河北高三高中数学专题试卷带答案解析
河北省邯郸市2024届高三上学期第一次调研监测数学试题(解析版)
邯郸市2024届高三年级第一次调研监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh=（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）.棱台的体积公式()13V h S S'=+（其中S '，S 分别为棱台的上､下底面面积，h 为棱台的高）.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1A =<，{}220B x xx =+≤，则A B ⋃=（）A.(]1,2- B.{}0 C.[)2,1- D.(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】先求一元二次不等式得{20}B xx =-≤≤∣，再根据集合运算法则求解A B ⋃即可.【详解】{}{}2{1}{01},2020A x x B x x x x x =<=≤<=+≤=-≤≤∣∣∣，则{21}A B xx ⋃=-≤<∣.故选：C.2.已知命题p ：[)0,x ∞∀∈+，e 1x ≥，则p ⌝为（）A.(),0x ∃∈-∞，e 1x ≥B.[)0,x ∃∈+∞，e 1x <C.(),0x ∀∈-∞，e 1x <D.[)0,x ∞∀∈+，e 1x <【答案】B 【解析】【分析】利用含有全称量词的命题的否定判断.【详解】因为命题:[0,),e 1x p x ∞∀∈+≥，所以:[0,),e 1x p x ⌝∃∈+∞<.故选：B.3.已知i 是虚数单位，若复数z 满足：()31i 1i z -=-，则z z +=（）A.0B.2C.2iD.2i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得i z=-，得到i z =，即可求解.【详解】由复数()31i 1i z -=-，可得()()()231i 1i 1i i 1i 1i 1i 1i z ---====--++-，则iz =，所以i i 0z z +=-+=.故选：A.4.设函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12xy =+平行，则=a （）A.2- B.2C.1- D.1【答案】D 【解析】【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求a .【详解】函数()()ln f x x a =+的定义域为(),a -+∞，由已知1a >-，故1a >-，函数()()ln f x x a =+的导函数()1f x x a'=+，所以()111f a'=+，因为函数()()ln f x x a =+在1x =处的切线与直线12xy =+平行，所以1112a =+，所以1a =，经验证，此时满足题意.故选：D .5.设1F ，2F 是双曲线()222104x y b b-=>的左､右焦点，过1F 的直线l 交双曲线的左支于A ，B 两点，若直线2y x =为双曲线的一条渐近线，22AB b =，则22AF BF +的值为（）A.11B.12C.14D.16【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得2a =,再由双曲线的定义可得212124,24AF AF a BF BF a -==-==，得到()22118AF BF AF BF +-+=,再根据||6AB =得到答案.【详解】根据双曲线的标准方程2221(0)4x y b b -=>，得2a =,由直线2y x =为双曲线的一条渐近线，得2b a =,解得b =,得2||26AB b ==.由双曲线的定义可得2124AF AF a -==①，2124BF BF a -==②，①+②可得()22118AF BF AF BF +-+=,因为过双曲线的左焦点1F 的直线l 交双曲线的左支于A ,B 两点,所以11||6AF BF AB +==,得22||86814AF BF AB +=+=+=.故选：C.6.有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm ､底面边长为2cm 的正六棱锥，后段是高为1cm 的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（）A.()33cm π B.()33cm πC.)33cm π+ D.33cm 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.【详解】由题意，钻头的前段正六棱锥的体积)311133226cm 322V =⨯⨯⨯⨯⨯=，因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，作出以下图形，所以圆柱的底面圆的半径2sin 60r ︒==，所以圆柱的体积()2321π3πcm V =⨯⨯=，所以此钻头的体积为()3123πcm V V +=.故选：B.7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以1A ，2A 表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B 表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则()2P A B =（）A.823B.623 C.1740D.58【答案】A 【解析】【分析】分别求出()2P A ，()2P B A ，再根据全概率公式求出()P B ，再根据条件概率公式即可得解.【详解】()()()()()1122352423585840P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=，()225P A =，()24182P B A ==，()()()()()()222221852232340P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====.故选：A.8.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()e x f x =-，A.()31f =-B.()21f -=-C.()6f x +为奇函数D.()()228f x f x =+【答案】D 【解析】【分析】由题意可得()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=+，结合()1,1x ∈-时，()e xf x =-，可判断AB ；求出函数的周期，进而可判断CD .【详解】因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，即()()2f x f x =---，则()()11f f -=--，所以()10f -=，因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x -+=+，即()()2f x f x =-+，则()()310f f =-=，故A 错误；由当()1,1x ∈-时，()e xf x =-，得()01f =-，则()()201f f -=-=，故B 错误；()()22f x f x -+=---，则()()4f x f x +=-，所以()()()84f x f x f x +=-+=，所以()()228f x f x =+，故D 正确；对于C ，由()()8f x f x +=，得()()62f x f x +=-，若()6f x +为奇函数，则()2f x -也为奇函数，令()()2g x f x =-，则()g x 为奇函数，则()00g =，又()()0210g f =-=≠，矛盾，所以()()2g x f x =-不是奇函数，即()6f x +不是奇函数，故C 错误.故选：D .【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（2）若函数()f x 的图象关于点(),0a 和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（3）若函数()f x 的图象关于直线x a =和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4T a b =-.二､选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设a ，b是两个非零向量，且a b a b +<+ ，则下列结论中正确的是（）A.a b a b-≤+ B.a b a b-<+ C.a ，b的夹角为钝角 D.若实数λ使得a b λ=成立，则λ为负数【答案】AD 【解析】【分析】根据平面向量的模、线性运算的概念即可判断.【详解】对A ，当,a b 不共线时，根据向量减法的三角形法则知||||||a b a b -<+，当,a b 反向共线时，||||||a b a b -=+r r r r ，故a b a b -≤+，A 正确；对B ，若a b ⊥，则以,a b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b + 和a b - 是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，故B 错误；对C ，若,a b 的夹角范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，根据向量加法的平行四边形法则知：||||||a b a b +<+r r r r ，故C 错误；对D ，若存在实数λ，使得a b λ=成立，则,a b 共线，由于||||||a b a b +<+r r r r ，则,a b反向共线，所以λ为负数，故D 正确.故选：AD.10.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，则（）A.数列{}n a 为递减数列B.22n S n n=-C.43n a n =- D.数列{}n n a S +是等差数列【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的通项即可判断B ；根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项，即可判断C ；由1n n a a +-的符号即可判断A ；根据等差数列的定义即可判断D.【详解】由题意21nS n n=-，所以22n S n n =-，故B 正确；当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，当1n =时，上式也成立，所以43n a n =-，故C 正确；因为140n n a a +-=>，所以数列{}n a 为递增数列，故A 错误；2233n n n a S n =++-，因为()22119a S a S +-+=，()332213a S a S +-+=，所以数列{}n n a S +不是等差数列，故D 错误.故选：BC .11.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1，最小正周期为π2，则（）A.()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为偶函数C.函数()f x 在()0,π上有且仅有4个零点D.函数()f x 在区间π5π,412⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，求出ω与ϕ，再逐项分析求解，判断作答.【详解】依题意，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，而π2ϕ<，则()ππ,2sin 66f x x ϕω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.由最小正周期为2π，得22T ππω==，得4ω=，则()π2sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由π5π,66x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得π5π7π4,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，A 不正确；对于B ，()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得函数()πππ2sin 42sin 42cos 4662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是偶函数，B 正确；对于C ，当0πx <<时，πππ44666x π<+<+，则π4π,2π,3π,4π6x +=，则5π11π17π23π,,,24242424x =，可得()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，C 正确；对于D ，当π5π412x <<时，7ππ11π4666x <+<，当π3π462x +=，解得π3x =时，()f x 取得最小值2-，无最大值，D 正确.故选：BCD.12.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，R ，E ，F 分别是AB ，11AD ，1CC 的中点，连接RE ，EF ，RF ，记R ，E ，F 所在的平面为α，则（）A.a 截正方体所得的截面为五边形 B.1B D α⊥C.点D 到平面αD.α截正方体所得的截面面积为【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面的性质先做出截面可判定A 、D ，再利用线线垂直可判定线面垂直得B 项正误，由正六棱锥的体积判定C .【详解】如上左图所示取111AA BC C D 、、中点分别为H G J 、、，连接EH HR RG GF FJ JE 、、、、、，易知HR FJ RG EJ GF HE ，，，HR FJ RG EJ GF HE ===，，，即六边形HRGFJE 为正六边形，平面HRGFJE 即过R ，E ，F 三点的平面α，故A 错误；由正方体的棱长为2，可得截面HRGFJE 的面积为2364S =⨯⨯=D 正确；如上右图所示，连接11AC BD BC B C 、、、，由正方体的性质可得1,AC BD BB ⊥⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以1,BB AC ⊥又11,BD BB B BD BB ⋂=⊂、面1BDB ，所以AC ⊥面1BDB ，1DB ⊂面1BDB ，所以1AC DB ⊥，而AC RG ，所以1RG DB ⊥，同理可得1FG DB ⊥，,FG RG G FG RG α⋂=⊂、，故1DB α⊥，即B 正确；分别连接1D B ，与截面HRGFJE 的六个顶点可得两个正六棱锥，设点D 到平面α的距离为h ，易知211128862162323D HRGFJE A HRD HRGFJE V V V h S h --=-=-⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⇒=正方体六边形，故C 正确.故选：BCD.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.()841x x-的展开式的常数项是___________.【答案】70【解析】【分析】利用通项公式求解，84(1)x x-的展开式中常数项由8(1)x -的展开式的4次方项确定，求解即可.【详解】8(1)x -的展开式的通项公式为818C (1)r rr r T x-+=-，当84r -=时，44584,C r T x ==，所以84(1)x x-的展开式的常数项为48C 70=.故答案：70.14.写出函数()cos 1sin xf x x=-的一个对称中心：___________.【答案】π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】首先化简函数得()πtan 24x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,再根据正切函数的对称中心公式求解.【详解】222cos sin cos sincos 2222()1sin cos sinsin cos 2222x x x x x f x x x x x x -+===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭π1tantan tan π224tan π241tan 1tan tan 224x x x x x ++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭--，令1ππ24x k +=或()212ππ,242x k k k π+=+∈Z ，则1π2π2x k =-+或()212π2π,2x k k k =+∈Z ，令20k =，则π2x =，所以函数()f x 的一个对称中心是π,02⎛⎫⎪⎝⎭.故答案：π,02⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一，横坐标符合π2π2x k =±(k ∈Z )即可)15.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线W ：214y x =+.若等腰直角三角形ABC 三个顶点均在W 上且直角顶点B 与抛物线顶点重合，则ABC 的面积为___________.【答案】1【解析】【分析】根据等腰直角三角形与二次函数的性质，建立不等式，可得答案.【详解】由题意可作图如下：设()()11221,,0,,,4A x y B C x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其中120x x <<，则直线AB 与直线BC 的斜率分别为1114y x -，2214y x -，由AB BC ⊥，则121211441y y x x --⋅=-，由AB BC =，则222211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将21114y x =+，22214y x =+代入121211441y y x x --⋅=-，可得121x x =-，将21114y x =+，22214y x =+代入222211221144x y x y ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得24241122x x x x +=+，将121x x =-代入24241122x x x x +=+，可得()()6222110x x -+=，解得21x =，则5151,,0,,1,444A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，==AB BC ，112ABC S AB BC =⋅⋅=V .故答案为：1.16.过圆O ：222x y +=上一点P 作圆C ：()()22442x y -+-=的两切线，切点分别为Q ，R ，设两切线的夹角为θ，当PQ PR +取最小值时，sin θ=___________.【答案】9【解析】【分析】易得,,,2PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ=∠=∠=⊥⊥，从而可得2P PQ P Q R ==+，求出PC 取得最小值时，sin θ的值即可.【详解】由题意可得,,,2PQ PR CPQ CPR CQ PQ CR PR θ=∠=∠=⊥⊥，圆O 的圆心()0,0O ，半径1r =，圆C 的圆心()4,4C ，半径2r =则2PQ Q R P P ===+，当PQ PR +取最小值时，则PC 取得最小值，1min PC OC r =-=此时1sinsin23CPQ θ=∠==，又2θ为锐角，所以22cos 23θ=，所以12242sin 2339θ=⨯⨯=，即当PQ PR +取最小值时，sin 9θ=.故答案为：429.【点睛】关键点点睛：由圆的切线的性质将所求转化为求PC 的最小值是解决本题的关键.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足126a a +=，430S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()1n n b n a =-⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求使196n T ≤成立的n 的最大值.【答案】（1）2n n a =（2）5【解析】【分析】（1）求首项、公比，从而求得n a ；（2）利用错位相减求和法求得n T ，解不等式196n T ≤.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，0n a >，则0q >.1246,30a a S +==，则12346,24a a a a +=+=，得234122446a a q a a +===+，所以2q =，所以116a aq +=，所以12a =，所以2n n a =.【小问2详解】由（1）得(1)(1)2nn n b n a n =-⋅=-⋅，得231222(1)2n n T n =⨯+⨯++-⋅ ，得34121222(1)2n n T n +=⨯+⨯++-⋅ ，两式相减得23412222(1)2nn n T n +-=++++--⋅ ()112122(1)2(2)2412n n n n n ++-=-+--⋅=--⋅--，所以1(2)24n n T n +=-⋅+.由196n T ≤，得11(2)24196(2)2192n n n n ++-⋅+≤⇒-⋅≤，当5n =时，左边632192=⨯=，当5n >时，1(2)2192n n +->，所以n 的最大值为5.18.暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；（2）在这100名居民中用分层随机抽样的方法从成绩在[)40,50，[)50,60，[)60,70的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[)50,60的人数，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）79.3（2）分布列见解析，()1E ξ=【解析】【分析】（1）根据在频率分布直方图中中位数的求法计算即可；（2）写出随机变量ξ的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问1详解】因为()100.0040.0080.0120.24⨯++=，0.24100.0280.52+⨯=，所以中位数在区间[)70,80内，设为x ，则()()100.0040.0080.0120.028700.5x ⨯+++-=，解得79.3x ≈，即估计这100名居民成绩的中位数为79.3；【小问2详解】成绩在[)40,50有0.0041220.0040.0080.012⨯=++人，成绩在[)50,60有0.0081240.0040.0080.012⨯=++人，成绩在[)60,70有0.0121260.0040.0080.012⨯=++人，则ξ可取0,1,2,3，()38312C 140C 55P ξ===，()1248312C C 281C 55P ξ===，()2148312C C 122C 55P ξ===，()34312C 11C 55P ξ===，所以分布列为ξ123P145528551255155所以()14281210123155555555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 2cos c a C c A =-.（1）求sin 2A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）34（2）273+【解析】【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得sin co 1s 2A A -=，平方进而求得sin 2A ；（2）利用余弦定理表示出22b c +，根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.【小问1详解】因为2sin 2cos c a C c A =-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin 2sin sin 2sin cos C A C C A =-，因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以sin co 1s 2A A -=，所以21(sin cos )4A A -=，得1312sin cos 2sin cos 44A A A A -=⇒=，即3sin 24A =.【小问2详解】由（1）知13sin cos ,2sin cos 24A A A A -==，()0,A π∈，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0,cos 0A A >>，与22sin cos 1A A +=联立，有221sin cos 2sin cos 1A A A A ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得17sin 471cos 4A A ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，得1117sin 224ABC S bc A ==⨯ ，由余弦定理得，22271cos 24b c a A bc+-==，所以227142b c bc -+=+，得2271422b c bc bc -+=+≥，当且仅当b c =时等号成立，即4(59bc ≤=+，得1142(52493ABC S +≤⨯⨯+=，得最大值为23+.20.如图，几何体由四棱锥B AEFC -和三棱台EFG ACD -组合而成，四边形ABCD 为梯形，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC ==，平面EBC 与平面ABCD 的夹角为45°.（1）求证：平面BCE ⊥平面CDGF ；（2）求三棱台EFG ACD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）73【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质和平行的性质得BC CD ⊥，再利用面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，设DG h =，求出相关平面法向量，利用面面角的空间向量求法得到方程，解出h ，再利用棱台体积公式即可得到答案.【小问1详解】因为DG ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以DG BC ⊥，因为//,AD BC AD CD ⊥，所以BC CD ⊥，由GD CD D = ，,GD CD ⊂平面CDGF ，得BC ⊥平面CDGF ，由BC ⊂平面BCE ，得平面BCE ⊥平面CDGF .【小问2详解】因为DG ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以,DG AD DG CD ⊥⊥，又因为AD CD ⊥，所以,,DG AD CD 两两互相垂直，所以以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DG 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图.设DG h =，由题可知，(0,0,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(1,0,),(0,1,),(0,0,)D A B C E h F h G h ，易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,)DG h = ，设平面EBC 的法向量为(,,)n x y z =，(1,0,0),(0,2,)CB BE h ==- ，故得0n CB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y zh =⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，则20,1,,cos ,2||||DG n n n DG h DG n ⋅⎛⎫=〈〉==⎪⎝⎭ ，解得2h =，所以三棱台EFG ACD -的体积为1117222113223V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()2ln 2xf x a x =⋅-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明：不等式()12ln f x a a≤+有实数解.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，再分0a ≤和0a >两种情况讨论即可；（2）要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min 12ln f x a a≤+即可，由（1）求出()min f x ，进而得证.【小问1详解】()()ln 22ln 2ln 221x x f x a a '=⋅-=⋅-，当0a ≤时，()0f x '<，则函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，当0a >时，21log x a <时，()0f x '<，21log x a>时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在21,log a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在21log ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】要证不等式()12ln f x a a ≤+有实数解，只需证明()min12ln f x a a≤+即可，由（1）得()21log 22min11log 2ln 2log 1ln a f x f a a a a ⎛⎫==⋅-⨯=+ ⎪⎝⎭，则只要证明11ln 2ln a a a+≤+即可，即证1ln 10a a+-≥，令()()1ln 10h a a a a =+->，则()22111a h a a a a-'=-=，当01a <<时，()0h a '<，当1a >时，()0h a '>，所以函数()h a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10h a h ≥=，即1ln 10a a+-≥，所以当0a >时，不等式()12ln f x a a≤+有实数解.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦点分别为()11,0F -和()21,0F ，离心率为12.不过2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，M 两个不同的点，直线2AF 与椭圆的另一交点为点B .（1）求椭圆E 的方程；（2）①若直线MB 交x 轴于点N ，求以ON 为直径的圆的方程；②若过2F 与AB 垂直的直线交椭圆E 于D ，G 两个不同的点，当22AB DG +取最小值时，求直线AB 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）①22(2)4x y -+=；②1y x =-或1y x =-+.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，可求其方程；（2）①联立直线AB 与椭圆方程，表示出直线BM 的方程，再由根与系数的关系求出N 点坐标，即可求出圆的方程；②根据弦长公式可求AB 长度,进而得DG 长度，根据不等式即可求解最值，得直线AB 的方程.【小问1详解】由题意可知，11,2c c e a ===，得2a =，由222a b c =+，得23b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】①显然直线AB 的斜率必存在，且0AB k ≠，则设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),,,,y k x k A x y B x y =-≠，则()11,M x y -，联立有22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()22224384120k x k x k +-+-=，所以221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121,y y y y x x x x ++=-- 令0y =可得N 点的横坐标为()()()()1211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k kk -⨯-++==-+.所以N 为一个定点，其坐标为(4,0)，则圆心坐标为()2,0，半径为2，则以ON 为直径的圆的方程为22(2)4x y -+=.②根据①可进一步求得:21||AB x =-=()2212143k k +=+，第21页/共21页因为AB DG ⊥,所以1DG k k =-,则()22121||34k DG k +=+,由()()()()()22222222221211212881||2243344334k k k AB DG AB DG k k k k ++++≥⋅=⨯⨯=++++()22222288111524943342k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当224334k k +=+时取等号，即1k =±时，22||||AB DG +取得最小值115249，此时直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线AB的方程为(1)(0)y k x k =-≠，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再去计算出N 点的横坐标为定值，则可得到圆的方程，再利用弦长公式和基本不等式则可得到22||||AB DG +的最小值.。
