厦门第一中学八年级数学下册第十九章《一次函数》基础练习(培优专题)

一、选择题
1．点()1,A a y 、()22,B a y 都在一次函数0)(2y ax a a =-+≠的图象上，则1y 、2y 的大小关系是（ ）
A ．12y y >
B ．12y y =
C ．12y y <
D ．不确定A
解析：A
【分析】
根据题意，分别表示出1y ，2y ，再判断12y y -的正负性，即可得到答案．
【详解】
∵点()1,A a y 、()22,B a y 都在一次函数0)(2y ax a a =-+≠的图象上，
∴212y a a =-+，224y a a =-+，
∴22212(2)(4)2y y a a a a a -=-+--+=＞0， ∴12y y >，
故选A ．
【点睛】
本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，掌握作差法比较大小，是解题的关键． 2．如图，点O 为平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴正半轴上，四边形OABC 是菱形．已知点B 坐标为(3，3)，则直线AC 的函数解析式为（ ）
A ．y ＝333
B ．y 33
C ．y ＝﹣33
3 D ．y 33D 解析：D
【分析】
过B 点作BH ⊥x 轴于H 点，菱形的对角线的交点为P ，如图，设菱形的边长为t ，则OA ＝AB ＝t ，在Rt △ABH 中利用勾股定理得到（3﹣t ）2+32＝t 2，解方程求出t ，得到A （2，0），再利用P 为OB 的中点得到P （
323AC 的解析式即可．
【详解】
解：过B 点作BH ⊥x 轴于H 点，菱形的对角线的交点为P ，如图，
∵四边形ABCO为菱形，
∴OP＝BP，OA＝AB，
设菱形的边长为t，则OA＝AB＝t，
∵点B坐标为（33
∴BH3AH＝3﹣t，
在Rt△ABH中，（3﹣t）2+32＝t2，解得t＝2，∴A（2，0），
∵P为OB的中点，
∴P（3
2
3
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（2，0），P（3
2
3
20
33
2
k b
k b
+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
，解得：
3
23
k
b
⎧=-
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴直线AC的解析式为y33
故选：D．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，勾股定理以及一次函数的待定系数法，熟练掌握菱形的性质和待定系数法，是解题的关键．
3．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2D
解析：D
【分析】
根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．
【详解】
解：根据题意，知：y随x的增大而减小，
则k＜0，即m﹣2＜0，m＜2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大
而减小．
4．一次函数y=-3x-2的图象和性质，表述正确的是（ ）
A ．y 随x 的增大而增大
B ．函数图象不经过第一象限
C ．在y 轴上的截距为2
D ．与x 轴交于点（-2，0）B 解析：B
【分析】
根据一次函数y=kx+b （k≠0）的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，即可判断A 项，解析式特点找到函数通过的象限即可判断B 项；使y=0时，对应的横坐标即可判断C ；使x=0时，对应的纵坐标即可判断D ．
【详解】
A. 因为k=-3，所以y 随x 的增大而减小，故此项不正确；
B. 根据函数解析式y=-3x-2特点，函数图象经过第二、三、四象限，故此项正确；
C. y=-3x-2与y 轴的交点坐标（0，-2），那么在y 轴上的截距为-2，故此项不正确；
D. y=-3x-2与x 轴交于点（23
-
，0），故此项不正确； 故选B
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数的性质，正确掌握一次函数图象的增减性和一次函数的性质是解题的关键．
5．如图①，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿折线B E D --运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1/cm s ．现
P ，Q 两点同时出发，设运动时间为()x s ，BPQ 的面积为2()y cm ，若y 与x 的对应关系如图②所示，则矩形ABCD 的面积是（ ）
A ．296cm
B ．284cm
C ．272cm
D ．256cm C
解析：C
【分析】 过点E 作EH BC ⊥，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当14x =时，点P 与点D 重合，则12AD =，可得出答案．
【详解】
解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P 运动到点E 时，10x =，30y =， 过点E 作EH BC ⊥，
由三角形面积公式得：11103022
y BQ EH EH =⋅=⨯⨯=，解得：EH=AB=6， ∴BE=10×1=10，228BH AE BE AB ==
-=， 由图2可知：当14x =时，点P 与点D 重合，
4ED ∴=，
8412BC AD ∴==+=，矩形的面积=12672⨯=．
故选：C ．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，从图像中得出当10x =，14x =时，点P 的位置，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．
6．已知点P （m ，n ）在第二象限，则直线y =nx ＋m 图象大致是下列的（ ） A ． B ．
C ．
D ．C
解析：C
【分析】
根据点P 在第二象限，确定m ＜0，n ＞0，根据k ，b 的符号，确定图像的分布即可.
