用定积分定义求定积分
求定积分的方法
【知识要点】一、曲边梯形的定义分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限三、定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点()f x [,]a b 上任取]一点 i x 11()n n i i i a f x x n==∆=∑在区间上的定积分.记为：， ()f x [,]a b ()b a S f x dx =⎰其中是积分号，是积分上限，是积分下限，是被积函数，是积分变量，是积分区间，⎰b a ()f x x [,]a b 是被积式. ()f x dx说明：（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限()ba f x dx ⎰n S 趋近的常数（时）记为，而不是．S n →+∞()ba f x dx ⎰n S （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③n [],a b []1,i i i x x ξ-∈求和：；④取极限：1()n i i b a f n ξ=-∑()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰四、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1（定积分的线性性质）； ()()()b baa kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数性质2（定积分的线性性质）； 1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰a =x 0<x 1<x 2<L <x i -1<x i <L <x n =b b -a n f (ξi )b -将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为D x （D x =），在每个小区间[x i -1,x i (i =1,2,L ,n )，作和式：S n =∑如果D x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式S n 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数求定积分的方法我们把由直线x =a ,x =b ,y =0和曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形.二、曲边梯形的面积的求法性质3（定积分对积分区间的 ()()()()b c ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中可加性） 五、定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由[],a b ()f x ()0f x ≥()b a f x dx ⎰直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =（2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由[],a b ()f x ()0f x ≤()b a f x dx ⎰直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数.,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =（3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，[],a b ()f x ()y f x =x 有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积. x ()ba f x dx ⎰x （4）图中阴影部分的面积S= 12[()()]b a f x f x dx -⎰六、微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，()f x [,]a b ()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把记成，()()F b F a -()b a F x 即.()()()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰ 计算定积分的关键是找到满足的函数.()()F x f x '=()F x 七、公式（1） （2） （3） 1()cx c =1(sin )cos x x =1(cos )sin x x -=( 4) (5)； (6) 11()(1)1n n m x mx n n +=≠-+(ln )a a x x '=x x e e =')(（7） （8） 1(sin 2)cos 22x x ¢=1(ln(x 1))1x ¢+=+ 八、求定积分的方法(1)代数法： 利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求. 学科@网【方法讲评】 方法一微积分基本原理求解（代数法） 使用情景比较容易找到原函数. 解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解. 【例1】 定积分的值为____________. 11(||1)x dx --ò【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解.【反馈检测1】 ．220sin 2x dx π=⎰【反馈检测2】若)(x f 在上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则 ( )R 30()f x dx =⎰A ． B ． C ． D ．1618-24-54 方法二数形结合利用面积求（几何法） 使用情景不容易找到原函数. 解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解.【例2】计算的结果为（ ）. 10(1dx +⎰A ．1 B ． C ． D ．4π14π+12π+【解析】先利用定积分的几何意义求：令，即 dx x ⎰-1021)10(12≤≤-=x x y 表示单位圆的（如图），即是圆面积，即；所以 )0,10(122≥≤≤=+y x y x 41dx x ⎰-1021414π=.10(1dx +⎰411110210π+=-+⎰⎰dx x dx【点评】（1）本题中函数的原函数不是很容易找到，所以先利用定积分的性质化简原式，1y =再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.，即表示单位圆的（如图），不是右)10(12≤≤-=x x y )0,10(122≥≤≤=+y x y x 41半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】313)___________dx +=⎰高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第18讲：求定积分的方法参考答案【反馈检测1答案】 142π-【反馈检测1详细解析】 ⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2020202022cos 212cos 212sin ππππdx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】 18-【反馈检测3答案】 263π++【反馈检测3详细解析】由于+．313)dx +=ò1⎰313dx ⎰其中值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在从1到3部分与轴所围成的图形1⎰x x 的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ = 211121212623ππ⨯+⨯⨯+⨯=+又=6，∴ ． 313dx ⎰313)dx +=ò263π故答案为：． 263π++。
定积分的求法
定积分的求法The definite integral calculation methods院系：生物科学与技术学院专业：生物科学班级：生物科学ISEC班姓名：石荣荣学号：1411370071摘要：定积分是积分学中的一个基本问题，定积分在微积分中占有极为重要的地位。
定积分与微分相比，难度大、方法灵活。
因此，我们要研究定积分的计算方法。
常用的方法有定义法、莱布尼茨公式法、分部积分法、换元法以及其他特殊方法。
定积分计算有着特殊的方法和技巧。
据我们所知，目前定积分的求法相对来说比较完善，所以我们应在前人的基础上善于对其总结。
同时，要把定积分应用于数学问题和实际问题也是十分重要。
下面我们探讨一下定积分的计算技巧。
Abstract:The definite integral is the integral calculus is a fundamental problem, definite integral calculus occupies a very important position, it is compared with the differential, difficult, flexible method. Therefore, we need to study the method of calculating the definite integral. Commonly used methods are defined in law ,the Leibniz formula method, step-by-step integration method ,by substitution and other special methods. The integral calculation has special methods and techniques. Here we will explore the definite integral calculation skills. As far as we know, at present the definite integral calculation methods are relatively perfect, so we should make conclusion actively from the forefathers. At the same time,to the problem of definite integral application in mathematical and practical problems is very important. Here we will explore the definite integral calculation skills.引言：1：定积分的常用方法1.1：利用定义计算定积分 1.2：利用性质计算定积分1.3：利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分 1.4：利用换元法计算定积分 1.5：利用分部积分法计算定积分2：定积分的特殊方法2.1：利用奇偶性计算定积分1：定积分的常用方法1.1：利用定积分定义计算定积分定义：设函数f(x) 在区间[a,b]上有界，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，可知各小区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。
