流体力学_丁祖荣_上册___习题解析

流体力学B 篇题解
B1题解
BP1.1.1 根据阿佛迦德罗定律，在标准状态下（T = 273°K ，p = 1.013×105
Pa ）一摩尔
空气（28.96ɡ）含有6.022×10 23
个分子。

在地球表面上70 km 高空测量得空气密度为8.75
×10 -5㎏/m 3。

试估算此处 10 3μm 3体积的空气中，含多少分子数n (一般认为n <106
时，连续介质假设不再成立)
答： n = 1.82×10 3
提示：计算每个空气分子的质量和103μm 3体积空气的质量 解： 每个空气分子的质量为 g 1081.410
022.6g 96.2823
23
-⨯=⨯=
m 设70 km 处103μm 3体积空气的质量为M g 1075.8)m 10
10)(kg/m 1075.8(20318
3
3
5
---⨯=⨯⨯=M
3
23201082.1g
1081.4g 1075.8⨯=⨯⨯==--m M n 说明在离地面70 km 高空的稀薄大气中连续介质假设不再成立。

BP1.3.1 两无限大平行平板，保持两板的间距δ= 0.2 mm 。

板间充满锭子油，粘度为μ=
0.01Pa ⋅s ，密度为ρ= 800 kg / m 3。

若下板固定，上板以u = 0.5 m / s 的速度滑移，设油内沿板垂直方向y 的速度u (y)为线性分布，试求： (1) 锭子油运动的粘度υ；
(2) 上下板的粘性切应力η1、η2 。

答： υ= 1.25×10 – 5 m 2/s, η1=η
2
= 25N/m 2。

提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。

解：(1 ) /s m 1025.1kg/m
800/sm kg 0.012
5-3⨯===
ρμν （2）沿垂直方向（y 轴）速度梯度保持常数，
δμμ
ττ/21u dy
du
==== (0.01Ns / m 2)(0.5m/s)/(0.2×10-3m)=25N/m 2 BP1.3.2 20℃的水在两固定的平行平板间作定常层流流动。

设y 轴垂直板面，原点在下板上，速度分布u ( y )为 )(62
3y by b
Q u -=
式中b 为两板间距，Q 为单位宽度上的流量。

若设b = 4mm ，m /s m 33.03
⋅=Q 。

试
求两板上的切应力τ。

w
答：23N/m 10124.0-⨯=τ
提示：用牛顿粘性定侓求解，两板的切应力相等。

解：由对称性上下板的切应力相等
2
020
6)2(6d d b Q y b b Q y
u y y μ
μμ
τ=-=
=== 查表 μ=1.002×10 – 3Pa ·s,两板上切应力相等
232
32-33N/m 10124.0m)
104()
Ns/m 10/sm)(1.002m 33.0(6--⨯=⨯⨯=τ
BP1.3.3 牛顿液体在重力作用下，沿斜平壁 (倾斜角θ)作定常层流流动，速度分布u (y ) 为
)2(2sin 2y hy g u -=
ν
θ
式中ν为液体的运动粘度，h 为液层厚度。

试求 (1). 当030=θ时的速度分布及斜壁切应力1
w τ；
(2). 当θ = 90°时的速度分布及斜壁切应力2w τ ；
(3). 自由液面上的切应力0τ 。

答：gh w ρτ2
1
1=
； gh w ρτ=2 ； 0τ = 0 。

提示：用牛顿粘性定侓求解。

解：（1）θ= 30°时，u = g (2 h y - y 2 ) / 4ν gh y h g dy
du
y y w ρρμ
τ21)(210
1=-=
=== (2)θ= 90°时，u = g (2 h y - y 2 ) / 2ν gh y -h g dy
du
y y 2w ρρμ
τ=====00
)(
(3) 0)(sin h
0=====h y y y -h g dy
du θρμ
τ
BP1.3.4 一平板重mg = 9.81N ，面积A = 2 m 2
，板下涂满油，沿θ= 45°的斜壁滑下，油膜厚度h = 0.5 mm 。

若下滑速度U =1m/s, 试求油的粘度µ。

答：s Pa 10734.13
⋅⨯=-μ
提示：油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡，油膜切应力用牛顿粘性定
律求解，速度梯度取平均值。

解：平板受力如图BP1.3.4所示，油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡
A h
U A mg μ
τθ==sin s Pa 101.734)
(1m/s)(2m in45m)(9.81N)s 10(0.5sin 3
2
ο3⋅⨯=⨯==--UA hmg θμ BP1.3.5 一根直径d =10 mm ，长度l =3 cm 的圆柱形轴芯, 装在固定的轴套内，间隙为
δ= 0.1mm,间隙内充满粘度μ= 1.5 Pa ⋅s 的润滑油,为使轴芯运动速度分别为V= 5cm/s, 5 m/s,50 m/s 轴向推动力F 分别应为多大。

答：F 1= 0.705N, F 2 = 70.5N, F 3= 705N 。

提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。

解：F =τA ，δ
μ
τV
=，A =πd l
)Ns/m 14.1m
100.1)
m )(0.03m (0.01)s/m (1.5N 3-2V(V dl V F =⨯==πδπμ 当V 1= 5×10 –2 m/s 时，F 1= 0.705 N
V 2=5 m/s 时， F 2=70.5N
V 3=50m/s 时， F 3=705N
BP1.3.6 一圆柱形机轴在固定的轴承中匀速转动。

