同济高等数学第六版上册第四章ppt
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同济六版高等数学第四章第二节
例 例2 2 3 1 2 x d 1 2 3 1 x 2 x ( 3 2 x ) d 1 2 3 1 x 2 x d ( 3 2 x ) 1 2 u 1 d 1 2 l | u | C n x 1 2 l | 3 2 x n | C
例 例3 3 2 x x 2 d e e x x 2 ( x 2 ) d e x x 2 d ( x 2 ) e u du
例 例5 5. tx a c s d x x n d i o c x n 1 x x d s c o x o ss u 1 d l | u | C n u l n | c o s x | C
积分公式：
tx a l d n | c n x | x C o , c s x o l d | s n t x | i x C n
§4. 2 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
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铃
基本思路
设 F (u)f(u),
可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)dx
F[(x)]CF(u)Cu(x)
f(u)duu(x)
第一类换元法
第二类换元法
积分表
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一、第一类换元法
❖定理1(换元积分公式)
积分表
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( x ) ( x ) d ] f [ f ( x [ x ) ( d x ) ( x ] ) ( x ) d ] f ( u ) d f [ ( x x F ) ( u d ) u ( x C ] ) F [ f ( u ( x ) d ) C F ( ] u ) u C F [ ( x
例 例3 3 2 x x 2 d e e x x 2 ( x 2 ) d e x x 2 d ( x 2 ) e u du
例 例5 5. tx a c s d x x n d i o c x n 1 x x d s c o x o ss u 1 d l | u | C n u l n | c o s x | C
积分公式：
tx a l d n | c n x | x C o , c s x o l d | s n t x | i x C n
§4. 2 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
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基本思路
设 F (u)f(u),
可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)dx
F[(x)]CF(u)Cu(x)
f(u)duu(x)
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( x ) ( x ) d ] f [ f ( x [ x ) ( d x ) ( x ] ) ( x ) d ] f ( u ) d f [ ( x x F ) ( u d ) u ( x C ] ) F [ f ( u ( x ) d ) C F ( ] u ) u C F [ ( x
同济高等数学第六版上册第四章ppt
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5. 求下列积分: dx ; (1) 2 2 x (1 x ) 提示:
dx ( 2) 2 . 2 sin x cos x
(1)
1 1 (1 x 2 ) x 2 1 2 2 2 2 2 2 x 1 x x (1 x ) x (1 x )
arcsin u C
(直接配元)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
2 12 C C 1
因此所求曲线为 y x 1
2
O
x
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从不定积分定义可知: d f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx (1) dx
( 2)
F ( x) dx F ( x) C k dx
第四章 不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 若函数 f ( x ) 在区间 I 上连续 , 则 f ( x ) 在 I 上 (下章证明) 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
x x e d x e C
(12)
x a C (13) a x dx ln a
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dx 例2. 求 3 . x x
5. 求下列积分: dx ; (1) 2 2 x (1 x ) 提示:
dx ( 2) 2 . 2 sin x cos x
(1)
1 1 (1 x 2 ) x 2 1 2 2 2 2 2 2 x 1 x x (1 x ) x (1 x )
arcsin u C
(直接配元)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
2 12 C C 1
因此所求曲线为 y x 1
2
O
x
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从不定积分定义可知: d f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx (1) dx
( 2)
F ( x) dx F ( x) C k dx
第四章 不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 若函数 f ( x ) 在区间 I 上连续 , 则 f ( x ) 在 I 上 (下章证明) 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
x x e d x e C
(12)
x a C (13) a x dx ln a
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dx 例2. 求 3 . x x
《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT
1 x
0
1
1
1 t4
1 t2
d
t
t 2 0 1t4
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
d
x x4
1 2
0 1
d
x x4
x2
0 1 x4
d
x
1
2
1 01
x2 x4
d
x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节 反常积分
第五章
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分
F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