2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}2．已知（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则|Z |＝（ ） A ．2 B ．√10 C ．4 D ．103．已知a =313，b=log 213，c =log 131e ，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a4．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−3)，(ka →−b →)⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（ ） A ．−94B ．94C ．﹣1D ．15．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a ，b ∈R ，且a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断6．若命题“对任意的x ∈（0，+∞），x +1x−m ＞0恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ＞2}C ．{m |m ≤2}D ．{m |m ＜2}7．函数y =x−3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．将函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω＞0)的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，且函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，则ω的取值是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．1二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 30＞0，S 31＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．a 15＞0 B ．{Sn n}是等差数列C ．a 16＞0D ．对任意n ∈N *，都有S n ≤S 1510．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增 B ．f （8）＜0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）D ．f （x ）的图象与x 轴只有3个交点11．已知函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1、x 2、x 3、x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列结论正确的是（ ） A ．1＜m ≤2B ．﹣3＜x 1＜﹣2C ．﹣1≤4x 3+x 4＜0D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为1012．如图，在△ABC 中，BA ＝BC ＝1，延长BC 到点D ，使得BC ＝CD ，以AD 为斜边向外作等腰直角三角形ADE ，则（ ）A ．AD 2＝5﹣4cos BB ．sin ∠CAD ∈(12，√32)C ．△ACD 面积的最大值为12D ．四边形ACDE 面积的最大值为5+2√54三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f(x)={(a +2)x ，x ≥2a x +1，x ＜2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数f(x)=1−e x1+e x ，若m ＞0，n ＞0，且f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0），则1m +2n的最小值为 ．15．已知x ，y ，z ∈R ，且x ﹣2y +2z ＝5，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2的最小值是 ．16．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）为奇函数，g （x +1）为偶函数，f （﹣1）＝2，g （x +2）﹣f （x ）＝1，则∑g(i)2023i=1= ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={5，n =12n +2，n ≥2．（1）求S n ； （2）若b n =1S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象与g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过点（4，2）．（1）若f （3x ﹣1）＞f （﹣x +5）成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，4]，不等式f （2x ）g (x4)−m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx2)，函数f(x)=a →⋅b →+1（其中0＜ω＜1），函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2．（1）求ω的值；（2）若0＜α＜π3且f(32α)=43，求f(32α+3π8)的值．20．（12分）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA a+cosB b=2√3sinC 3a．（1）求角B 的大小；（2）若b =2√3，求△ABC 面积的取值范围．21．（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m 2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m 2，浮萍覆盖面积y （单位：m 2）与2022年的月份x （单位：月）的关系有两个函数模型y ＝ka x （k ＞0，a ＞1）与y ＝mx 2+n （m ＞0）可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m 2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m 2？（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48） 22．（12分）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式及∑ 2n−1i=2n−1a i （n ∈N *）；（Ⅱ）设{b n}是等比数列，且对于任意的k∈N*，当2k﹣1≤n≤2k﹣1时，b k＜a n＜b k+1．（i）当k≥2时，求证：2k﹣1＜b k＜2k+1；（ii）求{b n}的通项公式及前n项和．2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}解：阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ，又∁R B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩∁R B ＝{1，2}． 故选：D ．2．已知（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则|Z |＝（ ） A ．2B ．√10C ．4D ．10解：（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则Z =2−4i 1+i =(2−4i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1﹣3i ，故|Z |=√(−1)2+(−3)2=√10． 故选：B ． 3．已知a =313，b=log 213，c =log 131e ，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a解：因为函数y ＝3x 为单调递增函数， 所以a =313＞30=1，即a ＞1； 因为y ＝log 2x 为单调递增函数， 所以b =log 213＜log 21=0，即b ＜0；因为y =log 13x 单调递减，所以log 131＜log 131e ＜log 1313，即0＜c ＜1， 故a ＞c ＞b ． 故选：A ．4．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−3)，(ka →−b →)⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（ ）A ．−94B ．94C ．﹣1D ．1解：a →=(2，1)，b →=(1，−3)，则ka →−b →=(2k −1，k +3)，a →+b →=(3，−2)， (ka →−b →)⊥(a →+b →)，则3（2k ﹣1）﹣2（k +3）＝0，解得k =94．故选：B ．5．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a ，b ∈R ，且a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解：由m 2﹣m ﹣1＝1得m ＝2或m ＝﹣1， m ＝2时，f （x ）＝x 3在R 上是增函数，不合题意，m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣3，在（0，+∞）上是减函数，满足题意，所以f （x ）＝x ﹣3，a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则b ＞﹣a ＞0，f （﹣a ）＞f （b ）， f （x ）＝﹣x 3是奇函数，因此f （﹣a ）＝﹣f （a ）， 所以﹣f （a ）＞f （b ），即f （a ）+f （b ）＜0． 故选：B ．6．若命题“对任意的x ∈（0，+∞），x +1x−m ＞0恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ＞2}C ．{m |m ≤2}D ．{m |m ＜2}解：当原命题为真时，m ＜x +1x恒成立，即y =x +1x ≥2√x ×1x =2，m ＜(x +1x)min =2， 则当命题为假命题时，m ≥2， 所以m 的取值范围为{m |m ≥2}． 故选：A ． 7．函数y =x−3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．解：设f(x)=y =x−3sinxe |x|，x ∈R ， 由f(−x)=−x+3sinxe |x|=−f(x)，得f （x ）为奇函数，故B ，D 错误；由f(π2)=π2−3sin π2e |π2|=π2−3e π2＜0，故A 正确，C 错误．故选：A ．8．将函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω＞0)的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，且函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，则ω的取值是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．1解：f(x)=sin(ωx +π6)的图像向左平移π6个单位长度后，得到g(x)=sin(ωx +π6ω+π6)的图象．因为g(x)=sin(ωx +π6ω+π6)关于y 轴对称，所以π6ω+π6=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω＝2+6k ，k ∈Z ．因为ω＞0，故当x ∈[0，π6]时，ωx +π6∈[π6，ωπ6+π6]，因为函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，所以ωπ6+π6∈(π6，π2]，解得ω∈（0，2]．故ω＝2+6k ∈（0，2]，解得k ∈(−13，0]．因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω＝2． 故选：B ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 30＞0，S 31＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．a 15＞0 B ．{Sn n}是等差数列C ．a 16＞0D ．对任意n ∈N *，都有S n ≤S 15解：设等差数列{a n } 的公差为d ， 则S n =na 1+n(n−1)d2，得S n n =a 1+(n−1)d 2， 所以S n+1n+1−S n n=a 1+nd 2−a 1−(n−1)d 2=d 2，所以{Sn n } 是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列，选项B 正确；S 31=31(a 1+a 31)2=31a 16＜0，即a 16＜0，选项C 错误；S 30=30(a 1+a 30)2=15(a 15+a 16)＞0，由于a 16＜0，所以a 15＞0，A 正确；因为a 15＞0，a 16＜0，所以当n ＝15 时，S n 取得最大值，故对任意n ∈N *，恒有S n ≤S 15，选项D 正确． 故选：ABD ．10．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增 B ．f （8）＜0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）D ．f （x ）的图象与x 轴只有3个交点解：函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减， 函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，A 错误；由f （﹣7）＝0，得f （7）＝0，则f （8）＜f （7）＝0，B 正确；当x ＜0时，f （x ）＞f （﹣7），则x ＜﹣7，当x ＞0时，f （x ）＞f （7），则0＜x ＜7， 因此不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7），C 正确； 当x ＜0时，函数f （x ）的图象交x 轴于点（﹣7，0）， 当x ＞0时，函数f （x ）的图象交x 轴于点（7，0），而f （0）＝0，则点（0，0）是函数f （x ）的图象与x 轴的公共点， 所以f （x ）的图象与x 轴只有3个交点，D 正确． 故选：BCD ．11．已知函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1、x 2、x 3、x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列结论正确的是（ ） A ．1＜m ≤2B ．﹣3＜x 1＜﹣2C ．﹣1≤4x 3+x 4＜0D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为10解：作出函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1的图象如下图所示：根据图象知：f（﹣1）＝2，f（﹣2）＝1，因为直线y＝m与函数f（x）的图象有四个交点，则1＜m≤2，故A正确；对于B选项，由图可知x1＜﹣2，由f(x1)=2(x1+2)2∈(1，2]，可得0＜(x1+2)2≤1，所以﹣3≤x1＜﹣2，故B错误；对于C选项，由图可知﹣1＜x3＜0＜x4，则0＜x3+1＜1＜x4+1，由f（x3）＝f（x4），得|log2（x3+1）|＝|log2（x4+1）|，即﹣log2（x3+1）＝log2（x4+1），所以x4+1=1x3+1，化简得到x4=1x3+1−1．由f（x3）＝﹣log2（x3+1）∈（1，2]，可得14≤x3+1＜12，所以4x3+x4=4x3+1x3+1−1=4(x3+1)+1x3+1−5，由双勾函数的单调性可知g(x)=4x+1x在[14，12)上单调递减，所以4(x3+1)+1x3+1−5＞4×12+2−5=−1，且4(x3+1)+1x3+1−5≤4×14+4−5=0，当x3=−34时取等号，所以﹣1＜4x3+x4≤0，故C错误；由2(x+2)2=m，可得x2+4x+4﹣log2m＝0，所以x1、x2为方程x2+4x+4﹣log2m＝0的两根，由根与系数的关系可得{x1+x2=−4x1x2=4−log2m，所以x12+x22+log m√2=(x1+x2)2−2x1x2+log m√2=16−8+2log2m+12log m2=2log2m+12log2m+8≥2√2log2m×12log2m+8=10，当且仅当2log2m=12log2m时，即当m=√2时等号成立，故D正确．故选：AD．12．如图，在△ABC中，BA＝BC＝1，延长BC到点D，使得BC＝CD，以AD为斜边向外作等腰直角三角形ADE ，则（ ）A ．AD 2＝5﹣4cos BB ．sin ∠CAD ∈(12，√32)C ．△ACD 面积的最大值为12D ．四边形ACDE 面积的最大值为5+2√54解：在△ABD 中，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcosB =5−4cosB ，A 正确；∠ACB =∠CAB =π−B 2，∠ACD =π−∠ACB =π2+B 2∈(π2，π)，则∠CAD ∈(0，π2)，所以sin ∠CAD ∈（0，1），B 错误；易得S △CAD =12S △BAD 当BA ⊥CD 时，S △BAD S △ACD 取最大值12，C 正确；S 四边形ACDE ＝S △ADE +S △ACD ＝S △ADE +S △ABC =AD 24+12sinB=54−cosB +12sinB =54+√12+(12)2sin(B −φ)≤54+√12+(12)2=5+2√54，其中sinφ=2√55，cosφ=√55，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f(x)={(a +2)x ，x ≥2a x+1，x ＜2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 （1，3] ．解：函数f （x ）是R 上的增函数，则f （x ）在[2，+∞）上单调递增， 故a +2＞0⇒a ＞﹣2，f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，则a ＞1， 且在x ＝2处，有a 2+1≤2（a +2）⇒﹣1≤a ≤3， 所以a 的取值范围是（1，3]． 故答案为：（1，3]．14．已知函数f(x)=1−e x 1+e x ，若m ＞0，n ＞0，且f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0），则1m +2n 的最小值为 8 ．解：因为f(x)=1−e x1+e x的定义域为R ，关于（0，0）对称，且f(−x)=1−e −x1+e −x =e x −1e x1+e xe x =e x −11+e x=−f(x)，即函数f （x ）为奇函数， 又因为f(0)=1−e 01+e 0=0，所以f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0）＝0， 即2m +（n ﹣1）＝0，所以2m +n ＝1，则1m +2n =(1m +2n )(2m +n)=n m +4m n +4≥2√n m ⋅4m n +4=8， 当且仅当{n m =4m n 2m +n =1时，即{m =14n =12，取等号． 所以1m +2n的最小值为8． 故答案为：8．15．已知x ，y ，z ∈R ，且x ﹣2y +2z ＝5，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2的最小值是 36 ．解：由于[（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2][（12+（﹣2）2+22）]≥[（x +5）+（﹣2）（y ﹣1）+2（z +3）]2 ＝324，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2≥36（当且仅当x+51=y−1−2=z+32，即{x =−3y =−3z =1时取等号． 故答案为：3616．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）为奇函数，g （x +1）为偶函数，f （﹣1）＝2，g （x +2）﹣f （x ）＝1，则∑g(i)2023i=1= 2023 ．解：因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），因为g （x +1）为偶函数，所以g （﹣x +1）＝g （x +1），所以g （x +2）＝g （﹣x ），g （﹣x +2）＝g （x ），又因为g （x +2）﹣f （x ）＝1，所以g （x +2）＝f （x ）+1，①所以g （﹣x +2）＝f （﹣x ）+1，所以g （x ）＝﹣f （x ）+1，②①+②得g （x +2）+g （x ）＝2，所以g （x +4）+g （x +2）＝2，所以g （x +4）＝g （x ），又因为g （1）+g （3）＝g （2）+g （4）＝2，g （2）＝f （0）+1＝0+1＝1，所以∑g(i)2023i=1=505×[g （1）+g （2）+g （3）+g （4）]+g （1）+g （2）+g （3），＝505×4+2+1＝2023．故答案为：2023．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={5，n =12n +2，n ≥2． （1）求S n ；（2）若b n =1S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）当n ≥2时，S n =5+(n−1)(6+2n+2)2=5+(n −1)(n +4)=n 2+3n +1． 当n ＝1时，S 1＝a 1＝5，也适合上式．故S n =n 2+3n +1．（2）由（1）可得b n =1n 2+3n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2， 则T n =b 1+b 2+⋯+b n =(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n 2n+4． 18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象与g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过点（4，2）．（1）若f （3x ﹣1）＞f （﹣x +5）成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，4]，不等式f （2x ）g (x 4)−m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：∵g （4）＝log a 4＝2，∴a 2＝4，解得a ＝2，∴g （x ）＝log 2x ，由已知得f （x ）＝lo g 12x ，即f （x ）＝﹣log 2x ．（1）∵f （x ）＝lo g 12x 在（0，+∞）上单调递减，∴{3x −1＞0，−x +5＞0，3x −1＜−x +5，解得13＜x ＜32， ∴x 的取值范围为(13，32)． （2）∵f （2x ）g (x 4)−m ＜0， ∴m ＞f （2x ）g (x 4)对于任意x ∈[1，4]恒成立等价于m ＞(f(2x)g(x 4))max ． ∵y ＝f （2x ）g (x 4)=−log 22x log 2x 4=−（1+log 2x ）（log 2x ﹣2）＝﹣（log 2x ）2+log 2x +2， 令u ＝log 2x ，1≤x ≤4，则u ∈[0，2]，∴y ＝﹣u 2+u +2=−(u −12)2+94， 当u =12，即log 2x =12，即x =√2时，y max =94， ∴实数m 的取值范围是m ＞94． 即m ∈（94，+∞）． 19．（12分）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx 2)，函数f(x)=a →⋅b →+1（其中0＜ω＜1），函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2． （1）求ω的值；（2）若0＜α＜π3且f(32α)=43，求f(32α+3π8)的值． 解：（1）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx 2)， 则f(x)=a →⋅b →+1=√3sinωx −2sin 2ωx 2+1=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)， ∵函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2， ∴π2ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ， 得ω=23+2k ，k ∈Z ， ∵0＜ω＜1，∴ω=23； （2）由（1）可得f(x)=2sin(23x +π6)， 由f(32α)=43得2sin(α+π6)=43， 即sin(α+π6)=23， 结合0＜α＜π3， 则π6＜α+π6＜π2， 得cos(α+π6)=√1−sin 2(α+π6)=√53， ∴f(32α+3π8)=2sin[(α+π6)+π4]=2sin(α+π6)cos π4+2cos(α+π6)sin π4=2×23×√22+2×√53×√22=2√2+√103．20．（12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAa+cosBb=2√3sinC3a．（1）求角B的大小；（2）若b=2√3，求△ABC面积的取值范围．解：（1）由已知条件得bcosA+acosB=2√33bsinC，由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=2√33sinBsinC，即sin(A+B)=2√33sinBsinC，因为在△ABC中，sin（A+B）＝sin C≠0，所以sinB=√32，又B是锐角，所以B=π3．（2）由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=√3√32=4，则a＝4sin A，c＝4sin C，所以S△ABC=√34ac=4√3sinAsinC=4√3sin(π3+C)sinC=4√3(√32cosC+12sinC)sinC=6sinCcosC+2√3sin2C=2√3sin(2C−π6)+√3，由0＜C＜π2，0＜2π3−C＜π2，得π6＜C＜π2，所以π6＜2C−π6＜5π6，所以sin(2C−π6)∈(12，1]，所以2√3sin(2C−π6)+√3∈(2√3，3√3]，所以△ABC面积的取值范围为(2√3，3√3]．21．（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m2，浮萍覆盖面积y（单位：m2）与2022年的月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x （k＞0，a＞1）与y＝mx2+n（m＞0）可供选择．（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m2？（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）解：（1）若选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1），则{ka 2=360ka 3=480，解得a =43，k =4052， 故函数模型为y =4052(43)x ， 若选择模型y ＝mx 2+n （m ＞0），则{4m +n =3609m +n =480， 解得m ＝24，k ＝264，故函数模型为y ＝24x 2+264．（2）把x ＝0代入y =4052(43)x 可得，y =4052=202.5， 把x ＝0代入y ＝24x 2+264可得，y ＝264，∵202.5﹣200＜264﹣200，∴选择函数模型y =4052(43)x 更合适， 令y =4052(43)x ＞8100，可得(43)x ＞40，两边取对数可得，xlg(43)＞lg40， ∴x ＞lg4+lg10lg4−lg3=2lg2+12lg2−lg3≈2×0.3+12×0.3−0.48≈13.3， 故浮萍至少要到2023年2月底覆盖面积能超过8100m 2．22．（12分）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式及∑ 2n−1i=2n−1a i （n ∈N *）； （Ⅱ）设{b n }是等比数列，且对于任意的k ∈N *，当2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1时，b k ＜a n ＜b k +1． （i ）当k ≥2时，求证：2k ﹣1＜b k ＜2k +1；（ii ）求{b n }的通项公式及前n 项和．解：（Ⅰ）∵{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．∴{a 1+d +a 1+4d =2a 1+5d =16a 1+4d −a 1−2d =2d =4，得d ＝2，a 1＝3， 则{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1（n ∈N •），∑ 2n −1i=2n−1a i 中的首项为a i =2×2n−1+1=2n +1，项数为2n ﹣1﹣2n ﹣1+1＝2n ﹣2n ﹣1＝2×2n ﹣1﹣2n ﹣1＝2n ﹣1，则∑ 2n −1i=2n−1a i =2n ﹣1（2n +1）+2n−1(2n−1−1)2×2＝2n ﹣1（2n +1）+2n ﹣1（2n ﹣1﹣1）＝2n ﹣1（2n +1+2n ﹣1﹣1）＝2n ﹣1（2n +2n ﹣1）＝2n ﹣1×3×2n ﹣1＝3×4n ﹣1． （Ⅱ）（i ）∵2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1，∴2k ≤2n ≤2k +1﹣2，1+2k ≤2n +1≤2k +1﹣1， 即1+2k ≤a n ≤2k +1﹣1，当k ≥2时，∵b k ＜a n ＜b k +1．∴b k＜1+2k，且b k+1＞2k+1﹣1，即b k＞2k﹣1，综上2k﹣1＜b k＜1+2k，故成立；（ii）∵2k﹣1＜b k＜2k+1成立，∵{b n}为等比数列，∴设公比为q，当k≥2时，2k+1﹣1＜b k+1＜2k+1+1，12k+1＜1b k＜12k−1，则2k+1−12k+1＜b k+1b k＜2k+1+12k−1，即2(2k+1)−32k+1＜b k+1b k＜2(2k−1)+32k−1，即2−32k+1＜q＜2+32k−1，当k→+∞，2−32k+1→2，2+32k−1→2，∴q＝2，∵k≥2时，2k﹣1＜b k＜2k+1，∴2k﹣1＜b12k﹣1＜2k+1，即2k−12k−1＜b1＜2k+12k−1，即2−12k−1＜b1＜2+12k−1，当k→+∞，2−12k−1→2，2+12k−1→2，则b1＝2，则b n＝2×2n﹣1＝2n，即{b n}的通项公式为b n＝2n，则{b n}的其前n项和T n=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2．。
河北省石家庄市2024届高三教学质量检测(三)数学试卷
石家庄市2024年普通高中学校毕业年级教学质量检测（三）数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数2ii z -=，则|z |=（）A.B.C.3D.5【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求复数的模长即可.【详解】由已知得2i (2i)i 2i 112i i i i 1z --+====--⨯-，所以z ==，故选：B.2.已知圆221:1C x y +=和圆2226890C x y x y +--+=:，则两圆公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径11r =，圆2226890C x y x y +--+=:的圆心()23,4C ，半径24r =，则12125C C r r ===+，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3.故选：C.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为195,1,627n S a S a ==+，则5S =（）A.25 B.27C.30D.35【答案】A 【解析】【分析】借助等差数列及其前n 项和的性质计算可得公差，结合等差数列求和公式计算即可得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则有()()1117894262a a d a d ++⨯++=，又11a =，则()()62714914d d =⨯+++，解得2d =，则()511425252S ++⨯⨯==.故选：A.4.已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.y =B.33y x =±C.32y x =±D.233y x =±【答案】B 【解析】【分析】设双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上焦点为(0,)c ，由题意可得3=，可求b ，由已知可求a ，可求渐近线方程.【详解】设双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上焦点为(0,)c ，双曲线的渐近线方程为0by ax ±=，由点到直线的距离公式可得3b ===，又双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>a =所以双曲线C 的渐近线方程为30y ±=，即3y x =±.故选：B.5.设,,αβγ是三个不同的平面，,m l 是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,,m l αβαβ⊥⊂⊥，则m l ∥B.若,,m l αβαβ⊂⊂ ，则m l∥C.若,,m l m αβαβ⊥⋂=⊥，则l β⊥ D.若,,l m l m αβγ⋂=⊥ ，则αγ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A 选项，若,,m l αβαβ⊥⊂⊥，则//l α或l ⊂α，无法确定m 与l 的关系，错误；对于B 选项，根据面面平行的性质定理，缺少m l ∥的条件，它们可能平行或异面，错误；对于C 选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件l ⊂α，,l β平行、相交或l β⊂均有可能，错误；对于D 选项，若,,l m l m αβγ⋂=⊥ ，则l γ⊥，由面面垂直的判定定理可得αγ⊥，正确.故选：D6.某项活动在周一至周五举行五天，现在需要安排甲、乙、丙、丁四位负责人值班，每个人至少值班一天，每天仅需一人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班两天且这两天必须相邻，则不同安排方法的种数为（）A.24B.10C.16D.12【答案】D 【解析】【分析】分乙值前两天，乙值后两天及乙不值第一天和最后一天进行讨论即可得.【详解】若乙值前两天，则甲有两种选择，共有1222C A 4=，若乙值后两天，则甲有两种选择，共有1222C A 4=，若乙不值第一天和最后一天，共有1222C A 4=，共有44412++=种不同安排方法.故选：D .7.已知角,αβ满足()1tan ,2sin cos sin 3αβαβα==+，则tan β=（）A.13B.16C.17D.2【答案】C 【解析】【分析】借助()βαβα=+-对已知化简，可求出()tan αβ+的值，再由()()tan tan βαβα=+-可解.【详解】因为()2sin cos sin βαβα=+，即()()2sin cos sin αβααβα⎡⎤+-=+⎣⎦，所以()()()2sin cos 2cos sin cos sin αβααβααβα+-+=+，整理得()()2sin cos 3cos sin αβααβα+=+，变形得()31tan tan 22αβα+==，所以()()()tan tan 1tan tan 1tan tan 7αβαβαβααβα+-⎡⎤=+-==⎣⎦++.故选：C8.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，斜率为()0k k >的直线过F 与C 交于,P Q 两点，若FP FQ -=，则k 的值为（）A.1B.C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出直线方程，联立曲线后得到横坐标有关韦达定理，结合焦半径公式计算即可得解.【详解】由2:8C y x =可得()2,0F ，则():2PQ l y k x =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立()228y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()22224840k x k x k -++=，42421664641664640k k k k ∆=++-=+>，212224884k x x k k++==+，124x x =，由焦半径公式可得1122p FP x x =+=+，2222pFQ x x =+=+，则12FP FQ x x -=-=，则有21284422k x k ++==+，22284422k x k -+==+，21224254x x k ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得2k =±，又0k >，故2k =.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A.三项比赛都参加的有2人B.只参加100米比赛的有3人C.只参加400米比赛的有3人D.只参加1500米比赛的有1人【答案】ABD 【解析】【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项.【详解】根据题意，设A ={x x 是参加100米的同学}，B ={x x 是参加400米的同学}，C ={x x 是参加1500米的同学}，则()()()card 8,card 7,card 5,A B C ===且()()()card 4,card 3,card 3,A B A C B C === 则()()()card 128754332A B C ⎡⎤=-++-++=⎣⎦ ，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.故选：ABD10.函数()()ππ4sin 02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.π6ϕ=-B.()f x 的图象关于直线πx =对称C.()12π4cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.若方程()2f x =在()0,m 上有且只有5个根，则26π,10π3m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象可求得函数()f x 的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项.【详解】对于A ，由()02f =-，得4sin 2ϕ=-，即1sin 2ϕ=-，又ππ22ϕ-<<，π6ϕ∴=-，故A 正确；对于C ，又()f x 的图象过点π,03⎛⎫⎪⎝⎭，则π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 036ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ36k ω∴-=，即得132k ω=+，k ∈Z ，又02ω<≤，12ω∴=，所以()1ππ12π12π4sin 4sin 4cos 2622323f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于B ，因为()1π4sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，而()ππππ4sin 4sin 263f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭故直线πx =不是函数()f x 的对称轴，故B 错误；对于D ，由()2f x =，得12π1cos 232x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得2π4πx k =+或2π4π3k +，Z k ∈，方程()2f x =在()0,m 上有5个根，从小到大依次为：2π14π26π,2π,,6π,333，而第7个根为10π，所以26π10π3m <≤，故D 正确.故选：ACD.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11B C 的中点，则下列说法正确的有（）A.若点O 为BD 中点，则异面直线MO 与1CC 所成角的余弦值为5B.若点N 为线段BC 上的动点（包含端点），则MN DN +C.若点P 为CD 的中点，则平面AMP 与四边形11CDD C D.若点Q 在侧面正方形11ADD A 内（包含边界）且1MQ AC ⊥，则点Q 【答案】BD 【解析】【分析】取BC 中点E ，连接,,ME MO OE ，OME ∠为异面直线MO 与1CC 所成角，可判断A ；将侧面11BCC B 延BC 旋转至与平面ABCD 共面，根据两点间线段最短可判断B ；对于C ，如图以点D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，取11A B 靠近1B 的四等分点，则可证明//MF AP ，判断C ；并确定点Q 的轨迹为直线1x z +=在正方形11ADD A 内的线段，判断D.【详解】对于A ，取BC 中点E ，连接,,ME MO OE ，则1//CC ME ，所以OME ∠为异面直线MO 与1CC 所成角，在Rt OEM △中，25cos 5ME OME OM ∠==，故A 错误；对于B ，将侧面11BCC B 延BC 旋转至与平面ABCD 共面，如图连接DM ，交BC 与点N ，此时MN DN +最小，且MN DN DM +===B 正确；对于C ，如图，以点D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,1,0,1,2,2,A P M 因为平面//ABCD 平面1111D C B A ，所以平面AMP 与平面1111D C B A 的交线为过点M 且平行于AP 的直线，取11A B 靠近1B 的四等分点F ，连接FM ，并延长交11C D 于点S ，连接SP ，交1CC 于点T ，由32,,22F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()11,,0,2,1,02MF AP ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，则12MF AP =-，则//MF AP ，所以MF 为平面AMP 与平面1111D C B A 的交线，则SP 为平面AMP 与平面11CDD C 的交线，所以TP 为平面AMP 与四边形11CDD C 的交线，由于11Rt Rt FB M SC M ≅ ，所以1112SC FB ==，又1Rt Rt SC T PCT ，所以43CT =，则53PT ==，故C 错误；对于D ，因为点Q 在侧面正方形11ADD A 内，设(),0,Q x z ，则()()12,2,2,1,2,2A C MQ x z =--=---，因为1MQ AC ⊥，所以()()214220x z -----=，化简为1x z +=，则点Q 的轨迹为直线1x z +=在正方形11ADD A，故D 正确.