强跟踪-容积卡尔曼滤波在弹道式再入目标跟踪中的应用

强跟踪-容积卡尔曼滤波在弹道式再入目标跟踪中的应用
张龙;崔乃刚;王小刚;白俞亮
【摘要】对于具有一定机动能力的弹道式再入目标跟踪问题,稳定性好、鲁棒性强、收敛精度高的估计方法是保证跟踪精度的关键.针对再入运动模型和测量体制的强
非线性以及目标机动引起的滤波精度下降问题,提出一种将强跟踪滤波(STF)和基于三阶球面-向径容积规则的容积卡尔曼滤波(CKF)相结合的强跟踪-容积卡尔曼滤波(STCKF).通过将强跟踪算法中的自适应渐消因子引入到滤波时间更新和测量更新方程中,在线实时调整滤波增益矩阵,能有效避免模型失准造成的滤波性能下降,使该算法兼具CKF滤波精度高和STF鲁棒性强的优点.通过数学仿真表明,改进后的STCKF可以实现对具有机动的弹道式再入目标的高精度跟踪,相对于CKF精度提高50％,并且具有更强的鲁棒性和自适应能力.
【期刊名称】《中国惯性技术学报》
【年(卷),期】2015(023)002
【总页数】8页(P211-218)
【关键词】弹道式再入目标跟踪;容积卡尔曼滤波;自适应渐消因子;非线性系统
【作者】张龙;崔乃刚;王小刚;白俞亮
【作者单位】哈尔滨工业大学航天工程系,哈尔滨150001;哈尔滨工业大学航天工
程系,哈尔滨150001;哈尔滨工业大学航天工程系,哈尔滨150001;哈尔滨工业大学
航天工程系,哈尔滨150001
【正文语种】中文
【中图分类】V557
弹道式再入目标的跟踪是攻防对抗体系中的关键环节，有效的跟踪可以延长防御方的反应时间和提高拦截能力。

再入稠密大气的弹道式目标具有速度快、飞行时间短、运动环境复杂的特点，降低了再入目标的跟踪精度。

同时目标再入过程中为突防进行的机动未知，无法准确建模，必然会造成在一段时间内跟踪模型失准，进一步增加跟踪的难度。

因此，开发鲁棒性强、稳定性好、精度高的估计算法是解决该问题的关键[1]。

理论上，在先验信息（如弹道系数、目标机动大小和时间）充分的前提下，可以对再入运动模型准确建模。

但通常情况下，防御方无法获取目标弹道系数的真值，可将弹道系数作为状态量进行联合估计，弹道系数初值可借助一定的先验知识结合已搜集到的情报数据库来确定[2]。

但是，目标机动大小、时间和机动形式不能通过
先验信息获取，因此无法建立准确的目标机动模型和应用多模型跟踪方法[3]。

由于目标再入运动方程和雷达对目标的测量方程均是待估状态量的非线性方程，再入跟踪系统呈现出较强的非线性特性。

传统的解决非线性实时跟踪滤波问题的方法是扩展卡尔曼滤波（EKF）。

该方法采用泰勒级数展开近似非线性函数，引入了线性化误差，对于非线性强的系统精度较低[4]。

不敏卡尔曼滤波（UKF）利用UT变换计算采样点，直接对状态的概率分布近似[5]，可得到比EKF高的精度。

但对于
高维（维数大于3）非线性系统，该算法在滤波过程中可能出现协方差非正定情况，导致滤波数值不稳定甚至发散，同时易出现非局部效应，严重影响滤波精度[6]。

粒子滤波（PF）基于Monte Carlo采样策略，通过大量的随机粒子逼近概率分布函数，可获得较高的滤波精度。

但是由于粒子数较多，造成计算量较大，且易出现粒子退化问题[7]。

容积卡尔曼滤波（CKF）采用三阶球面-相径容积规则来近似经非线性函数传递的后验均值和协方差[8]。

与UKF相比，CKF算法中各容积点的权值均为正，不会出现协方差非正定的情况，且数值稳定性好，同时计算量远小于
PF算法，适用于再入目标跟踪问题。

文献[9-11]对几种弹道式再入目标的跟踪滤波方法作了对比分析。

文献[9]在建立
二维非线性目标再入模型中，将弹道系数作为一个已知的先验信息来考虑，并对比了EKF、UKF、PF、CADET四种滤波方法。

Ming Xin[12]针对高超声速再入飞行器的状态估计问题，在Bayesian滤波框架的基础上，采用任意自由度容积规则计算采样点积分，推导了五阶球面-相径容积规则的ICKF模型，并与EKF、UKF、三阶CKF进行对比，获得了更高的估计精度，但是由于采用更高自由度的积分规则，相对于三阶CKF计算量增大了几乎n（状态维数）倍。