轴径d = 20 cm, 轴承宽b = 20cm,润滑油粘度μ=0.2Pa ·s,轴承转速为n =150r/min 。

设间隙分别为δ=0.8 mm,0.08mm,0.008mm
时,求所需转动功率W。

答:W 7740,W 774,W 4.773
21===W W W 。

提示：轴承面上的切应力用牛顿粘性定侓求解，所需功率为ωM W
= , M 为轴承面上粘性力对轴心的合力矩，ω 为角速度。

解:轴承面上的切应力为 δ
ωμ
μ
τ2d
dr du == 式中15.7rad/s /(60s/m in)(150r/m in)260/2===πn πω
轴承面上的合力矩为 δ
μωπτπτπτ4212232
bd bd d db d A M ====
所需要的功率为
)s
m
N (1062
.0 142m)π(0.2m)(0./s)s)(15.7rad (0.2Pa 42
3
232⋅=⋅⋅===δδδπμωωbd M W
当δ= 0.8 mm 时, 1
W = 77.5 W
δ= 0.08 mm 时, 2W =775 W δ= 0.008 mm 时, 3
W = 7750 W BP1.3.7 旋转圆筒粘度计由同轴的内外筒组成，两筒的间隙内充满被测流体，内筒静止，
外筒作匀速旋转。

设内筒直径d = 30 cm ；高h = 30 cm ，两筒的间隙为δ= 0.2 cm ，外筒的角速度为ω=15rad/s ，测出作用在内筒上的力矩为M = 8.5 N-m, 忽略筒底部的阻力，求被测流体的粘度μ 答：μ=0.176 Pa ·s
提示：M 为轴承面上粘性力对轴心的合力矩，粘性力用牛顿粘性定侓计算,速度梯度用平均值。

解：作用在内筒上的力 F = M / 0.5 d ＝2M/d 外筒的线速度为 )5.0(δω+=d V 由牛顿粘性定律 d M dh
dh V
A F /2)5.0(=+=
==δ
πδμωπδ
μ
τ
s
Pa 0.176)
m 0.002m )(0.15m (0.3)m (0.3)ad/s r (15)
m 10)(0.2m N 2(8.5)
50(222
-2⋅=+⨯⋅=
+=
πμδd .h πd ωM δ
BP1.4.1 用量筒量得500ml 的液体，称得液体的重量为8N ，试计算该液体的(1)密度ρ；(2) 重度g ρ；(3) 比重SG 。

答：3
kg/m 1631=ρ,3
kN/m 16=g ρ, SG =1.63.
解： (1) 3
36-2kg/m 1631m
10500)m/s )/(9.81(8=⨯=∆∆=N m τρ (2）3
32323kN/m 16m /)kgm/s 1016()m/s 81.9)(kg/m 1631(=⨯==g ρ
(3) SG = (1631 kg/m 3) / (1000 kg/m 3) = 1.63
BP1.4.2 已知水的体积弹性模量为K =2×109
Pa ，若温度保持不变，应加多大的压强Δp
才能使其体积压缩5% 。

答：Δp =108
Pa
提示：按体积弹性模量的定义计算。

解：由体积弹性模量的定义 τ
τ/d d p
K -
= 式中τ为体积。

与体积变化相应的压强变化为
Pa 100.05)Pa)(102(d 89=-⨯-=-=∆τ
τ
K
p
BP1.4.3 压力油箱压强读数为3×105
Pa ，打开阀门放出油量24kg ，压强读数降至1×105
Pa ，设油的体积弹性模量为K =1.3×10 9
Pa ，密度为ρ= 900 kg/m 3
，求油箱内油原来的体积τ。

答：τ=173.55 m 3
提示：按体积弹性模量的定义计算。

BP1.4.4 将体积为τ1的空气从0℃加热至100℃，绝对压强从100kPa 增加至500kPa ，试求空气体积变化量τ∆。

答：1727.0ττ-=∆
提示：用完全气体状态方程求解。

解：设空气为完全气体，满足状态方程，从状态1到状态2
2
2
2111T p T p ττ= 1121121
2273.0500
100273100273ττττ=+==p p T T 1112727.0)1273.0()(τττττ-=-=-=∆
BP1.4.5 玻璃毛细管的内径为d=1mm ，试计算C ︒10的水在空气中因毛细效应升高的最大值
h ∆。

答：h ∆＝0.03m 解：查
m m
s m m kg m N d g h m N 03.0101
)/81.9)(/10()/0742.0(414,
/0742.032
3322=⋅=⋅=∆=-ρσσ BP1.4.6 两块互相平行的垂直玻璃平板组成间距b=1mm 的狭缝，试求C ︒10的水在空气中因毛细效应升高的值h ∆，并于BP1.4.5作比较。

答：h ∆＝0.015m
图BE1.4.2
解：参图BE1.4.2，计算单位宽度的缝隙中水体的力平衡 hb g ∆=ρθσcos 2 m m s m kg gb h 015.0)
10)(/9810(0742
.02cos 2,
03
22=⨯==
︒=-ρθσθ 讨论：升高值只有毛细管的一半。

BP1.4.7 C ︒20空气中有一直径为d ＝1mm 的小水滴，试用拉普拉斯公式计算内外压强差
p ∆。

答：p ∆＝291.2Pa
解：Pa m
m N R p 2.291105.0)
/0728.0(2232=⨯==∆-σ
B2题解
BP2.2.1 已知速度场为u = 2y (m/s), v = 1 (m/s)，试求通过图BP2.2.1中阴影面积（1）
（右侧面）和（2）（上侧面）的体积流量Q1和Q 2 。