故选：BD【点睛】关键点睛：本题选项D 为空间动点轨迹的探索问题，解答本题的关键是利用空间直角坐标系探索出动点的轨迹.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数a 的值为______．【答案】0.015【解析】【分析】利用直方图直方块总面积为1，进行运算解出a 即可.【详解】由直方图可知：组距为10，所以()100.0050.0200.0400.0201a ⨯++++=，解得0.015a =.故答案为：0.015.13.给定函数()()21,f x x x g x x x=+=+，用()M x 表示()(),f x g x 中的较大者，记()()(){}max ,M x f x g x =．若函数()y M x =的图象与y a =有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是______．【答案】()10,2,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】在同一坐标系下画出()()21,f x x x g x x x=+=+的图象，求出交点坐标；结合图象再做出满足条件的直线y a =，进而求出a 的取值范围即可.【详解】由()()()2221010x x x x f x x x x x x ⎧+≤-≥⎪=+=⎨---<<⎪⎩或，()1g x x x =+，因为()()(){}max ,M x f x g x =，所以图象变为：其中()()2max1104x xx +=-≤≤，当且仅当12x =-时取最大值；且设两函数在第一象限的交点为P ，即当0,0x y >>，()()21f x x xg x x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：()1,2P ，由题意y a =与函数()y M x =的图象有3个不同的交点，由数形结合易知：10a 4<<，或2a >，故答案为：()10,2,4∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭.14.已知数列{}n a 满足：12211,2,2n n n a a a a a ++==-=，定义：()mod4a b ≡表示整数a 除以4的余数与整数b 除以4的余数相同，例：()()19mod4,622mod4≡≡．设()()42,0mod4,123mod4kk k k a b k a ⎧⎪≡=⎨≡⎪⎩或或，其中*k ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则4b =______；满足2024m S ≥的m 最小值为______．【答案】①.2②.40【解析】【分析】由12211,2,2n n n a a a a a ++==-=，可得当n 为4的倍数时，n a 也是4的倍数，当n 不为4的倍数时，n a 也不是4的倍数，则得当k 是4的倍数时，42kk b =，当k 不是4的倍数时，k b k =，即可得4b ，取()*4n s s =∈N，计算出nS后，再计算40S 及39S 即可得解.【详解】由212n n n a a a ++-=，则3415a =+=，410212a =+=，则1a 、2a 、3a 都不是4的倍数，4a 是4的倍数，5432a a a =+，不是4的倍数，65443252a a a a a =+=+，不是4的倍数，76543434321042125a a a a a a a a a =+=+++=+，不是4的倍数，87643434322410522912a a a a a a a a a =+=+++=+，是4的倍数，依次可得当n 为4的倍数时，n a 也是4的倍数，当n 不为4的倍数时，n a 也不是4的倍数，由()()42,0mod4,123mod4kk k k a b k a ⎧⎪≡=⎨≡⎪⎩或或，则有当k 是4的倍数时，42kk b =，当k 不是4的倍数时，k b k =，则44422b ==；当()*4n s s =∈N，12123256722snS=+++++++++ ()212344222484s s s =+++++++++-+++ ()()()212144442122ss s s s -+⨯+=+--21221822222622s s s s s s s ++=++---=+-，当40n =，即10s =时，有14021610226002048226462024S =⨯+-=+-=>，01040394264622646102416222024S b S =-=-=-=<，故满足2024m S ≥的m 最小值为40.故答案为：2；40.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助题意，得到当k 是4的倍数时，42kkb =，当k 不是4的倍数时，k b k =，从而可通过计算当()*4n s s =∈N 时的n S .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,4,9a b c c ab ==、、．（1）若2sin 3C =，求sin sin A B ⋅的值；（2）求ABC 面积的最大值．【答案】（1）14（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得sin ,sin 66a bA B ==，从而可求sin sin A B ⋅的值；（2）利用基本不等式可得22218a b ab +≥=，再根据余弦定理可得cos C 的范围，从而可得sin C 的范围，结合三角形面积公式，即可得ABC 面积的最大值．【小问1详解】由正弦定理6sin sin sin c b a C B A ===，可得sin ,sin 66a bA B ==，91sin sin 66364a b A B ∴⋅=⋅==【小问2详解】9ab = ，22218a b ab ∴+≥=，由余弦定理可得2222161cos 2189a b c ab C ab +--=≥=，1cos 19C ∴≤<，()28001cos 81C ∴<-≤，0sin 9C ∴<≤，19sin sin 22S ab C C ∴==≤，当且仅当3a b ==时，等号成立，此时ABC 面积取得最大值16.在推动电子制造业高质量发展的大环境下，某企业统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量()315x x ≤≤（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据．x57911y200298431609企业研究人员建立了y 与x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：经验回归方程①：311733ˆx y =+；经验回归方程②：26860ˆ1yx =-．其中经验回归方程①的残差图如图所示（残差=观测值-预测值）：（1）在下表中填写经验回归方程②的残差，根据残差分析，判断哪一个经验回归方程更适宜作为y 关于x 的回归方程，并说明理由；x57911y200298431609ˆe（2）从该企业在过去几年生产的该产品中随机抽取100件，优等品有60件，合格品有40件．每件优等品利润为20万元，每件合格品利润为15万元．若视频率为概率，该企业某月计划生产12件该产品，记优等品件数为X ，总利润为Y ．（ⅰ）求Y 与X 的关系式，并求()E X 和()E Y ；（ⅱ）记该月的成本利润率p ，在（1）中选择的经验回归方程下，求p 的估计值．（结果保留2位小数）附：成本利润率=总利润总成本.【答案】（1）残差数据表见解析，经验回归方程①更适宜作为y 关于x 的回归方程（2）（ⅰ）1805Y X =+，()7.2E X =，()216E Y =；（ⅱ）0.29【解析】【分析】（1）先列出经验回归方程②的残差数据表以及经验回归方程②的残差图，对比回归方程①进行选择，并给出理由即可；（2）对于（ⅰ），先求出优等品的概率，分析得出()12,0.6X B ~，进而得出求Y 与X 的关系式，并解出()E X 和()E Y 即可；对于（ⅱ），由（ⅰ）知总利润为216万元，总成本估计值319ˆ12173743y =+=（万元），再求出p 的估计值即可.【小问1详解】经验回归方程②的残差数据如下表：x57911y200298431609ˆe 2018-21-21经验回归方程②的残差图如图所示：经验回归方程①更适宜作为y 关于x 的回归方程.（以下理由或其他合理的理由，说出一条即可得分）：理由1：经验回归方程①这4个样本点的残差的绝对值都比经验回归方程②的小.理由2：经验回归方程①这4个样本的残差点落在的带状区域比经验回归方程②的带状区域更窄.理由3：经验回归方程①这4个样本的残差点比经验回归方程②的残差点更贴近x 轴.【小问2详解】（ⅰ）由题意知，每件产品为优等品的概率0600.6100P ==，则()12,0.6X B ~，因此()120.67.2E X =⨯=，由()2015125180Y X X X =+⨯-=+，则()()5180216E Y E X =+=；（ⅱ）由（ⅰ）知总利润为216万元，总成本估计值319ˆ12173743y =+=（万元），则2160.29749p =≈.17.已知函数()()()211ln 02f x x a x a x a =-++>．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2a =时，若函数()()211e 2x g x f x x -=-+，求函数()g x 极值点的个数．【答案】（1）答案见解析（2）2【解析】【分析】（1）求导得()()21x a x af x x'-++=，分类讨论当01a <<，1a >，1a =时分别确定导函数的符合从而得函数单调性即可；（2）求导得()12e 3x g x x --+'=，令()12e 3x h x x-=-+，求导确定其单调性与最值，从而可得()g x 的单调与极值情况.【小问1详解】()()()211x a x a a f x x a x x-++=-++='()()1,0x x a x x --=>，当01a <<时，当()()0,,1,x a x ∞∈∈+时，()()0,f x f x '>单调递增；当(),1x a ∈时，()()0,f x f x '<单调递减．当1a >时，当()()0,1,,x x a ∞∈∈+时，()()0,f x f x '>单调递增；当()1,x a ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；当1a =时，()()0,f x f x '≥在()0,∞+单调递增．【小问2详解】2a =时，()()112e32ln ,e 3x x g x x x g x x--=-+-+'=，设()()()11222e3,e ,x x h x h x h x x x--=-+-''=在区间()0,∞+单调递增．因为()()1110,2e 02h h ''=-=-，所以存在唯一()01,2x ∈使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减，即()g x '单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()()0,h x h x '>单调递增，即()g x '单调递增．()10g '=，且()g x '在()01,x 单调递减，所以()00g x '<，又()2e 20g ='->因此()g x '在区间()0,2x 存在唯一零点t当()()0,1,,x x t ∞∈∈+时，()()0,g x g x '>单调递增；当()1,x t ∈时，()()0,g x g x '<单调递减；所以()g x 极值点为1,t ，因此()g x 极值点个数为2.18.如图，在五棱锥S ABCDE -中，平面SAE ⊥平面AED ，,AE ED SE AD ⊥⊥．（1）证明：SE ⊥平面AED ；（2）若四边形ABCD 为矩形，且1,3SE AB AD ===，2BN NC =．当直线DN 与平面SAD 所成的角最小时，求三棱锥D SAE -体积．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）借助面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理推导即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量可得当直线DN 与平面SAD 所成的角最小时EAD ∠的大小，结合体积公式计算即可得解.【小问1详解】因为平面SAE ⊥平面,,AED DE EA DE ⊥⊂平面AED ，平面SAE 平面AED AE =，所以DE ⊥平面SAE ，又SE ⊂平面SAE ，所以DE SE ⊥，又因为,SE AD ED AD D ⊥= ，且,AD DE ⊂平面AED ，所以SE ⊥平面AED ；【小问2详解】以E 为坐标原点，分别以,,EA ED ES 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设π0,2EAD θθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()3cos ,0,0,0,3sin ,0,0,0,1A D S θθ，可得CD 与y 轴夹角为θ，所以()sin ,cos ,0DC θθ=，()1cos ,sin ,03CN DA θθ==-，()sin cos ,cos sin ,0DN DC CN θθθθ=+=+-，()()3cos ,0,1,0,3sin ,1SA SD θθ=-=- ，平面SAD 的法向量记为(),,n x y z =，由00n SA n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3cos 03sin 0x z y z θθ-=⎧⎨-=⎩，令3sin cos z θθ=，得()sin ,cos ,3sin cos n θθθθ=，22cos ,DN n =，即26cos ,13DN n =，当π4θ=时，等号成立，此时，直线DN 与平面SAD 的所成的角取得最小值，此时119313344D SAE ADE V S SE -=⋅=⋅⋅= .19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(F F O 为坐标原点，直线l 与C 交于,A B 两点，点A 在第一象限，点B 在第四象限且满足直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-．当l 垂直于x 轴时，1232F A F B =- ．（1）求C 的方程；（2）若点P 为C 的左顶点且满足(0,0)OP OA OB λμλμ=+<<，直线PA 与OB 交于1B ，直线PB 与OA交于1A ．①证明：22λμ+为定值；②证明：四边形11AB A B 的面积是AOB 面积的2倍．【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）取l 垂直x 轴特殊情况研究，由直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，且1232F A F B ⋅=- 求出A 点坐标，再代入椭圆方程待定系数法求解即可；（2）①由OP OA OB λμ=+建立,,P A B 坐标之间关系，利用,,P A B 在椭圆上及直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-消去1122,,,x y x y ，即可得证；②设()()()()1122133144,,,,,,,,:A x y B x y A x y B x y l x my n =+，利用韦达定理将直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-表示出来即可得到,m n 的关系2224n m =+，再表示出AOB 面积11sin 2S OA OB AOB =⋅⋅∠，四边形11AB A B 的面积2111sin 2S A A B B AOB =⋅⋅∠；若要证212S S =，只需证112A A B B OA OB ⋅=⋅．转化为证明3142122y y y y y y -⋅-=⋅，由题将,y y 34用12,y y 表示，化简即可.【小问1详解】当l 垂直x 轴时，由直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，故11:,:22OA y x OB y x ==-，设()()()2,,2,0A t t B t t t ->，则22212343332F A F B t t t ⋅=--=-=- ，解得2t =，即22A ⎫⎪⎪⎝⎭，则222221123a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1a b ==，故C 的方程为2214x y +=；【小问2详解】（2）①设()()()1122,,,,2,0A x y B x y P -，由OP OA OB λμ=+ 知121220x x y y λμλμ-=+⎧⎨=+⎩①②，将224+⨯①②得()()22121244x x y y λμλμ+++=，即()()()2222221122121244244xy x y x x y y λμλμ+++++=．由,A B 为C 上点，则2222112244,44x y x y +=+=．又直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，故121214y y x x =-，即121240x x y y +=．因此221λμ+=；②由题直线l 斜率不为0，设()()()1122:,,,,,2,0l x my n A x y B x y P =+-由①联立2244x y x my n⎧+=⎨=+⎩，消去x 得()()222224240,Δ1640m y mny n m n+++-==+->，212122224,44mn n y y y y m m -+=-=++，由()()12121212440x x y y my n my n y y +=+++=，即()()()()2212121212440my n my n y y m y y mn y y n +++=++++=，即2224n m =+．因此有()()22212121212122244,,42m n y y y y y y y y y y n n n-+=-=-=+-=．AOB 面积11sin 2S OA OB AOB =⋅⋅∠，四边形11AB A B 的面积2111sin 2S A A B B AOB =⋅⋅∠，即若要证212S S =，只需证112A A B B OA OB ⋅=⋅．设()()133144,,,A x y B x y ，故只需证3142122y y y y y y -⋅-=⋅即可．直线12122:2,:x xPA x y OB x y y y +=-=，联立解得()12124122212122222y y y y y x y y x y n y y y ==+--+，同理得()12123211121212222y y y y y x y y x y n y y y ==+--+．故()()()()()2222123142121212222212121224222482824n n y y n y y y y y y y y y y n n n y y n y y y y n n ++⋅--⋅-=⋅⋅=⋅⋅=⋅+-----+-+故问题得证．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将212S S =表示为112A A B B OA OB ⋅=⋅后将同一直线上的弦长比值问题转化为纵坐标的比值问题，即证明3142122y y y y y y -⋅-=⋅，而,y y 34可以用12,y y 表示出来，从而达到消元化简的目的.。
河北高三高中数学专题试卷带答案解析
河北高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，……这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图所示)则第n 个三角形数为( )A ．nB ．n(n ＋1)C ．n 2－1D ．n(n －1)2.凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n ＋1边形有f(n ＋1)条对角线数为( )A ．f(n)＋n －1B ．f(n)＋nC ．f(n)＋n ＋1D ．f(n)＋n －23.设f 0(x)＝cos x ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N *，则f 2011(x)＝( )A ．－sin xB ．－cos xC ．sin xD ．cos x4.给出下面类比推理命题(其中R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈C ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”；③“若a ，b ∈R ，则a －b>0⇒a>b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b>0⇒a>b”； ④“若a ，b ∈R ，则a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0”．类比推出“若a ，b ∈C ，则a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0”．其中类比结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35.如下图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i ，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i ，若＝＝＝＝k ，则＝.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i ，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i ，若＝＝＝＝k ，则＝( )A ．B ．C ．D ．6.已知函数f(x)＝lg ，若，则f(－a)＝( )A ．bB ．－bC ．D ．－7.设f(x)＝ 则不等式f(x)>2的解集为( )A ．(1,2)∪(3，＋∞)B ．(，＋∞)C ．(1,2)∪ (，＋∞)D ．(1,2)8.已知f(x)＝是奇函数，那么实数a 的值等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±19.在等比数列中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －110.已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥m ，m ∈β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则a ∥β； ③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为_______2.定义a*b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|a*b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a 和b 的夹角，若u ＝(2,0)，u －v ＝(1，－)，则|u*(u ＋v)|＝_______3.对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋723＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，则52＝__________________；若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m 的值为______4.有穷数列{a n }，S n 为其前n 项和，定义T n ＝为数列{a n }的“凯森和”，如果有99项的数列a 1、a 2、a 3、…a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a 1、a 2、a 3、a 4、…a 99的“凯森和”T 100＝_______5.在等比数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n<19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则等式______________成立6.设P 是△ABC 内一点，△ABC 三边上的高分别为h A 、h B 、h C ，P 到三边的距离依次为l a 、l b 、l c ，则有＋＋＝______；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是h A 、h B 、h C 、h D ，P 到这四个面的距离依次是l a 、l b 、l c 、l d ，则有________三、解答题1.由下列各式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋＋＋＋>，1＋＋＋……＋>2，你能得出怎样的结论，并进行证明2.将正△ABC 分割成n 2(n≥2，n ∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n ＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．3.用反证法证明：如果a>b>0，那么>.4.在数列中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列是等比数列；(2)求数列的前n 项和S n ；(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立河北高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，……这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图所示)则第n 个三角形数为( )A ．nB ．n(n ＋1)C ．n 2－1D ．n(n －1)【答案】B【解析】略2.凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n ＋1边形有f(n ＋1)条对角线数为( )A ．f(n)＋n －1B ．f(n)＋nC ．f(n)＋n ＋1D ．f(n)＋n －2【答案】A【解析】凸n 边形变成凸n+1边形首先是增加一条边和一个顶点，原先的一条边就成了对角线了，则增加上的顶点连接n-2条对角线，则n-2+1=n-1即为增加的对角线，所以凸n+1边形有对角线条数f （n+1）为凸n 边形的对角线加上增加的即f （n+1）=f （n ）+n-1．解：由n 边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n-2个顶点连成的n-2条对角线，及原先的一条边成了对角线．故答案为A ．3.设f 0(x)＝cos x ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N *，则f 2011(x)＝( )A ．－sin xB ．－cos xC ．sin xD ．cos x【答案】C【解析】由已知，f 0（x ）=cosx ，f 1（x ）=f 0′（x ）=-sinx ，f 2（x ）=f 1′（x ）=-cosx ，f 3（x ）=f 2′（x ）=sinx ，f 4（x ）=f 3′（x ）=cosx ，发现f n （x ）以4为周期，结果循环出现，利用此规律将n=2011转化为n=3的情况求解．解：∵f 0（x ）=cosx ，∴f 1（x ）=f 0′（x ）=-sinx ，f 2（x ）=f 1′（x ）=-cosx ，f 3（x ）=f 2′（x ）=sinx ，f 4（x ）=f 3′（x ）=cosx…从第五项开始，f n （x ）的解析式重复出现，每4次一循环．∴f 2011（x ）=f 4×502+3（x ）=f 3（x ）=sinx ，故答案为C4.给出下面类比推理命题(其中R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈C ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”；③“若a ，b ∈R ，则a －b>0⇒a>b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b>0⇒a>b”； ④“若a ，b ∈R ，则a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0”．类比推出“若a ，b ∈C ，则a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0”．其中类比结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】略5.如下图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i ，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i ，若＝＝＝＝k ，则＝.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i ，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i ，若＝＝＝＝k ，则＝( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】略6.已知函数f(x)＝lg ，若，则f(－a)＝( )A ．bB ．－bC ．D ．－【答案】B【解析】略7.设f(x)＝ 则不等式f(x)>2的解集为( )A ．(1,2)∪(3，＋∞)B ．(，＋∞)C ．(1,2)∪ (，＋∞)D ．(1,2)【答案】C【解析】略8.已知f(x)＝是奇函数，那么实数a 的值等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1【答案】A【解析】略9.在等比数列中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －1【答案】C【解析】略10.已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥m ，m ∈β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则a ∥β； ③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】略二、填空题1.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为_______【答案】8【解析】略2.定义a*b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|a*b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a 和b 的夹角，若u ＝(2,0)，u －v ＝(1，－)，则|u*(u ＋v)|＝_______【答案】2【解析】略3.对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋723＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，则52＝__________________；若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m 的值为______【答案】1＋3＋5＋7＋9 5【解析】略4.有穷数列{a n }，S n 为其前n 项和，定义T n ＝为数列{a n }的“凯森和”，如果有99项的数列a 1、a 2、a 3、…a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a 1、a 2、a 3、a 4、…a 99的“凯森和”T 100＝_______【答案】991【解析】略5.在等比数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n<19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则等式______________成立【答案】b 1b 2·…·b n ＝b 1b 2·…·b 17－n (n<17，n ∈N ＋)【解析】略6.设P 是△ABC 内一点，△ABC 三边上的高分别为h A 、h B 、h C ，P 到三边的距离依次为l a 、l b 、l c ，则有＋＋＝______；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是h A 、h B 、h C 、h D ，P 到这四个面的距离依次是l a 、l b 、l c 、l d ，则有________【答案】1 ＋＋＋＝1【解析】略三、解答题1.由下列各式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋＋＋＋>，1＋＋＋……＋>2，你能得出怎样的结论，并进行证明【答案】提示：可得到如下结论1＋＋＋…＋>，证明略【解析】略2.将正△ABC 分割成n 2(n≥2，n ∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n ＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．【答案】解析：当n ＝3时，如题图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a ＋b ＋c ＝1，x 1＋x 2＝a ＋b ，y 1＋y 2＝b ＋c ，z 1＋z 2＝c ＋a.x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c)＝2，2g ＝x 1＋y 2＝x 2＋z 1＝y 1＋z 2.6g ＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c)＝2.即g ＝而f(3)＝a ＋b ＋c ＋x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＋g ＝1＋2＋＝.进一步可求得f(4)＝5.由上知f(1)中有三个数，f(2)中有6个数，f(3)中共有10个数相加，f(4)中有15个数相加…，若f(n －1)中有a n －1(n ＞1)个数相加，可得f(n)中有(a n －1＋n ＋1)个数相加，且由f(1)＝1＝，f(2)＝＝＝f(1)＋，f(3)＝＝f(2)＋，f(4)＝5＝f(3)＋，…可得f(n)＝f(n －1)＋，所以f(n)＝f(n －1)＋＝f(n －2)＋＋＝…＝＋＋＋＋f(1)＝＋＋＋＋＋＝(n ＋1)(n ＋2)．【解析】略3.用反证法证明：如果a>b>0，那么>.【答案】证明：(1)假设不大于，则或者<，或者＝.∵a>0，b>0，∴<⇒·<·，·<·⇒a<，<b ⇒a<b ；＝⇒a ＝b.这些都同已知条件a>b>0矛盾，即＞【解析】略4.在数列中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列是等比数列；(2)求数列的前n 项和S n ；(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立【答案】(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n)，n ∈N ＋.又a 1－1＝1，所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列的通项公式为 a n ＝4n －1＋n.所以数列的前n 项和S n ＝＋.(3)证明：对任意的n ∈N ＋， S n ＋1－4S n＝＋－4＝－(3n 2＋n －4)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N ＋皆成立【解析】略。
河北省石家庄市第二中学2025届高三第二次联考数学试卷含解析
河北省石家庄市第二中学2025届高三第二次联考数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或152．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 3．已知函数()(1)xf x x a e =--，若22log ,a b c ==则（ ）A ．f (a )<f (b ) <f (c )B ．f (b ) <f (c ) <f (a )C ．f (a ) <f (c ) <f (b )D ．f (c ) <f (b ) <f (a )4．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 5．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭6．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+7．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年9．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．23⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．23⎛ ⎝⎦ C ．)3,⎡+∞⎣D ．(310．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则A B =( )A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2--11．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a =+近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值12．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -2； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省石家庄市普通高中2025届高三第二次联考数学试卷含解析
