专题21 数列与不等式结合的问题(解析版)

专题21 数列与不等式结合的问题

一、题型选讲

题型一 不等式恒成立中的参数的范围，

求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数()f x 在定义域为D ，则当

x D ∈时，有()f x M ≥恒成立()min f x M ⇔≥；()f x M ≤恒成立()max f x M ⇔≤；(2)利用等差数

列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．

例1、(2019镇江期末）设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 2a 4＝64.数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋

1＋2.

(1) 分别求数列{a n }与{b n }的通项公式．

(2) 若不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2…⎝⎛⎭⎫1－12b n <1

2b n ＋1对一切正整数n 都成立，求实数λ的取值范围． (3) 已知k ∈N *，对于数列{b n }，若在b k 与b k ＋1之间插入a k 个2，得到一个新数列{c n }．设数列{c n }的前m 项的和为T m ，试问：是否存在正整数m ，使得T m ＝2019？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．

规范解答 (1)设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，因为a 1＝2，a 2a 4＝a 1q ·a 1q 3＝64，解得q ＝2，则a n ＝2n .(1分)

当n ＝1时，a 1b 1＝2，则b 1＝1；(2分)

当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋

1＋2 ①，

a 1

b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·2n ＋2 ②， ①－②得a n b n ＝n·2n ，则b n ＝n. 综上，b n ＝n.(4分)

(2) 不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2…⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，即λ⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n <

1

2n ＋1

恒成立． 因为⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－1

2n >0，当λ≤0时，不等式显然成立．(5分) 当λ>0时，不等式等价于⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1<1

λ. 设f(n)＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭

⎫1－1

2n 2n ＋1，

则f （n ＋1）f （n ）＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＋22n ＋3

⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14—⎝⎛⎭

⎫1－12n 2n ＋1

＝

2n ＋12n ＋3

2n ＋2

＝

4n 2＋8n ＋3

4n 2＋8n ＋4

<1.(7分)

所以f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n)>…，所以1λ>f(n)max ＝f(1)＝32，故λ<233，则0<λ<23

3.

综上，λ<23

3

.(8分)

例2、(2019南京、盐城二模）已知数列{a n }各项均为正数，且对任意n ∈N *，都有(a 1a 2…a n )2＝a n ＋

11a n －

1

n ＋1.

(1) 若a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求a 2

a 1的值；

(2) ①求证：数列{a n }为等比数列；

②若对任意n ∈N *，都有a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n －1，求数列{a n }的公比q 的取值范围．

规范解答 (1)因为(a 1a 2)2＝a 31a 3，所以a 2

2＝a 1a 3，因此a 1，a 2，a 3成等比数列．(2分)

设公比为t ，因为a 1，2a 2，3a 3成等差数列，

所以4a 2＝a 1＋3a 3，即4×a 2a 1＝1＋3×a 3a 1，于是4t ＝1＋3t 2，解得t ＝1或13，所以a 2a 1＝1或1

3

.(4分)

(2)①因为(a 1a 2…a n )2＝a n ＋

11a n －

1n ＋1，所以(a 1a 2…a n a n ＋1)2＝a n ＋

21a n

n ＋2，

两式相除得

a 2

n ＋1＝a 1a n n ＋2a n －1n ＋1

，即

a n ＋

1n ＋1＝a 1a n n ＋2，(*)(6分)

由(*)，得a n ＋

2n ＋2＝a 1a n ＋

1

n ＋3，(**)

(*)(**)两式相除得a n ＋

2n ＋2a n ＋1n ＋1＝a n ＋

1

n ＋3a n n ＋2

，即a 2n ＋2n ＋2＝a n ＋1n ＋1a n ＋1

n ＋3， 所以a 2n ＋2＝a n ＋1a n ＋3，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ≥2，n ∈N *，(8分) 由(1)知a 22＝a 1a 3，所以a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *，

因此数列{a n }为等比数列．(10分) ②当0

由n ＝1时，可得0

1≤2n －

1，

因为a 1＋a 2＋…＋a n ≤1＋2＋…＋2n －

1＝2n －1，

所以02时，

由a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n

－1，得a 1（1－q n ）1－q

≤2n －1，

整理得a 1q n ≤(q －1)2n ＋a 1－q ＋1.(14分)