第一讲：不等式的性质和解集
第1讲1第1课时不等式的基本性质课件人教新课标
解答
(4)设 a，b 为正实数，若 a－1a＜b－1b，则 a＜b. 解 正确. 因为 a－1a＜b－1b，且 a＞0，b＞0， 所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－ b)(ab＋1)＜0， 所以a－b＜0，即a＜b.
本课结束
a－b 所以bb＋1＞0， 所以ab＞ab＋＋11.
解答
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)x－122＋34， 因为x＞1，所以x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以x3－1＞2x2－2x.
证明
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等 式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需 要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，求证：ba2＋ab2≥a＋b. 证明 ba2＋ab2－(a＋b)＝ba2－a＋ab2－b
_a_b_≠_1_或__a_≠_－__2____.
解析 ∵x＞y， ∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， ∴ab≠1或a≠－2.
12345
解析 答案
规律与方法
1.不等式的基本性质是不等式变形的根据，每一步变形都要做到有根有据， 严格按照不等式的性质进行. 2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关 键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较. 3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中 一定要注意不等式成立的条件.
第一讲_不等式性质和均值不等式(新修改)
1 1 解: (1)当x 0时, x 2 x 2 x x 1 (2)当x 0时, x, R , x
1 1 x 2 ( x) ( ) 2 x x
1 x 2 y (,2] [2,). x
作业: 1.已知 a 0, b 0 , 2a 3b 10 ,
5.已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求 f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]
二: 基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a 2 + b2 ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？
分析：a2与b2的几何意义是正方形面积， ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形 的面积角度解释定理。
解:∵A-B= 1+2x4-( 2x3 +x2 )= (2 x4 2 x3 ) (1 x2 ) = 2x3 ( x 1) (1 x)(1 x) = ( x 1)(2x3 x 1) 1 1 = ( x 1)( x 1)(2x2 2x 1) = ( x 1) 2 2( x ) 2 0 2 2 ∴ A>B
x
解：依题意有 v =(a - 2x) x a （0 < x < ) 2
2
a
1 例1 求函数y x (1 5 x )(0 x )的最值。 5
2
下面的解法对吗？ 5 2 2 5 2 解：y x ( 2 x) x x( 2 x), 12 1 4x 1 5 2 5 x 1 5x 3 y 4 x x(1 5 x) ( ) , 41 2 4 3 108 0 x , 2 x 0, 51 5 ymax . 2 108 x x ( 2 x) 5 4 3 5 y [ ] . 2 3 675 2 2 4 当且仅当x x 2 x，即x 时，y max . 5 15 675
不等式的基本性质与解法总结
不等式的基本性质与解法总结不等式是数学中常见的一种数值关系表达形式，它描述了两个数或者数值表达式之间大小关系的不同情况。
在解决实际问题中，我们经常会遇到需要研究不等式的性质并解决不等式的问题。
本文将总结不等式的基本性质和解法，帮助读者更好地理解和运用不等式。
一、不等式的基本性质1. 加法性质：如果a<b，那么对于任意的实数c，a+c<b+c仍然成立；如果a>b，那么对于任意的实数c，a+c>b+c仍然成立。
2. 减法性质：如果a<b，那么对于任意的实数c，a-c<b-c仍然成立；如果a>b，那么对于任意的实数c，a-c>b-c仍然成立。
3. 乘法性质：如果a<b且c>0，那么ac<bc仍然成立；如果a<b且c<0，那么ac>bc仍然成立。
4. 除法性质：如果a<b且c>0，那么a/c<b/c仍然成立；如果a<b且c<0，那么a/c>b/c仍然成立。
5. 等式的性质：如果a=b且b=c，那么a=c仍然成立。
可以在不等式的两边加上或者减去相等的数值，不等式的关系仍然保持不变。
二、不等式的分类与解法不等式可以分为一元不等式和二元不等式两类。
一元不等式指只有一个变量的不等式，而二元不等式指含有两个变量的不等式。
下面将分别介绍一元不等式和二元不等式的解法。
1. 一元不等式的解法（1）图像法：将一元不等式转化为二元不等式，绘制出二元不等式的图像，通过观察图像得到一元不等式的解集。
（2）数线法：将一元不等式表示在数轴上，根据不等式的性质，确定不等式的解集。
（3）代数法：通过变形和运算等方式将不等式转化为更简单的形式，进而得到不等式的解集。
2. 二元不等式的解法（1）图像法：将二元不等式表示为平面上的区域，通过观察图像确定变量的取值范围，得到不等式的解集。
（2）代数法：利用一元不等式的解法，将一个变量表示成另一个变量的函数，通过求解一元不等式得到二元不等式的解集。
不等式的性质及解法
不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。
在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。
这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。
2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。
对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。
3. 乘除性：如果 a<b 并且 c>0，则有 ac<bc；如果 a<b 并且 c<0，则有ac>bc。
这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。
4. 对称性：如果a<b，则有b>a。
不等式两边的大小关系可以互换。
二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。
例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。
同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。
例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。