河北省石家庄市普通高中2025届高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)af a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞2．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．23．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-4．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ）A ．64B ．32C ．2D ．45．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ）A ．－1B ．1C ．32-D ．326．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．57．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞9．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021B ．2021C ．919D ．181910．已知函数2211()log 13||f x x x ⎛⎫=+++⎪⎝⎭，则不等式(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭11．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年河北高考数学真题(含答案)
2024年河北高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i-- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 24. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m -B. 3m -C.3m D. 3m5.（ ）A.B.C.D. 6. 已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（ ）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D.[0,)+∞7. 当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点个数为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 88. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >> B. (2)0.5P X ><的的C. (2)0.5P Y >> D. (2)0.8P Y ><10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数的字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；为（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.的一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i -- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3. 已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m - B. 3m -C.3m D. 3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5. （ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6. 已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()221e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.7. 当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >>D. (2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4a =，4a =，解得2a =-，故A 正确.对于B24=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．【答案】（1）π3B = （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，的的从而sin C===又因为sin C B=，即1cos2B=，注意到()0,πB∈，所以π3B=.小问2详解】由（1）可得π3B=，cos C=，()0,πC∈，从而π4C=，ππ5ππ3412A=--=，而5πππ1sin sin sin12462A⎛⎫⎛⎫==+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==，从而,a b====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为211sin22ABCS ab C===，由已知ABC面积为323=+，所以c=16. 已知(0,3)A和33,2P⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>上两点.（1）求C的离心率;（2）若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程．【答案】（1）12（2）直线l的方程为3260x y--=或20x y-=.【的【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ===.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则d ==则将直线AP沿着与AP 单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =设()00,B x y22001129x y ⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443kx k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PABd = ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k xk k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而 //AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin DFE ∠=tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =，故tan DFE∠==x =AD =．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析 （3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>==++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。
河北省石家庄市2025届高三上学期教学质量摸底检测数学试卷(含答案)
石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A ．B ．C ．D ．2．已知复数z 满足，则复数z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知平面向量a ，b 满足，且，，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（）A BCD ．5．已知，，则（ ）A ．3B ．C ．D ．6．若数列为等差数列，为数列的前n 项和，，，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若，则（ ）{}|15A x x =∈≤<R {}2|340B x x x =∈--<R A B = (]1,1-()1,4-[)1,4[)1,5(1i)23i z +=+125212-52-()2⋅-=a a b 1=a 2=b 6π23π3π56πsin()2cos()αβαβ+=-4tan tan 3αβ+=tan tan αβ⋅=3-1313-{}n a n S {}n a 490a a +>110S <n S 5S 6S 7S 8S 22:148x y C -=1F 2F 112F A F B =AB =A ．B ．C ．D ．48．已知函数为定义在R 上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足，则下列选项正确的是（ ）A．B ．C ．D ．10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，在上单调递增B．若，且，则函数的最小正周期为C ．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则的最小值为3D ．若在上恰有4个零点，则的取值范围为11．如图，曲线C 过坐标原点O ，且C 上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．若直线与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为C ．周长的最小值为12D ．面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分()F x [)0,+∞212(log )(log )2(3)f a f a f -≤10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,8[)8,+∞0a b c >>>a c ab c b+>+lg0a cb c->-b ca b a c>--a b ++>()sin()(0)6f x x πωω=+>3ω=()f x 47,99ππ⎛⎫⎪⎝⎭12()()2f x f x -=12min2x x π-=()f x π()f x 12πω()f x []0,2πω2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭(,)P x y 1(,0)F a -2(,0)(0)F a a >3a =y kx =[)1,+∞12PF F △12PF F △9212．在等比数列中，，，则____________．13．已知函数，若与的图象相切于A 、B 两点，则直线的方程为____________．14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成____________部分（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为2且位于x 轴上方的点，A 到抛物线焦点的距离为．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点F 的直线l 交抛物线C 于B 、D 两点（异于O 点），连接、，若，求的长．16．（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，，，，，（1）设过点G 、B 、D 的平面交直线于点M ，求线段的长；（2）若，当二面角为直二面角时，求直四棱柱的体积．{}n a 11a =23464a a a ⋅⋅=5a =231,0()44,0x x x f x x x ⎧-+-≥⎪=⎨+<⎪⎩y x =()y f x =AB 2:2(0)C y px p =>52OB OD 12OBF ODF S S =△△BD ABCD A B C D ''''-13A G A D '''=AB BC ⊥1AB =BC =BD =A B ''GM AC BD ⊥B AC D ''--ABCD A B C D ''''-17．（本小题满分15分）在中，，，点D 在边上，且．（1）若，求的长；（2）若，点E 在边上，且，与交于点M ，求．18．（本小题满分17分）已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）设方程的所有根之和为T ，且，求整数n 的值；（3）若关于x 的不等式恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分17分）母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列，即用如下方法与一个函数联系起来：，则称是数列的生成函数．例如：求方程的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为，其中x 的指数代表的值．，则非负整数解的个数为．若，则，可得，于是可得函数的收缩表达式为：．故（广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”如下：共有项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意，ABC △AB =AC =BC BD CD =2BAD π∠=BC 3BAC π∠=AC 12AE EC =BE AD cos AMB ∠e ()x f x x=0x >()f x 21()x f x x+=(,1)T n n ∈+()ln e 1f x ax a x ≥-+-012,,,,n a a a a 2012()n n G x a a x a x a x =++++ ()G x {}n a 1210100t t t =+++ 210()(1)G x x x =+++ (1,2,3,,10)i t i = 210()(1)n n n G x x x a x +∞==+++=∑ 100a 2()1f x x x =+++ 23()xf x x x x =+++ (1)()1x f x -=()f x 1()1f x x=-101000111001001010101()((1)()()()1G x x C x C x C x x----==-=-+-++-+- 10010010010109(10)(11)(101001)10910810100!100!a C C --⨯-⨯⨯--+⨯⨯⨯==== {}n a {}n a 2m 2k m ≤，不同的“规范01数列”个数记为．（1）判断以下数列是否为“规范01数列”；①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．（2）规定，计算，，，的值，归纳数列的递推公式；（3）设数列对应的生成函数为①结合与之间的关系，推导的收缩表达式；②求数列的通项公式．石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学答案一、单选题：1-5CABCD6-8BAD 二、多选题：9．BCD10．ABD11．AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．1613．14．23四、解答题：本题共5小题，共77分。
2024-2025学年河北省高三上学期省级联测数学试题及答案
2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z ∣，则A B = （）A {}1,2,3 B. {}1,2-C. {}2,3 D. {}0,1,2,3,42. 已知复数()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R ，若12z z +为纯虚数，则a =（ ）A. 1或2B. 1C. 2D. 33. 已知向量,a b满足()2,2,0a b == ，且2a b += ，则a 在b 上的投影向量的坐标为（ ）A. ()1,0- B. ()1,0 C. ()2,0- D. ()2,04 已知()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin22cos ααα+=（ ）A. 14-B.34C. 2D. 65. 某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（ ）..A.16π3B. 16πC.64π3D. 72π6. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，213332,8S a a a =+=，则数列{}21n a n +-的前5项和为（ ）A. 55B. 57C. 87D. 897. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为（ ）A. (]2,2-B. (2,-C2⎤⎦D. (8. 已知定义域为R 的函数()f x 不是常函数，且满足()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，则20261()i f i ==∑（）A. 2- B. 2C. 2026- D. 2026二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目.要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，则下列说法正确的是（ ）A. 若(0)0.2P X <=，则()20.4P X ≤=B. 若()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则10.49a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭C. ()()12P X P Y >>>D. ()()44P X P Y ≤<≤10. 已知函数()322f x x x x =-+-，若()()22g x f x x x a =-++，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的单调递增区间为()1,3B. 函数()f x 的极大值点为1C. 若[]1,2x ∈，则()f x 值域为[]2,0-D. 若0x ∀≥，都有()0g x ≤成立，则a 的取值范围为(],1-∞-11. 已知曲线:4G x x y y +=，则下列说法正确的是（ ）A. 点()1,1在曲线G 上B. 直线:l y x =-与曲线G 无交点C. 设直线:2l y kx =+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点D. 直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()()2ln 31,,f x a x x b a b =+-+∈R ，若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为32y x =+，则a b +=__________.13. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点，且点M 在第一象限，满足120MF MF ⋅=.若点P 在双曲线C 上，且112F P NF = ，则双曲线C的离心率为______.14. 某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道的题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m 道试题的概率为()f m ，则当m =__________时，()f m 取得最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos A A Cac ab bc-=.（1）求角A ；（2）若a ABC =，求ABC V 的周长.16. 已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，上､下顶点分别为,A B ，且1π2AF B ∠=，点⎛ ⎝在Γ上.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点1F 的直线交椭圆Γ于,M N 两点，交直线2x =-于点P ，设1PM MF λ= ，1PN NF μ=，证明：λμ+为定值.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =，290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 中点.（1）证明：BD PD ⊥；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.18. 已知函数()()21(0)f x x a x a =++<.（1）证明：函数()f x 的极大值大于1；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）已知(),,0,1,2,3i i i A x y i =是()f x 图象上四个不重合的点，直线03A A 为曲线y =f (x )在点0A 处的的切线，若123,,A A A 三点共线，证明：1202x x x +=.19. 已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ，若A 中的元素()1,2,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++ ，则称A 为“n 元重生集”.（1）集合是否为“2元重生集”，请说明理由；（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；（3）若*i a ∈N ，证明：“n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z ∣，则A B = （）A. {}1,2,3B. {}1,2-C. {}2,3D. {}0,1,2,3,4【答案】B 【解析】B ，再由交集的定义求A B ⋂.【详解】集合(){}{}{}{}22ln 990332,1,0,1,2B x y xx xx x =∈=-=∈->=∈-<<=--Z Z Z ，而{}1,2,3,4A =-，所以{}1,2A B ⋂=-.故选：B.2. 已知复数()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R ，若12z z +为纯虚数，则a =（ ）A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【分析】计算出()22123243i z z a a a a +=-++-+，根据纯虚数的概念得到方程和不等式，求出答案.【详解】由()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R 可知，()()22221233i 24i 3243i z z a a a a a a a a +=-+++-=-++-+，因为12z z +为纯虚数，所以22430320a a a a ⎧-+≠⎨-+=⎩，解得2a =.故选：C.3. 已知向量,a b满足()2,2,0a b == ，且2a b += ，则a 在b 上的投影向量的坐标为（ ）A. ()1,0-B. ()1,0 C. ()2,0- D. ()2,0【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件求得2a b ⋅=-，结合投影向量的坐标公式即可求解.【详解】已知2,2a b == ，所以222()24244a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= ，可得2a b ⋅=- ，所以()()212,01,02||a b b b ⋅=-⨯=-，故选：A.4. 已知()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin22cos ααα+=（ ）A. 14-B.34C. 2D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件得tan 2α=，然后将目标式子用tan α表示，由此即可得解.【详解】由()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=，则tan 2α=，所以221sin sin22cos ααα+=222sin sin cos tan tan 426cos αααααα+=+=+=，故选：D.5. 某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（ ）A.16π3B. 16πC.64π3D. 72π【答案】C 【解析】【分析】得到4AB BC ==，确定球的半径和圆柱的底面圆半径和高，利用球和圆柱体积公式进行求解.【详解】因为四边形ABCD 是面积为16的正方形，则4AB BC ==，由题意可知半球的半径2R =，圆柱的底面圆半径2r =，高4h =，由球的体积公式可得半球的体积311416ππ233V R =⨯=，由圆柱的体积公式可得圆柱的体积22π16πV Sh r h ===，故该几何体的体积1216π64π16π33V V V =+=+=.故选：C.6. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，213332,8S a a a =+=，则数列{}21n a n +-的前5项和为（ ）A. 55 B. 57 C. 87 D. 89【答案】C 【解析】【分析】先由已知条件算出公比，然后得n a 表达式，结合分组求和、等差数列以及等比数列求和公式即可求解.【详解】因为{a n }是正项等比数列，所以10a >，公比0q >.因为21332S a a =+，所以()121332a a a a +=+，则3212023a a a --=，即21112320a q a q a --=，则22320q q --=，解得2q =或12q =-（舍），又因为231148a a q a ===，所以12a =，所以数列{a n }通项公式为2n n a =，所以21221nn a n n +-=+-，设数列{}21n a n +-的前n 项和为n T ，则()()()()123212325221nn T n =++++++++- ()()123222213521n n =+++++++++- ()()1221212122122n n n n n +-+-=+=+--，所以62525287T =+-=，故选：C.7. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为（ ）A. (]2,2-B. (2,-C. 2⎤⎦D. (【答案】B 【解析】【分析】首先根据三角函数图象与性质计算即可得()f x 表达式，先根据三角函数的图像变换得()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m 的取值范围.【详解】由函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象可知，2A=，的的因为11ππ31264T -=，所以2ππ,2T Tω===，又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π,62k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<可得π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，令3π4t x =-，由ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数2sin y t =在2ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在ππ,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且ππ2π2sin 2,2sin 2sin 233⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为关于x 的方程()0g x m -=在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即y m =与()y g x =的图像在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，即y m =与2sin y t =在2π3t ⎡∈-⎢⎣上有两个交点，所以实数m 的取值范围为(2,-，故选：B.8. 已知定义域为R 的函数()f x 不是常函数，且满足()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，则20261()i f i ==∑（）A. 2-B. 2C. 2026- D. 2026【答案】A 【解析】【分析】依次算得()02f =，()f x 的周期为4，进一步结合已知得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==，由此得f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，然后利用周期性即可求解.【详解】由题意，令0y =，得()()()20f x f x f =，又y =f (x )不是常函数，所以()02f =，再令1y =，得()()()()111f x f x f x f ++-=，即()()110f x f x ++-=，则f (x +2)=−f (x )，即()()2f x f x -=-，故()()4f x f x =+，所以函数y =f (x )的周期为4，由f (x +2)=−f (x )，令1x =，得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，所以20261()506[(1)(2)(3)(4)](2025)(2026)(2025)(2026)i f i f f f f f f f f ==+++++=+=∑()()122f f +=-.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，则下列说法正确的是（ ）A. 若(0)0.2P X <=，则()20.4P X ≤=B. 若()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则10.49a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭C. ()()12P X P Y >>>D. ()()44P X P Y ≤<≤【答案】BD 【解析】【分析】根据正态分布函数的性质逐一判断各个选项即可求解.【详解】对于选项A ，因为()(0)20.2P X P X <=>=，所以()()21210.2P X P X ≤=->=-=0.8，故A 错误；对于选项B ，因为()1,4X N ~，且()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则0.212a +=，即a =1.8，则()1(0.21)(1)0.20.50.10.49a P X P X P X P X ⎛⎫<<=<<=<-≤=-=⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ，()()120.5P X P Y >=>=，故C 错误；对于选项D ，因为随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，所以11221,2,2,1μσμσ====，因为()()()()()1122452,42P X P X P X P Y P Y μσμσ≤<≤=≤+≤=≤+，又()()112222P X P Y μσμσ≤+=≤+，所以()()44P X P Y ≤<≤，故D 正确，故选：BD.10. 已知函数()322f x x x x =-+-，若()()22g x f x x x a =-++，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的单调递增区间为()1,3B. 函数()f x 的极大值点为1C. 若[]1,2x ∈，则()f x 的值域为[]2,0-D. 若0x ∀≥，都有()0g x ≤成立，则a 的取值范围为(],1-∞-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，求导，解不等式求出函数单调性；B 选项，在A 选项基础上得到函数的极大值点；C 选项，()f x 在[]1,2上单调递减，从而求出值域；D 选项，参变分离，得到32a x x x ≤--，构造函数()32h x x x x =--，求导得到其单调性，求出()h x 的最小值为()11h =-，故1a ≤-.【详解】对于选项A ，因为()322f x x x x =-+-，所以()()()2341311f x x x x x =-+-=---'，所以当()1,1,3x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 单调递增区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于选项B ，如下表：的x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()f x '-+-()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以1为函数()f x 的极大值点.故B 正确；对于选项C ，()f x 在[]1,2上单调递减，所以()f x 的最小值为()22f =-，最大值为()10f =，所以当[]1,2x ∈时，()f x 的值域为[]2,0-，故C 正确；对于选项D ，()()2322g x f x x x a x x x a =-++=-+++.因为()0g x ≤.即32a x x x ≤--，令()32h x x x x =--，则()()()2321311h x x x x x =--=+-'，因为[)0,x ∈+∞，所以当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增，当[)0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减，所以当1x =时取到极小值，所以)h x 的最小值为()11h =-，所以1a ≤-，故D 正确.故选：BCD.11. 已知曲线:4G x x y y +=，则下列说法正确的是（ ）A. 点()1,1在曲线G 上B. 直线:l y x =-与曲线G 无交点C 设直线:2l y kx =+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点D. 直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-【答案】BCD 【解析】【分析】直接将点()1,1代入曲线方程即可判断A ；分,x y 的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，当斜率为1-时结合渐近线可得B 正确；由四分之一圆面积减去三角形面积可得D 正确；由图形可得.C 正确.【详解】222222224,0,04,0,044,0,04,0,0x y x y x y x y x x y y y x x y x y x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎪+=⇒⎨-=⎪⎪--=<<⎩，因当0,0x y <<时，224x y --=无意义，无此曲线，故舍去，所以曲线G 表示为2222224,0,04,0,04,0,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=⎩，作出曲线图象如图所示，对于选项A ，将点(1,1)代入4x x y y +=，得到24=，显然不成立，故A 错误；对于选项B ，将y x =-代入曲线G 得，04x x x x -=≠，无解，故B 正确；对于选项C ，由于直线2y kx =+恒过点(0,2)，当0k =时，直线与x 轴平行，与曲线G 有一个交点；当1k =-时，直线与曲线G 的渐近线平行，此时与曲线G 有两个交点.当10k -<<时.结合斜率的范围可得直线与曲线G 有三个交点（如图），故C 正确；对于选项D ，设直线l 与,x y 轴的交点分别为,A B .因为圆的半径为2.且点()()2,0,0,2A B ，所以直线与曲线G 围成的图形的面积为211π222π242⨯⨯-⨯⨯=-，故D 正确.故选：BCD.为【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()()2ln 31,,f x a x x b a b =+-+∈R ，若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为32y x =+，则a b +=__________.【答案】3【解析】【分析】由切线方程可知切点坐标和切线斜率，利用导数几何意义，建立方程，可求,a b 的值，进而得到所求和.【详解】由函数()()2ln 31f x a x x b =+-+，有()0f b =，由()3231af x x x =-+'，可得()03f a '=， 因为曲线y =f (x )在0x =处的切线方程为32y x =+，所以33,302,a b =⎧⎨=⨯+⎩解得1,2a b ==，则3a b +=.故答案为：3.13. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点，且点M 在第一象限，满足120MF MF ⋅=.若点P 在双曲线C 上，且112F P NF = ，则双曲线C的离心率为______.【解析】【分析】作出辅助线，根据数量积为0得到垂直关系，设1NF m =，则12PF m =，由双曲线定义可得2222,2PF a m NF a m =+=+，由勾股定理得到方程，求出23m a =，进而求出c a ==【详解】如图，连接1222,,,MF MF NF PF ，因为120MF MF ⋅= ，所以12π2F MF ∠=，由对称性可得12π2F NF ∠=，由112F P NF =，可设1NF m =，则12PF m =，由双曲线的定义可知，212PF PF a -=，212NF NF a -=，则2222,2PF a m NF a m =+=+，由12π2F NF ∠=得，22222||PF PN NF =+，即222(22)9(2)a m m a m +=++，解得23m a =，又由12π2F NF ∠=得，2221212F F F N NF =+，即222221228684339a a F F a c ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得c a ==，所以双曲线C 的离心率e =.14. 某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m 道试题的概率为()f m ，则当m =__________时，()f m 取得最大值.【答案】13或14【解析】【分析】先得到()202022C 133m mm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()()()()11f m f m f m f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩解不等式即可.