答：Q 1 =2 m 3/s ，Q 2 = 6 m 3/s
解：由体积流量公式（B2.2.3）式 ⎰⋅=A
A Q d )(n v
对面积（1）n = i d A = 2d y /s m 22d 4d 2)(2310
1
21
===+=
⎰⎰
y y y y y Q i j i
对面积（2）j i n s
x s y d d d d +=， dA=2d s (s 沿AB 线) ⎰⎰⎰⎰+=+=++=A A x y y x)y y (s s
x
s y y Q 1020d 2d 4d d 22d )2d d d d )((2j i j i
=/s m 62232
010
2=+x y
BP2.2.2 不可压缩粘性流体在圆管中作定常流动，圆管截面上的速度分布为
)/1(1022R r u -= cm/s ，圆管半径R =2cm ，试求截面上的体积流量Q ，平均速
度V 和最大速度m u 。

答：Q =20πc m 3/s ，V =5 cm/s ，u m = 10 cm/s
解： ⎰⎰
⎰
==⋅=
A
R
R
rdr R
r rdr u dA Q 0
22
)-(1202)(ππn v
cm/s
102cm/s 5cm
4/s cm 20/s
cm 201)-(220)4
1
-21(20)
41
21(20)(202
323220
4220
23=========-=-=⎰
V u R Q A Q V R R r R r dr R r r m R
R ππππππππ BP2.2.3 已知圆管定常流动中截面上的速度分布为
n R r u u )/1(m -= (n ≠-1,-2)
式中u m 为圆管轴线上的最大速度，R 为圆管半径。

（1）试验证截面上的平均速度为)]2)(1/[(2m ++=n n u V ； （2）取n = 1/7，求V 。

答：V = 0.8167 u m
解：（1）r r R r R u r r R r R u A u R A Q V n
R
n R d )1(2d 2)1(d 10
2m 02m 2⎰⎰⎰-=-===
πππ （a ） 由积分公式
)
2)(1( )
1()2)(1()d(1)1(1 d )1()1(1)1(d 1d )1(2
020********
++=
-++-=--+-=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡---+-=-+-=-⎰⎰⎰⎰
++++n n R R r n n R R r R r n R r R r R r r n R R r r n R r r R r R
R n R n R
n R n R
n
代入(a )式
)
2)(1(2)2)(1(2m
22m ++=++⋅=n n u n n R R u V
当n ＝1/7时 m m
8167.0)27
1)(171(2u u V =++=
BP2.2.4 在习题BP2.2.3的速度分布式中取n = 1 / 10，计算动能修正系数α，并与例B2.2.2
中n = 1/7的结果作比较。

答：α=1.031
解：由BP2.2.3 m u V m u m u 0.8658211110
1022)10
11)(101(2=⨯⨯⨯=++=
或u m / V = 1.155。

由例B2.2.2动能修正系数定义为
1.031
23
1310
1021.155)
2103)(
110
3(
15.1215.1222
32
2
3
10
/32
3
R
3
10/1232
d )1(d )1(R
d )(=⨯⨯⨯⨯++⨯⨯=
=
-
=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-==
⎰
⎰
⎰
R R r R r R r r R r V u r r V u R R
R
m
α
计算表明，与1/7指数分布相比，1/10指数分布的速度廓线更加饱满，动能修正系数更接近于1。

BP2.3.1 设平面流动的速度分布为u = x 2, v = -2 xy , 试求分别通过点（2, 0.5），（2, 2.5），（2,
5）的流线，并画出第一象限的流线图。

答：2
x y C =
解：流线方程为
x
dx
y dy xy dy
x dx 2,22
-=-= 积分可得 ln y = - 2 ln x + ln C 1, y = C x –2 或 x 2 y = C 通过（2，0.5）时 C = 2 流线为22
=y x (2，2.5 ) C = 10 102=y x
(2，5） C = 20 202=y x
BP2.3.2 设平面不定常流动的速度分布为u = x + t ，v = - y + t ，在t = 0时刻流体质点A 位
于点(1,1)。

试求（1）质点A 的迹线方程，（2）t =0时刻过点（1, 1）的流线方程并与迹线作比较。

答：1 )2(;121
2 )1(=-+=--=-xy t e y t e x t
t ， 解：（1）由,1,d d 1--=+=t e C x t x t
x
t t = 0 时x = 1, C 1 = 2
由
1)()d (,d d 222-+=+-=+=+-=---⎰t e C C e te e c t te e y t y t
y
t t t t t t
t = 0时y = 1, C 2 = 2, 迹线方程为 x = 2e t - t – 1, y = 2 e －
t + t – 1 (2 ) 由
t
y y
t x x +-=+d d ，（x + t ）(- y + t ) = C , t = 0 时x = y = 1，C = - 1, 此时的流线方程为 x y = 1
BP2.3.3 设平面不定常流动的速度分布为u = xt , v = 1, 在t = 1时刻流体质点A 位于(2,2)。

试求(1)质点A 的迹线方程； (2)在t=1、2、3时刻通过点（2, 2）与流线方程, 并
作示意图说明。

答：1/21
(1) (2ln
1)1,(2) ln 2x y y x C t
=++=- 解：（1）由
xt u t
x ==d d ，t xt x d d =，解得1221
ln C t x +=
因t = 1时，x = 2, 可得2
1
2ln 1-=C 。

代入上式得
2/122)12
ln
2(12ln
2,2
1212ln ln +==+=+-x
t t x
t x （a ）
由
1d d ==v t
y
解得 2C t y += （b ）
因t = 1时，y = 2可得C 2 = 1由(a ), (b ) 式可得质点A 的迹线方程为 1)12
ln
2(2/1++=x
y （2）流线方程为
1
d d y
xt x =
积分得
3ln 1C y x t += 或 3ln 1
C x t
y += t = 1时 x =y =2，C 3 =-－ln2＋2，流线方程为 22
ln
22ln ln +=+-=x
x y t =2时x =y =2，22ln 213+-=C ，流线方程为 22ln 2122ln 21ln 21+=+-=x
x y
t =时x = y = 2，22ln 313+-=C ，流线方程为 22
ln 3122ln 31ln 31+=+-=x
x y
t = 1 时，迹线与流线在点（2，2）相切，随时间的增长，过点（2，2）的流线斜
率越来越小。