4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。
例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。
不等式的基本性质与解法知识点总结
不等式的基本性质与解法知识点总结不等式在数学中占据着重要的地位，它是描述数值关系的一种有效方式。
本文将总结不等式的基本性质和解法知识点。
一、不等式的基本性质1. 加法性质：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数。
2. 减法性质：若a>b，则a-c>b-c，其中c为任意实数。
3. 乘法性质：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
4. 除法性质：若a>b且c>0，则a/c>b/c；若a>b且c<0，则a/c<b/c。
5. 对称性质：若a>b，则-b>-a。
6. 传递性质：若a>b且b>c，则a>c。
7. 绝对值性质：若|a|>|b|，则a^2>b^2。
8. 幂性质：若a>b且n为正整数，则a^n>b^n。
二、不等式的解法1. 图像法：将不等式转化为图像，利用图像直观地判断解集。
2. 对称法：当不等式具有对称性时，可以利用对称性质简化计算。
3. 分情况讨论法：将不等式分成不同的情况进行讨论，逐一求解。
4. 加减法合并法：将不等式中的项进行合并，简化计算。
5. 取绝对值法：若不等式中存在绝对值，可以通过取绝对值简化问题。
6. 平方法：若不等式中存在平方或平方根，可以通过平方或开方简化计算。
7. 代入法：将不等式中的变量代入，通过求解方程得到不等式的解集。
8. 倒置法：将不等式的方向倒置，从而转化为已知的不等式进行求解。
9. 寻找最值法：通过寻找函数的最值，确定不等式的解集。
10. 数学归纳法：对于一些特殊的不等式，可以通过数学归纳方法来证明。
三、实例分析以下是一些例子，通过上述解法来解答：例子1：解不等式2x+3>7。
解法：首先，我们可以使用加减法合并法将不等式化简为2x>4。
然后，再利用乘法性质除以2，得到x>2。
北师大版八年级数学下册第一讲 不等式的基本性质(基础讲解)(含解析)
第一讲不等式的基本性质【学习目标】1．了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.【知识总结】一、不等式的概念一般地,用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数,如3＜4,-1＞-2；有些不等式中含有未知数,如2x＞5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立．二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集．不等式的解是具体的未知数的值,不是一个范围不等式的解集是一个集合,是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”：一是确定“边界点”,二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言,x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言,x＜a或x≤a 向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点．三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变． 【典型例题】【类型】一、不等式的概念例1．给出下列表达式：①()a b c ab ac +=+；②20-<；③5x ≠；④21a b >+；⑤222x xy y -+；⑥236x ->,其中属于不等式的是______．（填序号） 【答案】②③④⑥【分析】根据不等式的定义判断即可． 解：①a （b+c ）=a b+ac 是等式；②-2＜0是用不等号连接的式子,故是不等式； ③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式； ④2a ＞b+1是用不等号连接的式子,故是不等式； ⑤x 2-2xy+y 2是代数式；⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子,故是不等式, 故答案为：②③④⑥．【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【训练】下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x －3；④s ＝vt ；⑤3x －4＜2y ；⑥3x －5＝2x ＋2；⑦a 2＋2≥0；⑧a 2＋b 2≠c 2.其中是不等式的是___________________．(只填序号) 【答案】①②⑤⑦⑧ 【解析】【分析】根据不等式的定义即可得出结论．解：根据不等式的定义：①－1＞2,②3x ≥－1,⑤3x －4＜2y ,⑦a 2＋2≥0,⑧a 2＋b 2≠c 2是不等式；③x －3,④s =vt ,⑥3x －5=2x ＋2不是不等式． 故答案为：①②⑤⑦⑧．【点拨】本题考查了不等式的概念．掌握不等式的概念是解题的基础． 【训练】下列式子属于不等式的是_______________．① 50-< ② 2x 3= ③ 3x 12-> ④4x 2y 0-≤ ⑤ 2x 3x 20-+> ⑥ x 2y - ⑦ 57x ≠ ⑧54< ⑨ x y 0+≥【答案】①③④⑤⑦⑧⑨【解析】【分析】根据不等式的概念即可解题. 解：∵不等式要求用不等号连接 ∴排除②⑥∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.【类型】二、不等式的解及解集例2.（2018·安徽全国·七年级单元测试）下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？ 100, 98, 51, 12, 2, 0, -1, -3, -5.【答案】100, 98, 51, 12, 2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解. 【解析】试题分析：把上述各数分别代入不等式315x -≥的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可. 试题解析：∵在不等式315x -≥中,当100x =时,左边=312995x -=>； 当98x =时,左边=312935x -=>； 当51x =时,左边=311525x -=>； 当12x =时,左边=31355x -=>； 当2x =时,左边=315x -=；当0x =时,左边=3115x -=-<； 当1x =-时,左边=3145x -=-<； 当3x =-时,左边=31105x -=-<； 当5x =-时,左边=31165x -=-<;∴上述各数中,100,98,51,12,2是不等式315x -≥的解；0,－1,－3,－5不是不等式315x -≥的解. 例3. 把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3； (2)x ＞－1； (3)x≤3；(4)x<－32. 【答案】(1)(2) (3)(4)【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可. 