【详解】由题意得()202022C 133mmm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，020≤≤m 且m ∈N ，则()()()()11f m f m fm f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩，即201211202020119120202222C 1C 1,33332222C 1C 1,3333m m m mm m m m m mm m -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-≥⨯⨯-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⨯⨯-≥⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩故()()()()()()20!220!1,!20!31!21!320!120!2,!20!31!19!3m m m m m m m m ⎧⨯≥⨯⎪---⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪-+-⎩又m ∈N ，所以13m =或14m =，故当13m =或14m =时，()f m 取得最大值.故答案为：13或14.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos A A Cac ab bc-=.（1）求角A ；（2）若a ABC =，求ABC V 的周长.【答案】（1（2）+【解析】【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换得2cos 1A =，进一步即可求解；（2）根据三角形面积公式得4bc =，进一步结合余弦定理可得b c +=，由此即可得解.【小问1详解】由题意，因为2cos cos cos A A Cac ab bc-=，所以2cos cos cos b A c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以2cos 1A =，所以1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由（1）可知，π3A =，则1sin 2A A ==，因为ABC V 的面积11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =，由余弦定理可得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，即212()34b c =+-⨯，可得b c +=，所以ABC V 的周长为a b c ++=+.16. 已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，上､下顶点分别为,A B ，且1π2AF B ∠=，点⎛ ⎝在Γ上.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点1F 的直线交椭圆Γ于,M N 两点，交直线2x =-于点P ，设1PM MF λ= ，1PN NF μ=，证明：λμ+为定值.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由1π2AF B ∠=，得a =，再把点⎛ ⎝代入椭圆方程求出,a b 即可；（2）设出直线MN 的方程，代入椭圆方程，设()()1122,,,M x y N x y ，由1PM MF λ= ，1PN NF μ=，表示出λμ+，利用韦达定理化简得定值.【小问1详解】由题意可知，1π2AF B ∠=，所以a =，因为点⎛ ⎝在Γ上，所以2211122b b +=，解得1b =，故a =，所以椭圆Γ的方程为2212x y +=.【小问2详解】由已知得直线MN 的斜率必存在，可设直线MN 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程，整理得()2222124220kxk x k +++-=，2880k ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则()22121222214,1212k k x x x x k k-+=-=++，又()()12,,1,0P k F ---，由11,PM MF PN NF λμ== 得121222,11x x x x λμ++=-=-++.所以()()()121212*********1111x x x x x x x x x x λμ++++++=--=-++++，因为()()2212122221423423401212k k x x x x k k -⎛⎫+++=⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭，所以0λμ+=为定值.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =，2290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 的中点.（1）证明：BD PD ⊥；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得到BD ⊥平面PCD ，再根据线面垂直的性质即可得证.（2）根据已知条件建立适当的空间直角坐标系，表示出,,,B C D E 的坐标，求出两个平面的法向量，再结合向量夹角的坐标公式以及同角三角函数关系即可求解.【小问1详解】由2290DAB ABC ADB DCB ∠∠∠∠==== ，得,AD AB AD =//BC ，则45DBC DCB ∠∠== ，所以,90BD CD BDC ∠==，即BD CD ⊥，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD BD =⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以BD PD ⊥.【小问2详解】如图，过点P 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，连接AH ，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD PH =⊂平面,PCD PH CD ⊥，所以PH ⊥平面ABCD ，则DH 为PD 在底面ABCD 内的射影，所以PDH ∠为直线PD 与底面ABCD 所成的角，即60PDH ∠= .设1AD =，得2BD DC DP BC ====，在PHD △中，DH PH ==，在ADH 中，45ADH ∠= ，由余弦定理得AH ==，所以222AH DH AD +=，所以AH CD ⊥，如图，过点D 作DF //PH ，则DF ⊥底面ABCD ，以,,DB DC DF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)(),,0,,,B C P A E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以)(),,DB DE DC === ，设平面BDE 和平面CDE 的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z ==，则111100n DB n DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，222200m DC m DE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令121,1z z ==，则11220,0x y x y ====，所以(),n m ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ，则cos ,n m n m n m ⋅=== ，设平面BDE 与平面CDE 的夹角为θ，则cos θθ===故平面BDE 与平面CDE.18. 已知函数()()21(0)f x x a x a =++<.（1）证明：函数()f x 的极大值大于1；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）已知(),,0,1,2,3i i i A x y i =是()f x 图象上四个不重合的点，直线03A A 为曲线y =f (x )在点0A 处的切线，若123,,A A A 三点共线，证明：1202x x x +=.【答案】（1）证明见解析（2）,⎛-∞ ⎝ （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性，确定当x =，()f x 取得极大值，由单调性得到()01f f ⎛>= ⎝；（2）在（1）的基础上，得到函数()f x 有3个零点，应满足0f <，即103a a ⎛-++< ⎝，解得a <；（3）表达出直线03A A 的斜率03223300i A A k x x x x a =+++，同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++，根据三点共线得到方程，得到123x x x +=-，又()030A A k f x ='，所以()()303020x x x x +-=，求出302x x -=，故1202x x x +=.【小问1详解】证明：由题，()23f x x a ='+，令()0f x '=，解得x =，当x <-或x ()()0,f x f x '>单调递增，当x -<()()0,f x f x '<单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，由单调性可知()01f f ⎛>= ⎝，所以函数()f x 的极大值大于1.【小问2详解】由（1）可知，当x =()f x有极大值，且极大值为10f ⎛>> ⎝，因为()(),;,x f x x f x ∞∞∞∞→-→-→+→+，且当x =()f x 有极小值，所以要使得函数()f x 有3个零点，应满足0f <，即103a a ⎛-++< ⎝，解得a <，所以实数a的取值范围为,∞⎛- ⎝.【小问3详解】直线03A A 的斜率()()()0333223300303300303011A A x ax x ax x x x x x x a k x x x x ++-++-+++==--，因为30x x ≠，所以03223300i A A k x x x x a =+++，同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++，因为123,,A A A 三点共线，则有222211331122x x x x a x x x x a +++=+++，整理得()()()3232123x x x x x x x -+=-，因为32x x ≠，所以321x x x +=-，即123x x x +=-，又()030A A k f x ='，所以222330003x x x x a x a +++=+，整理得()()303020x x x x +-=，因为30x x ≠，所以3020x x +=，即302x x -=，所以1202x x x +=.【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数19. 已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ，若A 中的元素()1,2,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++ ，则称A 为“n 元重生集”.（1）集合是否为“2元重生集”，请说明理由；（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；（3）若*i a ∈N ，证明：“n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.【答案】（1）不是，理由见解析（2）存在，1个（3）证明见解析【解析】【分析】（1≠不为“2元重生集”；（2）设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”，设123a a a <<，利用不等式关系推出123a a <，故121,2a a ==，求出{}1,2,3A =；（3）设123n a a a a <<<< ，得到121n a a a n -< ，当2n =时，推出矛盾，当3n =时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即{}1,2,3，当4n ≥时，推出()1!n n >-，但()1!n n ->在4n ≥上恒成立，故当4n ≥时，不存在“n 元重生集”，从而证明出结论.【小问1详解】121144-==-=-，≠所以集合不是“2元重生集”.【小问2详解】设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”，则123123a a a a a a =++，不妨设123a a a <<，则12312333a a a a a a a =++<，解得123a a <，因为*12,a a ∈N ，故只有121,2a a ==满足要求，综上，{}1,2,3A =满足要求，其他均不符合要求，故存在1个集合中元素均为正整数的“3元重生集”，即{}1,2,3A =.【小问3详解】不妨设123n a a a a <<<< ，由1212n n n a a a a a a na =+++< ，得121n a a a n -< ，当2n =时，12a <，故11a =，则221a a +=，无解，若*12,a a ∈N ，则{}12,a a 不可能是“2元重生集”，所以当2n =时，不存在“2元重生集”；当3n =时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即{}1,2,3，当4n ≥时，()1211231n a a a n -≥⨯⨯⨯⨯- ，又121n a a a n -< ，故()1!n n >-，事实上，()()()221!1232(2)2n n n n n n n n -≥--=-+=--+>在4n ≥上恒成立，故当4n ≥时，不存在“n 元重生集”，所以若*,i a ∈N “n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.【点睛】思路点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。
河北高三高中数学专题试卷带答案解析
河北高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.双曲线－＝1的焦点坐标为( )A ．(－，0)、(，0)B ．(0，－)、(0，)C ．(－5,0)、(5,0)D ．(0，－5)、(0,5)2.若拋物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点到准线的距离为4，则其焦点坐标为( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(1,0)3.已知双曲线－＝1的离心率为e ，拋物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1C. D.4.过点M(－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P.设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于( )A ．－2B ．2C ．D ．－5.若点P(2,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．26.椭圆＋＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标为b ，则k 的值为( )A ．B ．±C ．D ．±7.如图所示，设椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的面积为abπ，过坐标原点的直线l 、x 轴正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为s 、t ，则s 关于t 的函数图象大致形状为图中的( )8.椭圆＋＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点M 满足|M|＝1，·＝0，则|M|的最小值为( )A ．3 B.C ．2 D.9.两个正数a ，b 的等差中项是5，等比中项是4.若a>b ，则双曲线－＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x10.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A. B ．3C. D.11.直线l 过抛物线C ∶y 2＝2px(p>0)的焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．直角或钝角12.已知点F 为双曲线－＝1的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标是(5,1)，则4|MF|＋5|MA|的最小值为( )A ．12B ．20C ．9D ．16二、填空题1.已知点F(1,0)，直线l ：x ＝－1，点P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且·＝·，则动点P 的轨迹C 的方程是______2.以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________3. 椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点是F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，且F 1M·＝0，则离心率e 的取值范围是________4.给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②若椭圆的离心率为，则两个焦点与短轴的两个端点构成正方形； ③抛物线x ＝2y 2的焦点坐标为；④双曲线－＝1的渐近线方程为y ＝±x.其中正确命题的序号是_______三、解答题1.已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上．双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.求椭圆及双曲线的方程2.若一动点M 与定直线l ：x ＝及定点A(5,0)的距离比是4∶5.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设所求轨迹C 上有点P 与两定点A 和B(－5,0)的连线互相垂直，求|PA|·|PB|的值．3.物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB|＝.(1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，已知点F(1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且·＝·.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．5.如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M(3,1)．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m(m≠0)，且交椭圆于A ，B 两不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；6.已知双曲线2x 2－2y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为动点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)求cos ∠F 1PF 2的最小值．河北高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.双曲线－＝1的焦点坐标为( )A ．(－，0)、(，0)B ．(0，－)、(0，)C ．(－5,0)、(5,0)D ．(0，－5)、(0,5)【答案】C【解析】略2.若拋物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点到准线的距离为4，则其焦点坐标为( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(1,0)【答案】B【解析】根据抛物线焦点到准线的距离为p ，求得p ，进而根据抛物线性质可得焦点坐标．解：根据抛物线焦点到准线的距离为p ，∴p=4，故焦点为（2，0）．故选B3.已知双曲线－＝1的离心率为e ，拋物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1C. D.【答案】D【解析】略4.过点M(－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P.设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于( )A ．－2B ．2C ．D ．－【答案】D【解析】略5.若点P(2,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．2【答案】A【解析】略6.椭圆＋＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标为b ，则k 的值为( )A ．B ．±C ．D ．±【答案】B【解析】略7.如图所示，设椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的面积为abπ，过坐标原点的直线l 、x 轴正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为s 、t ，则s 关于t 的函数图象大致形状为图中的( )【答案】B【解析】略8.椭圆＋＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点M 满足|M|＝1，·＝0，则|M|的最小值为( )A ．3 B.C ．2 D.【答案】B【解析】略9.两个正数a ，b 的等差中项是5，等比中项是4.若a>b ，则双曲线－＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x【答案】B【解析】略10.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A. B ．3C. D.【答案】D【解析】略11.直线l 过抛物线C ∶y 2＝2px(p>0)的焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．直角或钝角【答案】B【解析】先由抛物线定义可知AA 1=AF ，可推断∠1=∠2；又根据AA 1∥x 轴，可知∠1=∠3，进而可得∠2=∠3，同理可求得∠4=∠6，最后根据∴∠A 1FB 1=∠3+∠6答案可得．解：如图，由抛物线定义可知AA 1=AF ，故∠1=∠2，又∵AA 1∥x 轴， ∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6，∴∠A 1FB 1=∠3+∠6=，故选B12.已知点F 为双曲线－＝1的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标是(5,1)，则4|MF|＋5|MA|的最小值为( )A ．12B ．20C ．9D ．16【答案】C【解析】略二、填空题1.已知点F(1,0)，直线l ：x ＝－1，点P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且·＝·，则动点P 的轨迹C 的方程是______【答案】y 2＝4x【解析】略2.以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是__________【答案】y 2＝12x【解析】略3. 椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点是F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，且F 1M·＝0，则离心率e 的取值范围是________【答案】[，1)【解析】略4.给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②若椭圆的离心率为，则两个焦点与短轴的两个端点构成正方形； ③抛物线x ＝2y 2的焦点坐标为；④双曲线－＝1的渐近线方程为y ＝±x.其中正确命题的序号是_______【答案】②③【解析】略三、解答题1.已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上．双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.求椭圆及双曲线的方程【答案】设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)则根据题意，双曲线的方程为－＝1且满足解方程组得∴椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程－＝1【解析】略2.若一动点M 与定直线l ：x ＝及定点A(5,0)的距离比是4∶5.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设所求轨迹C 上有点P 与两定点A 和B(－5,0)的连线互相垂直，求|PA|·|PB|的值．【答案】(1)设动点M(x ，y)，根据题意得＝，化简得9x 2－16y 2＝144，即－＝1.(2)由(1)知轨迹C 为双曲线，A 、B 即为C 的两个焦点，∴|PA|－|PB|＝±8.①又PA ⊥PB ，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝100.②由②－①2得|PA|·|PB|＝18.【解析】略3.物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB|＝.(1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)设所求抛物线的方程为y 2＝2px(p>0)，由消去y ，得x 2－2(1＋p)x ＋1＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(1＋p)，x 1·x 2＝1.∵|AB|＝，∴＝，∴121p 2＋242p －48＝0，∴p ＝或－(舍)． ∴抛物线的方程为y 2＝x.(2)设AB 的中点为D ，则D.假设x 轴上存在满足条件的点C(x 0,0)，∵△ABC 为正三角形，∴CD ⊥AB ，∴x 0＝.∴C ，∴|CD|＝.又∵|CD|＝|AB|＝，故矛盾，∴x 轴上不存在点C ，使△ABC 为正三角形【解析】略4.如图，已知点F(1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且·＝·.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．【答案】 (1)设点P(x ，y)，则Q(－1，y)，由·＝·，得(x ＋1,0)·(2，－y)＝(x －1，y)·(－2，y)，化简得C ：y 2＝4x.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，又M ，联立方程组消去x ，得y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m)2＋16＞0，故由＝λ1，＝λ2，得y 1＋＝－λ1y 1，y 2＋＝－λ2y 2，整理，得λ1＝－1－，λ2＝－1－，∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－·＝－2－·＝0.【解析】略5.如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M(3,1)．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m(m≠0)，且交椭圆于A ，B 两不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；【答案】(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，⇒，所求椭圆的方程为＋＝1(2)∵直线l ∥OM 且在y 轴上的截距为m ，∴直线l 方程为：y ＝x ＋m由⇒2x 2＋6mx ＋9m 2－18＝0∵直线l 交椭圆于A 、B 两点， ∴Δ＝(6m)2－4×2(9m 2－18)>0⇒－2<m<2m 的取值范围为－2<m<2，且m≠0.【解析】略6.已知双曲线2x 2－2y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为动点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)求cos ∠F 1PF 2的最小值．【答案】(1)依题意双曲线方程可化为－＝1， 则|F 1F 2|＝2，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4>|F 1F 2|＝2.∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 其方程可设为＋＝1(a>b>0)．由2a ＝4,2c ＝2，得a ＝2，c ＝1，∴b 2＝4－1＝3.则所求椭圆方程为＋＝1， 故动点P 的轨迹E 的方程为＋＝1.(2)设|PF 1|＝m>0，|PF 2|＝n>0，∠F 1PF 2＝θ，则由m ＋n ＝4，|F 1F 2|＝2，可知在△F 1PF 2中，cosθ＝【解析】略。
河北高三高中数学专题试卷带答案解析
河北高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在下列各组角中，终边不相同的一组是()A．60°与－300°B．230°与950°C．1050°与－300°D．－1000°与80°2.给出下列命题，其中正确的是()(1)弧度角与实数之间建立了一一对应的关系(2)终边相同的角必相等(3)锐角必是第一象限角(4)小于90°的角是锐角(5)第二象限的角必大于第一象限角A．(1)B．(1)(2)(5)C．(3)(4)(5)D．(1)(3)3.一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为()A．(2－sin 1cos 1)R2B．sin 1cos 1R2C．R2D．(1－sin 1cos 1)R24.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点且cos α＝x，则x的值为()A．B．±C．－D．－5.在(0,2π)内，使cos x>sin x>tan x成立的x的取值范围是()A. B.C. D.6.sin 2009°的值属于区间()A. B.C. D.7.α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝()A．B．－C．D．－8.已知f(x)＝2cosx，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝()A．0B．2C．2＋D．3＋9.如果sin θ＝m,180°<θ<270°，那么tan θ＝()A．B．－C．±D．－10.化简：cos＋cos＋2sin(k∈Z)的结果为()A．2sin 2x B．2cos 2xC．4sin 2x D．4cos 2x二、填空题1.填写下表：2.已知θ∈，sin θ＝，则tan θ＝________3.函数y＝＋－的值域是_______4.化简：＝_______5.已知sin(540°＋α)＝－，则cos(α－270°)＝__________；若α为第二象限角，则＝______________6.已知＝－1，则＝__________；sin2α＋sin αcos α＋2＝_________三、解答题1.已知一扇形的面积S为定值，求当扇形的圆心角为多大时，它的周长最小？最小值是多少？2.已知点P(3r，－4r)(r≠0)在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值．3.化简：(n∈Z)．4.若sin＝lg，求：＋的值河北高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.在下列各组角中，终边不相同的一组是()A．60°与－300°B．230°与950°C．1050°与－300°D．－1000°与80°【答案】C【解析】【考点】终边相同的角．分析：本题考查的是中边相同的角，由于中边相同的角相差的是360度的整数倍，所以两个角的差应该是360的整数倍，将选项做差验证即可．解：若角α与角β终边相同，则β=α+k360°，k∈Z，所以将四个选项中的两角做差可知，只有C选项1050°-（-300°）=1350°，不是360°的整数倍故选择C2.给出下列命题，其中正确的是()(1)弧度角与实数之间建立了一一对应的关系(2)终边相同的角必相等(3)锐角必是第一象限角(4)小于90°的角是锐角(5)第二象限的角必大于第一象限角A．(1)B．(1)(2)(5)C．(3)(4)(5)D．(1)(3)【答案】D【解析】【考点】弧度制；终边相同的角；象限角、轴线角．分析：对于弧度制的意义了解可以判断命题（1），理解终边相同的角的表示方法可以判断（2），了解锐角、第一象限角、小于90°的角之间的关系，可以判断最后三个命题的真假．解：∵角的弧度制是与实数一一对应的，第一个命题正确，终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，小于90°的角可能是负角，象限角不能比较大小，∴（1）（3）的说法是正确的，故选D．3.一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为()A．(2－sin 1cos 1)R2B．sin 1cos 1R2C．R2D．(1－sin 1cos 1)R2【答案】D【解析】一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则弧长为4R－2R＝2R，扇形面积为，所含圆心角为，所含三角形面积为＝，所以这个扇形所含弓形的面积为(1－sin 1cos 1)R2故选择D4.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点且cos α＝x，则x的值为()A．B．±C．－D．－【答案】C【解析】略5.在(0,2π)内，使cos x>sin x>tan x成立的x的取值范围是()A. B.C. D.【答案】C【解析】略6.sin 2009°的值属于区间()A. B.C. D.【答案】D【解析】略7.α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝()A．B．－C．D．－【答案】D【解析】略8.已知f(x)＝2cosx，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝()A．0B．2C．2＋D．3＋【答案】C【解析】略9.如果sin θ＝m,180°<θ<270°，那么tan θ＝()A．B．－C．±D．－【答案】B【解析】略10.化简：cos＋cos＋2sin(k∈Z)的结果为()A．2sin 2x B．2cos 2xC．4sin 2x D．4cos 2x【答案】D【解析】略二、填空题1.填写下表：【答案】略【解析】略2.已知θ∈，sin θ＝，则tan θ＝________【答案】－【解析】略3.函数y＝＋－的值域是_______【答案】{1，－3}【解析】略4.化简：＝_______【答案】－1【解析】略5.已知sin(540°＋α)＝－，则cos(α－270°)＝__________；若α为第二象限角，则＝______________【答案】－－【解析】略6.已知＝－1，则＝__________；sin2α＋sin αcos α＋2＝_________【答案】－【解析】略三、解答题1.已知一扇形的面积S为定值，求当扇形的圆心角为多大时，它的周长最小？最小值是多少？【答案】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，周长为C，则S＝lr，∴r＝，∴C＝l＋2r＝l＋≥4，又∵0<l<2πr＝，∴l<2.当且仅当l＝，即l＝2<2时等号成立．∴当l＝2时，周长有最小值4，此时，α＝＝l×＝＝2(rad)【解析】略2.已知点P(3r，－4r)(r≠0)在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值．【答案】因为x＝3r，y＝－4r，所以|OP|＝＝5|r|.(1) 当r>0时，则|OP|＝5r，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.(2) 当r<0时，则|OP|＝－5r，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.【解析】略3.化简：(n∈Z)．【答案】①当n＝2k(k∈Z)时，原式＝＝－sin α；②当n＝2k－1(k∈Z)时，原式＝＝sin α.【解析】略4.若sin＝lg，求：＋的值【答案】由sin＝lg，有－sin θ＝lg 10－＝－，⇒sin θ＝.＋＝＋＝＋＝＝＝2×9＝18.【解析】略。
2023-2024学年金太阳河北省部分校高三年级联考数学试题+答案解析
2023-2024学年金太阳河北省部分校高三年级联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.若复数z满足，则()A. B. C. D.3.已知，，，则()A. B. C. D.4.已知为等比数列，且，则()A.216B.108C.72D.365.已知曲线在点处的切线与圆相切，则C的半径为()A. B.1 C. D.6.不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各3个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出1个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有2种不同颜色的球被取出的取法共有()A.108种B.148种C.186种D.216种7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则()A. B. C.2 D.48.已知函数，若A，B是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是()A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则()A. B.C.的最小值为6D.的最小值为1210.如图，点P在以AB为直径的半圆上运动不含A，，，，记，，的弧度数为t，则下列说法正确的是()A.n是m的函数B.m是n的函数C.t是n的函数D.t是m的函数11.如图，在三棱锥中，平面ABC，，且，，过点A的平面分别与棱PB，PC交于点M，N，则下列说法正确的是()A.三棱锥外接球的表面积为B.若平面AMN，则C.若M，N分别为PB，PC的中点，则点B到平面AMN的距离为D.周长的最小值为312.某学校有A，B两家餐厅，假设小王每天都在A，B两家餐厅中的一家用餐，且小王第一天随机地选择一家餐厅用餐，如果小王前一天选择了A餐厅，那么他第二天继续选择A餐厅用餐的概率为，如果小王前一天选择了B餐厅，那么他第二天选择A餐厅用餐的概率为，如此反复.记小王第n天选择A餐厅用餐为事件，选择B餐厅用餐为事件，则()A. B.C.数列是等比数列D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北高三高中数学专题试卷带答案解析