文献[13]基于三阶球面-相
径积分规则，结合强跟踪滤波STF算法，推导出强跟踪容积滤波算法，研究了初
值不确定并且噪声方差不准确的GPS/INS组合导航问题，有效提高了跟踪精度和系统的鲁棒性。

文献[14]为了解决无源传感器机动目标跟踪系统非线性较强、传统的跟踪滤波方法不稳定容易发散的缺陷，在Quadrature 卡尔曼滤波（QKF）基
础上提出了一种带渐消因子的 QKF（ FQKF）算法。

该算法通过引入时变渐消因
子来实时调整误差协方差阵，对状态传播积分点和量测传播积分点进行渐消，达到实时调整滤波器增益矩阵的目的，具有STF的优良性能，能够克服QKF算法的缺陷，对于无源传感器机动目标跟踪中系统的突变状态具有较强的跟踪能力，但是基于Gauss-Hermite积分规则对于非线性系统的积分点个数呈指数增长，易造成维数灾难。

本文针对弹道系数未知、带有一定机动的弹道式再入目标跟踪问题，建立再入目标运动模型和雷达测量模型，将弹道系统作为状态量进行实时估计。

建立非线性系统的STF算法，结合三阶球面-相径积分的CKF算法，设计了带有自适应渐消因子的强跟踪容积卡尔曼滤波算法STCKF。

仿真结果表明，针对弹道式再入目标跟踪问题，本文提出的改进CKF算法的滤波性能优于EKF、CKF算法。

1.1 再入目标运动模型
弹道式目标再入时，受地球引力和空气动力作用。

考虑到弹道式目标一般保持零度攻角再入，因此受到的空气动力表现为大气阻力，大气阻力加速度方向与再入速度方向相反。

为便于描述再入目标相对地面雷达站的运动关系，在地面雷达站坐标系下建立再入目标的运动方程。

定义雷达站坐标系o-xyz的原点o位于雷达站，ox
轴指向北方，oy轴垂直地面指向上方，oz轴指向东方，且与ox、oy轴构成右手坐标系。

由于再入时间较短，可忽略地球自转角速度的影响。

对再入目标建模如图1所示，图中ag、ad分别是引力加速度和气动力加速度。

假设地球为标准球体，目标的位置和速度分量为[x,y,z,vx,vy,vz]T，则弹道式再入
目标的运动方程如下：
式中：μ = 3.986×1014m3/s2为地球重力常数，Re=为目标的地心距，
Re=6371.11 km为地球平均半径，为目标的再入速度，ρ为大气密度，CD为气
动阻力系数，A为有效面积，m为目标质量。

定义弹道系数β，使
由于式(2)中三个参数均事先无法获取，在滤波过程中需要对弹道系数建模。

文献[15]对弹道系数模型进行了系统的总结，不同的建模方法对非线性次优滤波算法的性能有直接影响。

为了保证弹道系数的非负性，防止滤波器发散，本文选用指数模型，即
式中：0β为弹道系数初值，具体数值可根据经验选定。

将α的变化率用零均值高斯白噪声αω表示，即
综上，选取目标的位置、速度和弹道系数参数α作为状态量x=[x,y,z,vx,vy,vz,α]T，建立离散的状态方程：
式中：ΔT为仿真步长；wk为系统噪声向量，满足N(wk;0,Qk)的统计特性。

注意到，式(1)和(5)中均没有考虑目标机动加速度aj，因此当目标发生机动时，易出现模型失准。

1.2 测量模型
采用地面雷达对再入目标进行跟踪。

雷达对目标的观测量是目标的斜距r、高低角η和方位角ε，即z=[r,η,ε]T。

假设k时刻再入目标的位置坐标是[xk,yk,zk]T，根
据观测量定义建立非线性测量方程：
式中：vk为雷达测量噪声向量，满足N(vk;0,R)的统计特性，且vk与wk、xk不
相关。

根据方程(5)和(6)建立的离散非线性系统有如下形式：
式中：xk∈Rn为系统状态向量，zk∈Rp为测量向量，n=5、p=3分别是状态向
量和测量向量的维数，f(·)、h(·)分别是非线性函数，易看出系统的非线性程度较高。

由于EKF算法经过线性化处理存在一阶截断误差，而UKF算法在维数较高时中心采样点的权值小于0，易出现滤波过程中协方差非正定的情况，导致滤波数值不稳定，基于PF的非线性滤波算法采样点多、计算量大。