【详解】
∵点P （m ，n ）在第二象限，
∴m ＜0，n ＞0，
∴图像分布在第一，第三象限，第四象限，
故选C.
【点睛】
本题考查了根据k ，b 的符号确定一次函数图像的分布，熟记k ，b 的符号与图像分布的关系是解题的关键.
7．函数2y x x
=+-()P x,y 一定在第（ ）象限
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限B
解析：B
【分析】 由二次根式和分式有意义的条件，得到0x <，然后判断得到0y >，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，则 ∵00x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩
，解得：0x <， ∴2
0x >，10x >-， ∴210y x x
=+>-， ∴点(,)P x y 一定在第二象限；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，以及判断点所在的象限，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
8．甲、乙两人从公司去健身房，甲先步行前往，几分钟后乙乘出租车追赶，出租车的速度是甲步行速度的5倍，乙追上甲后，立刻带上甲一同前往，结果甲比预计早到4分钟，他们距公司的路程y （米）与时间x （分）间的函数关系如图所示，则下列结论中正确的个数为（ ）
①甲步行的速度为100米/分；②乙比甲晚出发7分钟；③公司距离健身房1500米；④乙追上甲时距健身房500米．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个C
解析：C
【分析】 根据一次函数的图象获取信息，可得到距公司的路程y （米）与时间x （分）间的函数关系，进而对四个结论进行判断，即可得出结果．
【详解】
解：观察图象，得：甲步行的速度为1000÷10＝100米/分，故①正确；
10−
1000500
＝10−2＝8，即乙比甲晚出发8分钟，故②错误； 设公司距离健身房x 米，依题意得
x 100
−（10＋x 1000500-）＝4， 解得x ＝1500，
∴公司距离健身房1500米，故③正确；
乙追上甲时距健身房1500−1000＝500米，故④正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一次函数图象的应用，熟练掌握一次函数图象与性质及利用数形结合的思想是解题的关键．
9．关于x 的一次二项式ax+b 的值随x 的变化而变化，分析下表列举的数据，若ax+b ＝11，则x 的值是（ ）
A ．3
B ．﹣5
C ．6
D ．不存在C
解析：C
【分析】
设y=ax+b ，把x=0，y=-1和x=1，y=1代入求出a 与b 的值，即可求出所求．
【详解】
解：设y ＝ax+b ， 把x=0，y=-1和x=1，y=1代入得：11a b b +=⎧⎨=-⎩
， 解得：21a b =⎧⎨=-⎩
， ∴2x ﹣1＝11，
解得：x ＝6．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组以及代数式求值，一次函数的解析式，熟练掌握解二元一次方程组是解本题的关键．
10．下列命题中，①()1,2A -关于y 轴的对称点为()1,2--；②2±；
③2y x =-+与x 轴交于点()2,0；④22
x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程23x y +=-的一个解．其中正确的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4A
解析：A
【分析】
根据关于y 轴对称的坐标特征判断①；根据平方根定义判断②；根据直线与x 轴交点坐标判断③；根据方程的解的定义判断④．
【详解】
解：①()1,2A -关于y 轴的对称点为（1，2）； ②216的平方根是22±；
③2y x =-+与x 轴交于点（2，0）；
④21
x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程23x y +=-的一个解． ∴正确的是：③，1个
故选：A
【点睛】
本题考查关于y 轴对称的坐标特征、平方根定义、直线与x 轴交点坐标、方程的解，考查学生的辨析能力，熟知以上知识点是解答此题的关键．
二、填空题 11．如图，直线1:22l y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线21:12
y l x =
+交x 轴于点D ，交y 轴于点C ，直线1l 、2l 交于点M ．