试题解析：（1）将3x ≥-表示在数轴上为：（2）将1x >-表示在数轴上为：（3）将3x ≤表示在数轴上为：（4）将32x <-表示在数轴上为：点拨：将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右,小于（小于或等于）向左”；（2）“x a >或（x a <）时”,数轴上表示数“a ”的点用“空心圆圈”,“x a ≥（或x a ≤）时”,数轴上表示数“a ”的点用“实心圆点”. 【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x ＜6的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7,并利用数轴说明x 的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x ＜6,哪些不满足？ 【答案】﹣2,0,142满足不等式；﹣4,7不满足不等式 【分析】根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式．解：根据图可知：x 的下列值：﹣2,0,142满足不等式；x 的下列值：﹣4,7不满足不等式．【点拨】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,≥向右画；＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”,“＞”要用空心圆点表示．【类型】三、不等式的性质例4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）x 15-<． （2）4x 13-≥． （3）1x 142-+≥． （4）4x 10-<-． 【答案】（1）x 6<；（2）x 1≥；（3）x 6≤-；（4）5x 2>．【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上1即可求解；（2）利用不等式的性质先将两边加上1,再两边同除以4即可求解； （3）利用不等式的性质先将两边减去1,再两边同除以12-即可求解； （3）利用不等式的性质将两边同除以-4即可求解； 解：（1）x 15-<,两边加上1得：x 1151-+<+, 解得：x 6<； （2）4x 13-≥,两边加上1得：4x 1131-+≥+,即4x 4≥, 两边除以4得：x 1≥； （3）1x 142-+≥, 两边减去1得：1x 11412-+-≥-,即1x 32-≥, 两边除以12-得：x 6≤-； （4）4x 10-<-, 两边除以4-得：5x 2>． 【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质．【训练】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-23x>-1（4）10-x>0 （5）-15x<-2 （6）3x+5<0【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<32；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-53．【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变；依次分析各小题即可．解：（1）根据不等式性质1,不等式两边都减4x,不等号的方向不变,得5x-4x>4x+8-4x,即x>8；（2）根据不等式性质1,不等式两边都减去2,不等号的方向不变,得x+2-2<-1-2即x<-3；（3）根据不等式性质3,不等式两边同除以-23,不等号的方向改变,得-23x÷（-23）<-1÷（-23）即x<32；（4）根据不等式性质1,不等式两边同减10,不等号的方向不变,得10-x-10>0-10即-x>-10,再根据不等式性质3,不等式两边同除以-1,不等号的方向改变,得x<10；（5）根据不等式性质3,不等式两边同乘以-5,不等号的方向改变,得-15x·（-5）>-2×（-5）即x>10；（6）根据不等式性质1,不等式两边都减去5,不等号的方向不变得3x+5-5<0-5即3x<-5,再根据不等式性质2,不等式两边同除以3,不等号的方向不变,得3x÷3<-5÷3即x<-53．【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质,本题重在考查不等式的三条基本性质,特别是性质3,两边同乘以（•或除以）同一个负数时,一定要改变不等号的方向!•这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．。
八年级数学讲义不等式的基本性质及其解集
不等式的基本性质及其解集一、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变．c a b a +⇒> c a b a c b +⇒<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若ac c b a ⇒<>0, bc ．二．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体）3．不等式解集的表示方法. 1-≤x①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
x <-1②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别）4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围.②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.例2.（1）如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．（2007山东临沂）直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。
A 、x ＞－1 B 、x ＜－1 C 、x ＜－2 D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围．（2）若b a ,满足753=+b a ，求b a S 32-=的取值范围．例5．已知由小到大的十个正整数109321,,,,,a a a a a 的和是2003，那么5a 的最大值是多少？当5a 取得最大值时，写出10a 最小的这十个数．思考：1.已知a c c b a c b a 求,,0>>=++的取值范围．2．设c b a ,,均为正数，若ac b c b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小．【经典练习】y k 2x1．如果关于x 的不等式b x a <-)1(的解集是1->a b x ，则有（ ） A 、1>a B 、1<a C 、1≠a D 、a 为一切实数2.若m 为有理数，下列不等式关系不一定成立的是（ ）A 、m m +>+79B 、m m -<-43C 、m m 46>D 、0||4≥m3.下列四个结论：（1）4是不等式63>+x 的解；（2）4>x 是不等式63>+x 的解集；（3）3是不等式63≥+x 的解；（4）3≥x 是不等式63≥+x 的解集，其中正确的是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4．满足不等式135->-x 的正整数值是方程[]a x x x =-----)15(4)21(5)2(4的解，则a 的值是（ ）A 、0B 、1C 、17D 、-175．