十字相乘法进行因式分解

十字相乘法进行因式分解
【基础知识精讲】
（1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式；
（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．
【重点难点解析】 1．二次三项式
多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2
ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652
++x x 都是关于x 的二次三项式．
在多项式2
2
86y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．
在多项式3722
2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22
+-ab ab ，就是
关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2
++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．
十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般
规律是：
（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2
，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式
))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2
(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，
那么c bx ax ++2
))(()(22112112212
21c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征
是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(8652
2
-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤
多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．
【典型热点考题】
例1 把下列各式分解因式：
（1）1522
--x x ；（2）2
2
65y xy x +-．
点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； （2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项2
6y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．
解：（1）)5)(3(1522
-+=--x x x x ； （2）)3)(2(652
2
y x y x y xy x --=+-． 例2 把下列各式分解因式：
（1）3522
--x x ；（2）3832
-+x x ．
点悟：我们要把多项式c bx ax ++2
分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里
a a a =21，c c c =21而
b
c a c a =+1221．
解：（1）)3)(12(3522
-+=--x x x x ； （2）)x )(x (x x 3133832
+-=-+．
点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．
例3 把下列各式分解因式： （1）9102
4+-x x ；
（2）)(2)(5)(72
3
y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(2
2
2
++++a a a a ．
点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2
x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2
a a +为整体，转化为关于)8(2
a a +的二次三项式．
解：（1） )9)(1(9102
224--=+-x x x x ＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．
（2） )(2)(5)(72
3
y x y x y x +-+-+
]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x
＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2] ＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)． （3） 120)8(22)8(2
2
2
++++a a a a
)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a
点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．
例4 分解因式：90)242)(32(2
2
+-+-+x x x x ． 点悟：把x x 22
+看作一个变量，利用换元法解之． 解：设y x x =+22
，则 原式＝(y －3)(y －24)＋90
162272+-=y y
＝(y －18)(y －9)
)92)(182(22-+-+=x x x x ．
点拨：本题中将x x 22
+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272
--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．
例5 分解因式6538562
34++-+x x x x ． 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解：原式]38)1(5)1(6[22
2
-+++
=x
x x x x ]50)1
(5)1(6[22-+++=x
x x x x ，
令y x
x =+
1
，则 原式)5056(2
2
-+=y y x
)103)(52(2+-=y y x
)103
3)(522(2++-+
=x
x x x x )3103)(252(22+++-=x x x x
)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．
点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．
例6 分解因式65522
2
-+-+-y x y xy x ．
点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式． 解法1： 65522
2
-+-+-y x y xy x
6)55()2(22-+-++-=y x y xy x 6)(5)(2----=y x y x
)6)(1(--+-=y x y x ．
解法2： 65522
2
-+-+-y x y xy x
65)52(22-+++-=y y x y x )1)(6()52(2-+++-=y y x y x
)]y (x )][y (x [16--+-=
＝(x －y －6)(x －y ＋1)．
例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．
点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )
)(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-= )()()(222b a ab b a c b a c -+---= )())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--= ])()[(2ab b a c c b a ++--=
＝(a －b )(c －a )(c －b )．
点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．
例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42
++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．
点悟：因为1262
4
+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42
++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32
++bx x （a 、b 是待定常数），故有
=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b
的值．
解：设另一个多项式为32
++bx x ，则
12624+++x x x
)3)(4(22++++=bx x ax x
12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，
∵ 1262
4+++x x x 与12)43()43()(2
3
4
++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多
项式，所以其对应项系数分别相等．即有
由①、③解得，a ＝－1，b ＝1， 代入②，等式成立．