BP2.3.4 设平面不定常流动的速度分布为u = xt , v = - (y +2) t , 试求迹线与流线方程。

答：x (y +2) =C 解：迹线方程为
t t
y y xt x d )2(d d =+-= 将上式中分母上的t 消去后，两项分别仅与x 和y 有关，只能均为常数。

因此迹
线与时间t 无关
)
2(d d +-=
y y
x x (a )
积分得
C y x ++-=)2ln(ln
x ( y + 2 ) = C (b ) (a )式也是流线方程，与迹线方程形式相同。

讨论：本例属不定常流场，每一时刻同一点的速度不相同，但由于两个速度分量与时
间成比例关系，流线与迹线的形状均不随时间变化，且相互重合。

BP2.3.5 在流场显示实验中，从原点连续施放染料液形成脉线。

设速度场由下列规律决定：
0≤t <2s u =1m/s v =1m/s 2s ≤t ≤4s
u =0.5m/s
v =1.5m/s
试画出t = 0、1、2、3、4 s 时流过原点的质点迹线及由这些质点组成的脉线。

提示：这是不定常流场，脉线与迹线不重合。

画出从原点出发的质点每一时刻的位置可
得到每一质点的迹线，t = 4s 时5个质点位置的连线是该时刻的脉线。

解：这是不定常流场，脉线与迹线不重合。

在每一时刻质点的位置如下表所示
t /s 0 1 2 3 4 质点a (0,0) (1,1) (2,2) (2.5, 3.5) (3.0, 5.0)
b (0,0) (1,1) (1.5, 2.5) (2.0, 4.0)
c (0,0) (0.5, 1.5) (1.0, 3.0)
d (0, 0) (0.5, 1.5)
e (0, 0) 上表中横向行中数据组成迹线，竖向列中数据组成脉线。

BP2.4.1 已知流场的速度分布为V = xy i + y 2j ，试问（1）该流场属几维流动？（2）求点（1 ,
1）处的加速度。

答：(1)二维；(2) (2,2)
解：（1）速度分布式中只包含2个变量，为二维流动； （2）x y x y y xy y u
v x u u
a 2x 22=+⋅=∂∂+∂∂=, a x (1,1) = 2 32220y y y xy y
v v x v u
a y =+⋅=∂∂+∂∂=, a y (1,1) = 2 BP2.4.2 已知流场的速度分布为V = (4x 3+2y +xy )i + (3x -y 3+z )j ，试问（1）该流场属几维流
动？（2）求点（2, 2, 3）处的加速度。

答：(2004，108，0)
解：（1）属三维流动； （2）)2)(3()12)(24(323x z y x y x xy y x z
u
w y u v x u u
a x ++-++++=∂∂+∂∂+∂∂= = (4×8+2×2+2×2)(48+2)+(6-8+3)(2+2) = 40×50 + 4 = 2004
))(()(23333324y z y x xy y x z
v
w y v v x v u
a y -+-+⨯++=∂∂+∂∂+∂∂= = 40×3 –12 = 108
BP2.4.3 已知流场的速度分布为V = x 2y i -3y j +2x 2k ，试问（1）该流场属几维流动？（2）求点（2, 1, 1）处的加速度。

答：（4, 9, 32）
解：（1）属二维流动；
（2）22)3()(2x y xy y x z
u
w y u v x u u
a x -+=∂∂+∂∂+∂∂= 4121632 23=-=-=y x y x
9(-3)3=-=∂∂+∂∂+∂∂=y z
v
w y v v x v u
a y 324)(432===∂∂+∂∂+∂∂=y x x y x z
w w y w v x w u
a z BP2.4.4 不可压缩无粘性流体在圆管中沿中心轴x 轴作一维定常流动，在0≤x ≤30m 段，
由于管壁为多孔材料，流体从管壁均匀泄漏，速度的变化规律为u (x ) = 2 (10-0.3x ) m/s ，试求此段的流体加速度a x 表达式及x =10m 处的加速度值。

提示：用一维定常流动连续性方程x
u
u a x ∂∂=求解。

流体沿管轴作减速运动，减速度与x 有关，在x =33.3m 处，a x = 0。

答：-8.4 m/s 2
解：对一维定常流动)3010(21)30(2)3010(2x x
u
u
a ...x .x --=-⨯-=∂∂= a x (x = 10) = -1.2×7 m/s 2 = -8.4 m/s 2
B3题解
BP3.1.1 试判断下列各二维流场中的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件： (1) u = x 2+2x -4y , v = -2xy -2y (2) u = x 2+xy -y 2, v = x 2+y 2 (3) u = x t +2y , v = x t 2-y t (4) u = x t 2, v =xyt +y 2 提示：按0=∂∂+∂∂=
⋅∇y
v x u v 判断
答：（1）满足，（2）不满足，（3）满足，（4）不满足
解：（1）
0)22()22(=--++=∂∂+∂∂x x y
v
x u ，满足不可压缩流体连续性条件。

