角形，进而可利用勾股定理求得a和b，利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p的坐标，表示出，S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，利用x的范围确定S的范围，则最大和最小值可得．解答：解：由，运用正弦定理，有，∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B．因为A≠B，所以2A=π﹣2B，即A+B=由此可知△ABC是直角三角形由c=10，，a2+b2=c2以及a＞0，b＞0可得a=6，b=8．如图，设△ABC的内切圆圆心为O'，切点分别为D，E，F，则AD+DB+EC=（10+8+6）=12．但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2，如图建立坐标系，则内切圆方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4设圆上动点P的坐标为（x，y），则S=|PA|2+|PB|2+|PC|2=（x﹣8）2+y2+x2+（y﹣6）2+x2+y2=3x2+3y2﹣16x﹣12y+100=3[（x﹣2）2+（y﹣2）2]﹣4x+76=3×4﹣4x+76=88﹣4x．因为P点在内切圆上，所以0≤x≤4，S最大值=88﹣0=88，S最小值=88﹣16=72点评：本题主要考查了三角函数求最值的问题，直角三角形内切圆的问题，圆的性质问题．考查了学生基础知识的综合应用．19．（12分）设a＞2，给定数列{x n}，其中x1=a，求证：（1）x n＞2，且；（2）如果a≤3，那么．考点：用数学归纳法证明不等式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式x n＞2当n=1时成立，再假设不等式x n＞2当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式x k+1＞2也成立，最后得到不等式x n＞2对于所有的正整数n成立；（2）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式当n=1时成立，再假设不等式当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式也成立，最后得到不等式对于所有的正整数n成立；解答：证明：（1）①当n=1时，∵=，==2+，x1=a＞2，∴2＜x2＜x1．结论成立．②假设n=k时，结论成立，即2＜x k+1＜x k（k∈N+），则=＞x k+1，=2+＞2．∴2＜x k+2＜x k+1，综上所述，由①②知2＜x n+1＜x n．∴x n＞2且．（2）由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k（k≥1）时成立当n=k+1时，由条件及x k＞2知≤0，再由x k＞2及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也成立，从而不等式对所有的正整数n成立点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．20．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导．解答：解：如图，作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COA=θ，由题意弧AC的长为，半径OC=1，可知θ=，考虑θ∈（0，π）．∵△APM∽△DCM，∴．∵DM=y﹣（1﹣cos），DC=sin，∴∴．上式两边对时间t进行求导，则y′t=y′x•x′t．∴y′t=当时，x′t=v，代入上式得点M的速度．点评：本题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数的几何意义；同时也考查了逻辑思维能力和计算能力．。