∴ a ＝－1，另一个因式为32
++x x ．
点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．
【易错例题分析】
例9 分解因式：2
2
210235y aby b a -+． 错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5， 5×5＋1×(－2)＝23，
∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．
警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．
正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．
∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )． 【试一试】
把下列各式分解因式：
(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2
576x x +- (4)
261110y y --
(5) 22
52310a b ab +- (6) 22
2
2
31710a b abxy x y -+ (7)
22712x xy y -+
(8) 4
2
718x x +- (9) 2
2
483m mn n ++ (10)
53251520x x y xy --
【同步练习】 一、选择题
1．如果))((2
b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )
2．如果305)(2
2
--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )
A ．5
B ．－6
C ．－5
D ．6
3．多项式a x x +-32
可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 31032
2+-
C ．242
++x x D ．2
2
865y xy x --
5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22
++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x
C ．20)(13)(22
++++y x y x D ．20)(9)(22
++-+y x y x
6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652
-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥12112
4-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题
7．=-+1032
x x __________． 8．=--652
m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522
x x (x －3)(__________)．
10．+2
x ____=-2
2y (x －y )(__________)．
11．22
____)(____(_____)+=++
a m
n
a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732
有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，36
17=xy ，则代数式3
2232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题
14．把下列各式分解因式：
（1）6724+-x x ； （2）3652
4--x x ；
（3）4
2
2
4
16654y y x x +-； （4）6
33687b b a a --；
（5）234456a a a --； （6）4
22469374b a b a a +-． 15．把下列各式分解因式：
（1）2
2
2
4)3(x x --；（2）9)2(2
2
--x x ； （3）2
2
2
2
)332()123(++-++x x x x ； （4）60)(17)(2
2
2
++-+x x x x ；
（5）8)2(7)2(2
22-+-+x x x x ； （6）48)2(14)2(2
++-+b a b a ． 16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2；
（2）))(()(22
2
q p q p pq x q p x -+++-； （3）8102322
2
-++--y x y xy x ； （4）31043442
2
-+---y x y xy x ； （5）120)127)(23(2
2
-++++x x x x ； （6）4
2
2
2
2
12)2)((y y xy x y xy x -++++．
17．已知6019722
3+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式． 18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，263
3
=+y x ，求a 的值． 参考答案 【同步练习】
1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋1
10．xy ，x ＋2y 11．2
24m n ，a ,m
n
2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．17 14．（1） 原式)6)(1(2
2
--=x x
)6)(1)(1(2--+=x x x
（2） 原式)4)(9(2
2
+-=x x
)4)(3)(3(2+-+=x x x
（3） 原式)16)(4(2
2
2
2
y x y x --=
)4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=
（4） 原式))(8(3
333b a b a +-= ))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=
（5） 原式)456(2
2--=a a a )43)(12(2-+=a a a
（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=
)9)(4(22222b a b a a --=
)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=
15．（1） 原式)23)(23(2
2x x x x +---= )1)(3)(1)(3(-++-=x x x x
（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x
)32)(32(22+---=x x x x
)32)(1)(3(2+-+-=x x x x
（3） 原式)332123()332123(2
222---+++++++=⋅x x x x x x x x )1)(2)(455(2+-++=x x x x
（4） 原式)5)(12(2
2-+-+=x x x x )5)(3)(4(2-+-+=x x x x
（5） 原式)12)(82(2
2++-+=x x x x 2)1)(4)(2(++-=x x x
（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a
16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a
（2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=
))((22q pq x pq p x --+-=
（3）原式)8103()22(2
2+----=y y x y x )2)(43()22(2-----=y y x y x
]2)][43([-+--=y x y x
)2)(43(-++-=y x y x
（4） 原式3103)1(442
2-+-+-=y y x y x )3)(13()1(442---+-=y y x y x
)32)(132(-++-=y x y x
（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x
120)45)(65(22-++++=x x x x
1201)55(22--++=x x
)1155)(1155(22-+++++=x x x x
)65)(165(22-+++=x x x x
)6)(1)(165(2+-++=x x x x
（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=
)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=
)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=
17．提示：)52()601972(2
3-+--÷x x x x )3)(4(122+-=--=x x x x
18．∵ ))((2
233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=，
又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，
2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ， 解之得，a ＝－7．。