（2）
02)2(≠++=∂∂+∂∂y y x y
v x u ，不满足。

（3）
0)(=-+=∂∂+∂∂t t y
v x u ，满足。

（4）
0)2(2≠++=∂∂+∂∂xt t y
v x u ，不满足。

BP3.1.2 试判断不列各三维流场的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件： （1）()xy z y x w z y v y x u ++-=+=+=4,
2,222
（2）()
()()
2
22
2
2
222
2
2
,,
2y x y
w y x
z y x v y x
xyz
u +=
+-=
+-
=
（3）x z xy w yz x yz v y xz u 222
2,2,2+=+-=+=
（4）zyt t z w yzt v xyt u -=-==222,2,
提示：按0=∂∂+∂∂+∂∂=
⋅∇z
w y v x u v 判断 解：（1）
0)](4[44=+-++=∂∂+∂∂+∂∂y x y x z
w
y v x u ，满足不可压缩流体连续性条件。

4
222
2
4
2
22
4
2222222)()
22(4)(2)()2(2)(2)(2)
2(y x y x x yz y x yz y x xyz x y x y x yz x u ++++-=
+-+-+-=∂∂
4
224
4
2
22
4
222222222)()
(4)(2)()(2)(2)(2y x y x yz y x yz y x z y x y y x y x yz y v ++-++-=
+-+-+-=∂∂
0,0=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂z
w y v x u z w ，满足。

（3）
02)2(22≠++-+=∂∂+∂∂+∂∂zx z x z z z
w y v x u ，不满足。

（4）
0)2()2(22=-+-+=∂∂+∂∂+∂∂yt zt zt yt z
w y v x u ，满足。

BP3.1.3 在不可压缩流体三维流场中，已知yz y v y x y x u 2,
222
2
+=++++=，试推
导另一速度分量w 的一般表达式。

答：C z yz z xz w ++++-=)22(2
解：由
12+=∂∂x x
u
和)2212()(,22z y x y
v
x u z w z y y v +++-=∂∂+∂∂-=∂∂+=∂∂ C z yz z xz w ++++-=)22(2
BP3.1.4 在不可压缩流体平面流场中，已知by ax u 2
+=（a , b 为常数），试推导y 方向速
度分量v 的表达式，设y = 0时，v = 0。

答：axy v 2-=
解：由
)(2,2,0x f axy v ax x
u
y v y v x u +-=-=∂∂-=∂∂=∂∂+∂∂ 当y = 0时，v = f (x ) = 0, v = - 2 a x y
BP3.1.5 不可压缩粘性流体对零攻角平板作定常绕流时，层流边界层中速度廓线可近似用
下式表示：
3
2123⎪⎭
⎫
⎝⎛-=δδy y U u 式中U 为来流速度，δ为边界层厚度，δ与沿平板距前缘的坐标x 的关系为
x c =δ,c 为常数。

试验证y 方向速度分量v 满足如下式
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=4
216383δδδy y x U v 解：由x x x c x
c dx
d x c 22121,
δ
δδ==== )
(4314314321)3(212)1(231243
4324
32δ
δδδδδδδδδδy y x x y x y x
y x y x u U -=+-=---=∂∂
由连续性方程
)(43114
3
2δδδy y x x u U y v U -=∂∂-=∂∂ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=
-=-=⎰420
044
22
43
2)(163)(83)4121(43)(43δδ
δδδδδδδy y x y
y x dy y y x U v y
y
BP3.2.1 试分析角域流u = k x , v = -k y (k 为常数)中的应力状态。

提示：有附加法向应力，无切向应力。

解：k y
v
k x u y x μμσμμ
σ22,22-=∂∂==∂∂=，
0)(
2,
2=∂∂+∂∂==--=+-=x
v
y u k
p p k p p yx xy yy xx μττμμ
BP3.2.2 试分析纯剪切流u = k y , v = k x (k 为常数)中的应力状态。

提示：无附加法向应力，有切向应力
答：k p p yx xy yy xx y x μττσσ2,0,0====== 解：02,02=∂∂==∂∂=y
v x u y x μσμ
σ，
k k k x
v
y u p
p p p yx xy yy xx μμμμττ2)(
,
=+=∂∂+∂∂==-=-= BP3.5.1 二无限大平行板间距为b ，中间充满均质不可压缩牛顿流体。

设下板固定不动，上
板以匀速U 沿x 方向运动。

在x 方向存在恒定的压强梯度d p / d x = 常数，设速度分布和体积力分别为
)(d d 21by y x
p y b U u 2
-+=
μ, v = 0; f x = 0, f y = - g 试验证是否满足N-S 方程及边界条件。

提示：边界条件为y = 0, u = 0 ；y = b , u = U
解：平面流动N-S 方程为
)()()(2222a y u x u x p f y u v x u u t u x ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂μρρ
)()()(2222b y
v
x v y p f y v v x v u
t v y ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂μρρ
本题中
)2(d d 21,022b y x p b U y u x u x u t u -+=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂μ C x p x p y u ==∂∂d d ,d d 122μ，g y
p ρ-=∂∂（重力） 代入（a ）式左边= 0，右边=0d d d d d d 1d d =+-=⋅+-
x
p
x p x p x p μμ 代入（b ）式左边= 0，右边=0)(=---g g ρρ, 满足N-S 方程。

