高三数学 教案 三阶行列式的计算公式技巧

三阶行列式计算方法

直接计算——对角线法

标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的对角线上的三个数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。

任何一行或一列展开——代数余子式

行列式某元素的余子式：行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式.

行列式某元素的代数余子式：行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积.

三阶行列式运算

三阶行列式运算

即行列式可以按某一行或某一列展开成元素与其对应的代数余子式的乘积之和

必须知道的几种特殊行列式1.三角行列式

根据对角线位置的不同，可以分为主对角线三角行列式和副对角线三角行列式。

主对角线（或副对角线）三角行列式又根据零元素所在位置分为上三角行列式和下三角行列式。具体示意图如下：

图1.三角行列式示意图

对于三角行列式，一个非常容易混淆的概念是上三角行列式和下三角行列式。上三角行列式是对角线下方的元素全为零，下三角行列式是对角线上方的元素全为零！

证明三角行列式的计算公式很简单，小编以副对角线为例进行证明。下面是具体的证明过程：

三角行列式的应用非常广泛，因为它提供了一种计算行列式的有效方法：即将一个复杂的行列式通过初等变换，将之化为上三角或下三角行列式，然后根据公式即可快速求得行列式的值。

小编在这里就不举例进行说明了，因为大家在做题过程中能经常用到三角行列式。只是一定要注意的一点是，再将复杂的行列式通过初等编换转化为三角行列式的过程中，一定要养成标注的习惯，即标明如何这这个行列式转换到下一个行列式的！

2.范德蒙行列式

范德蒙行列式的重要特征是，第一行（或第一列）元素全为0，且每行（或每列）的元素构成等比数列，其形式如下：

范德蒙行列式的证明可以通过行列式的初等行（列）变换，将之化为三角行列式来证明，此处证明从略。

题目往往不会直接给出一个完全符合范德蒙行列式形式的行列式，让大家去计算该行列式的值，因为这种不拐弯的做法明显是轻看大家了！

一种常见的类似范德蒙行列式形式的行列式如下：

对于这类缺行（列）的类似范德蒙行列式而言，可以通过添加辅助行和辅助列进行求解，具体过程如下:

通过添加辅助行和辅助列，使得行列式变为标准的范德蒙行列式。此时，如果将m视为一个变量，那么上述行列式对辅助列进行展开，那么就会得到一个关于m的多项式，具体过程如下：

当化简道上面这一步时，剩余的工作就是细心和耐心了！有兴趣的同学可以自行化简。

3.奇数阶反对称行列式

反对称行列式，就是主对角线两侧元素关于主对角线反对称，且主对角线元素为0。

对于奇数阶反对称行列式，其值为0。证明从略。

需要提醒一点的是，对称行列式的主对角线元素不需要一定为0！