不等式)52(4)83(714-<+-x x x 的负整数解是（ ）A 、-3，-2，-1，0B 、-4，-3，-2，-1C 、-2，-1D 、以上答案都不对6．已知032)2(2=--+-n b a a 中，b 为正数，则n 的取值范围是（ ）A 、2<nB 、3<nC 、4<nD 、5<n 7.如果b ax >，02<ac ，则xa b 8．（2007湖北孝感）如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是 ．9.若不等式a x <6的解集为3<x ，则a 的值为 .10．当a = 时，不等式x x 532≥-与x ax ≤+2同解．11．化简：若41<<x ，则化简22)1(4(-+-x ）x 的结果是 ． 12．当a 为何值时，方程)(23a x a x +-=+的解大于方程2)12(3)13(+=-x a x a 的解13．已知7321,,,a a a a 是彼此不相等的正整数，它们的和为159，求其中最小数a 的最大值．作业1．如果关于x 的方程7332+=-+x m x 的解为不大于2的非负数，那么（ ）（第8题图）A 、6=mB 、7,6,5=mC 、无解D 、75≤≤m2．如果关于x 的方程52)4(3+=+a x 的解大于关于x 的方程3)43(4)14(-=+x a x a 的解，那么（ ） A 、2>a B 、2<a C 、187<a D 、187>a 3．如果22,7235>+->-c a a ，那么（ ） A 、c a c a +<- B 、a c a c +<- C 、ac ac -> D 、a a 23> 4．若b a b a ><>,0,0，那么b a b a --,,,的大小顺序是（ ）A 、b a a b >->>-B 、b a b a ->->>C 、a b a b ->->>D 、a b b a ->>->5．已知0)24(1832=-+++k y x x ，求当k 为何值时，y 的值是非负数？6.（1）关于x 的方程1223+=+m x 的解为正数，求m 的取值范围.(2)不等式a x <+32的正整数解恰为1，2，求m 的取值范围.思考：已知三个非负数z y x ,,满足132,523=-+=++z y x z y x ，若z y x m 73-+=，求m 的最大值及最小值。
不等式的性质与解集ppt课件
等式的基本性质2：
70 > 40
1
表示不相等关系的式子
用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。不等号有"＜","＞","≤","≥","≠"。比如：3<2，x+y<1，x≠0，sin(x+y)<1都是不等式。
不等式
不等式性质
不等式性质
如果a＞b,那么a+c＞b+c,a-c＞b-c.如果a＜b,那么a+c＜b+c,a-c＜b-c.
不等式与集合
学习目标
实数的大小、不等式性质
数 的 概 念
&
SARAH
NICOLE
TONY
JOE
原始人狩猎
&
SARAH
NICOLE
TONY
JOE
原始人狩猎
数的概念
&
SARAH
NICOLE
TONY
JOE
“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”
德国数学家、数学王子高斯（Gauss，1777——1855）
1 不等式的性质与解集…
1、观察下面这几个式子，完成下面的填空。
同一个数
同一个整式
等式的两边都加上（或减去）______ 或 ，所得的结果仍是等式。
等式的基本性质1：
2、继续观察下面这几个式子，完成下面的填空。
不等式的两边都加上(或减去)同一个数, 不等号方向不变，所得到的不等式仍成立.
不等式性质
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数, 不等号方向不变，所得到的不等式仍成立.
如果a＞b,且c＞0,
高二数学基本不等式知识点
高二数学基本不等式知识点一、不等式的基本性质在学习不等式之前，我们先来了解一下不等式的基本性质。
不等式具有以下性质：1. 若不等式两边同时加（减）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
2. 若不等式两边同时乘（除）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
但是需注意，当乘（除）以一个负数时，不等号方向需要颠倒。
3. 若不等式两边交换位置，不等号方向需要颠倒。
二、基本不等式1. 两个正数的不等式：若a > 0，b > 0，则a > b等价于a² > b²。
2. 两个负数的不等式：若a < 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
3. 正负数的不等式：若a > 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
4. 平方不等式：若x > 0，y > 0，则x < y等价于√x < √y。
同理，对于x < 0，y < 0的情况，不等号方向需要颠倒。
5. 两个正数与一个负数的不等式：若a > 0，b > 0，c < 0，则a > b等价于 -a < -b，a * c > b * c。
三、不等式的解集表示法当我们解不等式时，需要将解表示出来。
不等式的解集表示法有以下几种形式：1. 区间表示法：用数轴上的区间表示解集。
例：对于不等式x > 3，解集可以用开区间(3, +∞)表示。
2. 图形表示法：我们可以通过图形的方式表示解集。
例：对于不等式x ≤ -2，解集可以用沿x轴方向的线段表示。
3. 集合表示法：用集合的形式表示解集。
例：对于不等式2 < x ≤ 5，解集可以用集合表示为{x | 2 < x ≤ 5}。
四、不等式的应用不等式是数学中常见的工具，在现实生活中也有广泛的应用。
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
不等式的性质、解集与解法
不等式的基本性质及其解集一、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变． c a b a +⇒> ca b a c b +⇒<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若ac c b a ⇒<>0, bc ． 二．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
x <②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.例2.（1）如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。