河北高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列对应中是映射的是()A．(1)、(2)、(3)B．(1)、(2)、(5)C．(1)、(3)、(5)D．(1)、(2)、(3)、(5)2.下面哪一个图形可以作为函数的图象()3.已知f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，∅是空集，那么下列结论可以成立的是()A．A＝B＝∅ B．A＝B≠∅C．A、B之一为∅ D．A≠B且B的元素都有原象4.已知集合M＝，映射f：M→N，在f作用下点(x，y)的元素是(2x,2y)，则集合N＝()A.B.C.D.5.现给出下列对应：(1)A＝{x|0≤x≤1}，B＝R－，f：x→y＝ln x；(2)A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y＝±x；(3)A＝{平面α内的三角形}，B＝{平面α内的圆}，f：三角形→该三角形的内切圆；(4)A＝{0，π}，B＝{0,1}，f：x→y＝sin x.其中是从集A到集B的映射的个数()A．1B．2C．3D．46.函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是()A. B.C. D.7.已知f＝，则f(x)的解析式可取为()A．B．－C．D．－8.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()9.设函数f(x)＝则f的值为()A．B．－C．D．1810.若函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥的解集为()A．(－3,1)B．[－1,3]C．(－1,3]D．[－3,1]二、填空题1.已知函数f(x)＝，则＝_______2.设f：A→B是从集合A到B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中元素(6,2)在映射f下的元素是(3,1)，则k，b的值分别为_______3.集合A＝{a，b}，B＝{1，－1,0}，那么可建立从A到B的映射个数是________．从B到A的映射个数是______4.已知函数f(x)＝的定义域为A,2∉A，则a的取值范围是___________5.如果f[f(x)]＝2x－1，则一次函数f(x)＝___________6.为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为y＝a x－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是____三、解答题1.在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；(2)作出函数的图象，并根据图象求y的最大值．2.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，(a<0)不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．3.已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，求f(72)的值．4.集合M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，映射f：M→N满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，那么映射f：M→N的个数是多少？河北高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.下列对应中是映射的是()A．(1)、(2)、(3)B．(1)、(2)、(5)C．(1)、(3)、(5)D．(1)、(2)、(3)、(5)【答案】A【解析】略2.下面哪一个图形可以作为函数的图象()【答案】B【解析】略3.已知f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，∅是空集，那么下列结论可以成立的是() A．A＝B＝∅ B．A＝B≠∅C．A、B之一为∅ D．A≠B且B的元素都有原象【答案】B【解析】略4.已知集合M＝，映射f：M→N，在f作用下点(x，y)的元素是(2x,2y)，则集合N＝()A.B.C.D.【答案】D【解析】略5.现给出下列对应：(1)A＝{x|0≤x≤1}，B＝R－，f：x→y＝ln x；(2)A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y＝±x；(3)A＝{平面α内的三角形}，B＝{平面α内的圆}，f：三角形→该三角形的内切圆；(4)A＝{0，π}，B＝{0,1}，f：x→y＝sin x.其中是从集A到集B的映射的个数()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】略6.函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是()A. B.C. D.【答案】B【解析】略7.已知f＝，则f(x)的解析式可取为()A．B．－C．D．－【答案】C【解析】略8.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()【答案】A【解析】略9.设函数f(x)＝则f的值为()A．B．－C．D．18【答案】A【解析】略10.若函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥的解集为()A．(－3,1)B．[－1,3]C．(－1,3]D．[－3,1]【答案】D【解析】略二、填空题1.已知函数f(x)＝，则＝_______【答案】－1【解析】略2.设f：A→B是从集合A到B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中元素(6,2)在映射f下的元素是(3,1)，则k，b的值分别为_______【答案】k＝2，b＝1【解析】略3.集合A＝{a，b}，B＝{1，－1,0}，那么可建立从A到B的映射个数是________．从B到A的映射个数是______【答案】98【解析】略4.已知函数f(x)＝的定义域为A,2∉A，则a的取值范围是___________【答案】1<a<3【解析】略5.如果f[f(x)]＝2x－1，则一次函数f(x)＝___________【答案】4【解析】略6.为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为y＝a x－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是____【答案】4【解析】略三、解答题1.在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；(2)作出函数的图象，并根据图象求y的最大值．【答案】(1)这个函数的定义域为(0,12)，当0＜x≤4时，S＝f(x)＝·4·x＝2x；当4＜x≤8时，S＝f(x)＝8；当8＜x＜12时，S＝f(x)＝·4·(12－x)＝24－2x.∴这个函数的解析式为f(x)＝(2)其图形如右，由图知，＝8.[f(x)]max【解析】略2.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，(a<0)不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．【答案】(1)∵不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)，∴x＝1和x＝3是方程ax2＋(b＋2)x＋c＝0(a<0)的两根，∴，∴b＝－4a－2，c＝3a，又方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根．∴Δ＝b2－4a(c＋6a)＝0，∴4(2a＋1)2－4a×9a＝0.∴(5a＋1)(1－a)＝0，∴a＝－或a＝1(舍)．∴a＝－，b＝－，c＝－，∴f(x)＝－x2－x－.(2)由(1)知f(x)＝ax2－2(2a＋1)x＋3a＝a2－＋3a＝a2＋∵a<0，∴f(x)的最大值为，∵f(x)的最大值为正数．∴∴解得a<－2－或－2＋<a<0.∴所求实数a的取值范围是∪(－2＋，0)．【解析】略3.已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，求f(72)的值．【答案】∵f(ab)＝f(a)＋f(b)，∴f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝f(4×2)＋f(3×3)＝f(4)＋f(2)＋2f(3)＝f(2×2)＋f(2)＋2f(3)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.【解析】略4.集合M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，映射f：M→N满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，那么映射f：M→N的个数是多少？【答案】∵f(a)∈N，f(b)∈N，f(c)∈N，且f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，∴有0＋0＋0＝0＋1＋(－1)＝0.当f(a)＝f(b)＝f(c)＝0时，只有一个映射；当f(a)、f(b)、f(c)中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C·A＝6个映射．因此所求的映射的个数为1＋6＝7.【解析】略。
2023-2024学年河北省保定市部分高中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省保定市部分高中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ≤0}，B ＝{x |0＜x ＜2，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，2）B ．（0，2）C ．{0，1}D ．{1}2．已知复数z 满足z （1+i ）＝2﹣2i ，则z ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣2iC ．2iD ．23．已知单位向量a →，b →满足|a →+2b →|=2，则a →⋅b →=（ ） A ．1B ．14C ．−14D ．124．已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，下列命题正确的是（ ）A ．若m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥n ，则m ∥lC ．若m ∥β，n ⊥l ，则m ∥nD ．若m ⊥l ，m ⊥n ，则α⊥β5．已知cos(α+π8)+2cos(α−3π8)=0，则tan(2α+π4)=（ ）A ．12B ．43C ．﹣1D ．−436．已知a ＞0，且10ab +a 2＝1，则a +b 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．35D ．2√11117．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =n+22n ，若S n ≤k 恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．72B ．4C ．92D ．58．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f （x ），存在一个实数x 0，使得f （x 0）＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x 0为函数的不动点．设函数f （x ）＝e x ﹣1+e 1﹣x +x 2﹣x +a ，a ∈R ．若f （x ）在区间（0，3）上存在不动点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣e 2﹣e ﹣2﹣3，﹣1]B ．[﹣e 2﹣e ﹣2，﹣1]C ．[﹣e 2﹣e ﹣2﹣7，﹣e ﹣e ﹣1]D ．（﹣e 2﹣e ﹣2﹣5，﹣e ﹣e ﹣1]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 9．已知函数f （x ）＝（x 2+a 2）（x +a ），下列结论正确的是（ ）A ．若f （x ）为奇函数，则a ＝0B ．f （x ）的图象关于点（﹣a ，0）中心对称C ．f （x ）没有极值点D ．∀x ∈（﹣a ，+∞），f （x ）＞010．已知圆C 1：x 2+y 2−2x +2y −7=0，圆C 2：x 2+y 2+2x −4y −44=0，则（ ） A ．直线C 1C 2与直线4x +6y ＝0垂直 B ．C 1与C 2没有公共点 C ．C 1与C 2的位置关系为外离D ．若P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为10+√13 11．已知函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(xy)=f(x)y +f(y)x，则（ ） A ．f （1）＝0 B ．f （2）＝1 C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）没有极值点12．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是√3，则（ ）A ．这两个球体的半径之和的最大值为3+√32B ．这两个球体的半径之和的最大值为23C ．这两个球体的表面积之和的最大值为10π9D ．这两个球体的表面积之和的最大值为(6+3√3)π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x ，x ＜02−x ，x ≥0，则f （f （﹣1））＝ ．14．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AA 1＝2，D 是CC 1的中点，则异面直线AC 1与B 1D 所成角的余弦值为 ．15．已知函数f(x)=sin(ωx +π3)，f （x ）的图象关于直线x =π3对称，且f （x ）在(π36，π9)上单调，则ω的最大值为 ．16．已知函数f （x ）＝ln |x |+|lnx 2|，若函数g （x ）＝f （x ）﹣m 有4个零点，且其4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）成等差数列，则m ＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知A =2π3，a =√13，b ＝3c ． （1）求c 的值； （2）求sin B 的值．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，1a n+1−1a n=2n +1．（1）求{a n }的通项公式； （2）若b n =2a n2na n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知函数f （x ）＝2x sin x ﹣x 2cos x ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程； （2）求f （x ）在[0，2π]上的最值．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，且AB ＝4，正三角形ADE 的边长为2． （1）证明：EF ∥平面ABCD ；（2）若EF ＜AB ，且直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值为√217，求EF 的值．21．（12分）圆x 2+y 2＝a 2+b 2称为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的蒙日圆．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，C的蒙日圆方程为x2+y2＝3．（1）求C的方程；（2）若F为C的左焦点，过C上的一点A作C的切线l1，l1与C的蒙日圆交于P，Q两点，过F作直线l2与C交于M，N两点，且l1∥l2，证明：|PQ|2+8√2|MN|是定值．22．（12分）（1）证明：当x＞0时，lnx≤x﹣1＜e x﹣2．（2）已知函数f（x）＝ax2﹣lnx﹣x﹣lna，试讨论f（x）的零点个数．2023-2024学年河北省保定市部分高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ≤0}，B ＝{x |0＜x ＜2，x ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，2）B ．（0，2）C ．{0，1}D ．{1}解：由x 2﹣2x ≤0⇒0≤x ≤2即A ＝{x |0≤x ≤2}， 又因为B ＝{x |0＜x ＜2，x ∈N }＝{1}，所以A ∩B ＝{1}． 故选：D ．2．已知复数z 满足z （1+i ）＝2﹣2i ，则z ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣2iC ．2iD ．2解：由题意可知：z =2−2i 1+i =(2−2i)(1−i)2=(1−i)2=−2i ． 故选：B ．3．已知单位向量a →，b →满足|a →+2b →|=2，则a →⋅b →=（ ） A ．1B ．14C ．−14D ．12解：已知单位向量a →，b →满足|a →+2b →|=2，则|a →+2b →|2=a →2+4b →2+4a →⋅b →=4，则a →⋅b →=−14．故选：C ．4．已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，下列命题正确的是（ ）A ．若m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥n ，则m ∥lC ．若m ∥β，n ⊥l ，则m ∥nD ．若m ⊥l ，m ⊥n ，则α⊥β解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若m ⊥n ，则α，β不一定垂直，A 错误；对于B ，若m ∥n ，必有m ∥β，由直线与平面平行的性质，可得m ∥l ，B 正确； 对于C ，若m ∥β，必有m ∥l ，而n ⊥l ，必有m ⊥n ，C 错误； 对于D ，若m ⊥l ，m ⊥n ，α，β不一定垂直，D 错误． 故选：B ．5．已知cos(α+π8)+2cos(α−3π8)=0，则tan(2α+π4)=（ ）A．12B．43C．﹣1D．−43解：因为cos(α+π8)+2cos(α−3π8)=0，所以cos（α+π8）+2cos（α+π8−π2）＝0，即cos(α+π8)+2sin(α+π8)=0，所以tan(α+π8)=sin(α+π8)cos(α+π8)=−12，所以tan(2α+π4)=2tan(α+π8)1−tan2(α+π8)=2×(−12)1−(−12)2=−43．故选：D．6．已知a＞0，且10ab+a2＝1，则a+b的最小值为（）A．1B．2C．35D．2√1111解：由10ab+a2＝1得b=1−a2 10a，故a+b=a+1−a210a=9a10+110a≥2√9a10⋅110a=35，当且仅当a=13，b=415时，等号成立．故选：C．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=n+22n，若S n≤k恒成立，则k的最小值是（）A．72B．4C．92D．5解：S n=32+422+523+⋯+n+22n，12S n=322+423+524+⋯+n+22n+1，两式相减可得：1 2S n=32+122+123+124+⋯+12n−n+22n+1，=32+122(1−12n−1)1−12−n+22n+1=2−n+42n+1，∴S n=4−n+42n，∵n+42n＞0，∴4−n+42n＜4，即S n＜4恒成立，故k≥4．故选：B．8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个实数x0，使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x0为函数的不动点．设函数f（x）＝e x﹣1+e1﹣x+x2﹣x+a，a∈R．若f（x）在区间（0，3）上存在不动点，则a的取值范围是（）A．（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]B．[﹣e2﹣e﹣2，﹣1]C．[﹣e2﹣e﹣2﹣7，﹣e﹣e﹣1]D．（﹣e2﹣e﹣2﹣5，﹣e﹣e﹣1]解：由题意可得，f（x）＝e x﹣1+e1﹣x+x2﹣x+a＝x在（0，3）上有解，即e x﹣1+e1﹣x+x2﹣2x+1＝1﹣a有解，令x﹣1＝t，t∈（﹣1，2），则﹣a+1＝e t+e﹣t+t2，令函数g（t）＝e t+e﹣t+t2，g′（t）＝e t﹣e﹣t+2t，当t∈（0，2）时，g′（t）＞0，所以g（t）在（0，2）上单调递增，g（﹣t）＝e﹣t+e t+（﹣t）2＝e t+e﹣t+t2＝g（t），所以g（t）为偶函数，所以g（t）在（﹣1，0）上单调递减．g（t）min＝g（0）＝2，g（t）＜g（2）＝e2+e﹣2+4，故﹣a+1∈[2，e2+e﹣2+4），a∈（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．已知函数f（x）＝（x2+a2）（x+a），下列结论正确的是（）A．若f（x）为奇函数，则a＝0B．f（x）的图象关于点（﹣a，0）中心对称C．f（x）没有极值点D．∀x∈（﹣a，+∞），f（x）＞0解：对于A选项，函数f（x）＝（x2+a2）（x+a）的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（0）＝a2•a＝a3＝0，解得a＝0，此时，f（x）＝x3为奇函数，合乎题意，A对；对于B选项，f（0）＝a3，f（﹣2a）＝5a2•（﹣a）＝﹣5a3，当a≠0时，f（0）+f（﹣2a）＝﹣4a3≠0，此时，函数f（x）的图象不关于点（﹣a，0）对称，对于C选项，f′(x)=2x(x+a)+x2+a2=3x2+2ax+a2=3(x+a3)2+2a23≥0，所以，函数f（x）在R上为增函数，函数f（x）没有极值点，C对；对于D选项，因为函数f（x）在R上为增函数，且f（﹣a）＝0，所以，∀x∈（﹣a，+∞），f（x）＞f（﹣a）＝0，D对．故选：ACD．10．已知圆C1：x2+y2−2x+2y−7=0，圆C2：x2+y2+2x−4y−44=0，则（）A．直线C1C2与直线4x+6y＝0垂直B ．C 1与C 2没有公共点 C ．C 1与C 2的位置关系为外离D ．若P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为10+√13解：由题意可知圆C 1：(x −1)2+(y +1)2=9，则圆心C 1（1，﹣1），半径r 1＝3， 圆C 2：(x +1)2+(y −2)2=49，则圆心C 2（﹣1，2），半径r 2＝7， 则k C 1C 2=−1−21−(−1)=−32，直线4x +6y ＝0的斜率为−23，因为−32•（−23）≠﹣1，所以两条直线不垂直，故A 不正确；因为|C 1C 2|=√22+32=√13＜7−3=4，所以圆C 1与圆C 2的位置关系为内含，故B 正确，C 不正确； 对于D ，|PQ |的最大值为|C 1C 2|+r 1+r 2=10+√13，故D 正确． 故选：BD ．11．已知函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(xy)=f(x)y +f(y)x，则（ ） A ．f （1）＝0 B ．f （2）＝1 C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）没有极值点解：令x ＝y ＝1，得f （1）＝0，A 正确； 令x ＝2，y ＝1，得f(2)=f(2)1+f(1)2=f(2)+0， 故f （2）的值不确定，B 错误； 令x ＝y ＝﹣1，得f （﹣1）＝0， 令y ＝﹣1，得f(−x)=−f(x)+f(−1)x=−f(x)，则f （x ）为奇函数，C 正确； 由f(xy)=f(x)y +f(y)x，可得xyf （xy ）＝xf （x ）+yf （y ）， 根据函数结构举例，当x ＞0时，可设xf （x ）＝lnx ， 则f(x)={lnxx ，x ＞0ln(−x)x，x ＜0， 当x ＞0时，f(x)=lnx x ，f ′(x)=1−lnx x 2， 当x ∈（0，e ）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（e ，+∞）时，f ′（x ）＜0， 所以f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减， 此时f （x ）有极值点，D 错误． 故选：AC ．12．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是√3，则（）A．这两个球体的半径之和的最大值为3+√3 2B．这两个球体的半径之和的最大值为2 3C．这两个球体的表面积之和的最大值为10π9D．这两个球体的表面积之和的最大值为(6+3√3)π解：当这两个球体的半径之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，如图所示．过点O作OF⊥AB，垂足为F，过点O'作O'E⊥AB垂足为E，过点O'作O'D⊥OF，垂足为D．设圆O的半径为R，圆O'的半径为r，R的最大值为13√(√3)2−(√32)2=13×32=12，且R取最大值时，r取得最小值，最小值为r=13(23×32−12)=16，∴R∈[16，12]，r∈[16，12]．|OD|＝R﹣r，|OO'|＝R+r，|O′D|=|EF|=|AB|−|AF|−|BE|=√3−√3R−√3r．∵|OD|2+|O'D|2＝|OO'|2，∴(R−r)2+(√3−√3R−√3r)2=(R+r)2，①整理得R=1−r3−23√3r−2r2．令函数f(r)=R+r=1−r3−23√3r−2r2+r=1+2r3−23√3r−2r2，r∈[16，12]，则f ′(r)=√23√3r−2r2．令函数g(r)=2√3r −2r 2−3+4r ，g ′(r)=1√3r−2r 2+4＞0，∴g （r ）是增函数．又∵g(16)＜0，g(12)＞0，∴∃r 0∈[16，12]，g （r 0）＝0，∴当r ∈[16，r 0]时，g （r ）＜0，f ′（r ）＜0；当r ∈[r 0，12]时，g （r ）＞0，f ′（r ）＞0，∴f （r ）在[16，r 0]上单调递减，在[r 0，12]上单调递增．∵f(16)=f(12)=23，∴f （r ）的最大值为23，即这两个球体的半径之和的最大值为23；由①可得R 2+r 2=−12[(R +r)2−6(R +r)+3]，这两个球体的表面积之和为4π（R 2+r 2）＝﹣2π[（R +r ）2﹣6（R +r ）+3]．令x =R +r ≤23，函数y ＝﹣2π（x 2﹣6x +3）在(−∞，23]上单调递增，∴y max =−2π×[(23)2−6×23+3]=10π9，即这两个球体的表面积之和的最大值为10π9．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x ，x ＜02−x ，x ≥0，则f （f （﹣1））＝ 32 ．解：由题意得f(−1)=12，f(f(−1))=f(12)=2−12=32．故答案为：32．14．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AA 1＝2，D 是CC 1的中点，则异面直线AC 1与B 1D 所成角的余弦值为√1515．解：取AC 中点E ，连接EB ，ED ，EB 1，∵D 是CC 1的中点，所以DE ∥AC 1，则∠EDB 1为异面直线夹角或其补角，又AB ＝BC ＝AA 1＝2，AB ⊥BC ，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，所以B 1D =√5，DE =√3，B 1E =√6，cos ∠EDB 1=DE 2+DB 12−B 1E 22DE⋅DB 1=3+5−62√3×√5=√1515， 故异面直线AC 1与B 1D 所成角的余弦值为√1515． 故答案为：√1515． 15．已知函数f(x)=sin(ωx +π3)，f （x ）的图象关于直线x =π3对称，且f （x ）在(π36，π9)上单调，则ω的最大值为 192． 解：因为f （x ）的图象关于直线x =π3对称， 所以πω3+π3=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω=12+3k ，k ∈Z ， 因为f （x ）在(π36，π9)上单调，所以π9−π36=π12≤T 2， 即T =2π|ω|≥π6，解得|ω|≤12， 当ω=192时，f(x)=sin(19x 2+π3)， 当x ∈(π36，π9)时，19x 2+π3∈(43π72，25π18)， 所以当x ∈(π36，π9)时，f （x ）单调递减， 所以ω的最大值为192． 故答案为：192． 16．已知函数f （x ）＝ln |x |+|lnx 2|，若函数g （x ）＝f （x ）﹣m 有4个零点，且其4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）成等差数列，则m ＝ 34ln3 ．解：f(x)=ln|x|+|lnx 2|={ 3lnx ，x ≥1，−lnx ，0＜x ＜1，−ln(−x)，−1＜x ＜0，3ln(−x)，x ≤−1.因为f （﹣x ）＝ln |﹣x |+|ln （﹣x ）2|＝ln |x |+|lnx 2|＝f （x ），所以f （x ）是偶函数，如图：所以x 1＝﹣x 4，x 2＝﹣x 3．因为x 1，x 2，x 3，x 4成等差数列，所以x 3﹣x 2＝x 4﹣x 3，则3x 3＝x 4．因为f （x 3）＝f （x 4）＝m ，所以﹣lnx 3＝3lnx 4＝3ln （3x 3），可得x 3−1=（3x 3）3⇒x 34=3﹣3， 所以x 3=3−34，m =f(x 3)=34ln3． 故答案为：34ln3． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知A =2π3，a =√13，b ＝3c ． （1）求c 的值；（2）求sin B 的值．解：（1）因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以13＝b 2+c 2+bc ，又b ＝3c ，所以13＝（3c ）2+c 2+3c 2，解得c ＝1；（2）由（1）可得b ＝3c ＝3，因为b sinB =a sinA ，所以3sinB =√13sin 2π3， 解得sinB =3√3926． 18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，1a n+1−1a n=2n +1． （1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =2a n 2na n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）因为1a n+1−1a n =2n +1，所以当n ≥2时，1a 2−1a 1=2×1+1=3，1a 3−1a 2=2×2+1=5，1a n −1a n−1=2n −1，1a n−1−1a n−2=2n −3，⋯，1a 2−1a 1=2×1+1=3， 累加得1a n −1a 1=3+5+⋯+(2n −1)=(n−1)(3+2n−1)2=n 2−1，又a 1＝1，所以1a n =n 2，故a n =1n 2； （2）b n =2a n 2na n +1=2×1n 22n×1n 2+1=2n(n+2)=1n −1n+2， T n =1−13+12−14+13−15+⋯+1n −1n+2=1+12−1n+1−1n+2=32−2n+3(n+1)(n+2)． 19．（12分）已知函数f （x ）＝2x sin x ﹣x 2cos x ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程；（2）求f （x ）在[0，2π]上的最值．解：（1）因为f （x ）＝2x sin x ﹣x 2cos x ，所以f ′（x ）＝2sin x +2x cos x ﹣2x cos x +x 2sin x ＝（x 2+2）sin x ，则f ′（π）＝0，f （π）＝π2，故曲线y ＝f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程为y ＝π2．（2）因为f ′（x ）＝（x 2+2）sin x ，所以当x ∈（0，π）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（π，2π）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）在（0，π）上单调递增，在（π，2π）上单调递减．所以当x ＝π，为f （x ）在区间[0，2π]的极大值且为最大值，又f （0）＝0，f （π）＝π2，f （2π）＝﹣4π2，所以f （x ）在[0，2π]上的最大值为π2，最小值为﹣4π2．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，且AB ＝4，正三角形ADE 的边长为2．（1）证明：EF ∥平面ABCD ；（2）若EF ＜AB ，且直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值为√217，求EF 的值．（1）证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以AB ∥CD ，又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ，因为平面ABFE ∩平面CDEF ＝EF ，AB ⊂平面ABFE ，所以AB ∥EF ，又EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD ；（2）解：分别取AD ，BC 的中点O ，M ，连接OE ，OM ，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，△ADE 为正三角形，以O 为坐标原点，OA ，OM ，OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，0），B （1，4，0），C （﹣1，4，0），E （0，0，√3），设F(0，m ，√3)(0＜m ＜4)，则AE →=(−1，0，√3)，BC →=(−2，0，0)，BF →=(−1，m −4，√3)， 设平面BCF 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则由{BC →⋅m →=0BF →⋅m →=0，得{−2x =0−x +(m −4)y +√3z =0，令z =√3，得m →=(0，−3m−4，√3)，因为直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值为√217， 所以|cos ＜AE →，m →＞|=|AE →⋅m →||AE →||m →|=32×√(m−4)2+3=√217，解得m ＝2或m ＝6（舍去），故EF ＝2．21．（12分）圆x 2+y 2＝a 2+b 2称为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的蒙日圆．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，C 的蒙日圆方程为x 2+y 2＝3． （1）求C 的方程；（2）若F 为C 的左焦点，过C 上的一点A 作C 的切线l 1，l 1与C 的蒙日圆交于P ，Q 两点，过F 作直线l 2与C 交于M ，N 两点，且l 1∥l 2，证明：|PQ |2+8√2|MN|是定值． （1）解：由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，C 的蒙日圆方程为x 2+y 2＝3． 可得{a 2+b 2=3e =c a =√22a 2=b 2+c2，得{a 2=2b 2=1c 2=1， 所以C 的方程为x 22+y 2=1． （2）证明：当l 1，l 2的斜率不等于0时，设l 1：x ＝my +t ，则l 2：x ＝my ﹣1．由{x =my +t ，x 22+y 2=1，得（m 2+2）y 2+2mty +t 2﹣2＝0， 令Δ＝（2mt ）2﹣4（m 2+2）（t 2﹣2）＝0，得t 2＝m 2+2．设O 到l 1的距离为d ，则d =|0+0−t|√m 2+1=|t|√m +1， 得|PQ|=2√3−d 2=2√3m 2+3−t 2m 2+1=2√3m 2+3−(m 2+2)m 2+1=2√2m 2+1m 2+1． 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由{x =my −1，x 22+y 2=1， 得（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0，则{y 1+y 2=2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2， 则|MN|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2√4m 2(m 2+2)2+4m 2+2=2√2(m 2+1)m 2+2．故|PQ|2+8√2|MN|=4(2m2+1)m2+18√2(m2+2)2√2(m2+1)=4(3m2+3)m2+1=12．当l1，l2的斜率等于0时，|PQ|=2√3−1=2√2，|MN|=2√2，所以|PQ|2+8√2|MN|=12．综上，|PQ|2+8√2|MN|是定值．22．（12分）（1）证明：当x＞0时，lnx≤x﹣1＜e x﹣2．（2）已知函数f（x）＝ax2﹣lnx﹣x﹣lna，试讨论f（x）的零点个数．（1）证明：令函数g(x)=lnx−x+1，g′(x)=1−x x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即lnx≤x﹣1．令函数v（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），v′（x）＝e x﹣1＞0，所以v（x）在（0，+∞）上单调递增，所以v（x）＞v（0）＝0，即e x﹣x﹣1＞0，即x﹣1＜e x﹣2．综上，当x＞0时，lnx≤x﹣1＜e x﹣2．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞），且a＞0，f′(x)=2ax2−x−1x．令函数2ax2﹣x﹣1＝0，解得x1=1+√1+8a4a＞0，x2=1−√1+8a4a＜0，所以2ax12−x1−1=0，即a=x1+1 2x12．当x∈（0，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，f(x)≥f(x1)=ax12−lnx1−x1−lna=x1+12−lnx1−x1−lnx1+12x12=−x12+12−ln(12+12x1)，令函数u(x)=−x2+12−ln(12+12x)，u′(x)=−(x−1)(x+2)2(x2+x)，当x∈（0，1）时，u′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u′（x）＜0，故u（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以u（x）在x＝1处取得极大值．①因为当x＝1时，u（1）＝0，所以当x1＝1，即a＝1时，f（1）＝0，此时f（x）只有一个零点．②因为当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，u（x）＜u（1）＝0，所以当x1∈（0，1）∪（1，+∞），即a∈（0，1）∪（1，+∞）时，f（x1）＜0，f（x）＝ax2﹣ln（ax）﹣x≥ax2+1﹣ax﹣x＝ax2﹣（a+1）x+1，令函数h（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a＞0），h（0）＝1，h（x1）≤f（x1）＜0，根据二次函数的图象及性质可得，∃x2∈（0，x1），h（x2）＞0，∃x3∈（x1，+∞），h（x3）＞0，即∃x2∈（0，x1），f（x2）＞0，∃x3∈（x1，+∞），f（x3）＞0，所以当x1∈（0，1）∪（1，+∞），即a∈（0，1）∪（1，+∞）时，f（x）有2个零点．综上，当a＝1时，f（x）只有一个零点；当a∈（0，1）∪（1，+∞）时，f（x）有2个零点．。