1用定积分的定义计算下列积分
2
(1) (2)
0
2 1 1
e−x dx 与
0
1
e−x dx； (ln x)2 dx；
1 0
3
2
ln xdx 与
1
(3)
0 1
x sin xdx 与 e−x dx 与
0 1
2
x(sin x)2 dx；
(4)
0 1
(1 + x)dx；
1 x dx 与 ln(1 + x)dx； 0 0 1+x −1 1 1 x (6) dx 与 3x dx。 3 −2 0 4. 应用估值定理，估计下列积分值： π dx (1) I = ； 5 0 √ 2 + sin x
0 +∞
(1)
0 +∞
e−x dx (n > 0)； xn e−a
2
n
(2)
0 +∞
x2
dx (a > 0, n ≥ 0)；
2
(3)
2 +∞
e2 xe−(x−2) dx； x2m+1 e−x dx； x2m e−x dx；
2 2
(4)
0 +∞
(5)
0
+∞
(6)
0
x 2 e−x dx。
7
习题六答案
3
1
0
0 1
e−x dx；(2)
1 2
2
2 1
ln xdx <
1 0
(ln x)2 dx；
1
1
(3)
0 1
x sin xdx >
x sin xdx；(4)
e
−x
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。
定积分的概念
1．5.3 定积分的概念学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －anf (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52. 思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方时，ʃb a f (x )d x <0，－ʃb a f (x )d x 等于曲边梯形的面积．知识点三 定积分的性质思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )吗？答案 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2.梳理 (1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)．(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x .(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．类型一 利用定积分的定义求定积分例1 利用定积分的定义，计算ʃ21(3x ＋2)d x 的值． 解 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋i n ](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n .(2)近似代替、求和取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1n f (n ＋i －1n)·Δx＝∑i ＝1n [3(n ＋i －1)n ＋2]·1n＝∑i ＝1n[3(i －1)n 2＋5n ]＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5 ＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n. (3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n＝lim n →∞ (132－32n )＝132.反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n ，[x i －1，x i ]＝[2＋i －1n ，2＋in ]，i ＝1,2，…，n .取ξi ＝x i ＝2＋i n ，则f (ξi )＝2＋i n ＋2＝4＋in .则∑ni ＝1f (ξi )Δx i＝∑ni ＝1(4＋i n )·1n ＝∑n i ＝1 (4n＋i n 2)＝n ·4n ＋1＋2＋…＋nn 2＝4＋n ＋12n.∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞ (4＋n ＋12n )＝92.类型二 利用定积分的几何意义求定积分例2 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值． (1)ʃ102d x ；(2)ʃ21x d x ； (3)ʃ1－11－x 2d x . 解 (1)ʃ102d x 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以ʃ102d x ＝2.(2)ʃ21x d x 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以ʃ21x d x ＝32. (3)ʃ1－11－x 2d x 表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以ʃ1－11－x 2d x ＝π2.引申探究1．将例2(3)改为利用定积分的几何意义求ʃ101－x 2d x .解 ʃ101－x 2d x 表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的14的面积，其值为π4， ∴ʃ101－x 2d x ＝π4.2．将例2(3)改为利用定积分的几何意义求ʃ101－(x －1)2d x .解 ʃ101－(x －1)2d x 表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的14圆的面积，其值为π4， ∴ʃ101－(x －1)2d x ＝π4.3．将例2(3)改为利用定积分的几何意义求ʃ1－1(x ＋1－x 2)d x . 解 由定积分的性质得， ʃ1－1(x ＋1－x 2)d x ＝ʃ1－1x d x ＋ʃ1－11－x 2d x . ∵y ＝x 是奇函数，∴ʃ1－1x d x ＝0. 由例2(3)知ʃ1－11－x 2d x ＝π2. ∴ʃ1－1(x ＋1－x 2)d x ＝π2.反思与感悟 利用定积分所表示的几何意义求ʃb a f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．跟踪训练2 利用定积分的几何意义，求： (1)ʃ3－39－x 2d x ； (2)ʃ30(2x ＋1)d x . 解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，如图(1)所示，其面积S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义，知ʃ3－39－x 2d x ＝92π. (2)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线．ʃ30(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)，其面积S ＝12×(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义，知ʃ30(2x ＋1)d x ＝12.类型三 利用定积分的性质求定积分例3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3(ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x )＝3×(14＋154)＝12.(2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6(ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x )＝6×(73＋563)＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.(2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .跟踪训练3 (1)已知定积分ʃa 0f (x )d x ＝8，且f (x )是偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝________. (2)ʃ1－1(x 3＋3)＝________.答案 (1)16 (2)6解析 (1)ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x ＝2×8＝16. (2)ʃ1－1(x 3＋3)d x ＝ʃ1－1x 3d x ＋ʃ1－13d x ，∵y ＝x 3是奇函数，∴ʃ1－1x 3d x ＝0，又ʃ1－13d x ＝6， ∴ʃ1－1(x 3＋3)d x ＝6.(3)已知ʃb a [f (x )＋g (x )]d x ＝12，ʃb a g (x )d x ＝6，求ʃb a 3f (x )d x .解 ∵ʃb a f (x )d x ＋ʃba g (x )d x＝ʃb a [f (x )＋g (x )]d x ＝12，又∵ʃb a g (x )d x ＝6，∴ʃb a f (x )d x ＝6. ∴ʃb a 3f (x )d x ＝3ʃb a f (x )d x ＝3×6＝18.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n(i －1)3n 3·1n； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞ ∑i ＝1n i 3n 3·1n.