A 、x ＞－1B 、x ＜－1C 、x ＜－2D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围．思考题．设c b a ,,均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小．y k 2x(第3题图)【经典练习】一、选择题（每小题2分，共36分）1、“x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ） A 、2x －3≤8 B 、2x －3≥8 C 、2x －3＜8 D 、2x －3＞82、下列不等式一定成立的是（ ） A 、5a ＞4aB 、x +2＜x +3C 、－a ＞－2aD 、aa 24> 3、如果x ＜－3，那么下列不等式成立的是（ ） A 、x 2＞－3x B 、x 2≥－3x C 、x 2＜－3x D 、x 2≤－3x 4、不等式－3x +6＞0的正整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 *5、若m 满足|m |＞m ，则m 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非负数 D 、任意有理数 6、在数轴上与到原点的距离小于8的点对应的x 满足（ ） A 、－8＜x ＜8 B 、x ＜－8或x ＞8 C 、x ＜8 D 、x ＞8**7、要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（ ）A 、m ＞23，n ＞－31B 、m ＞3，n ＞－3C 、m ＜23，n ＜－31D 、m ＜23，n ＞－31*8、 下列说法中，正确的有（ ）.① 若0ab <，则0,0;a b <<②若0,0a b <>，则0ab <；③若22,a b m m <则a b <；④若a b <，则22am bm <;⑤若0a b <<，则0a b +<；⑥若0a b +<，则0a b <<.A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 9、 下列说法正确的是（ ）. A 、5是不等式x+5＞10的解集 B 、x ＜5是不等式x-5＞0的解集 C 、x ≥5是不等式-x ≤-5的解集D 、x ＞3是不等式x-3≥0的解集10、 若a-b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）.A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、ab＜0 D 、-a ＞-b11 不等式5x-1≤24的正整数解有（ ）.A 、4个B 、5个C 、6个D 、无限多个 **12 实数b 满足|b |<3，并且实数a 使得a <b 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A 、小于或等于3的实数 B 、 小于或等于－3的实数 C 、小于－3的实数 D 、 小于3的实数 13、 若4x <-，则下列不等式中正确的是（ ）. A ．x 2≥－4x B 、x 2≤－4x C 、 x 2>－4x D 、 x 2<－4x*14、关于x 的方程2435x a x b++=的解不是负数，则a 与b 的关系是（ ） A 、35a b > B 、 b ≥53aC 、5a =3bD 、5a ≥3b 15、在不等式100>5x 中，能使不等式成立的x 的最大正整数值为（ ）. A 、18 B 、19 C 、20 D 、21 16、下列不等式中，错误的是（ ）. A 、57-<-B 、5>3C 、0a 12>+D 、a a ->**17、已知5x －m ≤0只有两个正整数解，则m 的取值范围是（ ） A 、10<m <15 B 、10≤m ≤15 C 、10<m ≤15 D 、10≤m <15 18、下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）. A 、1y x 21<- B 、02x 3x 2>+- C 、2x141x 2+=+ D 、x 61x 31x 21>+二、填空题（每小题2分，共36分）1、不等式6－2x ＞0的解集是________.2、当x ________时，代数式523--x 的值是非正数. 3、当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m-28. 4、若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________.5、已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.6、已知一次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是自变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方.*7、某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为________.8、5m-3是非负数，用不等式表示为______. 9、不等式238654x--<-<-的解集为______.10、当a b >，则2ab b <成立的条件是______.*11、明明的语文、外语两科的平均分为m 分，若使语文、外语、数学三科的平均分超过n 分，则数学分数a （分）应满足的关系式是_________.（m >n ） 12、设a ＜b ，用“＜”或“＞”|号填空：11(1)_____;(2)100_____100;22(3)1.5_____1.5;(4)_____.1212a b a b a ba b --++--13、不等式的性质：（1）如果a>b, 那么a+c b+c. （2）如果m>n, p>0, 那么mp np. （3） . 14、若-3x +4<-2x -5,则-x ______-9.15、已知直线y=kx+b 经过点（2，0），且k <0，则当x ______时，y <0. 16、不等式x <3的非负整数解是________.17、不等式|x |-2≤3的正整数解是____________.18、在2y 2-3y +1>0, y 2+2y +1=0,-6<-2, 27ab<2, 2312x x +- ,2103y y --<,7x +5≥5x +6中, 一元一次不等式有_____个,它们是_____________________.三、解答题1、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（每题4分共16分） （1）3（1-x ）-2（x+8）<2； （2）3（x+3）-5（x-1） ≥7； （3）132+-x ≤42+x ；（4）)69(6123--x x ≥7+x ．3、（6分）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。
苏教版 高中数学必修第一册 不等式的基本性质 课件1
性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么___a_c_>__b_d____.
性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).
不等式的基本性质有何作用？ (1) 对称性： (2) 传递性： (3) 可加性： (4) 可乘性： (5) 加法法则：
2．若不等式 ax2 bx c 0 的解集为x 1 x 2，则不等式 a x2 1 b(x 1) c 2ax 的解集是（ ）
A．x 0 x 3
B．x x 0 或 x 3
C．x 1 x 3
D．x 1 x 3
【答案】A
【解析】由 a x2 1 b x 1 c 2ax ，整理得 ax2 b 2a x a c b 0 ①．
例 3 已知 a>b>0，c<0，求证：ac>bc. 证明 因为 a>b>0，所以 ab>0，a1b>0. 于是 a×a1b>b×a1b，即1b>1a.由 c<0，得ac>bc.
变式训练 如果a>b>0，c>d>0，证明：ac>bd. 证明
ac>>0b>0⇒ac>bc>0 ⇒ac>bd.
cb>>d0>0⇒bc>bd>0
∴0<a－b<6，
故 2a＋3b 的取值范围为－18<2a＋3b<－5，a－b 的取值范围为 0<a－b<6.