河北高三高中数学专题试卷带答案解析
河北高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在二项式5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．52.10的展开式中常数项是( )A ．210B ．C ．D ．－1053.若n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为( )A ．6B ．7C ．8D ．94.设(1＋x)8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．55.如果n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．3B ．5C ．6D ．106.若n 展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．367.设(5x －)n 的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N ，若M －N ＝240, 则展开式中x 3的系数为( )A ．－150B ．150C ．－500D ．5008.若n 为奇数，则7n ＋C7n －1＋C7n －2＋…＋C7被9除得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．89.若(2x ＋)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．210.设a 、b 、m 为整数(m ＞0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余．记为a≡b(mod m)．已知a ＝1＋C ＋C·2＋C·22＋…＋C·219，b≡a(mod 10)，则b 的值可以是( )A ．2015B ．2011C ．2008D ．2006二、填空题1.在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)2.4的展开式中x 3y 3的系数为________．3.已知(x ＋x －)n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是______．(以数字作答)4.如果x ＋x 2＋x 3＋…＋x 9＋x 10＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 9(1＋x)9＋a 10(1＋x)10，则a 9＝________.5.设函数f(x)＝(1－2x)10，则导函数f′(x)的展开式x 2项的系数为________6.3100被7除的余数为________三、解答题1.在二项式n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．2.在二项式(ax m ＋bx n )12(a ＞0，b ＞0，m 、n≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．(1)求它是第几项；(2)求的范围．3.若(1＋x)6(1－2x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11.求：(1)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11；(2)a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.4.设a n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1，A n ＝Ca 1＋Ca 2＋…＋Ca n .(1)用q 和n 表示A n ；(2)又设b 1＋b 2＋…＋b n ＝.求证：数列是等比数列．河北高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.在二项式5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5【答案】B【解析】【考点】二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为4求得．解：对于T r+1=(x 2)5-r (-)r =(-1)r x 10-3r ，对于10-3r=4，∴r=2，则x 4的项的系数是C 52（-1）2=10故选项为B2.10的展开式中常数项是( )A ．210B ．C ．D ．－105【答案】B【解析】本题考查二项式定理通项为，常数项为x 指数为0的项，所以30-3r-2r=0，即r=6 所以 故选择B3.若n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】【考点】二项式定理的应用．分析：求出）n 的展开式中前三项的系数C n 0、、, 由等差数列知识求出n ，再利用通项公式求出x 4项的系数即可．解：因为n 的展开式中前三项的系数C n 0、、成等差数列， 所以+=，即n 2-9n+8=0，解得：n=8或n=1（舍）． T r+1=x 8-r ()r =()r x 8-2r ．令8-2r=4可得，r=2，所以x 4的系数为()2=7， 故选B4.设(1＋x)8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【考点】二项式系数的性质．分析：利用二项展开式的通项公式判断出展开式中项的系数即为二项式系数，求出所有的二项式系数值，求出项为奇数的个数．解：由（1+x ）8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8可知：a 0、a 1、a 2、、a 8均为二项式系数，依次是C 80、C 81、C 82、、C 88，∵C 80=C 88=1，C 81=C 87=8，C 82=C 86=28，C 83=C 85=56，C 84=70，∴a 0，a 1，，a 8中奇数只有a 0和a 8两个故选A5.如果n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．3B ．5C ．6D ．10【答案】B【解析】【考点】二项式定理的应用．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为0得方程，求使方程有整数解的最小n 值即可． 解：由展开式通项有T r+1=(3x 2)n-r (-)r =C n r ?3n-r ?（-2）r ?x 2n-5r 由题意得2n-5r=0?n=r(r=0，1，2，，n)，故当r=2时，正整数n 的最小值为5，故选项为B6.若n 展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．36【答案】B【解析】【考点】二项式系数的性质．分析：首先利用所有二项式系数和为512，求出n ，再利用二项展开式的通项公式求二项展开式常数项 解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n=9，T r+1=（-1）r C 9r x 18-3r 令18-3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选B ．7.设(5x －)n 的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N ，若M －N ＝240, 则展开式中x 3的系数为( )A ．－150B ．150C ．－500D ．500【答案】B【解析】【考点】二项式系数的性质．分析：利用赋值法及二项式系数和公式求出M 、N 列出方程求得n ，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为3得系数．解：(5x-)n 中，令x=1得展开式的各项系数之和M=4n根据二项式系数和公式得二项式系数之和N=2n ∵M-N=240 ∴4n -2n =240解得n=4∴(5x-)n =(5x-)4的展开式的通项为T r+1=(5X)4-r (-)r =(-1)r 54-r x 4-令4-=3得r=2 故展开式中x 3的系数为52C 42=150故选项为B8.若n 为奇数，则7n ＋C7n －1＋C7n －2＋…＋C7被9除得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．8【答案】C【解析】由组合数的性质知7n +C n 17n-1+C n 27n-2+…+C n n-17=89-1=（9-1）9-1，按照二项式定理展开即可求出结果． 解：由组合数的性质知7n +C n 17n-1+C n 27n-2+…+C n n-17=89-1=（9-1）9-1=99+C 9198（-1）+C 9297（-1）2+…+C 9891（-1）8-2按照二项式定理展开，前边的项都能被9整除，最后一项为-2，故S 除以9的余数为 7故选C9.若(2x ＋)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2【答案】A【解析】略10.设a 、b 、m 为整数(m ＞0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余．记为a≡b(mod m)．已知a ＝1＋C ＋C·2＋C·22＋…＋C·219，b≡a(mod 10)，则b 的值可以是( )A ．2015B ．2011C ．2008D ．2006【答案】B【解析】根据已知中a 和b 对模m 同余的定义，结合二项式定理，我们可以求出a 的值，结合b=a （bmod10），比照四个答案中的数字，结合得到答案．解：∵a=1+C 201+C 202?2+C 203?22+…+C 2020?219=（1+2）20+ =×320+，∵320=（32）10=（10-1）10=1010-×109+×108-…-×101+1，其个位是1， ∴320个位是1，∴×320+个位是1，∴a 个位是1．若b=a （bmod10），则b 的个位也是1故选B ．二、填空题1.在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)【答案】7【解析】略2.4的展开式中x 3y 3的系数为________．【答案】6【解析】略3.已知(x ＋x －)n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是______．(以数字作答)【答案】35【解析】略4.如果x ＋x 2＋x 3＋…＋x 9＋x 10＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 9(1＋x)9＋a 10(1＋x)10，则a 9＝________.【答案】－9【解析】略5.设函数f(x)＝(1－2x)10，则导函数f′(x)的展开式x 2项的系数为________【答案】－2880【解析】略6.3100被7除的余数为________【答案】4【解析】略三、解答题1.在二项式n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．【答案】前三项系数为C ，C ，C ，由已知C ＝C ＋C ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．T r ＋ 1 ＝C()8－r (2)－r ＝C··x4－.∵4－∈Z 且0≤r≤8，r ∈Z ， ∴r ＝0，r ＝4，r ＝8.∴展开式中x 的有理项为T 1＝x 4，T 5＝x ，T 9＝ x －2.【解析】略2.在二项式(ax m ＋bx n )12(a ＞0，b ＞0，m 、n≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．(1)求它是第几项；(2)求的范围．【答案】(1)设T r ＋ 1 ＝C(ax m )12－r ·(bx n )r＝Ca 12－r b r x m(12－r)＋nr 为常数项，则有m(12－r)＋nr ＝0，即m(12－r)－2mr ＝0，∴r ＝4，它是第5项．(2)∵第5项又是系数最大的项，∴有由①得a 8b 4≥a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴ b≥a ，即≤.由②得≥，∴≤≤.【解析】略3.若(1＋x)6(1－2x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11.求：(1)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11；(2)a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.【答案】(1)(1＋x)6(1－2x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－26，①又令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 11＝－26－1＝－65.(2)再令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 11＝0②①＋②得a 0＋a 2＋…＋a 10＝(－26＋0)＝－32.【解析】略4.设a n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1，A n ＝Ca 1＋Ca 2＋…＋Ca n .(1)用q 和n 表示A n ；(2)又设b 1＋b 2＋…＋b n ＝.求证：数列是等比数列．【答案】(1)∵q≠1，∴a n ＝.∴A n ＝C ＋C ＋…＋C＝[(C ＋C ＋…＋C)－(Cq ＋Cq 2＋…＋Cq n )]＝[2n －(1＋q)n ]．(2)证明：∵b 1＋b 2＋…＋b n＝＝，∴b 1＋b 2＋…＋b n －1＝两式相减得：b n ＝n －1∴＝≠0， ∴是等比数列．【解析】略。
河北高中数学试题及答案
河北高中数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为：A. 1B. -1C. -5D. 52. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2, 4}3. 若直线l的方程为y = 2x + 1，则该直线的斜率为：A. 1C. 3D. 44. 已知向量a = (3, -2)，b = (1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. -1B. 1C. -4D. 45. 函数y = x^2 - 4x + 4的最小值出现在x =：A. 0B. 2C. 4D. -26. 若复数z满足|z| = 1，则z的共轭复数的模长为：A. 0C. 2D. -17. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则a5的值为：A. 14B. 17C. 11D. 88. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点在x轴上，则a和b 的关系为：A. a > bB. a < bC. a = bD. a = -b9. 函数y = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-1, 1]B. [-√2, √2]C. [0, 2]D. [1, √2]10. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(1, -4)，则a的值为：A. 2B. -2C. 4D. -4二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = ________。
12. 若直线l与直线2x + 3y - 6 = 0平行，则l的方程可以表示为________。
13. 已知向量a = (4, 1)，b = (2, -3)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为 ________。
14. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 3，公比q = 2，则b3的值为________。
2024届河北省秦皇岛市部分高中高三二模数学试题(解析版)
高三数学考试本试卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答；用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数据24，61，46，37，52，16，28，15，53，24，45，39的第75百分位数是（）A.34.5B.46C.49D.52【答案】C 【解析】【分析】根据百分位数定义求解即可.【详解】先按照从小到大排序：15，16，24，24，28，37，39，45，46，52，53，61，共12个数据，12×75%=9，第9，10个数据分别为46，52，则第75百分位数为4652492+=.故选：C.2.已知集合{}23840A x x x =-+<，{}lg 0B x x =≤，则A B ⋃=（）A.2,13⎛⎤⎥⎝⎦B.[)1,2 C.(),2-∞ D.()0,2【答案】D 【解析】【分析】解不等式23840x x -+<得集合223A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，根据对数函数的定义域和单调性，解lg 0x ≤得{}01B x x =<≤，所以()0,2A B ⋃=.【详解】由题意可得{}22384023A x x x xx ⎧⎫=-+<=<<⎨⎬⎩⎭，{}{}lg 001B x x x x =≤=<≤，故()0,2A B ⋃=.故选：D 3.已知向量(),23a m m =+ ，()1,41b m =+ ，则“34m =-”是“a 与b 共线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出m 的值，判断得解.【详解】向量(),23a m m =+ ，()1,41b m =+ ，若a 与b共线，则()()41230m m m +-+=.解得34m =-或1m =，所以“34m =-”是“a 与b 共线”的充分不必要条件，故选：A.4.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B Ca b c +=，22213131013b c bc a +=+，则tan B 的值为（）A.712 B.34C.127D.43【答案】C 【解析】【分析】先利用正弦定理化边为角，得出111tan tan A B+=，再利用余弦定理求出角A 即可得解.【详解】因为cos cos sin A B C a b c +=，由正弦定理得cos cos sin sin sin sin A B CA B C+=，所以111tan tan A B+=，又22213131013b c bc a+=+，则2221013b c a bc +-=，由余弦定理得2225cos 213b c a A bc +-==，又()0,πA ∈，所以12sin 13A ==，所以12tan 5A =，所以12tan 7B =.故选：C .5.将数列{}31n +与数列{}41n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前30项的和为（）A.3255B.5250C.5430D.6235【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的特点得到数列{}31n +和数列{}41n -均为等差数列，然后令123141n n +=-，得到21423n n -=，然后通过列举得到数列{}n a 为等差数列，最后利用等差数列求和公式计算即可.【详解】显然数列{}31n +和数列{}41n -均为等差数列，令123141n n +=-，其中*12,n n ∈N ，可得21423n n -=，则22,5,8,n =⋅⋅⋅，则数列{}n a 为等差数列，且14217a =⨯-=，公差为()()45142112⨯--⨯-=，所以{}n a 的前30项的和为30293071254302⨯⨯+⨯=.故选：C.6.已知函数()()cos 0f x x a x ωωω+>图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4，且()π023f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 在下列区间单调递增的是（）A.ππ,64⎛⎫-⎪⎝⎭ B.5π5π,46⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.4ππ,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.5π19π,412⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意可得函数()f x 的最小正周期为π，即可求出ω，再根据()π023f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求出a ，再利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的单调性逐一判断即可.【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期为π4π4T =⨯=，所以2π2Tω==，则()2cos 2f x x a x =+，所以()0f a =，π32π31cos32322f a a ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故π31(0)2322f f a ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，解得1a =，所以()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，A 选项，当ππ,64x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2663x -<+<，故函数()f x 在区间ππ,64⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；B 选项，当5π5π,46x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，7ππ3π2362x -<+<-，故函数()f x 在区间5π5π,46⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；C 选项，当4ππ,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，13ππ17π2666x <+<，故函数()f x 在区间4ππ,3⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故C 错误；D 选项，当5π19π,412x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，8ππ10π2363x <+<，故函数()f x 在区间5π19π,412⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故D 错误.故选：B.7.已知A ，B 为椭圆C ：22195x y +=上两个不同的点（直线AB 与y 轴不平行），F 为C 的右焦点，且4AF BF +=，若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，则FP =（）A.43B.53C.54 D.32【答案】A 【解析】【分析】设点()11,A x y ，()22,B x y ，求出AF 和BF ，由条件得123x x +=，依次求得线段AB 的中点坐标和其中垂线斜率，写出中垂线方程，令0y =，求得点P 横坐标即得.【详解】如图，由题意知()2,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 在C 上，则2211195x y +=，2222195x y +=，所以1233AF x ===-，同理可得2233BF x =-，所以122233433AF BF x x +=-+-=，所以123x x +=，因线段AB 的中点为123,22y y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，1212AB y y k x x -=-，则AB 的垂直平分线的斜率为1212x x y y ---，又由2211195x y +=，2222195x y +=，作差化简得：()2222122159y y x x -=-，则线段AB 垂直平分线的方程为121212322x x y y y x y y -+⎛⎫=--+⎪-⎝⎭，令0y =，得：()()()()2222211212121255359922226x x x x y yx x x x x -+--===-=---，解得23x =，所以24233FP =-=.故选：A.8.已知直线()30y ax a =+>与函数()3e x bf x +=的图象相切，则函数()f x 的图象在1x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值为（）A.3eB.32e C.33e D.34e 【答案】B 【解析】【分析】根据导数的几何意义，求出0133x a =-，09ln 3ln 133a a b x a=-=-+，构造函数()9ln13x g x x=-+，0x >，求出min ln 3b =，求出函数()f x 的图象在1x =处的切线方程，求出切线与坐标轴围成的三角形的面积得解.【详解】设切点为()030,e x bx +，又()33ex bf x +='，所以003303e ,e3,x bx ba ax ++⎧=⎪⎨=+⎪⎩解得0133x a =-，09ln 3ln 133a a b x a =-=-+，0a >.令()9ln 13x g x x =-+，0x >，所以()22199x g x x x x ='-=-，令()0g x '>，解得9x >，令()0g x '<，解得09x <<，所以()g x 在()0,9上单调递减，在()9,∞+上单调递增，所以()()min 9ln 3g x g ==，所以min ln 3b =.函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为()33e 3e 1bb y x ++-=-，即333e 2e b b y x ++=-，令0x =，得32e b y +=-；令0y =，得23x =，所以函数()f x 的图象在1x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积33ln 3322e e 2e 33b S ++=≥=，即函数()f x 的图象在1x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值为32e .故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出09ln 3ln 133a a b x a =-=-+，构造函数()9ln 13x g x x=-+，0x >，求出b 的最小值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若1211z z -=-，则12=z z B.若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C.若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D.若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =【答案】BD 【解析】【分析】利用特殊值判断A 、C ，设()221i ,,0z a b a b a b =+∈+≠R ，()222i ,,0z c d c d c d =+∈+≠R ，根据复数的模推导出0ac bd +=，即可判断B ，再由1212z z z z +=+得到ad bc =，即可判断D.【详解】取12i z =，21i z =-+，此时1211z z -=-，但是12z z ≠，故A 错误；设()221i ,,0z a b a b a b =+∈+≠R ，()222i ,,0z c d c d c d =+∈+≠R ，则1(,)OZ a b = ，2(,)OZ c d =，所以()12i z z a c b d +=+++，()12i z z a c b d -=-+-，又1212z z z z +=-=，整理得0ac bd +=，所以120OZ OZ ac bd ⋅=+=，故B 正确；取11z =，2i z =，此时1212z z z z +=-，但是120z z ⋅≠，故C 错误；因为1212z z z z +=+=，即222222()()a c b d a b c d +++=+++，整理得()20ad bc -=，所以ad bc =，则12//OZ OZ ⇒存在实数t 使()(),,a b t c d =，所以存在实数t ，使得21z tz =，故D 正确.故选：BD.10.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是矩形，3AB =，4=AD ，16AA =，点P 是棱1AA 的中点，点M 是侧面11AA B B 内的一点，则下列说法正确的是（）A.直线PC 与直线1C D 所成角的余弦值为170B.存在点M ，使得MC BD⊥C.若点M 是棱1BB 上的一点，则点M 到直线PC 的距离的最小值为125D.若点M 到平面ABCD 的距离与到点1A 的距离相等，则点M 的轨迹是抛物线的一部分【答案】ACD 【解析】【分析】以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系、线面角的向量公式，点到直线的向量公式和抛物线的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】以点A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.所以(3,0,0)B ，1(0,0,6)A ，(3,4,0)C ，1(3,4,6)C ，(0,0,3)P ，(0,4,0)D ，所以(3,4,3)CP =-- ，1(3,0,6)DC =，所以，1113170cos ,170CP DCCP DC CP DC ⋅==，所以直线PC 与直线1C D所成角的余弦值为170，故A 正确；由题意，设()(,0,)03,06M x z x z ≤≤≤≤，则()3,4,MC x z =-- ，又()3,4,0BD =-，若MC BD ⊥，则93160MC BD x ⋅=-++= ，解得73x =-，所以不存在点M ，使得MC BD ⊥，故B 错误；设()()3,0,06M z z ≤≤，所以()0,4,CM z =-，所以点M 到直线PC的距离sin ,d CM CP CM CM ===所以min 125d =，此时4825z =，所以点M 到直线PC 的距离的最小值为125，故C 正确；设(,0,)(03,06)M x z x z ≤≤≤≤，则点M 到平面ABCD 的距离为z ，点M 到点1A的距离为1A M =.因为点M 到平面ABCD 的距离与到点1A的距离相等，所以z =，整理得21236x z =-（其中03x ≤≤，06z ≤≤），即点M 的轨迹方程为21236(03,06)x z x z =-≤≤≤≤，是抛物线的一部分，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()f x 满足：对,x y ∀∈R ，都有()()()()()11f x y f x f y f x f y -=+++，且()()02f f ≠，则下列说法正确的是（）A.()10f = B.()00f =C.()()20f x f x +-= D.()202611i f i ==-∑【答案】ACD 【解析】【分析】对,x y 赋值，代入计算并结合条件分析可判断AB ，赋值0x =后可判断函数为偶函数，再令1x =得出(1)(1)f y f y -=-+，再由1y x =-可判断C ，求出函数周期，利用周期判断D.【详解】令0x y ==，则()()()22001f f f ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦，令1x y ==，则()()()22012f f f ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦，所以()()2202f f ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，因为()()02f f ≠，所以()()02f f =-，令1x =，0y =，则()()()()()101120f f f f f =+=，故A 正确；结合选项A 可得()()200f f ⎡⎤=⎣⎦，所以()00f =或()01f =.若()00f =，则()()()220120f f f ⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦，所以(2)0f =，此时与(0)(2)f f ¹矛盾，舍去；若(0)1f =，则22(0)[(1)][(2)]1f f f =+=，解得(2)1f =±，因为(0)(2)f f ¹，所以(2)1f =-，故B 错误；令0x =，则()(0)()(1)(1)f y f f y f f y -=++，因为(1)0f =，(0)1f =，所以()()f y f y -=，所以()f x 为偶函数，令1x =，则(1)(1)()(2)(1)(2)(1)(1)f y f f y f f y f f y f y -=++=+=-+，所以(1)(1)f y f y -=-+，令1y x =-，则()(2)f x f x =--，即()(2)0f x f x +-=，故C 正确；由()f x 为偶函数，所以()()(2)f x f x f x -==--，则()(2)()f x f x f x +=--=-，则()(4)(2)f x f x f x +=-+=，即()(4)f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，又(1)(2)(3)(4)1(3)(4)1(1)(0)(1)(1)0f f f f f f f f f f +++=-++=-+-+=-==，所以()()()()()()()202615061234121i f i f f f f f f =⎡⎤=+++++=-⎣⎦∑，故D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某节体育课上，胡老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有__________种.【答案】72【解析】【分析】根据给定条件，利用不相邻问题列式计算即得.【详解】依题意，2名女生不相邻，则有2334A 62A 127=⨯=.故答案为：7213.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过坐标原点O 的直线与C 交于A ，B 两点，且2FA FB =，23FA FB a ⋅=，则C 的离心率为_________.【答案】2【解析】【分析】记C 的右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，由双曲线的定义结合题意可得4FA a =，12AF a =，再由数量积的定义和余弦定理可得22264a c =，即可求出答案.【详解】记C 的右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，如图所示.过坐标原点O 的直线与C 交于A ，B 两点，所以四边形1AFBF 为平行四边形，所以1FB AF =，因为12FA AF a -=，122FA FB AF ==，所以4FA a =，12AF a =.因为2cos 3FA FB FA FB AFB a ⋅=⋅∠= ，所以2233cos 88a AFB a ∠==.在1AFF 中，由余弦定理可得22214164242cos c a a a a FAF =+-⨯⨯∠，因为13cos 8cos FAF AFB ∠-=-∠=，所以22264a c =，即2e =，即C 的离心率为2.故答案为：262.14.已知正三棱台111ABC A B C -的所有顶点都在表面积为65π的球O 的球面上，且112AB A B ==，则正三棱台111ABC A B C -的体积为___________.【答案】【解析】【分析】先由球的表面积公式求出球O 的半径为R ，利用正弦定理求出上下底面外接圆的半径，进而求出球心到上下底面的距离，分上下底面在球心的同侧和异侧两种情形求出正三棱台111ABC A B C -的高，再由体积公式即可得出答案.【详解】设点1O ，2O 分别是111A B C △，ABC 的外接圆的圆心，球O 的半径为R ，则24π65πR =，解得652R =，且1O ，2O ，O 三点共线，正三棱台111ABC A B C -的高为12O O ，在等边ABC中，AB =由正弦定理可得：22sin 602AB AO ==︒，得24AO =.在等边111A B C △中，11A B =由正弦定理可11112sin 6032A B AO ==︒112AO=.在11Rt OO A 中，222111OO O A R +=，即216544OO +=，得172OO =，在2Rt OO A △中，22222OO O A R +=，即2265164OO +=，得212=OO ，如果三棱台的上下底面在球心O 的同侧，如图1所示，则正三棱台的高为121271322O O OO OO =-=-=，所以正三棱台111ABC A B C -的体积2213344V ⎢=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎣.