高中数学人教A版2019课标版必修二公开课教案空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.1 平面
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第三章《立体几何初步》，本节课主要学习三个基本事实及三个结论及其应用。

平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面为例，对它只是加以描述而不不定义。

立体几何中的平面又不同于上面的例子，是上面例子的抽象和概括，它的特征是无限延展性。

为了更精准地理解平面，教材重点介绍了平面的基本性质，即教科书的三个基本事实，这也是本节的重点。

另外，本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译，特别注意图形语言与符号语言的转换。

1.教学重点：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；
2.教学难点：平面的画法及表示方法，三个基本事实的地位与作用。

多媒体
一、情境引入
教室里的桌面、黑板面、海平面，它们呈现出怎样的形象？
二、探索新知
1.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，
数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.
2.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的.
(1)平展性(2)无限延展性(3)没有厚度
练习：
判断下列各题的说法正确与否：
（1）、一个平面长4 米，宽 2 米；( )（2）、平面有边界；( )（3）、一个平面的面积是25 cm 2；( )（4）、菱形的面积是4 cm 2；( )（5）、一个平面可以把空间分成两部分. （）【答案】（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√
3.平面的画法：
当平面水平放置时，平行四边形的锐角通常画成45º，且横边长等于其邻边长的2倍。

(1)水平放置的平面：
(2)垂直放置的平面：
4.平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．
记作：平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD
思考1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？
【答案】过不共线三点
基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
图形语言：
作用：确定平面的主要依据。

5.点与直线、平面的位置关系
直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成点的集合．点在直线上和点不在直线上、点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示． 图形语言：
符号语言：αα∉∈B A , l A ∈ l A ∉ 思考2：如果直线 l 与平面α有一个公共点P ，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l 与平面α有两个公共点呢？ 【答案】直线与平面的关系：
直线在平面外 直线在平面内
图形：
符号语言：α⊄l α⊂l
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
图形语言：
符号语言：
作用：判断直线是否在平面内的依据．
思考3：如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B ？为什么？
【答案】交于一点直线。

基本事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
图形语言：
符号语言：l P l P P ∈=⇒∈∈且,,βαβα 作用：①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上． 6.两个相交平面的画法：
注意：画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画．
7.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可得下面三个推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。

推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。

作用：确定一个平面。

例1:用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
解：().,,1B a A a l ===βαβα
().,,,,2P l b P l a b a l ==⊂⊂= βαβα 例2. 如图，已知
.//,,,,a PQ b P A b a b a ∈=⋂⊂⊂αα
求证：α⊂PQ 。

证明： ∵PQ ∥a ，∴PQ 与 a 确定一个平面β.
通过思考，引入基本事实3，了解两个相交平面交于一条直线。

通过讲解，让学生能用数学语言表示基本事实3，提高学生的数学素养。

三、达标检测
1．判断正误
(1)平面是处处平的面．()
(2)平面是无限延展的．()
(3)平面的形状是平行四边形．()
(4)一个平面的厚度可以是0.001 cm.()
【答案】(1)√(2)√(3)×(4)×
2．下列空间图形画法错误的是()
A B C D 【答案】D
【解析】遮挡部分应画成虚线．故D错，选D.
3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，
则可以表示为()
A．A⊂a，a⊂α，B∈α
B．A∈a，a⊂α，B∈α
C．A⊂a，a∈α，B⊂α
D．A∈a，a∈α，B∈α
【答案】B
【解析】点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，
表示为A∈a，a⊂α，B∈α.
4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，
E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．
证明：因为P∈AB，AB⊂平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.
在教学过程中，应倡导“动手实验、直观感知、归纳猜想、操作确认”学习方式，充分体现学生的“主体性”，让学生不断经历“概念及定义的探索及发现过程”。

这样能降低学生学习的难度，激发学生学习兴趣。