为了满足工程实践中快速、高精度跟踪的需求，本文采用容积卡尔曼滤波算法，并针对目标可能存在的机动情况对算法进行改进，提出一种改进的STCKF算法。

2.1 容积卡尔曼滤波CKF算法
CKF算法由学者Arasararnam和Haykin[8]提出，他们在高斯-贝叶斯滤波框架基础上，根据状态的先验均值和协方差，采用三阶球面-相径积分规则选取容积点，
再将这些容积点经非线性函数传递得到新的容积点，通过容积点的加权处理来近似状态后验均值和协方差。

针对非线性系统(7)，假设k时刻的状态xk的统计特性xk～N (xk;,Pk)，CKF具体算法如下：
1）计算容积点xki。

式中：m=2n；Sk满足Pk的Cholesky分解，即表示对n维单位向量
e=[1,0, … ,0]T的元素改变元素符号和进行全排列所产生的点集，
[1]i表示完整全对称点集的第i个点。

2）计算经状态方程传递后的容积点。

3）计算k+1时刻的状态预测值。

4）估计k+1时刻的状态误差协方差阵Pk+1/k。

5）计算更新后的状态容积点。

式中：
6）计算经过测量方程传递的容积点。

7）计算k+1时刻的测量预测值k+1。

8）估计k+1时刻的测量误差协方差阵和一步预测互相关协方差阵。

9）计算k+1时刻的滤波增益矩阵Kk+1。

10）计算k+1时刻的状态估计值k+1。

11）估计k+1时刻的状态误差协方差阵Pk+1。

2.2 非线性强跟踪STF算法
强跟踪滤波算法是建立在输出残差序列正交性原理之上的卡尔曼滤波器[16]。

其基本原理是：通过对状态预测协方差阵引入渐消因子λ，在线实时调整增益矩阵K，强迫输出的残差序列正交，这样就能将残差序列的有效信息完全提取出来[17]。

因此，STF算法具有针对不准确模型系统较强的鲁棒性。

传统的STF算法是基于EKF算法建立，适用于非线性较弱的系统，并且计算渐消因子所需的一些矩阵变量无法在CKF算法中直接得到，因此需要建立非线性系统下的STF算法。

非线性STF算法核心结构仍为
其渐消因子λk+1的计算方法如下：
式中：为不考虑渐消因子和系统噪声方差阵的状态预测误差方差阵；为考虑系统噪声方差阵的状态预测误差方差阵；β≥1为弱化因子，一般情况靠经验选取；ρ为遗忘因子，一般取0.95≤ρ≤0.995。

2.3 改进的CKF算法
CKF算法采用三阶球面-相径积分规则，对于模型精确系统的状态估计精度可达到34阶，但是对于系统模型不准确或系统状态存在突变的情况，与其他非线性滤波算法类似，仍会产生较大的估计误差。

特别是目标再入环境极为复杂且存在机动，系统模型无法做到十分精确，仅靠CKF算法不能保证满意的跟踪精度。

为此，将CKF算法与STF算法结合，在CKF算法的框架上，将STF中的渐消因子引入到时间更新方程和测量更新方程之中，构造改进的强跟踪-容积卡尔曼滤波算法（STCKF）。

具体算法如下：
1）计算容积点。

式中：
2）计算经状态方程传递后的容积点。

3）计算k+1时刻的状态预测值k+1/k和状态误差协方差阵。

式中：上标（l）表示未加入渐消因子的情况。

4）根据xk+1未加入渐消因子的统计特性计算更新后的状态容积点。

式中：
5）计算经过测量方程传递的容积点。

6）计算k+1时刻的测量预测值和一步预测互相关协方差阵。

7）根据式(23)式(28)计算渐消因子λk+1，并计算一步预测状态误差方差阵
Pk+1/k。

8）根据xk+1加入渐消因子λk+1的统计特性计算更新后的状态容积点。

式中：
9）计算经过测量方程传递的容积点。

10）计算k+1时刻的测量预测值k+1、测量误差协方差阵和一步预测互相关协方差阵。

11）计算k+1时刻的滤波增益矩阵Kk+1。

12）计算k+1时刻的状态估计值k+1。

13）估计k+1时刻的状态误差协方差阵Pk+1。

在Matlab7.9(R2009b)环境下建立地面雷达站对弹道式再入目标的跟踪系统，通
过蒙特卡洛打靶验证本文提出的改进STCKF算法的有效性和优越性。

首先基于本
文建立的再入目标运动模型，在雷达站坐标系下生成再入目标轨迹。

然后根据测量模型生成雷达测量信息用于滤波。

再入目标初始状态为 x0= [-230.95 km, 130.55 km, -1090.48 km, -0.015km/s, 0.75 km/s, 5.75 km/s]T，弹道系数为常值
β=5000 kg/m2。