在y = 0处u = 0与下板相同; 在y = b 处U b b x
p U u =-+
=)(d d 2122
μ，与上板相同，满足边界条件。

BP3.5.2 放置在x 轴线上无限大平板的上方为静止的均质不可压缩牛顿流体。

设平板在自
身平面内以速度u = U cos ωt 作振荡运动，U 和ω均为常数。

不考虑重力和压强因素，试验证流场中的速度分布
)(cos 2ν
ω
ων
ω2y
-t Ue
u y
-=，v = 0 是否满足N-S 方程及边界条件。

提示：边界条件为y = 0, u = U cos ωt ；y →∞, u = 0
解：这是不定常流动，忽略重力和压强因素，N-S 方程为
)(2222y
u x u y u v x u u t u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂ν 由速度分布式)2(νωωων
ωy -t sin e U t
u
2y --=∂∂，0=∂∂x u
，022=∂∂x
u ，v = 0
)]2(cos )2sin([2)2)(2(sin )2(cos 2222ν
ωων
ω
ν
ωνωων
ω
ωνων
ων
ων
ωy t νωy t ωe U
y
t Ue
y t e U y u y
-y y
---=-----=∂∂--
+----=∂∂-)]2cos()2([sin 222
2ν
ωωνωων
ων
ω
y t y
t e U y u y
)2(s i n )]2sin()2cos()2(cos )2sin([2)]2)(2(sin )2)(2[cos(2222ν
ω
ων
ωνωων
ωωνωων
ων
ωνωωνωνωων
ων
ω
ν
ων
ωy
t e
U y t y t y t νωy
t ωe
U y t y
t e
U y
y
-y
--=-++-+----=--+--+-- N-S 方程左边=)2(sin 2ν
ωωων
ωy
-t e U t
u
y --=∂∂ 右边=)2(22
2ν
ω
ωωνν
ωy
-t sin e U y u
y --=∂∂，满足N-S 方程。

在y = 0处，流体速度为u = U cos ωt ，与平板一致，在无穷远处，u = 0，满足边界条件。

BP3.6.1 盛水容器的固壁如图BP3.6.1所示，自由液面上均为大气压强。

试定性地画出斜壁
或曲壁AB 和A'B'上的压强分布图。

提示：图C 是密封容器，可设压强均大于大气压强。

注意弧线上压强连续变化,且弧
AB 上最高点压强最小；弧A’B’上最低点压强最大。

BP3.6.2 试求水的自由液面下5m 深处的绝对压强和表压强，液面上为大气压强。

答：335m 150.3510Pa(ab)49.0510Pa p =⨯=⨯
解：p 5m = p a +ρgh = (101.3×10 3 Pa) + (9810 kg / m 2 s 2) (5m) = (101.3×10 3Pa) + (49.05×103Pa ) =150.35×10 3Pa (ab) p 5m =ρgh = 49.05×103Pa （g ）
BP3.6.3 图BP3.6.3示密封容器内盛有水，水面高h 0 =1.5m ，液面上压强为p 0。

在侧壁B
点的测压管中水位高为h 1=1m ，A 、B 两点的位置高度为 h A =1.2m ，h B = 0.8m 。

试求p 0(ab)， p A (v)，p B (g)。

答：0p =96.4 kPa (ab)， A p =1.96 kPa (v)； B p = 1.96 kPa (g)
解：利用等压面性质
p 0 +ρg (h 0- h B ) =ρg (h 1 - h B )
p 0 =ρg (h 1-h 0)=(9810 kg/m 2s 2 ) (1m -1.5m) = - 4905Pa p 0=(-4.9×103Pa )+ (101.3×10 3Pa) = 96.4×103Pa (ab )
p A = p 0+ρg (h 0-h A )= -4903 Pa +9806 kg / m 2s 2) (1.5m -1.2m ) =(-4903Pa)+(2941.8Pa) = -1961.2 Pa=1.96kPa(v )
p B = p 0+ρɡ (h 0-h B ) = (-4903Pa) + (9806 kg / m 2s 2 ) (1.5m - 0.8m ) = (-4903Pa)+( 6864.2Pa ) = 1961.2Pa (g)=1.96kPa(g)
BP3.6.4 一气压表在海平面时的读数为760 mmHg,在山顶时的读数为730 mmHg ，设空气的
密度为1.3 kg/m 3，试计算山顶的高度。

答：h=313.5m
解：210kg/ms 3998.73998.7Pa 760mmHg
101300pa 730mmHg)
-(760mmHg ===-p p
m 313.5)
)(9.81m/s (1.3kg/m s 3998.7kg/m 2321
0==
=
-g
ρp
p h
BP3.6.5 图BP3.6.5示U 形管内有两种互不相混的液体，第一种液体是水，ρ1=103 kg/m 3，
第二种液体的密度为ρ2= 827 kg/m 3。

设第二种液体的柱长h = 103 mm ，试求左右自由液面的高度差Δh (mm)，并判断若在左支管中加水,Δh 将如何变化？
答：Δh =17.8mm
解：O-O 为等压面：ρ1g (h -Δh )=ρ 2 g h
mm ()1(Δ17.8)(103mm)31000kg/m
3827kg/m 112=-=-=h h ρρ 在左支管中加水，两边水面同步增高，Δh 不变。

BP3.6.6 图BP3.6.6示对称贮液罐连通器，已知ρA ，ρB ，ρ
C 和
h 1, h 2, h 3, h 4及p 0，试求A
罐底部压强p b 和顶部压强p t 的表达式，并讨论它们与h 1的关系。

提示：从B 罐液面开始按压强公式计算p b (与h 1无关）；在A 罐内计算p t 与p b 的关系
（与h 1有关）
解：2-2为等压面：p b +ρ A g (h 3-h 4)+ρ c g h 4= p 0+ρ B g (h 2 + h 3 ) p b = p 0+ρB g (h 2 + h 3) -ρ A g (h 3-h 4)-ρ c g h 4 (与h 1无关) p t +ρA g h 1= p b
p t = p 0+ρ B g (h 2 + h 3 ) -ρA g (h 3-h 4+ h 1)-ρ c g h 4 (与h 1有关)
BP3.6.7 图BP3.6.7示用复式水银测压计测量容器中水面上的压强p 0，已知h = 2.5 m, h 1 =
0.9m ，h 2 = 2.0 m, h 3 = 0.7 m ，h 4= 1.8 m ，其中h 2与h 3之间也是水。