2.（变设问）若本例条件不变，求 a 的取值范围． b
【解析】∵2<b<8，∴
1
1、不等式的基本性质和解集
7. C【思路分析】大于向右画，没等号用空心圆圈来表示。
8. B【思路分析】满足条件的整数有－3，－2，－1，0，1，共5个。
二、9. |x－8|≤6【思路分析】先求差，再取绝对值，不大于即小于或等于。
10. <，不等式性质1【思路分析】先利用不等式的性质1，在不等式两边同时加上1，然后两边同时除以2，可得x<5。
（1）关键要抓住不等关系。
（2）找出关键词：大于，小于，不大于，不小于，至少，最多，不超过等等。
2、不等式的基本性质
（1）不等式两端同时加上或减去同一个数（整式），不等号不改变方向。
（2）不等式两端同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不改变。
（3）不等式两端同时乘以或除以同一个负数，不等号方向要作改变。
三、解答题（48分）
14.（1）a＞0；（2）a＜0；（3）a+6＜5；（4）x－2＜－1；（5）4x＞7；（6） y＜3。
15.（1）
（2）
（3）
【思路分析】在表示解集的时候，要注意范围的方向别反了，另外要注意有等于，则是实心圆点。没有等于，则是空心圆圈。
16. 116x<m【思路分析】火车上的座位总数小于火车上的人数，根据这一不等关系列不等式。
2.不等式3（x－2）≤x+4的非负整数解有几个.（）
A. 4B.5C. 6D.无数个
3.不等式4x－ 的最大的整数解为（）
A. 1B.0C.－1D.不存在
4.与2x<6不同解的不等式是（）
A. 2x+1<7B. 4x<12C.－4x>－12D.－2x<－6
5.不等式ax+b>0（a<0）的解集是（）
第一讲：不等式与绝对值不等式
最大值为 内接圆柱的体积V取得最大，
.
15. 已知 求证： h
a 0 , b 0 , 且 h m in { a ,
2 2 .
b a b
2 2
},
证明： a 2 b 2 2 a b ,
ab a b
2 2
1 2
,
即 a
b
2
b a b
2
2
2
1 2
,
由于
0 h m in { a , 0 h m in { a ,
a b 时取“ ”号） . ab 基本不等式2： 如果 a ， R ， b 那么 ab 2 （当且仅当 a b 时取“ ”号） . （当且仅当
注意：两个基本不等式的不同点和相同点: ① 两个不等式的适用范围不同； ② 等号成立的条件相同. ③ 基本不等式2可推广到有限个，如
又 ab
a b
2
2
d
2
2
最大值为 故当矩形是正方形时,面积取得最大值，
, 当且仅当 a＝b时，等号成立. 2 d
2
.
2
14. 已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r， 高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？ 解： 圆 柱 r h , r ( ) 2 R 2 , 4 r 2 h 2 4 R 2 , V
y r ( 4 R 4 r ) 4 ( R r r ),
2 4 2 2 2 2 4 6
由 y ' 4 ( 4 R r 6 r ) 0 得
2 2 3 5
O
h 2
R r
r
6 3
不等式的性质与解集
不等式的性质与解集不等式是数学中的一种基本关系，用于描述数值之间的大小关系。
与等式不同，不等式存在多种形式和性质。
本文将探讨不等式的性质和解集，并分析其应用。
一、不等式的基本性质1.1 不等式的传递性在不等式a < b和b < c成立的前提下，根据数学的传递性，可推导出a < c。
这意味着如果一个不等式关系成立，那么经过有限次传递，可以得到更多的大小关系。
1.2 不等式的加减性质对于不等式a < b，若两边同时加上（或减去）一个正数或负数，不等式的关系不会改变。
即a + c < b + c对于任意正数或负数c成立。
1.3 不等式的乘除性质对于不等式a < b，若两边同乘以一个正数，或同除以一个正数（负数），不等式的关系不会改变。
即a * c < b * c，若c > 0；a * c > b * c，若c < 0。
二、一元不等式的解集表示一元不等式是指只含有一个未知数的不等式，通常用x表示。
它的解集表示了不等式中使得不等式成立的所有实数值。
2.1 严格不等式的解集表示对于形如a < x < b的严格不等式，解集表示为(a, b)，即大于a且小于b的一切实数值构成了解集。
2.2 非严格不等式的解集表示对于形如a ≤ x ≤ b的非严格不等式，解集表示为[a, b]，即大于等于a且小于等于b的一切实数值构成了解集。
三、二元不等式的解集表示二元不等式是指含有两个未知数的不等式，通常用x和y表示。
解集表示了使得不等式成立的所有实数对。
3.1 不等式的图解法可以通过将二元不等式转化为平面直角坐标系上的区域来直观地表示解集。
通常在坐标系上绘制不等式相关的线条，然后确定位于线条上或线条所构成的区域内的点为解集的一部分。
3.2 不等式的符号法表示对于形如ax + by < c的二元不等式，符号法表示解集是平面上位于不等式所确定的曲线或区域的一侧的所有点的集合。
七年级上册数学教学课件9.1.2 第1课时 不等式的性质
课程讲授
1 不等式的性质
不等式的性质1： 不等式的两边都加 (或减) 同一个整式，不等
号的方向不变.
如果a>b,那么a+c>b+c，a－c>b－c.