（1）点M 坐标为________；
（2）若点E 在y 轴上，且BME 是以BM 为一腰的等腰三角形，则E 点坐标为________．()()或()或()【分析】（1）联立两个方程组求解即可（2）根据题意有以M 为顶点和以B 为顶点两种情况分别求解即可【详解】解：（1）联立两个方程组得将①代入②得：解得：将代入①得：∴点坐标为()故答
解析：(25，65) (0，25)或(0，252-或(0，252+ 【分析】
（1）联立两个方程组求解即可
（2）根据题意有以M 为顶点和以B 为顶点两种情况，分别求解即可
【详解】
解：（1）联立两个方程组得22112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩
①② 将①代入②得：22=
112x x -++ 解得：2=
5x 将2=5
x 代入①得：5=6y ∴点M 坐标为(
25，65) 故答案为：(25，65
) （2）由22y x =-+得
当x=0时，y=2
故B(0，2)
以BM 为一腰时，有两种情况
当BME 以M 为顶点时，设E 点坐标为(0，y ) 则66255
y -=- 解得：25
y = 故E 点坐标为(0，25
) 当BME 以B 为顶点时，设E 点坐标为(0，y ) ∵
5= 若E 在B 下方
则
y=2若E 在B 上方 则
y=25
+ 故E 点坐标为(0
，2)或(0
，2+ 故答案为：(0，
25)或(0
，2-或(0
，2+ 【点睛】
本题考查两直线相交问题及等腰三角形的性质，熟练掌握等要三角形的定义及性质是解本题的关键
12．已知y ＋3与x 成正比例，且x ＝2时，y ＝7，则y 与x 的函数关系式为
______________________．【分析】根据题意设把x ＝2时y ＝7代入求出k 的值即可求解【详解】解：根据题意可得把x ＝2时y ＝7代入可得解得∴故答案为：
【点睛】本题考查正比例函数的定义根据题意求出k 的值是解题的关键 解析：53y x =-
【分析】
根据题意设3
y kx ，把x ＝2时，y ＝7代入求出k 的值，即可求解． 【详解】
解：根据题意可得3
y kx ， 把x ＝2时，y ＝7代入可得732k +=，解得5k =， ∴53y x =-，
故答案为：53y x =-．
【点睛】
本题考查正比例函数的定义，根据题意求出k 的值是解题的关键．
13．直线1:l y kx =与直线2:l y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图形如图所示，两条直线相交于点A ，直线x m =分别与两条直线交于M ，N 两点，若AMN 的面积不小于12
时，则m 的取值范围是_______． 或【分析】把点A （12）代入直线方程先求出两
条直线的解析式然后求出点MN 的坐标再求出MN 的长度利用三角形的面积公式即可求出答案【详解】解：由图可知点A 为（12）直线与y 轴的交点为（01）把点A （12
解析：0m ≤或2m ≥
【分析】
把点A （1，2）代入直线方程，先求出两条直线的解析式，然后求出点M 、N 的坐标，再求出MN 的长度，利用三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】
解：由图可知，
点A 为（1，2），直线2:l y ax b =+与y 轴的交点为（0，1），
把点A （1，2）代入1:l y kx =，则2k =；
∴12:l y x =；
把点A （1，2）和点（0，1）代入2:l y ax b =+，
21a b b +=⎧⎨=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩
； ∴2:1=+l y x ；
把x m =分别代入两条直线方程，则
12y m =，21y m =+，
∴点M 的坐标为（m ，2m ），点N 的坐标为（m ，m+1）， ∴2(1)1MN m m m =-+=-，
∴△AMN 边MN 上的高为：1m - ∵1112
AMN S m m ∆=•-•-， 当AMN 的面积等于
12时，则 211111(1)222
AMN S m m m ∆=
•-•-=-=， ∴2m =或0m =， 结合AMN 的面积不小于
12， ∴0m ≤或2m ≥；
故答案为：0m ≤或2m ≥．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式，求一次函数的解析式，解题的关键是正确的理解题意，掌握一次函数的性质进行解题．
14．在平面直角坐标系中，直线6y kx =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若AOB 的面积为12，则k 的值为_________．或【分析】求出AB 点坐标在Rt △AOB 中利用面