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( )A ．被积函数为y ＝2，a ＝6B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6D ．被积函数为y ＝2，a ＝－6 答案 C解析 由定积分的概念可知，ʃ2－1(－2)d x 中的被积函数为y ＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x 等于由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0，y ＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x ＝－2×3＝－6.3．下列等式不成立的是( )A ．ʃb a [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ʃb a f (x )d x ＋n ʃb a g (x )d xB ．ʃb a [f (x )＋1]d x ＝ʃb a f (x )d x ＋b －aC ．ʃb a f (x )g (x )d x ＝ʃb a f (x )d x ·ʃb a g (x )d xD ．ʃ2π－2πsin x d x ＝ʃ0－2πsin x d x ＋ʃ2π0sin x d x答案 C解析 由定积分的性质可得A 、B 、D 正确，故选C. 4．ʃ502(x －2)d x ＝________. 答案 5解析 ʃ50(x －2)d x ＝S 2－S 1＝12×32－12×22＝52，故ʃ502(x －2)d x ＝5.5．计算：322(25sin )d .x x ππ⎰－解 由定积分的几何意义得，3222d x ππ⎰＝(3π2－π2)×2＝2π.由定积分的几何意义得，322sin d x x ππ⎰＝0.所以322(25sin )d x x ππ⎰－＝3222d x ππ⎰－5322sin d x x ππ⎰＝2π.1．定积分ʃb a f (x )d x是一个和式∑i ＝1n b －anf (ξi )的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．课时作业一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.∑i ＝1n (i －1n )2·1nB ． lim n →∞ ∑i ＝1n(i －1n )2·1n C.∑i ＝1n (2i n )2·2nD ．lim n →∞ ∑i ＝1n(2i n)2·2n 答案 D 解析根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1n(2i n )2·2n. 2．已知f (x )＝x 3－x ＋sin x ，则ʃ2－2f (x )d x 的值( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．不确定答案 A解析 ∵f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，∴ʃ2－2f (x )d x ＝0. 3．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ10x d xB ．ʃ10(x ＋1)d xC ．ʃ1012d x D ．ʃ101d x答案 D解析 A 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12， B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，D 项，ʃ101d x ＝1，故选D. 4．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为( )A ．ʃ1－1(x 3＋sin x )d xB ．2ʃ10(x 3＋sin x )d x C.||ʃ1－1(x 3＋sin x )d xD ．ʃ10(x 3＋sin x )d x答案 B解析 ∵y ＝x 3＋sin x 是奇函数，∴其图象关于原点对称，∴直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的图形面积可表示为2ʃ10(x 3＋sin x )d x .5．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．120[(1)]d x x x ⎰－＋－C ．120d x x ⎰＋112(1)d x x ⎰－＋D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12，故A (12，12)．由图知阴影部分的面积可表示为120d x x ⎰＋112(1)d .x x ⎰－＋6．与定积分320sin d x x π⎰相等的是( )A ．|320sin d x x π⎰|B ．320sin d x x π⎰C ．ʃπ0sin x d x －32sin d x x ππ⎰D ．20sin d x x π⎰＋322sin d x x ππ⎰答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0；当x ∈(π，3π2]时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，320sin d x x π⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋32sin d x x ππ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋32(sin )d x x ππ⎰－＝ʃπ0sin x d x －32sin d .x x ππ⎰ 7．设a ＝1130x ⎰d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b答案 B 解析 根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <1130x ⎰d x ，即a >b >c ，故选B. 8．若ʃa －a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( )A ．6B ．56C ．36D ．2 016答案 A解析 由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa －a |x |d x ≤2 016， 得ʃa －a |x |d x ≤36，∵ʃa －a |x |d x ＝a 2，∴a 2≤36，即0<a ≤6.故正数a 的最大值为6.二、填空题9．若ʃ1012f (x )d x ＝1，ʃ0－13f (x )d x ＝2，则ʃ1－1f (x )d x ＝________.答案 83解析 ∵ʃ1012f (x )d x ＝12ʃ10f (x )d x ＝1， ∴ʃ10f (x )d x ＝2.又ʃ0－13f (x )d x ＝3ʃ0－1f (x )d x ＝2，∴ʃ0－1f (x )d x ＝23. ∴ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x＝23＋2＝83. 10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．答案 ʃ2－4x 22d x 解析 由定积分的定义可得．11．ʃ30[9－(x －3)2－x ]d x ＝________.答案 9π－184解析 ʃ30[9－(x －3)2－x ]d x ＝ʃ309－(x －3)2d x －ʃ30x d x .ʃ309－(x －3)2d x 表示以(3,0)为圆心，3为半径的圆的面积的14，即ʃ309－(x －3)2d x ＝94π. ʃ30x d x ＝12×32＝92. ∴ʃ30[9－(x －3)2－x ]d x ＝94π－92＝9π－184. 12．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 令f (x )＝x 2.①分割将区间[0，T ]n 等分，则Δx ＝T n. ②近似代替、求和取ξi ＝Ti n(i ＝1,2，…，n )， S n ＝∑i ＝1n (Ti n )2·T n ＝T 3n 3∑i ＝1n i 2＝T 3n 3(12＋22＋…＋n 2) ＝T 3n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝T 36(1＋1n )(2＋1n)． ③取极限S ＝lim n →∞ T 36×2＝T 33＝9, ∴T 3＝27，∴T ＝3.三、解答题13．如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π， 求ʃ20(8－x 2－12x 2)d x.解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2， 得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2(8－x 2－12x 2)d x .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·(14＋16π)＝2π＋43. 由定积分的几何意义得， ʃ20(8－x 2－12x 2)d x ＝12ʃ2－2(8－x 2－12x 2)d x ＝π＋23.。
定积分概念第3
定 积 分
填一填· 知识要点、记下疑难点
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 b f(x)≥0 ，那么定积分ʃ 几何 ________ af(x)dx表示由 定 积
n
定积分
常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的
b a
b ，记作 f(x)dx，即
a
f(x)dx＝
．
其中 a 与 b 分别叫做 做
积分区间
积分下限
和
积分上限
，区间[a，b]叫 ，
，函数 f(x)叫做被积函数
被积式
，x 叫做 积分变量
f(x)dx 叫做
．
5．定积分的几何意义
i－1 i－1 ＝1,2，„，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋ n ＝2＋ n ，
从而得 f (ξi)Δx＝
i＝1 n n
i＝1
i－1 1 n 1 2 i－1 2 (2＋ )· ＝ n＋ 2 [0 n＋ n2 ＝ n · n n i n ＝1
＋1＋2＋…＋(n－1)]
0 2 1 2
例2 利用几何意义计算下列定积分：
3 2 3 (1)ʃ －3 9－x dx；(2)ʃ －1(3x＋1)dx.