课程讲授
1 不等式的性质
问题2.1：观察下图展示的过程，你发现了什么？
5g
10g
15g
30g
×3
15g
5g
30g
÷3
10g
课程讲授
1 不等式的性质
课程讲授
2 利用不等式的性质解简单的不等式
练一练： 利用不等式的性质解下列不等式： （1）5＞3+x；（2）x-9＞3；（3）2x＜x+6.
解：（1）x < 2. （2）x＞12. （3）x < 6.
随堂练习
1.若a>b，且am<bm，则（ B ）
A. m=0 C. m>0
B. m<0 D. m为任意实数
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示
01
课程讲授
2 利用不等式的性质解简单的不等式
(3) 2 x ＞50；
3
解： (1) 根据不等式的性质2，不等式两边乘 3 ，
2
不等号的方向不变,
得 3 2 x＞ 3 50 ，x＞75 23 2 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示
0
75
课程讲授
2 利用不等式的性质解简单的不等式
课堂小结
不等式的性质1：不等式的两边都 加 (或减) 同一个整式，不等号的 方向不变
不等式的 性质
不等式的性质
不等式的性质2： 不等式的两边都 乘（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变
不等式的性质与不等式的解集
不等式的性质与不等式的解集【知识要点】一．不等式的基本概念1．用不等号连接的式子叫做不等式。
(,,,,)≠≤≥ 不等符号 2．用作差法比较大小：若0,a b ->则 3．不等式的基本性质：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变。
a >b ⇒a+c b+c a <b ⇒a+c b+c②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
b a >⇒3∙a 3∙b b a >⇒3a3b③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
b a >⇒-3∙a -3∙b b a >⇒3a -3b -4． ①若a b >，则b a <；若a b <，则b a >。
（互逆性） ②若,a b b c >>，则a c >，若,,a b b c <<则a c <。
（传递性） ③若,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d <<，则a c b d +<+。
二． 不等式的解1．定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.2．不等式的解与方程的解的异同: .三．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） x <-14.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1， 注意是否需要变号。
【经典例题】例1．利用不等式的基本性质，用“>”或“<”号填空。
（1）如果0,0,ab a <>那么32a b - 0 （2）如果那么b a ,0,0><25a b - 0 （3）如果那么b a b a ,,0,0><<b a - 0 （4）如果那么b a ,0,0<<()132a b -- 0例2．比较大小。
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第一讲：不等式及其性质、解集教师:卢鹏学生: 日期:课题不等式的基本性质及其解集学习目标与考点分析学习目标：1、理解、掌握不等式的基本性质2、3，会用不等式的基本性质2、3进行简单的不等式的变形；2、掌握不等式解集的概念；会用两种方式来表示不等式的解集；3、培养逻辑思维能力。
考点分析：不等式是中考中的必考点，而求不等式的解集是不等式中的核心，所以必须充分理解不等式解集的概念并会求不等式的解集。
学习重点重点：理解不等式解集的概念；会正确表示不等式的解集。
不等式的基本性质3及其运用。
学习方法探究法、练习法学习内容与过程一、引入新课a)提出问题：能否解不等式：3x＞11？根据我们现有的知识无法解决这个问题，但是我们如果将问题中的“＞”改成“＝”便成了我们所熟悉的一元一次方程----3x＝11。
解这个方程，并指出求解过程中运用了哪些方程的简单变形？就像学习方程的简单变形之前要首先学习其变形的依据一样，学习不等式的简单变形之前也应先学习其变形的依据——不等式的性质。
上节课我们已经研究了不等式的性质1，回顾性质1：----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------这堂课我们便来一起学习不等式的性质2、3b)探究新课阅读教材，尝试解决下面的问题：问题1：7 47×3 4×37×2 4×27×1 4×17×0 4×07×（-1） 4×（-1）7×（-2） 4×（-2）7×（-3） 4×（-3）7 × a 4 × a讨论：①请注意观察前面八个小问题，从数的符号的改变到不等号方向的改变，可以发现引起不等号方向改变的直接因素是乘了-----------------。
②试概括不等式的基本性质2、3不等式的性质 2：如果a ＞b ， 。
即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 。
不等式的性质 3：如果a ＞b ， 。