积构造方程即可解得k 值【详解】由直线与y 轴于B 则则∴直线与x 轴于A 令则∴∴∴∴∴解得：由k≠0符合题意则k 的值为或故答案为：或【点睛】本题主要考查了一次 解析：32-或32
【分析】 求出A 、B 点坐标，在Rt △AOB 中，利用面积构造方程即可解得k 值．
【详解】
由直线6y kx =+与y 轴于B ，
则0x =，则6y =，
∴(0,6)B ，
直线6y kx =+与x 轴于A ，
令0y =，则60kx +=，6x k =-
， ∴6,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∴6OA k =-
，6OB =， ∴1122AOB S OA OB =
⋅=△， ∴64k -
=， ∴64k
-=±， 解得：132k =-，232
k =， 由k≠0，符合题意， 则k 的值为32-或32． 故答案为：32-或32
． 【点睛】
本题主要考查了一次函数问题，掌握图象上点的坐标特征以及利用面积构造方程，会解方程是解题关键．
15．如图，一个直角三角形与一个正方形在同一水平线上，此三角形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x ，三角形与正方形重叠部分的面积为y ，在下面的平面直角坐标系中，线段AB 表示的是三角形在正方形内部移动的面积图象，C 点表示的是停止运动后图象的结束点，下面有三种补全图象方案，正确的方
案是______．
①②③乙【分析】由题意可知三角形没全进入正方形之前重叠部分为直角三角形当三角形即将出正方形之后重叠部分为直角梯形利用面积公式求出两个图形的面积即可判断其图象【详解】设直角三角形的底为a 高为b 运行速度为v 由
解析：乙
【分析】
由题意可知三角形没全进入正方形之前，重叠部分为直角三角形．当三角形即将出正方形之后，重叠部分为直角梯形．利用面积公式求出两个图形的面积即可判断其图象．
【详解】
设直角三角形的底为a ，高为b ，运行速度为v ．
由题意可知当三角形没全进入正方形之前，重叠部分为与原三角形相似的直角三角形． ∵重叠部分的直角三角形的底为vx ，
∴根据三角形相似，可知：
vx a b =重叠直角三角形的高 ， 即重叠直角三角形的高=bvx a
， ∴2
2122bvx bv y vx x a a
==， ∵a ， b ， v 都为常数且大于0，
∴2
22bv y x a
=是一个开口向上的曲线． 当三角形即将出正方形之后，重叠部分为去掉与原三角形相似的直角三角形的直角梯形．
设正方形边长为l ，
则该梯形的高为()l vx a --，下底为b ， 根据三角形相似可知：
vx l b a -=梯形上底， 即梯形上底()b vx l a -=
， ∴[]1()()2b vx l y b l vx a a -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦
． ∵a ， b ， v ，l 都为常数且大于0， ∴[]1()()2b vx l y b l vx a a -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦中2x 项的系数为2
02bv a
-<， ∴[]1()()2b vx l y b l vx a a -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦
是一个开口向下的曲线． ∴只有乙符合．
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象．理解三角形运动过程中的分界点，利用三角形和梯形的面积公式列出关于x 的方程来判断其图象是解题关键．
16．已知：一次函数()21y a x =-+的图象不经过第三象限，化简
=_________．【分析】首先根据一次函数y=（a-2）x+1的图象不经过第三象限可得a-2＜0进而得到a ＜2再根据二次根式的性质进行计算即可【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限∴解得：故答案为：【点睛】本题考
解析：52a -
【分析】
首先根据一次函数y=（a-2）x+1的图象不经过第三象限，可得a-2＜0，进而得到a ＜2，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
解：∵一次函数()21y a x =-+的图象不经过第三象限，
∴20a -<，
解得：2a <，
=23a a =-+-
23a a =-+-
故答案为：52a -．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系，以及二次根式的化简，关键是掌握：①k ＞0，b