x2
同济六版高等数学第四章第二节课件
a a
a a
积分公式：
a 2 1 x 2 d a 1 a x a x r C , c a 2 1 t x 2 d a a n x a x r C c
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( x ) ( x ) d ] f [ f ( x [ x ) ( d x ) ( x ] ) ( x ) d ] f ( u ) d f [ ( x x F ) ( u d ) u ( x C ] ) F [ f ( u ( x ) d ) C F ( ] u ) u C F [ ( x
例 例5 5. tx a c s d x x n d i o c x n 1 x x d s c o x o ss u 1 d l | u | C n u l n | c o s x | C
积分公式：
tx a l d n | c n x | x C o , c s x o l d | s n t x | i x C n
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( x ) ( x ) d ] f [ f ( x [ x ) ( d x ) ( x ] ) ( x ) d ] f ( u ) d f [ ( x x F ) ( u d ) u ( x C ] ) F [ f ( u ( x ) d ) C F ( ] u ) u C F [ ( x
f (u)du
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一、第一类换元法
❖定理1(换元积分公式)
设f(u)具有原函数, 且u(x)可导, 则有换元公式 f [ ( x ) ( x ) d ] [ f ( u ) d x ] u ( x ) u
高等数学(同济大学)第六版课件上第4章
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
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C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
gt
2
v0t
x0
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从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
x
x x(t)
x0 x(0) o
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先求 由
知
v(t) ( g) d t gt C1
由v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) gt v0
再求
高等数学同济第六版上册课件CH4-4
1 x2 x 1
A x 1
Bx C x2 x 1
通分 x2 2x 2 A( x2 x 1) (Bx C)( x 1) x2 2x 2 (A B)x2 (A B C)x A C
A B 1 A B C 2
A C 2
A 1 B 2
C 1
x2
2x x3 1
x 2
sin 2
x 2
2 1 tan 2
x
2
sec2 x
1 1
u2 u2
2
例1
求
1
sin sin x
x
cos
x
dx.
解： 由万能置换 u tan x 2
dx
1
2 u2
du,
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
1
sin x sin x cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
已解决
3
x
Ax 2
B px
q
dx
4
x
2
Ax px
B
q
n
dx
（重点解决） （利用递推公式）
(1) 若 Δ＝p2－4q＜0，即分母无法分解因式
利用公式
du a2 u2
1 arctan a
u a
C
例1
求
9x2
1 dx 6x 2
解：
原式＝
(3x
1 1)2
dx 1
＝1 3
d (3x 1) (3x 1)2
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
三角代换
A x 1
Bx C x2 x 1
通分 x2 2x 2 A( x2 x 1) (Bx C)( x 1) x2 2x 2 (A B)x2 (A B C)x A C
A B 1 A B C 2
A C 2
A 1 B 2
C 1
x2
2x x3 1
x 2
sin 2
x 2
2 1 tan 2
x
2
sec2 x
1 1
u2 u2
2
例1
求
1
sin sin x
x
cos
x
dx.
解： 由万能置换 u tan x 2
dx
1
2 u2
du,
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
1
sin x sin x cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
已解决
3
x
Ax 2
B px
q
dx
4
x
2
Ax px
B
q
n
dx
（重点解决） （利用递推公式）
(1) 若 Δ＝p2－4q＜0，即分母无法分解因式
利用公式
du a2 u2
1 arctan a
u a
C
例1
求
9x2
1 dx 6x 2
解：
原式＝
(3x
1 1)2
dx 1
＝1 3
d (3x 1) (3x 1)2
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
三角代换
同济大学(高等数学)_第四章_不定积分
第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为()s s t =,则质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1。
1。
1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如,在变速直线运动中，()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出。
关于原函数，不难得到下面的结论：若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ,()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ，即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理:定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ(C 为任意常数）． 若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1。
同济高数第4章课件第三节
同济高数第4章课件第三节
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
高等数学同济第六版第四章第2节.ppt
x
dx
d(sec x tan x) sec x tan x
第四章第二节
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
ln tan x C (P196 例16 )
2
13
例11.