答：0p =265kPa 解：由压强公式可得 p 0=ρH g g (h 4-h 3)-
o H 2
ρg (h 2-h 3)+ρ
H g g (h 2-h 1)-
o H 2
ρg (h -h 1)
=ρ
H g g (h 4-h 3+h 2-h 1)-
o H 2
ρg (h 2-h 3+h -h 1)
=(13.6×103 kg / m 3) (9.81 m / s 2) (1.8 m -0.7 m+2.0 m -0.9m ) -(103 kg/m 3) (9.81 m/s 2) (2.0m -0.7m+2.5m -0.9 m) = 265 kPa
BP3.6.8 图BP3.6.8为装液体的密封容器，上部气压表读数为p 0 = 27457 Pa 。

在侧壁B 点处
装U 形水银测压计（左支管内充满容器内液体），（1）若容器内装的是水，并已知h 1= 0.3m ，h 3= 0.2m ，试求容器内液面高h B ；（2）若容器内装的是未知密度的液体，在A 点处再装一个U 形水银测压计，已知h 2 = 0.25 m ，两U 形管左支管水银面高度差H = 0.68m ，试求液体密度ρ。

提示：（2）利用两根U 形管右支管水银面上大气压强相等的条件，求解液体密度。

答：h b =1.08m ；ρ= 103kg/m 3 解：（1）设B 点与U 形管左支水银液面的垂直距离为h 3，由1-1为等压面可得： 1Hg 3B O H 0)(2h g h h g p ρρ=++
3O H 0
1Hg 2
h g
p h g h B --=
ρρ
0.2m )
)(9.81m/s (1000kg/m )
s (27457kg/m )(0.3m))(9.81m/s kg/m 10(13.6232233--⨯=
=1.28 m -0.2 m =1.08 m
(2) 忽略高度对大气压的影响，由1-1和2-2两个等压面及压强公式可得 ρHg gh 2+ρg H=ρHg g h 1，H = 0.68m ，h 2= 0.25m
33321Hg 1000kg/m 0.68m 0.25m
-0.3m )kg/m 10(13.6=⨯=-=H h h ρρ
BP3.6.9 图BP3.6.9为带顶杯的差压计，当Δp = p 1-p 2 = 812 Pa 时，A 、B 杯中的液面处同
一高度，设ρ1= 880 kg/m 3, ρ 2 = 2950 kg/m 3，试求U 形管内液位差h 。

提示：设液面2与液面0的距离为h ，在1-1等压面上用压强公式求解。

答：h=0.04m
解：设液面2离液面O 的距离为h 1，由1-1为等压面 p 1+ρ1g (h 1+h ) = p 2+ρ1g h 1+ρ2gh
m 0.04)g ()
m/s )(9.81kg/m 880(2950kg/m 812N/2222
1221==--=
-m p p h ρρ BP3.6.10 在图BP3.6.9中当Δp = p 1-p 2增大后，A 杯液面下降Δh ，B 杯液面上升Δh ，U 形
管内液位差为h = 0.06 m （如图BP3.6.10示），设A 、B 杯直径为d 1= 4 cm ，U 形管直径d 2 = 4mm ，求此时的Δp 。

提示：液位改变时，利用杯内与U 形管内液体体积变化相等（不可压缩）计算Δh ，再用等压面和压强公式求解Δp 。

答：Δp =1222Pa
解：由体积守恒：πd 12Δh =πd 22 (h -h 0)，h 0= 0.04m 为U 形管原来的液位差。

m )(4
-021
221020.04m)0.01(0.06m ⨯=-=-=∆h h d d h
由U 形管低液面列等压面方程， p 1+ρ1g (h A +h ) = p 2+ρ1g h B +ρ2g h
Δp = p 1-p 2=ρ1g (h B -h A ) + (ρ2-ρ1) g h =ρ1g (2Δh ) + (ρ2-ρ1) g h
= (880 kg/m 3) (9.81 m/s 2) (2×2×10 - 4m) + (2950 kg / m 3-880 kg/m 3)(9.81m/s)(0.06m) = (3.453 kg/ms 2) + (1218.4 kg / ms 2) =1221.9 Pa
B4题解
BP4.2.1 在直径为d 1 = 20 cm 的输油管中，石油的流速为V 1 = 2 m/s ，试求在串联的直径为
d 2 = 5 cm 的输油管中的流速及质量流量，已知石油的比重为0.85。

答：2V =32m/s ，m
=53.4kg/s 解：由不可压缩性流体连续性方程：（VA ）1=（VA ）2，所求流速和质流量分别为
m/s 32)m/s 20.05
0.2()()(2
12212112====
V d d A A V V kg/s )m )(m/s )(kg/m (53.4(0.05)4
32100.852332211=⨯===π
ρρA V A V m
BP4.2.2 气体在一扩张管道中流动（图BP4.2.2），管道喉部直径为d 1= 2.47 cm ，气流速度
为V 1= 244 m/s ，压强p 1= 734 kPa ，温度T 1=320 K ；管道出口直径为d 2 = 3.57 cm ，压强p 2 = 954 kPa ，温度T 2 = 345 K ，试求出口速度V 2 。