＞0⇔
y=kx+b 的图象在一、二、三象限；②k ＞0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限；③k ＜0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；④k ＜0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在二、
三、四象限．
17．若点()14,y -，()22,y 都在直线2y x =-+上，则1y __________2y （填“＞”或“＝”或“＜”）＞【分析】由y ＝−x ＋2可知k ＝−1＜0故y 随x 的增大而减小由−4＜2可得y1y2的大小关系【详解】解：∵k ＝−1＜0∴y 随x 的增大而减小∵−4＜2∵y1>y2故答案为：>【点睛】本题主要考查一次函
解析：＞
【分析】
由y ＝−x ＋2可知k ＝−1＜0，故y 随x 的增大而减小，由−4＜2，可得y 1，y 2的大小关系．
【详解】
解：∵k ＝−1＜0，
∴y 随x 的增大而减小，
∵−4＜2，
∵y 1>y 2
故答案为：>
【点睛】
本题主要考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数12y x b =--与正比例函数32y x =的图象交于点()2,A m ，与x 轴交于点B （5，0），则△OAB 的面积是________．
【分析】先求出A 点坐标再过点A 作AC ⊥OB 垂足为
C 用三角形面积公式即可求出面积【详解】解：把点代入得解得∴A 点坐标为（23）过点A 作AC ⊥OB 垂足为C ∵点B 坐标为（50）∴S △OAB=故答案为：
【点
解析：152
先求出A 点坐标，再过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，用三角形面积公式即可求出面积．
【详解】
解：把点()2,A m 代入32m x =，得 322
m =⨯， 解得，3m =，
∴A 点坐标为（2，3），
过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，
∵点B 坐标为（5，0），
∴S △OAB =111553222
OB AC ⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：
152．
【点睛】
本题考查了求正比例函数图象上点的坐标和利用坐标求三角形面积，解题关键是求出A 点坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点A 1，点A 2，A 3．．．在直线l 上，点B 1，B 2，B 3．．在x 轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3．．．，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第2021个等腰直角三角形A 2021B 2020B 2021顶点B 2021的横坐标为__________．
【分析】先求出…的横坐标探究总结得到即可根据规
律解决问题【详解】解：探究规律：令则令则∴∴…发现并总结规律：∴运用规律：当时故答案为【点睛】本题考查规律型：点的坐标等腰直角三角形的性质等知识解题的关
解析：202222-
先求出123,,B B B …的横坐标，探究总结得到12
2,n n B x +=-，即可根据规律解决问题．
【详解】
解：探究规律： :2,l y x =+
令0,x = 则2,y =
()10,2,A ∴
令0,y = 则2,x =-
()2,0,A ∴-
12,OA OA ∴==
∴11121223232,4,8,OB OA B B B A B A B B ======
∴12
222,B x ==- 23622,B x ==-
341422,B x ==-
…，
发现并总结规律：
∴122,n n B x +=-
运用规律：
当2021n =时，
202120222 2.B x ∴=-
故答案为20222 2.-
【点睛】
本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．
20．已知直线()0y kx b k =+≠过()1,0和()0,2-，则关于x 的不等式0kx b +<的解集是______．【分析】由题意可以求得k 和b 的值代入不等式即可得到正确答案
【详解】解：由题意可得：∴k=2b=-2∴原不等式即为2x-2<0解之可得：x<1故答案为x<1【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的综