求
(
x2
x3 a2
3
)2
dx
.
第四章第二节
解:
原式
=
1 2
(
x2 dx2
x
2
a
2
3
)
2
1 2
(x2 a2)
例8. 求 sec6 xdx .
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsteacn2 xd x
(tan4 x 2tan2 x 1)dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
第四章第二节
10
例9.
求
1
dx e
x
.
解法1
第四章第二节
(1 e x ) e x
1 e2x
(P203 公式 (22) )
34
例24. 求
第四章第二节
解:
令
x
1 t
,得
原式
t dt a2t2 1
1 2a2
d (a2t2 a 2t 2
1) 1
1 a2
a2t2 1 C
35
例25. 求
第四章第二节
解: 原式 ( x 1)3
dx ( x 1)2 1
令
x
1
1 t
t3
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项; 1 sin2 x cos2 x等
高等数学(同济第六版)课件 第四、五章 3. 微积分基本公式
(sec x 1) sec xd sec x
2 2
4 0
sec4 xd sec x sec2 xd sec x
1 1 1 5 4 1 3 4 sec x 0 sec x 0 (4 2 1) ( 2 2 1) 5 3 5 3
4 0
2 sin x cos 2 x 1 ( 2) dx sin x d cos x d cos x cos x cos x cos x 3
1 (cos x )d cos x cos x 1 1 2 ( t )dt t ln t C t 2
mx n , ( p 2 4q 0) 型的积分 基本类型4： 2 x px q mx n mx n 先将分母分解因式： 2 x px q ( x a )( x b ) mx n A B 由： ( x a )( x b ) x a x b
| sin x cos x | dx | sin x cos x | dx (cos x sin x )dx (sin x cos x )dx
4 0 4 0
2 0
2 4 2 4
(sin x cos x )
4 0
( cos x sin x )
2 4
( 2 1) ( 1 2 ) 2( 2 1)
y x 2 和 x y 2 所围成的图形的面积. 例2 求由曲线
解 A
1
0
xdx x 2dx
0
1
2 x 3
31 2
1 21 2 1 1 x 0 3 3 3 3 0
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
《高等数学》(同济六版)教学课件★第4章.不定积分
x0
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从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F (x) dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
二、 基本积分表 (P188)
利用逆向思维
(1) kdx k x C
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
在区间 I 上的一个原函数 .
如引例中, A sin t 的原函数有 A cos t, A cos t 3,
m
m
m
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故
v(t) g t v0
再求
由
知
x
x x(t)
x0 x(0)
O
x(t)
(g
t
v0
)d
t
1 2
g
t
2
v0t
C2
由x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
g
t
2
v0t
定理1. 存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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arcsin u C
(直接配元)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
解: 原式=
1 sin 2
x dx 1 cos x C 2
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三、不定积分的性质
1.
k f ( x) dx k f ( x)dx (k 0) 2. [ f ( x) g ( x)] dx f ( x)dx g ( x) d x
n i 1
或 d F ( x) F ( x) C
利用逆向思维
二、 基本积分表 (P188)
(1) ( 2) kx C
1 x 1 1
( k 为常数)
x dx
C
( 1)
dx (3) ln x C x
x 0时 1 ( ln x ) [ ln( x) ] x
f [ ( x)] ( x)dx F[ ( x)] C F (u ) C u ( x) f (u )du u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
f [ ( x)] ( x) dx
f (u ) du
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一、第一类换元法
ห้องสมุดไป่ตู้定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元 公式
提示: 已知 求 即
( B ) 1 sin x ; ( D) 1 cos x .
f ( x) sin x ( ? ) f ( x ) ( ? ) sin x
或由题意 f ( x) cos x C1 , 其原函数为
f ( x) d x sin x C1x C2
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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例3. 求 解:
dx
a2 x2 x d( dx dx a) 2 2 x 2 x 2 a x a 1 ( a ) 1 ( a ) x arcsin C a
(a 0).
