感悟初中数学中的变式训练

感悟初中数学中的变式训练

摘要：受应试教育的影响，题海战术严重困扰着初中数学教学，而且已成为

导致学生厌学，扼制学习主动性和探索创新精神的主要根源。如何解决这个问题？变式的运用可以有效地解决。变式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更

重要的是在发展学生智力，激活学生思维，培养和提高学生的数学素质。

关键词：变式数学教学思维品质

在教学中，笔者常体会到，许多我们认为已让学生熟知的知识，学生却在一

次次考试中一错再错。只要对问题的背景或数量关系稍作演变，有的学生就无所

适从。原因之一就是教师对习题的处理比较单一，就题论题，缺乏演变，缺少一

定的变式训练，因而未能拓宽解题思路，未能提高应变能力。其实数学教学不应

局限于一个狭窄的课本知识领域，“变式”现已成为初中数学教学中的热点。变

式既是一种重要的思想方法，又是一种行之有效的教学方式。通过变式教学，在

课堂上展现知识发生、发展、形成的完整认知过程，有利于培养学生研究、探索

问题的能力。本文结合笔者的教学实践，谈谈对变式教学的认识与思考。

一、什么是变式教学

所谓变式教学，是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。即教师

可不断更换命题中的非本质特征，变换命题中的条件和结论，转换问题的内容和

形式，配置实际应用的各种环境，但同时应保留好对象中的本质因素，从而使学

生掌握数学对象的本质属性。数学教学中的变式，主要是指对例题、习题进行变

通推广，使学生在不同角度、不同层次、不同背景下重新认识。引导学生多层次、广角度、全方位地认识数学问题，从而使学生对问题解决过程及问题本身的结构

有一个清晰的认识，进而提高学生的应变能力和解决问题的能力。

二、变式教学的优点

发展智力，培养能力的关键是培养学生良好的思维品质。变式教学最大的优

点也恰恰在于培养学生良好的思维品质，表现在以下四个方面：第一，利用一题

多解，可以培养学生思维的灵活性。在教学中教师利用解题过程的变式训练，引

导学生善于从多角度去思考问题，多角度地认识事物和解决问题，打破思维定势，开阔视野，全方位思考问题，使学生开动脑筋，养成灵活的思维习惯。第二，采

用一题多变，可以培养学生思维的深刻性。一题多变是培养学生发散思维能力的

重要方法，从一个简单的问题出发，引申出一系列相关的联想，能达到由浅入深、举一反三的效果。同时，可以对同一个问题进行不同角度、不同方面的研究，让

学生思考问题更深入、更具体、更全面。第三，运用逆向变式，可以培养学生逆

向思维的能力。研究一个问题，我们可以把结论作为已知量，来看需要什么条件，让学生逆向思维，往往能够想出很多种方法。这样长期训练，有利于培养学生逆

向思维的能力，提高思维的品质。第四，运用变式教学，培养学生参与教学活动

的持续热情。通过变式练习，学生感觉到，数学题目原来可以反过来思考，可以

多方面研究，可以用不同解法。常给学生以新鲜感，能够唤起学生好奇心和求知欲，从而产生主动参与的动力，培养学习数学的兴趣，因而能够保持其参与教学

活动的兴趣和热情。

三、初中数学变式教学应“变”些什么，怎样“变”

变式教学一是变式，即变换问题中的条件、形式、内容或图形的位置，而问

题的实质不变；二是引申，善于抓住问题的本质，且根据知识间的内在联系，把

问题的可能范围向纵横方向引申和扩充。下面笔者结合自己的教学实际，列举几

个运用变式教学的例子，以说明怎样“变”这一问题。

(一)一题多解

数学上的很多题目不管几何题目还是代数题目，往

往不止一种解法，各种解法反映各自不同的思考方法。对

于同一个题目，研究他的不同解法可以锻炼和提高学生的

发散思维和求异思维。一题多解，就是启发和引导学生从

不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。

[例1]如图1，在宽为20米，长为30米的矩形地面上

修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需

要551米2，求所修建道路的宽度。

解法1：设所修建道路的宽度为x米，列得式子为

30×20-30x-20x+x2=551。题目出示之后，大部分学

生都

利用了这种面积拆分的方法解决，但部分学生也出现了

漏掉考虑重叠部分面积而少加了x2而出错。

解法2:如图2，先把两条路往边上平移，则耕地的

形状变成一个规则的矩形形状。因此，可设所修建道路的宽度为x米，利用

矩形的面积公式列得式子为(30-x)(20-x)=551。

这两种解法是不一样的，第二种解法包含了运动补割的思想，需要学生深入

理解面积恒等的关系，对学生活学活用知识的能力要求较高。实践证明，学生的

解法越多，表明学生的思维越灵活，思路越开阔。这对激发学生的学习兴趣，调

动学生一题多解提高学生的思维是很有好处的。另外若题目很多解法时，教师指

导点评各种解法的优劣，可以更好的提高学生的解题能力和思维能力。

(二)一题多变

一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件

或结论，或变换题目的形式(包括几何题的图形)，而题目

的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，

培养学生理解数学、应用数学的能力，用这种方式进行教

学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，从而防止和削除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；也

可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换，等等。例如，将上题改为：

如图3，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建同

样宽的道路，余下部分作耕地，若耕地面积需要551米2，

求所修建的道路的宽度。

此题的条件与问题与上题几乎一样，不同的是改变了图

中道路的形状。经过分析，利用上题解法2把道路

往边一平

移便知道，其实所列式子与上题一样。

变式1：如图4，在宽为20米，长30米的矩形地面上

修建四条同样宽的的道路，余下部分作为耕地。若耕地面积

需要551米2，求所修建道路的宽度。

设所修建道路的宽度为x米，列得式子为(30-2x)(20-2x)=551。

变式2：如图4，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建四条道路，其中有两横两竖的道路，横、竖道路的宽度比为2:3，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551米2，求所修建道路的宽度。

设横道路的宽度为2x米，则竖道路的宽度为3x米，列得式子为(30-

6x)(20-4x)=551。

变式1，考查了学生对一元二次方程面积问题的深入理解，相对原题而言更加全面。变式2，不仅考查了学生面积问题，而且考查了学生比例问题的灵活运用，同时发展了学生的求异思维。

(三)多题一解