如果三棱台的上下底面在球心O 的两侧，如图2所示，则正三棱台的高为121271422O O OO OO =+=+=，此时正三棱台111ABC A B C -的体积2222133343444V ⎤⎢⎥=⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦.综上，正三棱台111ABC A B C -的体积为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：先由球的表面积公式求出球O 的半径为R ，利用正弦定理求出上下底面外接圆的半径，进而求出球心到上下底面的距离，分上下底面在球心的同侧和异侧两种情形求出正三棱台111ABC A B C -的高，再由体积公式即可得出答案.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列{}2n S +是公比为2的等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()121n n n b n n a ++=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.【答案】（1）2n n a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出数列{}2n S +的通项，再根据n a 与n S 的关系结合{}n a 是等比数列，即可得解；（2）利用裂项相消法求解即可.【小问1详解】因为数列{}2n S +是公比为2的等比数列，又1122S a +=+，所以()11222n n S a -+=+⋅.当2n ≥时，由()11222n n S a -+=+⋅，得()211222n n S a --+=+⋅，两式相减得()()21222n n a a n -=+⋅≥，又{}n a 是等比数列，所以32122a a a a ==，所以1122a a +=，解得12a =，所以()22nn a n =≥，当1n =时上式成立，所以2n n a =；【小问2详解】由（1）知1112211(1)(1)22(1)2nn n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅⋅+⋅，所以123n nT b b b b =+++⋅⋅⋅+2231111111122222322(1)2n n n n +=-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⋅+⋅1112(1)2n n +=-+⋅，又110(1)2n n +>+⋅，所以12nT <.16.羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打平口端扎有一圈羽毛的半球状软木的室内运动，某学校为了解学生对羽毛球的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2×2列联表：喜欢不喜欢总计男生4060100女生8020100总计12080200（1）依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为“是否喜欢羽毛球”与性别有关联?（2）为了增强学生学习羽毛球的积极性，从调查结果为“喜欢”的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加羽毛球集训，再从这6人中随机抽取3人参加羽毛球比赛，记随机变量X 为这3人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.1000.0500.0100.001x α 2.706 3.841 6.63510.828【答案】（1）有关联（2）分布列见解析，2【解析】【分析】（1）根据题意计算2χ，并与临界值对比分析；（2）由分层抽样可得抽取的6人中，男生2人，女生4人，X 的所有可能取值为1，2，3，依次求出相应的概率，得到分布列，求出数学期望.【小问1详解】零假设为0H ：“是否喜欢羽毛球”与性别无关联，根据列联表中的数据，经计算得到()222004020608010033.33310.828120801001003χ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，依据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为“是否喜欢羽毛球”与性别有关联.【小问2详解】依题意，抽取的6人中，男生人数为：40624080⨯=+人，女生人数为80644080⨯=+人X 的所有可能取值为1，2，3，所以221436C C 1(1)C 5P X ===，122436C C (2)C 35P X ===，3436C 1(3)C 5P X ===，X 的分布列为：X123P153515所以131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，BA BD BP ===，1CD =，PA PD ==，PA PD ⊥，E是棱PA 的中点，且//BE 平面PCD ，点F 是棱PD 上的一点.（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；（2）若直线PC 与平面ABF 所成角的正弦值为1135105，求DF 的长【答案】（1）证明见解析（2）23DF =或32241DF =.【解析】【分析】（1）取AD 的中点O ，连接PO ，BO ，EO .欲证平面PCD ⊥平面PAD ，需证平面PCD 中一条直线垂直平面PAD ，如CD ⊥平面PAD ，欲证线面垂直，需证直线垂直于平面内两条相交直线：PO CD ⊥，AD CD ⊥.再根据条件，结合勾股定理的逆定理可以证明.（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，先根据直线和平面所成的角确定F 点的坐标，再求DF 的长.【小问1详解】取AD 的中点O ，连接PO ，BO ，EO ，因为E 是棱PA 的中点，所以EO PD ∥，又EO ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以//EO 平面PCD ，又//BE 平面PCD ，B E E O E = ，,BE EO ⊂平面BEO ，所以平面//BEO 平面PCD ，又平面BEO 平面ABCD BO =，平面PCD 平面ABCD CD =，所以BO CD ∥.在ABD △中，5BA BD ==，222AD PA PD =+=，又O 是AD 的中点，所以BO AD ⊥，2BO =，又易得1PO =，5BP =，所以222BO PO BP +=，所以PO BO ⊥，所以PO CD ⊥，AD CD ⊥，又PO AD O = ，,PO AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD .【小问2详解】因为PA PD =，点O 是AD 的中点，所以PO AD ⊥，所以OB ，OD ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，OB ，OD ，OP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.所以(0,0,1)P ，(0,1,0)D ，(1,1,0)C ，(0,1,0)A -，(2,0,0)B ，设(0,1,1)(0,,)(01)DF DP λλλλλ==-=-≤≤，所以(2,1,0)(0,,)(2,1,)BF BD DF λλλλ=+=-+-=--，(2,1,0)AB = .设平面ABF 的一个法向量(,,)n x y z =，所以2(1)0,20,n BF x y z n AB x y λλ⎧⋅=-+-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令x λ=，解得2y λ=-，42z λ=-，所以平面ABF 的一个法向量(,2,42)n λλλ=--，又(1,1,1)CP =--，设直线PC 与平面ABF 所成角的大小为θ，所以sin cos ,105n CP n CP n CP θ⋅====，解得13λ=或3241λ=，所以133DF PD ==或324141DF PD ==.18.已知抛物线E ：22x y =的焦点为F ，点P 是x 轴下方的一点，过点P 作E 的两条切线12,l l ，且12,l l 分别交x 轴于,M N 两点.（1）求证：F ，P ，M ，N 四点共圆；（2）过点F 作y 轴的垂线l ，两直线12,l l 分别交l 于,A B 两点，求PAB 的面积的最小值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）在取定点()00,P x y 后，考虑过该点的切线斜率k 满足的二次方程，然后证明一个垂直关系，即可得到共圆；（2）从斜率k 满足的二次方程出发，可以对12,l l 的斜率12,k k 使用韦达定理，并可以使用12,k k 表示PAB 的面积，二者结合后可将PAB 的面积表示成函数形式，再使用不等式222a b ab +≥证明439PAB S ≥，最后给出取到等号的例子10,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭即可.【小问1详解】设()00,P x y ，若过点P 且斜率为k 的直线()00y k x x y =-+与抛物线22x y =相切，则联立后得到的关于x 的方程()()2002x k x x y =-+只有一个实数根.此即关于x 的二次方程2002220x kx kx y -+-=的判别式等于零，即()20044220k kx y --=，得()2002k y kx =--.另一方面，该直线与x 轴交于点00,0y x k ⎛⎫-⎪⎝⎭，而该点与10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭的连线的斜率为()200001122k k y y kx k kx k==-=---.所以，过点P 作抛物线的切线后，该切线与x 轴的交点到焦点F 和点P 的连线互相垂直.这就说明90PMF PNF ∠=∠=︒，从而9090180PMF PNF ∠+∠=︒+︒=︒，所以F ，P ，M ，N 四点共圆.【小问2详解】由l 的定义知其方程为12y =，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则根据第1小问的解析，知12,k k 都是关于k 的方程()2002k y kx =--即200220k x k y -+=的根.故1202k k x +=，1202k k y =.由于12,l l 均过点()00,P x y ，故其方程分别为()100y k x x y =-+和()200y k x x y =-+.在()100y k x x y =-+中令12y =，得00001111222y y x x x k k --=+=+，从而得到001121,22y A x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，同理002121,22y B x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.所以00120002112121211122222y y k k AB y y y k k k k ---=-=-⋅=-=-由00y <，可设0u =>，则2012y u =-，进而得到22220011112222PAB u S AB y y ⎛⎫+=⋅-=-== ⎪⎝⎭所以()()222224111244PABu Su u uu+==++ ()224211413433u u u u u ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221421243u u u ⎛⎫≥⋅+⋅- ⎪⎝⎭（这里使用了不等式222a b ab +≥）223133343436326399u u u ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭.另一方面，当10,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，12,l l 的斜率分别是33,33-，可求得231,32A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，231,32B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.从而此时433AB =，故143114323269PAB S ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .综上，PAB .19.定义：如果函数()y f x =和()y g x =的图象上分别存在点M 和N 关于x 轴对称，则称函数()y f x =和()y g x =具有C 关系.（1）判断函数()48xf x =-和()12x g x +=是否具有C 关系；（2）若函数()ln 1f x x ax =--和()21g x x =-不具有C 关系，求a 的取值范围；（3）若函数()()e 1xf x x =-和()()sin 0g x x m x m =+<在区间()0,π上具有C 关系，求m 的取值范围.【答案】（1）()f x 与()g x 具有C 关系，理由见解析（2）()1,-+∞（3）(),1-∞-.【解析】【分析】（1）根据定义，若()f x 与()g x 具有C 关系，则在()f x 与()g x 的定义域的交集上存在x ，使得()()0f x g x +=，计算得解；（2）根据题意，()x ϕ在()0,∞+上的值恒为负或恒为正.若()0x ϕ>在()0,∞+上恒成立，由(1)10a ϕ=-->，即1a <-，利用导数判断(1)0a ϕ-<矛盾；若()0x ϕ<在()0,∞+上恒成立，转化为2ln x x a x ->，令2ln ()x x L x x-=，利用导数求出()L x 的最大值，得解；（3）构造函数()e sin x h x x m x =+，将问题转化为()h x 在()0,π上存在零点，分类讨论10m -≤<与1m <-，利用导数与函数的关系证得1m <-时，()h x 在()0,π上有零点，从而得解.【小问1详解】()f x 与()g x 具有C 关系，理由如下：根据定义，若()f x 与()g x 具有C 关系，则在()f x 与()g x 的定义域的交集上存在x ，使得()()0f x g x +=，又()48x f x =-，1()2x g x +=，x ∈R ，所以()1()4820x x f x g x ++=-+=，即()()22240xx -+=，即得220x -=，解得1x =，所以()f x 与()g x 具有C 关系.【小问2详解】因为()ln 1f x x ax =--，()21g x x =-，令()()()2ln x f x g x x ax x ϕ=+=--，()0,x ∈+∞，因为()f x 与()g x 不具有C 关系，又()x ϕ在()0,∞+上的图象连续不断，所以()x ϕ在()0,∞+上的值恒为负或恒为正.若()0x ϕ>在()0,∞+上恒成立，则(1)10a ϕ=-->，即1a <-，又当1a <-时，2(1)ln(1)(1)(1)ln(1)(1)a a a a a a a ϕ-=-----=---，令()ln u x x x =-，所以()111x u x x x-'=-=，令()0u x '>，所以01x <<，令()0u x '<，解得1x >，所以()u x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()(1)10u x u ≤=-<，所以(1)0a ϕ-<，与假设矛盾，所以不存在a 使得()0x ϕ>在()0,∞+上恒成立.若()0x ϕ<在()0,∞+上恒成立，即2ln x x a x->，令2ln ()x x L x x -=，所以()221ln x x L x x--'=，又21ln y x x =--在()0,∞+上单调递减，所以当01x <<时，221ln1ln 110y x x >-=---=，所以()0L x '>，当1x >时，21ln 0y x x =--<，所以()0L x '<，所以()L x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以max ()(1)1L x L ==-，所以1a >-，即a 的取值范围是()1,-+∞.【小问3详解】因为()()e 1xf x x =-，()sin (0)g x x m x m =+<，令()()()h x f x g x =+，则()e sin x h x x m x =+，因为()f x 与()g x 在()0,π上具有C 关系，所以()h x 在()0,π上存在零点，因为()(1)e cos x h x m x x '=++，当10m -≤<且()0,πx ∈时，因为(1)e 1x x +>，cos 1m x m <≤，所以()0h x '>，所以()h x 在()0,π上单调递增，则()(0)0h x h >=，此时()h x 在()0,π上不存在零点，不满足题意；当1m <-时，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1cos 0x -<≤，所以()0h x '>，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()(1)e cos x y h x m x x '==++，则()2e sin 0x y x m x '=+->，所以()h x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()100h m '=+<，π2ππ1e 022h ⎛⎫⎛⎫=+'> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()h x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点，设为0x ，使得()00h x '=，所以当()00,x x ∈，()0h x '<；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '>；又当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '>，所以()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,πx 上单调递增，所以()h x 在()0,π上存在唯一极小值点0x ，因为(0)0h =，所以()00h x <，又因为π(π)πe 0h =>，所以()h x 在()0,π上存在唯一零点1x ，所以函数()f x 与()g x 在()0,π上具有C 关系.综上，m 的取值范围是(),1-∞-.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到()f x 与()g x 具有C 关系，则在()f x 与()g x 的定义域的交集上存在x ，使得()()0f x g x +=，从而得解.。
河北高三高中数学期末考试带答案解析
河北高三高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若复数，则（）A．B．C．1D．22.已知集合，则（）A．B．C．D．3.已知函数的最小正周期为，则（）A．1B．C．-1D．4.在区间内随机取出一个实数，则的概率为（）A．0.5B．0.3C．0.2D．0.1 5.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．2014B．2013C．1008D．10076.已知实数满足约束条件，则的最大值是（）A．2B．0C．-10D．-1 57.如图为互相垂直的两个单位向量，则（）A．20B．C．D．8.湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（）A．B．C．D．9.已知等比数列中，若成等差数列，则公比（）A．1B．1或2C．2或-1D．-110.已知函数，则它们的图象可能是（）11.已知函数，且，若函数在区间上的最大值为2，则（）A．B．C．D．12.在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则取得最大值时，内角的值为（）A．B．C．D．二、填空题1.若时，，则的取值范围是2.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为3.已知圆与直线相切，则4.设互不相等的平面向量组，满足：①；②，若，则的取值集合为三、解答题1.（本小题满分10分）在中，内角所对的边分别为，且。
（1）求；（2）若，求的周长的最大值。
2.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，为等比数列，且，。
（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和.3.（本小题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如下：规定:当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品。
（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；（2）现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件，求至少抽到一件该元素含量为10毫克或13毫克的产品的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河北高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.平面α外的一条直线a 与平面α内的一条直线b 不平行，则( )A ．a ∥\αB ．a ∥αC ．a 与b 一定是异面直线D ．α内可能有无数条直线与a 平行2.正方体的表面积是a 2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．B ．C ．2πa 2D ．3πa 23.若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为，且底面边长为2，则高为( )A ．1B ．2C ．3D ．44.．已知直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，则下列命题正确的是A ．若α∥β，则m ⊥nB ．若α⊥β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，则α∥βD ．若n ∥α，则α∥β5.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成的角的余弦值是( )A. B.C. D.6.设有三个命题，甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中，真命题的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm ，O′C′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形 8.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )A. B.C. D.9.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A. B.C. D.10.已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( )A ．和AC 、MN 都垂直B ．垂直于AC ，但不垂直于MNC ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MN 都不垂直12.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部二、填空题1.若正三棱锥底面的边长为a ，且每两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为_______2.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E 为AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为_____3.a ，b ，c 是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ； ③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b.上述命题中正确的________(只填序号)．4.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)三、解答题1.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：CD ⊥PD ；(2)求证：EF∥平面PAD.2.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，现沿AC折成二面角D－AC－B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线．(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；(2)当a为何值时，二面角D－AC－B为45°3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；(2)证明：线段PC的中点为球O的球心4.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值；(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.5.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；6.如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若＝，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN ；(2)若D 1P ：PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角M －B 1N －B 的余弦值；(3)棱DD 1上是否总存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．河北高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线b不平行，则()A．a∥\αB．a∥αC．a与b一定是异面直线D．α内可能有无数条直线与a平行【答案】D【解析】略2.正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是()A．B．C．2πa2D．3πa2【答案】B【解析】略3.若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为，且底面边长为2，则高为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】略4.．已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是A．若α∥β，则m⊥n B．若α⊥β，则m∥n C．若m⊥n，则α∥βD．若n∥α，则α∥β【答案】A【解析】略5.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成的角的余弦值是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】略6.设有三个命题，甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中，真命题的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】想要得到三个命题中真命题的个数，我们只要根据平行六面体及长方体的特征对甲、乙、丙三个结论逐一进行判断即可得到答案．解：底面是平行四边形的四棱柱它的六个面均为平行四边形，故它是一个平行六面体故命题甲正确，底面是矩形的平行六面体它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体故命题乙不正确，直四棱柱它的底面不一定是平行四边形故直四棱柱不一定是直平行六面体故命题丙不正确，故真命题个数为1，故选B7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm ，O′C′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形 【答案】C【解析】本题考查斜二测画法的逆用解：根据斜二测的画法可得,还原出的图如下，其中(平行于轴的长度不变).（平行于轴的长度扩为2倍）.由于,且，所以为平行四边形，又,所以为菱形.故答案为C.8.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】略9.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】略10.已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α【答案】D【解析】略11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( )A ．和AC 、MN 都垂直B ．垂直于AC ，但不垂直于MNC ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MN 都不垂直【答案】A【解析】此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零．解：以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a ，则D （0，0，0）、D 1（0，0，2a ）、M （0，0，a ）、A （2a ，0，0）、C （0，2a ，0）、O （a ，a ，0）、N （0，a ，2a ）． ∴=（-a ，-a ，a ），=（0，a ，a ），=（-2a ，2a ，0）．∴?=0，?=0，∴OM ⊥AC ，OM ⊥MN ．故选A ．12.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部【答案】A【解析】如图，C 1在面ABC 上的射影H 必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC ⊥面ABC 1就可以了．解：?CA ⊥面ABC 1?面ABC ⊥面ABC 1，∴过C 1作垂直于平面ABC 的线在面ABC 1内，也在面ABC 内∴点H 在两面的交线上，即H ∈AB ．故选A二、填空题1.若正三棱锥底面的边长为a ，且每两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为_______【答案】a【解析】略2.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E 为AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为_____【答案】 a【解析】略3.a ，b ，c 是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ； ③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b.上述命题中正确的________(只填序号)．【答案】①【解析】略4.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)【答案】①④【解析】略三、解答题1.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：CD ⊥PD ；(2)求证：EF ∥平面PAD.【答案】 (1)∵PA ⊥平面ABCD ，而CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，AD∩PA ＝A ，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.(2)取CD的中点G，连接EG、FG.∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD，∴平面EFG∥平面PAD，又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PAD.【解析】略2.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，现沿AC折成二面角D－AC－B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线．(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；(2)当a为何值时，二面角D－AC－B为45°【答案】(1)证明：由题知BC⊥BD，又BC⊥AB.∴BC⊥面ABD，∴面ABC⊥面ABD.(2)作DE⊥AB于E，由(1)知DE⊥面ABC，作EF⊥AC于F，连DF，则DF⊥AC，∴∠DFE为二面角D－AC－B的平面角．即∠DFE＝45°.EF＝DE＝DF，∵DF＝，AF＝且＝，解得a2＝，a＝.【解析】略3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；(2)证明：线段PC的中点为球O的球心【答案】 (1)证明：∵AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AM.∵PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴PA⊥CM. ∵AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴CM⊥平面PAB.∵CM⊂平面PCM，∴平面PAB⊥平面PCM.(2)证明：由(1)知CM⊥平面PAB.∵PM⊂平面PAB，∴CM⊥PM.∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC.如图，，取PC的中点N，连结MN、AN.在Rt△PAC中，点N 为斜边PC的中点，∴AN＝PN＝NC.在Rt△PCM中，点N为斜边PC的中点，∴MN＝PN＝NC.∴PN＝NC＝AN＝MN.∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心．【解析】略4.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值；(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.【答案】(1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D－xyz. ∵∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)，由PD ⊥平面ABCD ，得∠PAD 为PA 与平面ABCD 所成的角，∴∠PAD ＝60°.在Rt △PAD 中，由AD ＝2，得PD ＝2，∴P(0,0,2)．(2)∵＝(2,0，－2)，＝(－2，－3,0)，∴cos<，>＝＝－，所以PA 与BC 所成角的余弦值为(3)证明：∵M 为PB 的中点，∴点M 的坐标为(1,2，)， ∴＝(－1,2，)，＝(1,1，)，＝(2,4，－2)，∵·＝(－1)×2＋2×4＋×(－2)＝0，·＝1×2＋1×4＋×(－2)＝0，∴⊥，⊥，∴PB ⊥平面AMC ∵PB ⊂平面PBC ∴平面AMC ⊥平面PBC .【解析】略5.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；【答案】(1)∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BD. ∵ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面SAC. ∵BD ⊂平面EBD ， ∴平面EBD ⊥平面SAC.(2)设AC∩BD ＝F ，连SF ，则SF ⊥BD.∵AB ＝2.∴BD ＝2. ∵SF ＝＝＝3∴S △SBD ＝BD·SF＝·2·3＝6.设点A 到平面SBD 的距离为h ，∵SA ⊥平面ABCD ， ∴·S △SBD ·h＝·S △ABD ·SA ，∴6·h ＝·2·2·4， ∴h ＝， ∴点A 到平面SBD 的距离为.【解析】略6.如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若＝，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN ；(2)若D 1P ：PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角M －B 1N －B 的余弦值；(3)棱DD 1上是否总存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．【答案】 (1)证明：连结AC 、BD ，则BD ⊥AC ，∵＝， ∴MN ∥AC ，∴BD ⊥MN.又∵DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥MN ， ∵BD∩DD 1＝D ，∴MN ⊥平面BDD 1. 又P 无论在DD 1上如何移动，总有BP ⊂平面BDD 1， ∴无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN.(2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM ＝NC ＝t ，则M(1，t,0)，N(t,1,0)，B 1(1,1,1)， P(0,0，)，B(1,1,0)，A(1,0,0)， ∵＝(0,1－t,1)，B ＝又∵BP ⊥平面MNB 1，∴·B ＝0，即t －1＋＝0，∴t ＝，∴＝(0，，1)，M ＝(－，，0)．设平面MNB 1的法向量n ＝(x ，y ，z)， 由，得x ＝y ，z ＝－y.令y ＝3，则n ＝(3,3，－2)． ∵AB ⊥平面BB 1N ，∴A 是平面BB 1N 的一个法向量，A ＝(0,1,0)． 设二面角M －B 1N －B 的大小为θ， ∴cos 〈n ，A 〉＝＝.则二面角M －B 1N －B 的余弦值为.(3)存在点P ，且P 为DD 1的中点， 使得平面APC 1⊥平面ACC 1. 证明：∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1， ∴BD ⊥平面ACC 1.取BD 1的中点E ，连PE ， 则PE ∥BD ，∴PE ⊥平面ACC 1.∵PE ⊂平面APC 1，∴平面APC 1⊥平面ACC 1.【解析】略。