解 (1)在平面上y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆 心以3为半径的上半圆，
1 2 其面积为S＝2·π·3 . 由定积分的几何意义知ʃ －3
3
9 9－x dx＝2π.
2
(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及 y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
定积分的计算
即积分上限函数 ( x) 是被积函数 f ( x) 的原函数.
d x ( x ) a f ( t )dt f ( x ) dx
(a x b)
本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不 相干的概念之间的内在联系;同时也证明了“连续函 数必有原函数”这一基本结论,并以积分形式f (t )dt 给出了f 的一个原函数. 正因为定理1 的重要作用而被誉为微积分学基本定理.
注意： （1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母(记号)无关.
a f ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
b
b
b
二、积分上限函数(变限积分) 定义: 设函数
f ( x) 在区间 [ a, b] 可积，根据
§8.3定理5 ，x [a, b] 函数 f ( x) 在 [a, x]也可积， 将积分变量 x 换成积分变量 上限 x 相混淆.
( x)
( x ) f ( x ).
微积分学基本定理的重 要性
(i) 解决了原函数的存在性问题 精僻地得出: [ a, b]上的连续函数一定存在原函数,且 是 f ( x) 的一个原函数这一基本结论. (ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系 为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学 基本定理.
F ( x) f (t )dt
x a
所以f ( x )有界，设 f x M ( M为常数）.
F x x F x
x x
a
f t dt f t dt
x a
x x x
f t dt
x x x
f t dt M x
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法 例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222nnni i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.（4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法 例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法 例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x xx +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a af x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aaf x dx-⎰＝0． 小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
y f (x)
a
b
x
5
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
6
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt a
a
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
7
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分a f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 上述和式 S n 时， 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区
n n
间 [ a, b] 上的定积分。记为： S
b
a
f ( x )dx
定积分的定义
0
1
0
1
2.已知
2
0 f
x dx
8,则 ［2 f 0
x －2x］dx
________ .
【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成 两个定积分的和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积 分的差,然后再根据定积分的几何意义求解.
【解析】1.选C.由定积分的性质可知,
b a
（f1 x）dx
b a
f（2 x）dx
b a
f（m x）dx.
探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和
吗？
提示:能.推广公式为
b f（x）dx c1 f（x）dx c2 f（x）dx b f（x）dx
a
a
c1
ck
（a c1 c2 ck b）.
2
分的形式为_______.
【解析】由定积分的定义和几何意义可知
S
2 0
sin
xdx.
答案: 2 sin xdx 0
6.已知 1x3dx 1，2 x3dx 15，2 x2dx 7，4 x2dx 56 .
0
41
41
32
3
求：（1） 2 3x3dx. 0
2
0 f
x dx
2
2
0
f
x
dx.
1.若在区间［1,2］上,f(x)>0恒成立,则
2
1 f
xdx 的符号(
)
A.一定为正
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
例谈计算定积分的三种方法
例谈计算定积分的三种方法定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，它必将成为今后高考的新热点，本文通过三个例题谈谈定积分计算的三种方法。
一、用定积分的定义计算定积分例1. 求定积分⎰103xdx 的值. 解析：（1）分割：把区间[0，1]等分成n 个小区间[ni n i ,1-]（i=1，2，…，n ）.其长度为△x=n1，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为△S i （i=1，2，…，n ）.（2）近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，△S i =f （ni 1-）△x=3)1(312-=⋅-⋅i n n i n i ，（i=1，2，…，n ）. （3）求和：n n n n i n S ni n i i 123)]1(21[3)1(32121-⋅=-+++=-=∆∑∑== . （4）取极限：S=23123lim )1(3lim 12=-⋅=-∞→=∞→∑n n i nn n i n . ∴⎰103xdx 23=.点评：本题如果用微积分基本定理或定积分的几何意义来求，更为简单，在此仅仅为了说明用定积分的定义可以计算定积分.通常在用微积分基本定理或定积分的几何意义计算定积分比较困难时，再用定积分的定义计算定积分。