解析：1x <
【分析】
由题意可以求得k 和b 的值，代入不等式即可得到正确答案 ．
【详解】
解：由题意可得：02k b b =+⎧⎨-=⎩
，
∴ k=2，b=-2，
∴原不等式即为2x-2<0，
解之可得：x<1，
故答案为x<1 ．
【点睛】
本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，利用直线与坐标轴的交点求出不等式的系数是解题关键．
三、解答题
21．已知y 与1x -成正比例，当3x =时，4y =，求y 与x 之间的函数关系式． 解析：22y x =-
【分析】
首先根据题意设出关系式：y=k （x-1），再利用待定系数法把x=3，y=4代入，可得到k 的值，再把k 的值代入所设的关系式中，可得到答案；
【详解】
解：因为y 与1x -成正比例，所以设()1y k x =-（0k ≠）
∵当3x =时，4y =，∴()431k =-
解得2k =
所以， y 与x 之间的函数关系式为：22y x =-
【点睛】
此题主要考查了对正比例的理解，关键是设出关系式，代入x ，y 的值求k ．
22．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数y kx b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点(0,4)B ，与正比例函数3y x =-交于点(1,)C m -．
（1）求直线AB 的函数表达式．
（2）在y 轴上找点P ，使OCP △为等腰三角形，直接写出所有满足条件的P 点坐标． （3）在直线AB 上找点Q ，使得78COQ APB S S =，求点Q 的坐标．
解析：（1）4y x =+；（2）1234510),(0,10),(0,6),0,3P P P P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；（3）513,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或91,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 【分析】
（1）由题意易得()1,3C -，然后把点B 、C 的坐标代入y kx b =+求解即可；
（2）由题意易得可分①当OC OP =时，②当C 为等腰OCP △的顶点时，则C 在OP 的中垂线上，③当P 为等腰OCP △的顶点时设(0,)P a ，进而根据等腰三角形的性质进行求解即可；
（3）过Q 作x 轴平行线交CO 于点D ，设(,4)Q m m +，则4,43m D m +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，由题意可得8AOB S =△，进而可得()12COQ c o S QD y y =⋅-，然后可得
441433m +=，进而求解
即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
3y x =-过 (1,)C m -，
3(1)3m ∴=-⨯-=，
(1,3)C ∴-，
∵直线:AB y kx b =+过(0,4),(1,3)B C -，
代入可得43b
k b =⎧⎨=-+⎩，解得1
4k b =⎧⎨=⎩，
∴直线AB 的解析式为4y x =+；
（2）①当O 为等腰OCP △的顶点时，
则OC OP =，
(OC ==
OP ∴=
12(0,P P ∴．
②当C 为等腰OCP △的顶点时，
则C 在OP 的中垂线上，
C ∴的纵坐标为OP 纵坐标的中点，
3(0,6)P ∴．
③当P 为等腰OCP △的顶点时设(0,)P a ，
22CP OP ∴=，
2
2a ∴=，解得5
3a =，
综上所述12345(0,(0,6),0,3P P P P ⎛⎫
⎪⎝⎭；
（3）4y x =+与x 轴交于点A ，
(4,0)A ∴-，
1144822AOB A B S
x y ∴=⨯⨯=⨯⨯=， 778COQ AOB S S ==，
过Q 作x 轴平行线交CO 于点D ，
设(,4)Q m m +，则4,43m D m +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
， ()12
COQ c o S QD y y ∴=⋅-， 14323
m m +=⨯+⨯， 143723
m m +∴⨯+⨯=， 441433m +∴
=， 441433m +∴=或441433
m +=-， 解得52m =或92