目标在t=100100.5 s进行机动，机动加速度大小为a0= [1,5, 0.5]Tm/s2。

观测雷达的测量数据率为10 Hz，测量噪声标准差见表1。

设定蒙特卡洛打靶次数为200，滤波初值为X0=[-230.15 km, 131.35 km, -1091.28 km, -0.055 km/s, 0.71 km/s, 5.71 km/s, 7000 kg/m2]T。

基于上面给
出的弹道式再入目标运动模型，分别采用EKF、CKF、STCKF进行再入跟踪滤波，根据均方根误差对比三种算法的性能。

均方根误差RMSE定义如下：
式中：N为打靶次数，(k )和(k)分别为第i次打靶得到的状态向量第j分量在k时
刻的真值和估计值。

图2为雷达坐标系下目标的再入轨迹以及再入点和落点位置。

图3图10对比了STCKF与EKF、CKF对目标位置和速度估计的均方根误差。

由仿真结果可知，在
t=100 s前，三种滤波方法对目标状态的估计精度相差不大。

当目标发生机动后，由于模型失准造成滤波误差迅速增大，而STCKF相对CKF和EKF的收敛速度更
快且收敛后的误差最小。

这是因为再入模型的非线性程度较高，通过一阶泰勒展开的EKF算法忽略了高阶项的影响，且无法根据残差的变化自适应调整增益矩阵，
因此引起较大的误差。

CKF算法采用三阶球面-相径积分规则来近似非线性函数的概率分布，适于非线性强的系统，因此造成的误差较小。

而ST-CKF算法结合了CKF算法的高精度特点和STF算法鲁棒性强的特点，根据机动模型失准而引起的
残差计算渐消因子，并通过渐消因子在线自适应调整增益矩阵强迫残差正交，使估计状态更符合真实状态的变化，对目标机动过程具有较强的鲁棒性和稳定性，所以滤波精度相对CKF有所提高。

图11表明了STCKF对弹道系数的估计精度高于EKF和CKF，并且收敛速度更快。

若假定弹道系数估计误差在300 kg/m2以内认为其收敛，则STCKF可在70 km处收敛，CKF和EKF分别在53 km和50 km
处收敛。

由于弹道系数是再入目标识别的重要参数，因此仿真结果说明STCKF可
在较高高度区分再入目标，为防御系统赢取宝贵时间。

表2对比了三种算法对目标位置、速度和弹道系数的收敛精度。

易知，STCKF的
估计精度最高，相对于CKF提高了50%以上，更加直观地验证了本文基于自适应渐消因子的改进CKF算法对于存在机动的再入目标可以实现更高精度的跟踪。

基于点递推的非线性高斯滤波算法的计算复杂度是与使用点的数量成正比的。

从表3可以看出，STCKF与CKF均使用14个点，因此计算复杂度基本一致。

通过上述分析可以看出，针对弹道系数未知、带有机动的弹道式目标再入跟踪系统，基于CKF算法提出的带自适应渐消因子的STCKF算法，在没有明显增加计算复杂度的同时可以更加精确地估计目标状态，并且收敛速度快、鲁棒性高、稳定性好，较CKF和EKF具有明显的优势。

本文针对弹道系数未知且带有机动的再入目标跟踪问题，建立了将弹道系数作为待估状态量的再入运动方程和雷达测量方程；针对系统强非线性特点，在详细推导CKF算法和非线性STF算法基础上，将两者有机结合设计出一种适于系统模型失
准或状态量突变的带有自适应渐消因子的STCKF算法，给出了STCKF算法的具体实现步骤，并应用于再入目标跟踪问题，对比分析了多种非线性滤波方法。

通过本文的研究可以得到：
1）弹道式目标再入时飞行环境复杂，在弹道系数未知的情况下，运动模型和测量模型具有较强的非线性。

同时，目标机动模型无法准确建立、系统模型失准降低了
跟踪精度，甚至导致滤波发散。

为了提高再入目标的跟踪精度，研究高精度、强鲁棒性的非线性滤波算法具有重要意义。

2）本文提出的改进容积卡尔曼滤波算法STCKF通过引入自适应渐消因子，根据残差的变化实时调整滤波器的增益矩阵。

仿真结果表明STCKF遗传了STF强鲁棒性的特点，显著提高了传统CKF在状态发生突变情况下的滤波精度，对含有机动的再入目标跟踪问题具有较强的鲁棒性和自适应能力。

算法可靠性高，稳定性好，计算量小，适于实际工程应用。

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