二、用微积分基本定理计算定积分例2. 求定积分⎰+21221dx x x 的值. 解析：⎰+21221dx x x =)2ln 3(ln 21]12)2ln(12[ln 21)211(2121-=+-=+-⎰x x dx x x .点评：本题由⎰+21221dx xx 想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只是需要把x x 212+拆成x 1与21+x 的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数。
三、用定积分的几何意义计算定积分例3. 求定积分⎰---102))1(1(dx x x 的值. 解析：⎰---102))1(1(dx x x 表示圆(x-1)2+y 2=1（y≥0） 的一部分与直线y=x 所围成的图形（如图所示）的面积， 因此⎰---102))1(1(dx x x =2141121412-=⨯⨯-⨯ππ. 点评：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由⎰---102))1(1(dx x x 联想到圆(x-1)2+y 2=1（y≥0）的一部分与直线y=x ，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。
用定积分定义求定积分
用定积分定义求定积分定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量以及描述变化率等。
本文将通过用定积分定义来解释定积分的概念和应用。
定积分是微积分中的一个概念，它可以被看作是无穷小量的累加。
在数学中，定积分可以通过求和的方式来计算。
具体而言，定积分可以被定义为一个函数在一个区间上的无穷小划分之和的极限。
这个极限就是定积分的值。
为了更好地理解定积分的概念，让我们来考虑一个简单的例子。
假设我们有一个函数f(x)，它在区间[a, b]上连续。
我们想要计算f(x)在该区间上的定积分。
首先，我们将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，我们在每个小区间上选择一个点xi，并计算出f(xi)乘以Δx的值。
最后，将所有这些乘积相加，即可得到定积分的近似值。
然而，这个近似值并不是准确的定积分值，因为我们仅仅考虑了有限个小区间。
为了得到准确的定积分值，我们需要让这个小区间的数量趋近于无穷大。
这就是求极限的过程，也是定积分的定义。
用定积分定义求定积分的过程可以用以下公式表示：∫(a→b) f(x)dx = lim(n→∞) Σ[f(xi)Δx]其中，∫表示定积分的符号，a和b表示积分的上下限，f(x)表示被积函数，dx表示自变量的微小变化量，lim表示极限运算，Σ表示求和符号，xi表示每个小区间的中点，Δx表示小区间的宽度，n表示小区间的数量。
通过用定积分定义来求解定积分，我们可以计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量以及描述变化率等。
定积分在物理学、经济学、工程学等领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以使用定积分来计算物体的质量、速度、加速度以及动能等。
在经济学中，我们可以使用定积分来计算市场的总需求、总供给以及总收益等。
在工程学中，我们可以使用定积分来计算电路的电流、功率以及能量等。
定积分是微积分中的重要概念，它可以通过用定积分定义来计算。
定积分可以用来计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量以及描述变化率等。
定积分定义
,
f ( i )
y
为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积
Ai f ( i )x i
得
o a ( x i xi xi 1 )
x1 xi 1 xi
i
Definite integral
求和:
A
n
n
A i f ( i )x i （ A 的近似值）
《微积分》第三章
第五节
引例
定积分
Definite
定积分的定义 定积分的性质
integral
定积分的几何意义
Definite integral
曲边梯形
引例1 求曲边梯形的面积 A
由连续曲线
y
y f
y f ( x )( f ( x ) 0)、
x轴与两条直线 x a、
x
A
x b所围成的图形.
1 6
n
(1
1 n
)( 2
1 n
)
o
i n
1 x
Definite integral
定积分的性质
对定积分的补充规定:
（ 1） 当 a b 时 ，
（ 2） 当 a b 时 ，
a
b
b
f ( x ) dx
b
a
f ( x ) dx .
a
f ( x ) dx 0 ；
说明 在下面的性质中，假定定积分都存在， 且不考虑积分上下限的大小．
④
1i n
n
③再求和 f (i ) xi
i 1
max{xi } , 若不论对[a,b]怎样的划分，也不论
定积分的计算方法
本科毕业论文定积分的计算方法专业数学与应用数学作者姓名班级2007级1班学号2007011105 指导教师提交日期2011年5月10日陇东学院数学与统计学院2011年5月定积分的计算方法（陇东学院数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000）摘 要:本文从定义法,几何意义计算法,公式法以及特殊计算法和近似计算方法讨论了定积分的计算.关键词: 定积分; 计算方法; 二重积分; 近似计算一 引言在数学分析的学习以及科学研究中，到处都会遇到微分、积分的计算问题,微分的计算比较容易，积分的计算难度就要大多了.正因为如此,人们对积分的计算从理论到实践进行了大量的研究,总结了许多种方法.在此，着重对定积分的计算方法和技巧做归类简析.二 正文1根据定义计算定积分定积分的定义]1[:一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 任意分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时,上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 称为被积函数,x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间,b 积分上限，a 积分下限.计算定积分可以通过计算极限ini io x x f ∆∑=→∆1)(lim ξ 来实现.