m =-， 513,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭或91,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
23．地表以下岩层的温度()y ℃随着所处深度() km x 的变化而变化，在某个地点y 与x 之间满足如下关系： 深度() km x
1 2 3 4 温度()y ℃ 55 90 125 160
y x （2）当8x =时，求出相应的y 值．
（3）若岩层的温度是510℃，求相应的深度是多少？
解析：（1）3520y x =+；（2）300；（3）相应的深度是14km ．
【分析】
（1）根据图表可知，深度每增加1km ，温度增加35℃，据此直接直接写出y 与x 之间的关系式即可；
（2）根据（1）所得关系式，令x=8，求得y 的值即可；
（3）根据（1）所得关系式，令y=510，求得x 的值即可．
【详解】
（1）由图表可知，深度每增加1km ，温度增加35℃，
5535(1)y x ∴=+-553535x =+-3520x =+，
即y 与x 之间的关系式为：3520y x =+；
（2）由3520y x =+
令8x =时，则35820300y =⨯+=；
（3）由3520y x =+
令510y =时，则3520510x +=，解得14x =
故相应的深度是14km ．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，明确题意、正确列出函数解析式成为解答本题的关键． 24．某商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，用160元购进的A 种纪念品与用240元购进的B 种纪念品的数量相同，每件B 种纪念品的进价比A 种纪念品的进价贵10元． （1）求A 、B 两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若这两种纪念品共购进1000件，由于A 种纪念品销量较好，进购时A 不少于B 种纪念品的数量，且不超过B 种纪念品的1.5倍，问共有多少种进购方案？
（3）该商店A 种纪念品每件售价24元，B 种纪念品每件售价35元，在（2）的条件下求出哪种方案获利最多，并求出最大利润．
解析：（1）A 、B 两种纪念品每件进价分别为20元、30元；（2）101种；（3）A 种500件，B 种中500件时，最大利润为4500元
【分析】
(1) 设A 种纪念品每件进价a 元，则B 种纪念品每件进价(10)x +元，根据题意列方程求解即可；
（2）设A 种纪念品购进y 件，则B 种纪念品购进(1000)y -件，依据题意列不等式组，求出y 的整数取值范围，即可得出进购方案；
（3）根据题意得出利润的关系式，再结合第二问y 的取值范围求出最大利润．
【详解】
解：（1）设A 种纪念品每件进价a 元，则B 种纪念品每件进价(10)x +元． 根据题意得
16024010
x x =+，去分母， 得：160(10)240x x +=，解得：20x ， 经检验，20x 是原方程的解，1030x +=（元），
∴A 种纪念品每件进价20元，B 种纪念品每件进价30元．
（2）设A 种纪念品购进y 件，则B 种纪念品购进(1000)y -件，
根据题意得：10001.5(1000)y y y y ≥-⎧⎨≤-⎩
，解得：500600y ≤≤． 又y 只能取整数，500y ∴=，501， (600)
则共有101种购进方案．
（3）由题意得，最大利润为：
(2420)(3530)(1000)5000W y y y =-+--=-+，
在500600y ≤≤时，当500y =时，max 4500W =（元），
∴当A 种购进500件，B 种购进500件时，利润最大为4500元．
【点睛】
本题考查分式方程、一元一次不等式组及一次函数的综合应用，解题关键在于充分理解题意，根据题意列出相关关系式进行求解．
25．一次函数()0y kx b k =+≠满足，当112x -≤≤，121y -≤≤，求这条直线的函数解析式．
解析：1y x =-或y x =-．
【分析】
分点()1,2--，()2,1或()1,1-，()2,2-在直线上两种情形，分别解答即可．
【详解】
解：∵112x -≤≤时，121y -≤≤，
∴点()1,2--，()2,1或()1,1-，()2,2-在直线上．
∵点()11,x y 在直线y kx b =+上，
∴221k b k b -+=-⎧⎨
+=⎩或122k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， ∴11k b =⎧⎨=-⎩
或10k b =-⎧⎨=⎩ ∴1y x =-或y x =-．
【点睛】
