材料科学基础课件-Ch4-作业答案

第四章 固体中原子及分子的运动 作业及答案
1. 在一个富碳的环境中对钢进行渗碳，可以硬化钢的表面。

已知在1000℃下进行这种渗碳热处理，距离钢的表面1mm 处到2mm 处，碳含量从5at%减到4at%。

估计在近表面区域进入钢的碳原子的流入量J(atoms/m2s)。

（γ-Fe 在1000℃的密度为7.63g/cm3，碳在γ-Fe 中的扩散常数D0=
2.0×10-5m2/s,激活能Q=142kJ/mol ）
解：首先,应把溶质碳原子的含量从原子分数转换为体积分数,故必须先求出溶剂铁原子的单位体积原子数
23
6.023⨯10ρ=
7.63⨯=55.85
8.232210⨯原子数(个)/cm 3 近似认为碳原子与铁原子共同占据铁的晶格，则
121211203131812(/)ln(/)121203(8.314/158980)ln 0.5
T T K T R Q x x ===--⨯⨯ 298.2310=-⨯原子数（个）/m 4
D c in r-Fe 1000o C =611201420002.010exp() 2.9810/8.3141273Q RT D e
m s ----=⨯⨯=⨯⨯ 根据菲克第一定律:
J D D x x
ρρ∂∆=-=-∂∆ 1129192(2.9810)(8.2310)2.4510()/()m s -=⨯⨯-⨯=⨯原子数个
2. 在950℃下对纯铁进行渗碳，并希望在0.1mm 的深度得到0.9wt%的碳含量。

假设表面碳含量保持在1.20wt% ，扩散系数D γ-Fe=10-10m2/s 。

计算为达到此要求至少要渗碳多少时间。

解: 一维半无限长扩散
初始条件 t=0 x>0, 00ρρ==
x=0, t>0. 1.2s ρρ== ,0x ρ=∞=
2120erf ωωωω-=-
3
1.20.91.90erf --=-
0.25erf =
查表得
0.2763= 所以 t=327(s)
3. 已知Al 在Al2O3中扩散常数D0=2.8×10-3(m2/s)，激活能477（KJ/mol ），而O （氧）在Al2O3中的D0=0.19(m2/s),Q=636(KJ/mol)。

(a) 分别计算两者在2000K 温度下的扩散系数D ；
(b) 说明它们扩散系数不同的原因。

解: 0exp()Q D D RT
-= 31624770002.810exp()9.710(/)8.3142000
Al D m s ---=⨯=⨯⨯ 1826360000.19exp() 4.710(/)8.3142000
o D m s --==⨯⨯ 因为在Al 2O 3中,阳离子Al 半径小于阴离O 的半径,因此Al 在Al 2O 3中的扩散激活能小于O 在Al 2O 3中的激活能,故前者的扩散系数大于后者.
4.一块厚钢板，w (C)=0.1％，在930℃渗碳，表面碳浓度保持w (C)=1％，设扩散系数为常 数，D =0.738exp[-158.98(kJ/mol)/RT ]（cm2⋅s-1）。

问距表面0.05cm 处碳浓度w (C)升至0.45 ％所需要的时间。

若在距表面0.1cm 处获得同样的浓度（0.45%）所需时间又是多少?导出在扩散系数为常数时，在同一温度下渗入距离和时间关系的一般表达式。

解 一维半无限扩散
(a) t=0 x>0, 00.1ρρ==
x=0, t>0. 1s ρρ==,,0.1x ρ=∞=
2181589800.738exp[158.98(/)/]()0.738exp[
]9.22108.3141203D kJ mol RT cm s ---=-==⨯⨯
010.450.61110.1s s c c erf c c --===-- 查误差函数表
: 0.61= 当 x=0.05cm 2
42 1.82210 5.06140.61
x t s h D ==⨯=⨯ (b)因为要求的渗入浓度与上面相同,故β相同,在同一个温度条件下,两个不同距离x 1和x 2所对应的时间t 1和t 2有如下关系:
= 22211()x t t x = 故在距离表面0.1cm 处获得相同的浓度(0.45%)所需要时间为
2420.1() 1.8221020.240.05
t s h =⨯⨯= (c) 根据(b)的解释,同一温度下渗入距离和时间关系的一般表达式为
x k t = 其中k 为常数
5. 上题，问要在什么温度下渗碳才能在上题求出距表面0.05cm 处获得碳浓度w (C)为0.45% 所需要的相同时间内使距表面0.1cm 处获得0.45%的碳浓度?
解: 因为要求的渗入浓度与上面相同,故误差函数相同, 故β为常数.即在相同的时间内,两个不同温度相对应的扩散系数有如下关系
1212D D = 即 22211exp(
)exp()Q RT x Q x RT -⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 整理上式得
121211203131812(/)ln(/)121203(8.314/158980)ln 0.5
T T K T R Q x x ===--⨯⨯
6. 一块厚度为d 的薄板，在T 1 温度下两侧的浓度分别为w 1，w 0（w 1＞w 0），当扩散达到平 稳态后，给出①扩散系数为常数，②扩散系数随浓度增加而增加，③扩散系数随浓度增 加而减小等三种情况下浓度分布示意图。

并求出①种情况板中部的浓度。

解: 当一维扩散达到平衡态时 扩散通量是一个常数 C D x
∂=∂常数 ① 扩散系数为常数时, dC/dx 也时常数, 故浓度分布是直线
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w w c -= ② 扩散系数随温度增加而增加时, dC/dx 应随浓度增加而减少,浓度分布曲线是上凸的曲线. ③ 扩散系数随温度增加而减少时, dC/dx 应随浓度增加而增加,浓度分布曲线是下凹的曲线.
7. 工业纯铁在927℃下渗碳，设工件表面很快达到渗碳饱和（1.3%的碳），然后保持不变，同时碳原子不断向工件内部扩散。

求渗碳10小时后渗碳层中碳的浓度分布。

解：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=--Dt x C C C C s x s 2erf 0 已知C s ＝1.3％C ，C 0＝0，
则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Dt x Dt x
C C s x 2erf 13.12erf 1 927℃时碳在铁中的扩散系数
D ＝1.5×10-7cm 2·s -1，由此可得：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⨯-=-)1029.1(erf 13.1)105.12(erf 13.137t x t x C x 渗碳10小时后渗碳层中碳的分布为：
[])8.6(erf 13.1x C x -=
8. 通常在设计中利用不同的掺杂物制造p 型或n 型掺杂半导体晶体管。

已知1100℃时，磷（P ）在硅中的扩散系数是D ＝6.5×10－13cm 2/s 。

假设表面源提供的浓度为1020atoms/cm 3，扩散时间为1小时，初始时硅圆片中没有磷原子。

计算多深距离处磷原子的浓度为1018atoms/cm 3，并说明计算过程中所做得所有假设；
解：
假设可以使用菲克第二定律的结论公式
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=--Dt x C C C C s x s 2erf 0 又因为
99.00
1010102018
200=--=--C C C C s x s 所以 ()
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-s 3600s /cm 105.62erf 99.0213x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯=-51067.9erf x 查表得：
82.11067.95
=⨯-x 41076.1-⨯=x cm
上述解答过程中所做的主要假设有：
i 在磷（P ）扩散到硅圆片的过程中D 的值保持不变； ii P 的扩散是一维扩散。