《高等几何》课程论文

《高等几何》课程论文

06040240 路尚群 2007-1-21

对高等代数中的二次型与高等几何中的二次曲线内容作比较讨论

[摘要] 几何是代数概念产生和发展的源泉，结合我们学过的高等代数中二次型内容与高等几何中的二次曲线相关理论，我们会发现二者的研究对象是紧密相联的。可以说，高等几何中的二次曲线为高等代数二次型的研究及相关问题提供直观背景，高等代数中的二次型正是概括高等几何中的具体对象而产生更抽象更本质的概念，其来源之一正是化二次曲线为标准方程。在此，我们将几何与代数相结合，对二者内容进行比较讨论，学习上将会获得事半功倍的效果。

[关键字] 高等代数 二次型 高等几何 二次曲线 比较讨论 引言 接触高等几何后，我们发现其主要特点是：在采用坐标法的同时，应用代数方法来研究几何对象。高等几何里面的许多内容与高等代数中的相关理论密切联系，特别是在化二次曲线的射影标准方程所涉及的射影坐标变换，坐标三点形的选取，射影坐标变换逆式与高等代数中二次型化标准型中的线性坐标变换，非奇异矩阵的选取，线性坐标变换逆式等密切相关，本文将对此进行比较讨论。 首先，我们引出相关概念，在数域P 上的一个n 元二次型可表示为f （1x ，

2x ，……n x ）= 11a 21x +212a 1x 2x +…+2n a 11x n x +221a 1x 2x +22a 22x +…nn a 2n x =

∑∑ij a j i x x （i ，j=1，2，3）.当我们对此二次型取n=3且令f （1x ，2x ，3x ）=0即为高等几何中二次曲线的代数形式S=∑ij a j i x x =0（i ，j=1，2，3）了。关于对二者的讨论，我们主要通过二者化标准型过程中的联系与区别来进行比较。下面我们来看一道关于化标准方程的题目：

用非退化线性变换化二次型 f （1x ，2x ，3x ）=21x 2x +21x 3x -62x 3x 为标准型.

解：二次型的矩阵A= 011103130⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

作非退化线性变换 1122123

3x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 得C1=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

⇨ 原二次型化为f （1x ，2x ，3x ）=2231y ）

（y --223y -222y +831y y 再令 113223

3z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 得C2 = 101010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⇨ f （1x ，2x ，3x ）=23232216222z z z z +--）（ 最后令 1122333z w z w w z w =⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 得C3 = 100012001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

=> f （1x ，2x ，3x ）=23

2221622w w w +-即为二次型的标准型。 表面上其类似于高等几何中坐标三点形的选取，但又是不确定的，对不同的二次型我们可以通过非线性替换得到两个或两个以上的这样的矩阵，而不是只局限于三个矩阵。而上面三个矩阵又是作为作非线性替换X=CY 前提的

即 C=C1*C2*C3= 113111001⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⇒CA C T

200020006⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

=> f （1x ，2x ，3x ）=221y -222y +623y

此标准方程不唯一，方程形式与所选取的非线性替换有关。

显然，通过上面的非线性替换过程来化二次型的标准方程过程比较繁琐，接触高等几何后，我们不妨通过几何里面化二次曲线为标准型的方法来解决此题。

[变]： 令21x 2x +21x 3x -62x 3x =0，求此二阶曲线的射影标准方程。 解： 首先验证 Γ：rank （ij a ）=3 故Γ是一条非退化二阶曲线。

取二次曲线的自极三点形为坐标三点形：

取不在 Γ上的点 P （1，1，0），求出P 关于的Γ极线Lp ：1x +2x -23x =0； 取在Lp 上不在上Γ的点 Q （1，-1，0），求出其关于的极线Lq=1x -2x -43x 最后取Lp 与Lq 的交点即R=Lp*Lq=（3，-1，1），分别以P 、Q 、R 为新坐标三点形的三个顶点，建立一个新的射影坐标系，通过坐标逆式

ρ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛321x x x =T ）

，，（R Q P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*3*2*1x x x 将其代入Γ方程中化简得032'32'22'1=+-x x x ，由于在射影几何中'3

'2'1,,x x x 的地位平等，故可再作变换22/1'33'21'13,,x x x x x x -===ρρρ ，进一步将其化为射影标准

方程02

32221=-+x x x ，且此标准方程是唯一的。

从上面化标准型的过程可知二次型所作的替换均是非退化的，从二次曲线化标准型上看，这一点是自然的，因为坐标变换一定是非退化的。对于二次型用非退化线性变换找相应的矩阵i C 过程比较繁琐，而我们利用高等几何里化二次曲线射影坐标方程的方法，选择适当的坐标三点形，建立一个射影坐标系，通过射影坐标变换逆式一下子便可以将二次型化为标准型。此处用几何的方法解决代数问题更直观简便些，但这也只局限在三元二次型的化简过程中。二者大体上相似，但本质上还是有许多区别的，射影几何中反映的是齐次坐标，对于不同的坐标只要它们之间相差一个非零常数，就表示同一个点，而线性变换中则无此性质。 注意：在化二阶曲线为标准形时必须要先验证其矩阵的秩，因为验证的结果直接关系到坐标三点形的选取方式。

由线性知识，二阶曲线矩阵的秩及其有无奇异点以及奇异点的个数在射影变换下不变，利用此性质我们可以对平面上的二阶曲线进行如下分类

显然这是利用代数知识来分类的，我们在学习过程中要应用类比思想，将几何和代数结合起来，进行比较学习。在最终化得二次型的标准形方程时，我们再作一适当的非线性替换将上面二次型的标准方程化成其唯一的规范形：

即f （1x ，2x ，3x ）=23

2221z z z +- 其正负系数的个数是一定的，在代数中被称为正/负惯性系数，下面我们引出惯性定理：

[惯性定理] 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。

由此可见，规范形完全被二次型矩阵的秩所决定，利用惯性定理也可以将射影平面2R 的二次曲线射影方程进行如下分类（其中p ，q 为正负惯性系数）