本题主要考查运用待定系数法求一次函数解析式，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 26．已知一次函数y kx b =+，在0x =时的值为4，在1x =-时的值为2，
（1）求一次函数的表达式．
（2）求图象与x 轴的交点A 的坐标，与y 轴交点B 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求出△AOB 的面积；
解析：（1）24y x =+；（2）A （-2，0）B (0)4，
；（3）4 【分析】
（1）把两组x 和y 值代入解析式，求出k 和b 值，即可得到结论；
（2）利用函数解析式分别代入x=0和y=0的情况就可求出A 、B 两点坐标；
（3）通过A 、B 两点坐标即可算出直角三角形AOB 的面积．
【详解】
（1）把0x =，4y =和1x =-，2y =代入y kx b =+得42b k b =⎧⎨-+=⎩
解得24
k b =⎧⎨=⎩ 所以这个一次函数的表达式为24y x =+．
（2）把0y =代入24y x =+，得：2x =-
则A 点坐标为(20)-，
把x=0代入24y x =+，得y=4，
则B 点坐标为(0)4，
； （3）根据题意作函数大致图像：
由图可知：2OA =，4OB =， 所以11 24422
OAB S OA O B =
⋅=⨯⨯=△ 【点睛】
本题考查一次函数解析式求法和一次函数图象上点的坐标特点，正确求出一次函数与x 轴和y 轴的交点是解题的关键．
27．某商店需要购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如表：
甲 乙 进价（元/件）
14 35 售价（元/件） 20 45
件？
（2）若商店计划投入资金小于5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元，请问有几种购货方案？并求出其中获利最大的购货方案．
解析：（1）甲种商品购进80件，乙种商品购进120件；（2）共有4种购货方案，甲种商品购进81件、乙种商品购进119件时，获利最大
【分析】
（1）设甲种商品购进x 件，乙种商品购进y 件，根据该商品购进两种商品共200件且销售完这批商品后能获利1680元，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种商品购进m 件，则乙种商品购进（200﹣m ）件，根据“该商店计划投入资金小于5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为非负整数即可得出购货方案的数量，设销售完这批商品后获利w 元，根据总利润＝每件的利润×销售数量（购进数量），即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）设甲种商品购进x 件，乙种商品购进y 件，
依题意得：200(2014)(4535)1680x y x y +=⎧⎨-+-=⎩
， 解得：80120x y =⎧⎨=⎩
． 答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件．
（2）设甲种商品购进m 件，则乙种商品购进(200)m -件，
依题意得：1435(200)5320(2014)(4535)(200)1660m m m m +-<⎧⎨-+-->⎩
， 解得：8085m <<，
又m 为非负整数，
m ∴可以为81，82，83，84，
∴该商店共有4种购货方案．
设销售完这批商品后获利w 元，则(2014)(4535)(200)42000w m m m =-+--=-+， 40-<，
w ∴随m 的增大而减小，
∴当81m =时，w 取得最大值，
即甲种商品购进81件、乙种商品购进119件时，该商店销售完这批商品后获利最大．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
28．一次函数23y x =-+的图像经过点P （1，n ）．
（1）求n 的值；
（2）若一次函数1y mx =-的图像经过点P （2n -1，n ），求m 的值．
解析：（1）1；（2）m =2
【分析】
（1）把点P （1， n ）代入一次函数 y=−2x+3 即可求出n 的值；
（2）由（1）可得P （1，1），由一次函数 y=mx−1 的图像经过点P （1，1），可得m 的值．
【详解】
（1）一次函数23y x =-+的图像经过点P （1，n ），n =-2+3=1；
（2）由n =1，P （2n -1，n ），可得P （1，1），
一次函数1y mx =-的图像经过点P （1，1），
11m =-，
解得m=2．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．。