数学精致讲义选修2-1北师大版第二章空间向量与立体几何§33.1~3.2含答案

§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(一) 3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示

3．2 空间向量基本定理

学习目标 1.了解空间向量基本定理.2.了解基底、标准正交基的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．

知识点一 空间向量的坐标表示 空间向量的正交分解及其坐标表示

知识点二 空间向量基本定理

思考 平面向量基本定理的内容是什么？

答案 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．

梳理 (1)空间向量基本定理

(2)基底

条件：三个向量a ，b ，c 不共面． 结论：{a ，b ，c }叫作空间的一个基底．

基向量：基底中的向量a ，b ，c 都叫作基向量．

1．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)

2．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量．(√)

3．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线．(√) 4．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)

类型一 基底的判断

例1 下列能使向量MA →，MB →，MC →

成为空间的一个基底的关系式是( ) A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →

B.MA →＝MB →＋MC →

C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →

D.MA →＝2MB →

－MC

(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的判断 答案 (1)C (2)B

解析 (1)对于选项A ，由OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇔M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →

，MB →，MC →共面；对于选项B ，D ，可知MA →，MB →，MC →

共面，故选C. (2)②③均可以作为空间的基底，故选B. 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法

(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．

(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．

②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．

跟踪训练1 (1)已知a ，b ，c 是不共面的三个非零向量，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．2a B ．2b C ．2a ＋3b D ．2a ＋5c

答案 D

(2)以下四个命题中正确的是( ) A ．基底{a ，b ，c }中可以有零向量

B ．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底

C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →

＝0 D ．空间向量的基底只能有一组 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B

解析 使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间基底可以有无数多组，故D 不正确．

类型二 空间向量基本定理的应用

例2 如图所示，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点．试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.

考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 因为OG →＝OA →＋AG →

， 而AG →＝23

AD →，AD →＝OD →－OA →，

又D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →

)，

所以OG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)

＝OA →＋23×12(OB →＋OC →

)－23

OA →

＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝1

3(a ＋b ＋c )． 又因为GH →＝OH →－OG →， OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)

＝1

3

(b ＋c )， 所以GH →＝1

3(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .

所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →

＝－13

a .

反思与感悟 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 跟踪训练2 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→

＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．

(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B —→，EF →

；

(2)若D 1F —→

＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理

解 (1)如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，

D 1B —→＝D 1D —→＋DB →

＝－AA 1—→＋AB →－AD →

＝a －b －c ， EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A —→＋12

AC →

＝－12(AA 1—→＋AD →)＋12(AB →＋AD →

)＝12(a －c )．

(2)D 1F —→＝12(D 1D —→＋D 1B —→)

＝12(－AA 1—→＋D 1B —→) ＝1

2

(－c ＋a －b －c )