例1]4[ 用定积分的定义求.dx e bax ⎰解 因为xe xf =)(为],[b a 上的连续函数，所以对于任意分割T 和任意点集},{i ξ有i ni i T x f ∆∑=→1)(lim ξ都存在且相等，即dx e bax ⎰存在，所以，把],[b a 平均分成n 等份，因此每个子区间的长度.nab x i -=∆ 取每一子区间的右端点为i ξ,即,i n ab a i -+=ξ于是ni a b a i ef )()(-+=ξ,这样=∆∑=i ni i x f 1)(ξna b a ni ni a b a e nab e-+=-+=-⋅∑(1)(na b a e)(2-++++ nab ena b n a --+))( na b ee nab ee eab na b a na b n nab na b a -⋅-=-⋅-=--+---+)1(]1)[(/),1(--na b e因此dx e bax⎰i ni i n x f ∆=∑=∞→1)(lim ξ∞→=n lim /)1(na b eeab na b a -⋅---+)1(--na b e.)1(a b ab a e e ee -=-=-小结: 用定积分的定义计算定积分,能解决的定积分其被积函数一般是比较简单的情形,主要因为和式x f ni i∆∑=1)(ξ 的极限一般不容易求.2 利用定积分的几何意义计算一般情况下,定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b==之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积取负号． 例2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：（1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11． 解（1）由下图（1）所示,0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .- 11 11A A O xyRy2A（2）由上图（2）所示,2d 2222R A x x R RRπ==-⎰-.(3)由上图（3）所示,0)()(d c o s 5353543π20=--++=+-+=⎰A A A A A A A x x .（4）由上图（4）所示,1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 3 公式法凡运用不定积分的基本公式和牛顿——菜不尼玆公式计算定积分的方法,称为公式法.公式法适用于解决能用不定积分求出被积函数的原函数的这类函数积分的问题.而用不定积分求原函数时有直接积分、还原积分、分部积分，因此相应地也有定积分的直接积分、还原积分、分部积分法等.牛顿—莱布尼兹公式]1[ 设)(x f 在],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的一 个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰． (1)公式(1)是著名的牛顿—莱布尼兹公式.牛顿—莱布尼兹公式把定积分的计算问题归结为求被积函数的原函数在上、下限处函数值之差的问题，从而巧妙地避开了求和式极限的艰难道路,为运用定积分计算普遍存在的总量问题另辟坦途．例如1cos 42]cos [)11sin 2(1212++=+-=+++⎰πarctgx x x dx x x x . O x y1 - 13A 4 A 5 A 2 π π( 3 )1-1- 11 O xy6A 6A (4)4 特殊计算方法 4.1方程式求解在计算过程中,通过解方程（组）的方式求定积分.例3 求xdx e I x sin 20⎰=π.解 xdx e I xsin 20⎰=π=02sin πxe x-xdx e x cos 20⎰π=x xde e cos 202⎰-ππ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎰xdx e xe e x x sin cos 20022πππI e xdx e e x-+=-+=⎰1sin 12202πππ解方程：)1(21122+=⇒-+=ππe I I e I .4.2消项法对某些不便计算的积分,经过一定的变化,将其中某些部分积分相互抵消而得其值.作为一种方法只能尝试着使用. 例4]4[ 求dx x x I ⎰++=1021)1ln(.解 ⎰⎰⎰=-=+=+=404040c o s )4c o s (2ln cos cos sin ln)1ln(ππππdt t t dt t t t dt tgt I tgtx ⎰⎰⎰--+=404040.cos ln )4cos(ln 2ln ππππtdt dt t dt而⎰⎰⎰==--=404044.cos ln cos ln )4cos(ln πππππtdt udu dt t tu.2ln 82ln 40ππ==⎰dt I4.3 利用导数计算定积分例5]5[ ⎰π203.sin xdx x 求解 令,0)(,6)(''',6)('',3)(')()4(23====⇒=x f x f x x f x x f x x f)]2('')0(''[)]2()0([sin )]()([20)4(πππf f f f xdx x f x f ---=-⎰即].120[]80[sin )0(3203πππ---=-⎰xdx x.812sin 2203πππ-=⎰xdx x4.4 利用递推公式例6]5[ 计算xdx e x I xn n sin 20⎰=π.c o s 20x d x e x J x n n ⎰=π解 x d x e x x d x e xn x e x I x n xn xn n c o s s i n s i n2020102⎰⎰--=-πππn n xnJ nI e --=-12)2(π. (2)同理：n n n I nJ J +-=-1. (3)由（2）,（3）得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---=112112221221n n n n n n n n nJnI e J nJ nI e I ππππ ,,2,1 =n 其中 2121sin 220+==⎰ππe xdx e I x ,.2121cos 2200-==⎰ππe xdx e J x4.5 利用二重积分计算定积分先将定积分设法化为二重积分,再用二重积分的性质进行计算. 例7]1[ 计算dx xxx I ⎰-=13ln 解,2l n l i m ,0l n l i m 1,0l n 31303=-=--→→-x xx x x x xx x x x ）内连续，且在（ 故 dx x x x ⎰-13ln 有意义，又 ,ln 313dy x xxx y ⎰=-.2l n 11131103131=+===∴⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx x dy dy x dx I y y 4.6 利用带参变量的积分计算定积分 例8 计算dx xxx I ⎰-=13ln （即例7） 解 令dx xxx b I b ⎰-=10ln )( )0(≥b ,显然,0)(=b IC b b I bdx x b I b ++=⇒+==⎰)1ln()(11)('10)1(=I 21ln 2ln )1ln()(2ln +=-+=⇒-=∴b b b I C .2ln 213ln)3(=+==∴I I 4.7]3[ 利用留数计算积分这是将实积分转变为复变函数积分,再利用复变函数中留数理论进行计算. 例9 计算.1cos 2dx x x ⎰+∞∞-+解 211)(xx R +=为分母2次,分子0次的有理函数,故上述积分存在.