即：不等式的两边都③根据我们刚刚总结出的规律，“ 7 × a 4 × a”该怎样回答呢？二、 综合训练1. 不能由063<-x 变形得到的不等式是（）A .713<+x B. 63->-x C. 6x<12 D..-3x<-62.若不等式2x ≥a-3的解集是x ≥-1，则a 的值为（）3.若（a+4）x>a+4的解集是x<1,则a 的取值范围是---------------4.若a<b,用“<”或“>”填空：⑴-ab -b 2 ⑵ 10a+b 10b+a⑶a(c 2+1) b(c 2+1) ⑷2a a+b⑸3-a 3-b ⑹ -3a+5 -3b+55、若x ＞y ，则ax ＞ay.那么一定有( )A 、a ＞0B 、a ≥0C 、a ＜0D 、a ≤06、已知关于x 的不等式(1－a)x ＞2的解集是x ＜21a-，则a 的取值范围( ) A 、a ＞0 B 、a ＞1 C 、a ＜0 D 、a ＜17、若0<-b a ，则下列各式中一定正确的是（ ）A ．b a >B ．0>abC ．ba >0 D ．b a ->- 8、用不等号填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：若x ＋2＞5,则x 3，根据 ；若34x -＜－1，则x 43，根据 ；若25x ＜－3，则x 152-，根据 ； 9、若a-b>a,a+b<b 则有（ ）（A ）ab<0 （B ）a b>0 （C ）a+b>0 （D ）a-b<0 10．利用不等式的性质，将下列不等式转化为“x>a ”或“x<a ”的形式⑴2x+3<3x-2 ⑵-ax>2(a ≠0 ) ⑶2x+3>3x ⑷223-x ≤3711+x11、a ＞1，－1＜b ＜0,试分别比较:（1）1a ,b a-的大小 （2）b a ,ab 2,ab, －a 的大小．三、拓展训练1、试判断下列各对整式的大小：(1)522+-m m 和－2m+5； (2)342+-a a 和－4a+1．2、a ＞1，－1＜b ＜0,试分别比较:（1）1a ,b a-的大小 （2）b a ,ab 2,ab, －a 的大小．第二堂课：不等式的解集练：某班同学去植树,原计划每位同学植树4棵,但由于某组的10名同学另有任务,未能参加植树,其余同学每位植树6棵,结果仍未能完成计划任务,若以该班同学的人数为x,此时的x 应满足怎样的关系式?知识点1：不等式概念：例1：判断下列哪些式子是不等式（1）a+b=b+a ； （2）-3＞-5； （3）x ≠1；（4）x+3＞6； （5）2m ≤n ； （6）2x-3.练：用不等式表示(1)a 与1的和是正数;(2)y 的2倍与1的和大于3;(3)x 的一半与x 的2倍的和是非正数;(4)c 与4的和的30%不大于-2;(5)x 除以2的商加上2,至多为5;(6)a 与b 两数的和的平方不可能大于3.知识点2：不等式的解不等式的解:例2：:①要使不等式5032>x ,成立,那么x 可取哪些值?②能使不等式5032>x 成立的x 的值有几个?知识点3：不等式的解集例3：下列说法中正确的是( )A.x=3是不等式2x>1的解B.x=3是不等式2x>1的唯一解C.x=3不等式2x>1的解D.x=3是不等式2x>1的解集●不等式解集的表示方法：数轴表示法步骤：例4 在数轴上表示下列不等式的解集(1)x>-1;(2)x ≥-1;(3)x<-1;(4)x ≤-1课内练习与训练一、选择题1.下列不等式的解集,不包括-4的是( )A.X ≤-4B.X ≥-4C.X<-6D.X>-62.下列说法正确的是( )A.X=1是不等式-2X<1的解集B.X=3是不等式-X<1的解集C.X>-2是不等式-2X<1的解集D.不等式-X<1的解集是X<-13. 不等式X-3>1的解集是( )A.X>2B. X>4C.X-2>D. X>-44.不等式2X<6的非负整数解为( )A.0,1,2B.1,2C.0,-1,-2D.无数个5.用不等式表示图中的解集,其中正确的是( )A. X ≥-2B. X>-2C. X<-2D. X ≤-26.下列说法中,错误的是( )A.不等式X<5的整数解有无数多个B.不等式X>-5的负数解集有有限个C.不等式-2X<8的解集是X<-4D.-40是不等式2X<-8的一个解7.-3X ≤9解集在数轴上可表示为( )8．－3x ≤6的解集是 （ ）0-1-2 0-1-2 012 012A 、B 、C 、D 、9．用不等式表示图中的解集,其中正确的是( )A. x ≥－2B. x ＞－2C. x ＜－2D. x ≤－210.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ）A 、x ≥－2B 、 x ＜1C 、x ≠0D 、x ＜011.－3x ≤6的解集是 （ ）A 、B 、C 、D 、0010-1-20-1-20-1-201201212．下列说法中,错误的是( )A.不等式x ＜5的整数解有无数多个B.不等式x ＞－5的负数解集有有限个C.不等式－2x ＜8的解集是x ＜－4D.－40是不等式2x ＜－8的一个解13．下列说法正确的是( )A.x ＝1是不等式－2x ＜1的解集B.x ＝3是不等式－x ＜1的解集C.x ＞－2是不等式－2x ＜1的解集D.不等式－x ＜1的解集是x ＜－1二、填空题1．不等式X-3<1的解集是_____________.2.如图所示的不等式的解集是_____________.3．当x_______时,代数式2x －5的值为0,当x_______时,代数式2x －5的值不大于0.4．不等式－5x ≥－13的解集中，最大的整数解是__________.5．不等式－2x ＜8的负整数解的和是______.6．直接写出不等式的解集：（1） x ＋3＞6的解集 ;（2）2x ＜12的解集 ;（3）x －5＞0的解集 ;（4）0.5x ＞5的解集 ；10．一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是＿＿＿.43210-1三、解答1、用不等式表示下列各式。
⑴a 的31是非负数 ⑵m 的2倍与1的和小于72、在数轴上表示下列不等式的解集.(1) X>2.5; (2) X<-2.5; (3) X ≥3。