用定积分定义求定积分

用定积分定义求定积分

定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线下的面积、

体积、质量等物理量。定积分的定义是通过将曲线分成无数个小区间，然后将每个小区间的面积相加得到整个曲线下的面积。

具体来说，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将[a,b]分成n个小区间，

每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，将每个小区间的左端点记为x0，

右端点记为xi，其中i=1,2,3,...,n。则每个小区间的面积可以近似表示

为f(xi)Δx，将所有小区间的面积相加得到整个曲线下的面积的近似值：

S≈Σf(xi)Δx

当n趋近于无穷大时，Δx趋近于0，小区间的数量无限增加，此时整个曲线下的面积的近似值趋近于定积分的值：

∫abf(x)dx=limn→∞Σf(xi)Δx

其中∫ab表示从a到b的积分，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。

因此，用定积分定义求定积分的方法就是将被积函数f(x)在积分区间[a,b]上进行分段，将每个小区间的面积相加得到整个曲线下的面积的

近似值，然后让小区间的数量趋近于无穷大，得到定积分的值。

例如，要求函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，可以将[0,1]分成n 个小区间，每个小区间的长度为Δx=1/n，将每个小区间的左端点记为x0，右端点记为xi，其中i=1,2,3,...,n。则每个小区间的面积可以近似表示为f(xi)Δx=x^2i/n，将所有小区间的面积相加得到整个曲线下的面积的近似值：

S≈Σx^2i/n

当n趋近于无穷大时，Δx趋近于0，小区间的数量无限增加，此时整个曲线下的面积的近似值趋近于定积分的值：

∫01x^2dx=limn→∞Σx^2i/n

根据等差数列求和公式，可以将Σx^2i/n表示为：

Σx^2i/n=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)/n^3

因此，定积分的值为：

∫01x^2dx=limn→∞(1^2+2^2+3^2+...+n^2)/n^3

这个极限可以用数学归纳法证明为1/3，因此：

∫01x^2dx=1/3

综上所述，用定积分定义求定积分的方法是将被积函数在积分区间上

进行分段，将每个小区间的面积相加得到整个曲线下的面积的近似值，然后让小区间的数量趋近于无穷大，得到定积分的值。这是微积分中

的基本概念，也是许多物理问题中的重要工具。