古诺模型、卡特尔模型

古诺模型（同时行动的静态博弈，要求解的是纳什均衡）

假设：

1.一个行业，两个厂商；

2.两厂商产品同质；

3.两厂商平均成本均为c;

4.两厂商同时选择产量，市场价格由供求决定。

两厂商在选择自己的产量的时候，只能根据对另一厂商产量的预期做出决策，因为它无法观测到对方的产量。但是，由于在最终的均衡，这种预期必须是正确的，因此我们只关心均衡情况。

模型：

反市场需求函数：P = a – b (q1 + q2)

厂商1的利润函数：L1 = [ a – b (q1 + q2)] – cq1

厂商1利润最大化的产量满足的一阶条件：∂ L1/∂ q1 = a – 2bq1–bq2– c = 0

从而得到厂商1的反应函数：R1 (q2) = (a – c – bq2) /2b (1)

同理可以得到厂商2的反应函数：R2 (q1) = (a – c – bq1) /2b (2)

古诺均衡产量（q1*，q2*）满足q1* = R1(q2*)，q2* = R2(q1*)。即给定其他厂商的最优产量，每个厂商都实现了最大利润，从而也没有激励单方面改变自己的产量，正因为如此，古诺均衡是纳什均衡。

联立（1）和（2），得到：q1* = q2* = (a – c)/3b（古诺模型的均衡产量）

整个行业总供给量：q = q1 + q2 = 2 (a – c) / 3b

市场价格：P = (a +2c) / 3；限定a＞c，因此P = (a + 2c) / 3 ＞ c= MC

这表明古诺模型中的产量竞争不同于完全竞争市场，没有实现总剩余最大化。但是古诺模型确实有两个寡头的竞争，行业总供给也大于垄断产量(a – c) / 2b.

补充：模型的一般化（n个寡头情形下的古诺模型）

假设n个寡头有相同的不变的平均成本c。

市场需求函数：P = a–b(q1+q2+…+q n),a＞0,b＞0,a＞c.

厂商i的利润函数：L i = [a–b(q1+q2+…+q n)]q i–cq i

利润最大化的一阶条件：∂ L i /∂ q i = a – bq – bq i – c = 0，其中q = q1+q2+…+q i.

所有厂商的均衡产量都满足这一条件，把它相加n次：na – bnq – bq – nc = 0

解此方程得：q = n (a – c) / b(n+1)

从而P = (a + nc) / (n+1)

当n = 1，得到垄断解；当n = 2，得到双寡头解；当n趋于无穷大，得到完全竞争解。

卡特尔模型（寡头合谋，联合定产）

在某个寡头市场中，如果几个重要的厂商联合起来限制产量，操纵价格，以获取垄断利润，这种联合组织就被称为卡特尔。卡特尔的作用是消除厂商之间的竞争。

两个厂商的成本函数：c1 (q1) ,c2 (q2)

共同面对的反市场需求函数：P = P(q1+q2)

Max. L = P(q1+q2).(q1+q2) - c1 (q1) - c2 (q2)

分别对q1和q2求偏导得到一阶条件：

P’(q1+q2).(q1+q2) + P(q1+q2) – c’1 (q1) = 0 (1)

P’(q1+q2).(q1+q2) + P(q1+q2) – c’2 (q2) = 0 (2)

由（1）和（2）解出：c’1 (q1) = c’2 (q2)

即不论总产量为多少，卡特尔内部成员之间的产量份额满足边际成本相等的原则，这样的产量安排可以用最小的成本生产给定的总产量，从而卡特尔内部的生产是有效率的。

由于MR(q1 + q2) = P’(q1+q2).(q1+q2) + P(q1+q2)是卡特尔的边际收益，因此卡特尔的利润最大化产量满足：MR(q1* + q2*) = c’1 (q1*) = c’2 (q2*)

卡特尔制定的价格：P* = P(q1* + q2*)

在历史上，卡特尔曾盛极一时，但是所有的卡特尔都寿命不长，并且除了国际石油输出国组织（OPEC）外，很少有卡特尔能够产生重大的经济影响。卡特尔不能持久的一个原因是因为很多国家的法律限制这种合谋，但是从经济学的角度来看，卡特尔的失败是因为其内在的不稳定性。

首先，卡特尔内部的每个成员都有强烈的欺骗动机。因为卡特尔的高价格需要通过限制产量来维持，但是每个成员都认识到，如果其他厂商都遵守卡特尔协议，而自己增大产量，则可以在获得价格提高的好处的同时又不承担代价----减少产量。如果只有个别成员增大产量，这并不会带来很大的问题，但是每个厂商都面对这样的激励，从而如果没有办法有效地监督和制裁违约的行为，卡特尔就很容易崩溃。

分析：

假设q2*不变，而厂商1背离卡特尔协议（即不再以最大化卡特尔组织的利润，而以最大化自己的利润为目标选择产

量），那么厂商1的问题变为：

Max. L1 = P(q1+q2).q1– c1(q1)

L1对q1求导得：P’(q1+q2).q1+ P(q1+q2) – c1’(q1) = 0

由之前的分析知道，卡特尔最大化利润时的产量为：q1* + q2*

将q1*和q2*代入卡特尔利润最大化的第一个条件（1）得：

P’(q1*+q2*).(q1*+q2*) + P(q1*+q2*) – c’1 (q1*) = 0

移项得：P’(q1*+q2*). q1* + P(q1*+q2*) – c’1 (q1*) =–P’(q1*+q2*).q2*

因需求函数向右下倾斜，所以P’(q1*+q2*)＜0，故P’(q1*+q2*).q1* + P(q1*+q2*) – c’1 (q1*)＞0 P’(q1*+q2*).q1* + P(q1*+q2*) – c’1 (q1*)＞0意味着厂商1没有实现最大化利润，如果它单方面增加产量，才有可能使P’(q1*+q2*).q1* + P(q1*+q2*) – c’1 (q1*)= 0成立。

因此结论是：卡特尔成员都有不遵守协议产量的激励，具体来说，它们都有增加产量的激励，同时根据以上分析还可以知道，卡特尔的产量q1*+q2*一定小于竞争性产量。

卡特尔的不稳定性是典型的囚徒困境，虽然每个成员都认识到合作限制产量可以共同增大利润，但这样的产量不是纳什均衡，从而并不能自动实施。

因此，卡特尔的维持需要某种显示价格信息和惩罚机制。这种机制有时以非常巧妙的方式实施。比如，在城市的大超市中，我们有时可以看到这样的广告：“如果顾客在5公里之内的同等规模的超市内发现更低的价格，我们会双倍返还差价。”实际上，这就是一种惩罚机制。消费者承担了发现价格下降的信息提供者的职能，而如果一个超市降低了价格，会引来其他超市更大幅度的降价，从而这种条款可以帮助维持一个