且R(z)在上 半平面只有一个一级极点i ,在实轴上无孤立奇点,又i e z e i z i e z R s iz i iz21)(lim ],)([Re 120-→=+∙-=.221sin 1cos 11222ei e i dx x x i dx x x dx x e ix ππ=∙=+++=+∴-∞+∞-∞+∞-∞+∞-⎰⎰⎰ .)(1cos 2ee R dx x x I e ππ==+=∴⎰+∞∞-5 近似计算法]2[根据定积分的几何意义：dx x f ba⎰)(表示的是以)(x f 为曲边,以x 轴上的区间],[b a 为低的曲边梯形面积的代数和.我们可以用x 轴上的分点b x x x x x n ==,,,,210 ,将曲边梯形的低],[b a 平均分成N 个小区间,每个小区间的长度为,Nab x -=∆过分点作平行于y 轴的线段将整个曲边梯形分成N 个小的曲边梯形,每个小的曲边梯形面积都用已知图形的面积来近似代替.根据已知图形的形状可以分为以下近似计算法：5.1矩形法以第i 个小区间左或右端点对应的函数值x x f x f i i ∆-以为高或,)()1(为低作一个小 矩形,用这个小矩形面积x x f x x f i i ∆∆-)()1(或来近似代替第i 个小曲边梯形的面积（n i ,,2,1 =）， 于是Na b x f dx x f Na b x f x x f dx x f ni i bani i n i i ba-≈--=∆-≈∑⎰∑∑⎰===111)()()1()1()(或上式称为矩形法公式.5.2梯形法以第i 个小区间左右端点i i x x ,1-对应的函数值)(),1(i i x f x f -为上下低,以x ∆为高作一个梯形,其面积为2)]()1([xx f x f i i ∆+-,将其作为第i 个小的曲边梯形面积的近似值),,2,1(n i =，于是 xx f x f x x f x f x x f x f dx x f n n ba∆+++∆++∆+≈-⎰)]()([21)]()([21)]()([21)(12110=)]()()(21)(21[10n n x f x f x f x f n a b ++++- 上式称为梯形公式.5.3辛普森法当分点N=2n 时,每个小区间的长度h=nab 2-,过每个分点作平行于Y 轴的直线,它们与曲线 310222111000,,,).,(,),,(),,()(M M M y x M y x M y x M x f y n n n 过点分别交于点= 可确定一条抛物线,以此抛物线为曲边,以区间[20,x x ]为底边的曲边梯形的面积432210,,);4(3M M M y y y h同理以过点++所确定的抛物线为曲边,以区间],[42x x 为底的曲边梯形面积为n n n M M M y y y h21222432,,)4(3--++过点 确定的抛物线为曲边,以区间],[222n n x x -为低的小曲边梯形面积为)4(321222n n n y y y h++--.于是)](4)(2)[(6)(123122422--+++++++++-≈⎰n n n o bay y y y y y y y Nab dx x f上式成为辛普森公式.例10 分别用矩形法,梯形法,辛普森法计算定积分⎰+1021x dx的近似值.解 将区间[0,1]十等分，个基点上被积函数的值列表如下.(取七位有效数字)i x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 i y10.99009900.96153850.91743120.86206900.8000000i x 0.6 0.7 0.8 0.9 1 i y0.73529410.67114090.60975610.55248620.5① 用矩形法公式去计算（取四位有效数字）8099.0)(1011910102=+++≈+⎰y y y dx x dx（或7600.0)(1011021=+++y y y ） ② 用矩形法公式去计算（取四位有效数字）7850.0)22(1011109210102=++++≈+⎰y y y y y x dx ③ 用辛普森法去计算去计算（取七为有效数字）7853982.0)](2)(4[301184********02=+++++++++≈+⎰y y y y y y y y x dx . 准确值：78539816.04112===⎰πarctg dx x与上述值比较，普森法计算结果有六位有效数字是准确的，更接近于真实值.参考文献:[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）．高等教育出版社,2001 [2]首都师范大学数学系.数值分析 科学出版社,2000[3]同济大学数学教研组.高等数学（第三版）.高等教育出版社,1988 [4]邓乐斌.数学分析的理论,方法与技巧.华中科技大学出版社. [5]姚允龙.高等数学与数学分析—方法导引.复旦大学出版社,1992。
用定积分定义求定积分
用定积分定义求定积分1. 什么是定积分？在数学中，定积分是一种测量曲线下某一区域面积的概念。
它通过将曲线下的区域划分成无限个小矩形，并对这些小矩形的面积进行求和来求解。
定积分可以用于求解曲线下的面积、质量、能量等问题，是微积分的重要工具之一。
它在物理、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
2. 定积分的定义要理解定积分的定义，我们首先需要了解什么是积分区间和被积函数。
•积分区间：定积分是在一个有限区间上进行的，将这个区间记作[a, b]，其中a、b是常数，并且满足a<b。
•被积函数：被积函数是指定积分中要进行积分的函数，通常用符号f(x)表示。
在这个基础上，我们可以用以下方式定义定积分：$$\int_a^b f(x)dx = \limlimits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x$$其中，f(x)是在积分区间[a, b]上的一个函数。
上式右侧的求和符号表示将积分区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
x_i^*是第i个小区间的中点。
这个定义的意思是，当n趋向于无穷大时，将每个小区间的函数值f(x_i^*)乘以对应小区间的宽度Δx，并将这些乘积求和，即可得到定积分。
3. 定积分的计算方法在实际计算定积分时，我们通常使用[黎曼和](来近似计算。
黎曼和的计算公式如下：n(x i∗)Δx∑fi=1其中，f(x)是被积函数，x_i^*是第i个小区间的中点，Δx是每个小区间的宽度。
在实际计算中，可以通过等分法、中点法、梯形法、辛普森法等方法来进行黎曼和的近似计算。
这些方法都是在积分区间上进行小区间等分，并对每个小区间的函数值进行加权平均。
•等分法：将积分区间等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n，其中n是等分的份数。
然后，计算各个小区间中点的函数值f(x_i^*)乘以对应小区间宽度Δx，并将这些乘积相加，即可得到定积分的近似值。
定积分的计算