想到
du 1 u2
x 2x x
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7. 已知 求A,B.
x2 1 x2
dx A x 1 x B
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x2 1 x
2
A 1 x
2
Ax 2 1 x
2
B 1 x2
( A B ) 2 Ax 2
1 x2 A B 0 2A 1
2 2 1 sin x cos x ( 2) 2 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x
sec 2 x csc 2 x
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e3 x 1 6. 求不定积分 x dx . e 1 e3 x 1 dx 解： x e 1 (e 1) (e e 1) dx x e 1 ( e 2 x e x 1) dx 1 2x x e e xC 2
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dx arc cot x C ( 4) 或 arctan x C 1 x2 dx arcsin x C 或 arc cos x C (5) 1 x2 ( 6)
(7 )
cos xdx sin x C sin xdx cos x C
推论: 若 f ( x) ki f i ( x) , 则
ki f i ( x)dx f ( x)dx i 1
n
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例4. 求 2 (e 5)dx .
x x
解: 原式 [(2 e) 5 2 ]dx
x x
x (2 e) x 2 C 5 ln(2 e) ln 2
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5. 求下列积分: dx ; (1) 2 2 x (1 x ) 提示:
dx ( 2) 2 . 2 sin x cos x
(1)
1 1 (1 x 2 ) x 2 1 2 2 2 2 2 2 x 1 x x (1 x ) x (1 x )
f ( x ) e x C0 1 f (ln x) C0 x f (ln x) 1 C0 2 x x x
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4. 若 f ( x) 的导函数为 sin x , 则 f ( x) 的一个原函数 是( B ).
( A) 1 sin x ; (C ) 1 cos x ;
例如,
f ( x)dx F ( x) C x x e e dx C 2 1 x3 C x d x 3 sin xdx cos x C
( C 为任意常数 ) C 称为积分常数, 不可丢 !
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不定积分的几何意义:
f ( x) 的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线 .
第四章 不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 若函数 f ( x ) 在区间 I 上连续 , 则 f ( x ) 在 I 上 (下章证明) 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
x x e d x e C
(12)
x a C (13) a x dx ln a
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dx 例2. 求 3 . x x
解: 原式 =
x
4 3
3 x
1 3
3 x dx 4 C 3 1
4 1
C
x cos x dx . 例3. 求 sin 2 2
它属于函数族 F ( x) C .
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定义 2. f ( x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f ( x) 在 I 上的不定积分, 记作 f ( x) d x , 其中
— 积分号;
f ( x) — 被积函数; f ( x)dx — 被积表达式.
(P185)
x — 积分变量; 若 F ( x) f ( x) , 则
f ( x) dx 的图形
y
f ( x) 的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
O
x0
x
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例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解:
y 2x
y 2xdx x C
2
y
(1,2)
所求曲线过点 (1, 2) , 故有
A 1 2 1 B 2
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第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u ) f (u ) , u ( x) 可导, 则有
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
2 12 C C 1
因此所求曲线为 y x 1
2
O
x
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从不定积分定义可知: d f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx (1) dx
( 2)
F ( x) dx F ( x) C k dx
dx 2 (8) sec xdx tan x C 2 cos x dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C sin x
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(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C
x e 5 x 2 C ln 2 1 ln 2
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例5. 求 tan 2 xdx . 解: 原式 =
(sec x 1)dx sec 2 xdx dx
2
tan x x C
1 x x2 dx . 例6. 求 2 x (1 x ) x (1 x 2 ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x ) 1 1 d x dx 2 x 1 x arctan x ln x C
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内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P188) 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 ,
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初等函数在定义区间上有原函数
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定理 2. 若 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数 , 则 f ( x) 的所有 原函数都在函数族 F ( x) C ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x)