§8.4 定积分的计算一、按照定义计算定积分定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求积分和的极限：∑⎰=→∆=nk kk T l bax f dx x f 10)()()(lim ξ但在定义中，分法T 是任意的，ξk 的取法也是任意的，这给我们的计算带来了困难。
因此，一般我们都是对已知是可积的函数才用定义求它的定积分。
这时，我们可以选用特殊的分割T （比如用等分）和特殊的点ξk （比如取每个小区间的右端点、或左端点、或中点等等）来计算。
例1 求由抛物线2x y =，]1,0[∈x ，及0=y 所围平面图形的面积。
解 根据定积分的几何意义，就是要计算定积分⎰102dx x .显然，这个定积分是存在的。
取分割T 为n 等份，并取k ξnk 1-=，n k ,,2,1 =。
则所求面积为：n n k dx x S nk n 1)1(lim2112⋅-==∑⎰=∞→=∑=∞→-nk n k n123)1(1lim=316)12()1(lim3=--∞→nn n n n 。
二、积分上限函数从上面的例子看到，用定积分的定义计算定积分是相当麻烦的。
下面我们探讨计算定积分的简便方法。
为此，先引入积分上限函数的概念。
设函数)(x f 在区间],[b a 上可积，],[b a x ∈∀，函数)(x f 在区间],[x a 上可积。
于是，由⎰=Φxadt t f x )()(， ],[b a x ∈定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为积分上限函数。
定理1（原函数存在定理） 若函数)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上处处可导，且)()()(x f dt t f dxd x xa==Φ'⎰，],[b a x ∈。
此定理沟通了导数与定积分之间的关系，也就沟通了不定积分（原函数）与定积分的关系。
同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了)(x f 的一个原函数⎰=Φxadt t f x )()(。
定积分定义求定积分
定积分定义求定积分
《定积分定义求定积分》
嘿呀，让我来讲讲用定积分定义求定积分这个事儿哈。
就说有一天我去买糖果，那糖果店的老板可有意思啦。
我呢，就想买一堆糖果，我一颗一颗地挑啊，边挑边在心里记数。
这一颗颗糖果就好像是定积分里的那些小间隔呀。
然后呢，我把挑好的糖果放到秤上一称，这秤上显示的重量就像是定积分的结果。
而我挑糖果的过程，从第一颗到最后一颗，不就是在一点点地积累嘛，这多像定积分定义里把区间分割成很多小部分，然后求和呀。
我看着那些糖果，心里就琢磨，这不就是在现实生活中体验定积分的定义嘛。
我通过一颗一颗地挑选，最后得到了我想要的糖果重量，就好像通过定积分定义求出了那个数值。
哎呀呀，原来数学里的这些东西，在生活中也能找到影子呢。
以后再看到定积分，我就会想起那次买糖果的有趣经历啦，哈哈！
你看，这就是我对定积分定义求定积分的理解，从生活中的小事情里发现大道理哟！。
用定积分定义求定积分
用定积分定义求定积分
定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线与坐标轴之间围成的面积。
通过使用定积分的定义，我们可以更好地理解曲线下面积的概念，并应用于各种实际问题的求解中。
让我们来看看定积分的定义是什么。
在数学中，定积分可以被定义为一个区间上的函数的积分。
这个区间可以分成许多小的部分，然后将这些小部分的面积加起来，就可以得到整个区间上函数下方的面积。
这个过程可以用极限的概念来表示，即将小部分的面积无限细分，然后求和得到整个区间上的面积。
通过定积分的定义，我们可以解决许多实际问题。
比如，可以用定积分来计算一个曲线所围成的区域的面积，或者计算一个物体的体积，甚至可以用来求解一些概率分布函数的期望。
定积分在物理、工程、经济等领域都有着广泛的应用。
在计算定积分时，我们需要确定积分的上下限和被积函数。
然后我们可以通过积分的性质和定理来简化计算过程，比如换元积分法、分部积分法等。
这些方法可以帮助我们更高效地求解定积分的值。
总的来说，定积分的定义为我们提供了一种计算曲线下面积的方法，通过对区间进行分割求和的方式，我们可以得到曲线下方的面积。
定积分在数学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种实际问题。
通过掌握定积分的定义和计算方法，我们可以更好地理解微积分的
概念，并应用于实际生活中。
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用定积分定义求定积分
定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线下的面积、
体积、质量等物理量。
定积分的定义是通过将曲线分成无数个小区间，然后将每个小区间的面积相加得到整个曲线下的面积。
具体来说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将[a,b]分成n个小区间，
每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，将每个小区间的左端点记为x0，
右端点记为xi，其中i=1,2,3,...,n。
则每个小区间的面积可以近似表示
为f(xi)Δx，将所有小区间的面积相加得到整个曲线下的面积的近似值：
S≈Σf(xi)Δx
当n趋近于无穷大时，Δx趋近于0，小区间的数量无限增加，此时整个曲线下的面积的近似值趋近于定积分的值：
∫abf(x)dx=limn→∞Σf(xi)Δx
其中∫ab表示从a到b的积分，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
因此，用定积分定义求定积分的方法就是将被积函数f(x)在积分区间[a,b]上进行分段，将每个小区间的面积相加得到整个曲线下的面积的
近似值，然后让小区间的数量趋近于无穷大，得到定积分的值。
例如，要求函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，可以将[0,1]分成n 个小区间，每个小区间的长度为Δx=1/n，将每个小区间的左端点记为x0，右端点记为xi，其中i=1,2,3,...,n。
则每个小区间的面积可以近似表示为f(xi)Δx=x^2i/n，将所有小区间的面积相加得到整个曲线下的面积的近似值：
S≈Σx^2i/n
当n趋近于无穷大时，Δx趋近于0，小区间的数量无限增加，此时整个曲线下的面积的近似值趋近于定积分的值：
∫01x^2dx=limn→∞Σx^2i/n
根据等差数列求和公式，可以将Σx^2i/n表示为：
Σx^2i/n=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)/n^3
因此，定积分的值为：
∫01x^2dx=limn→∞(1^2+2^2+3^2+...+n^2)/n^3
这个极限可以用数学归纳法证明为1/3，因此：
∫01x^2dx=1/3
综上所述，用定积分定义求定积分的方法是将被积函数在积分区间上
进行分段，将每个小区间的面积相加得到整个曲线下的面积的近似值，然后让小区间的数量趋近于无穷大，得到定积分的值。
这是微积分中
的基本概念，也是许多物理问题中的重要工具。