提示：按完全气体方程求密度比ρ1/ρ2，再由不可压缩流体连续性方程求解V 2。

答：2V =96.9 m/s
解：由气体状态方程 p = ρRT ， 可得 ρ 1 /ρ 2 = p 1T 2 / p 2T 1 由一维可压缩流体连续性方程 (ρVA )1= (ρVA )2，可得
96.9m/s
244m/s)3.57cm
2.47cm (20K)(954kPa)(345K)(734kPa)(3())(2
1
22
112211212121221112==
===
V d d
T p T p V A T p A T p A ρA V ρV
BP4.2.3 图BP4.2.3示一连有多个管道的水箱，管道1、2为进水管，3、4为出水管。

d 1 = 2.5
cm ，d 2 = 5 cm ，d 3 = 3.75 cm ，d 4 = 10 cm ，若管1、2、3的流速均为15 m/s ，试求通过管4的流量和流速。

提示：按具有多个出入口的连续性方程求解。

答：2Q =0.02 m 3/s ，4V =2.55 m/s
解：取包围水箱的控制体CV 。

水为不可压缩流体，由具有多个出入口的控制面连续
性方程
∑∑=out in
Q Q
本题中为 Q 1+Q 2 = Q 3+Q 4
V
d d d A V A V A V Q Q Q Q 21)(4
23
223
322113214-+=
-+=-+=π
/s
m 0.02)m/s ](15)m 10(3.75 )m 105()m 10[(2.54
322-2
222-=⨯-⨯+⨯=
-π
m/s )
m ()/s m A 2.550.14(0.024********====ππd Q Q V BP4.2.4 一三臂洒水器的三个臂尺寸相同，直径为d = 6 mm ，臂长（回转半径）R = 150 mm ，
方位均布，喷管口倾斜角θ= 0°（出流与回转半径垂直）（图BP4.2.4）。

从中心轴
流入的水流量恒定Q = 70 l/min ，设洒水器在水流反作用下以ω= 91.6 rad/s 的角速度沿逆时针旋转，试求每个喷口水流的绝对速度V 。

提示：取与喷管一起旋转的控制体，用连续性方程求解相对速度，再计算绝对速度。

答：V ≈0
解： 取包围喷管并与喷管一起旋转的控制体CV 。

对站在控制体上的观察者，水以
速度V r 沿三支喷管作定常流动，由运动控制体连续性方程
∑∑=in r out
r
A V A V )()
(ρρ
即 ρ1V r 1A 1+ρ2V r 2A 2+ρ3V r 3A 3=ρQ
由于水为不可压缩流体ρ1=ρ2=ρ3=ρ， A 1= A 2 = A 3＝A ，V r 1 = V r 2 = V r 3= V r 即 3V r A = Q ,
m/s s/min)
()/min)m 13.756010(63π104(7034323-3-32====⨯⨯d Q A Q V r π 喷管相对速度为 U = ωR = (91.6 rad/s) (0.15 m) =13.74m/s
水流绝对速度为 V = V r -U = 13.75 m/s - 13.74 m/s ≈ 0
BP4.2.5 河水以均流速度U 流入一矩形截面的明渠，渠宽为2b ，河水深度保持为h ，在图
BP4.2.5中所示坐标系中，设在明渠下游某截面上水流速度分布为
)-)(1-(122m h
y b x u u 2
2=
试求中心最大速度u m 与均流速度U 的关系。

提示：沿流道及已知速度分布的截面构成控制体，不可压缩流体定常流积分形式的连续
性方程为
⎰⎰
=⋅+⋅in
out
A A A A 0d )(d )(n v n v
答：u m = 9U /4
解：由不可压缩流体积分形式的连续性方程可得
⎰
⎰
⋅-=⋅Ain
Aout
A A d )(d )(n v n v
本题中v 和n 不是方向相反（入口）就是方向相同（出口），因此可积分得
U
u bhu h h b b b b u h y
-y b x x u y x h y b x u bhU h
b
b -h
b -b 24
998
)3)(33()3()3(d d ))(1(12m m
m 0
223m 22
2m ==--+-=-=--=⎰
⎰
BP4.2.6 某系统中不可压缩非牛顿流体以线性速度分布)/||21(0b y u u -=流入二维平行
平板水槽内，式中u 0为x 轴上最大速度，b 为槽高度（图BP4.2.6）。

在图示坐标系中设在槽下游某截面上流体速度分布改变为u = u m cos (πy/b )，试求u m 与u 0的关系式。

提示：用不可压缩流体定常流积分形式的连续性方程（厚度为1）求解：
⎰⎰
=⋅+⋅in
out
A A A A 0d )(d )(n v n v
答：m m π/4u u =
解： 由不可压缩流体积分形式的连续性方程（取宽度为1）
⎰
⎰=⋅+⋅in
out
A A A A 0d )(d )(n v n v
⎰
⎰-=--=--=-
-=⋅in
A b b u b b b u b y y u y b y u A 20
002
02
002
)42(2)(2d )2(12d )(n v
⎰
⎰==
=⋅-out
A b 2
b -b
b u b y b bu y y b
u A 2m 2
2
m
m 2)sin(d )cos(
d )(π
πππ
n v 由022m 0=+-
u b u b π
，可得0m 4u u π=
BP4.3.1 在大气中一股空气射流以速度V 吹到一与之垂直的壁面上（见图BP4.3.1示），壁
面上的测压孔与U 形管水银计相通。

设测压计读数Δh = 3.5 mmHg ，空气密度ρ=1.293 kg / m 3，试求空气射流的速度V 。

提示：U 形管测到的是射流总压强。

答：V =26.9 m/s
解：U 形管测压计测到的是总压强，按伯努利方程有
202
1
V p p ρ+
= 水银液位差Δh 相应于流体动压强 h g V p p ∆==
-m 202
1
ρρ 26.9m/s )]10)(3.5(9.81m/s 1.293kg/m
)kg/m 102(13.6[)
Δ2(
1/23-23
331/2
m
=⨯⨯==h g V ρ
ρ BP4.3.2 一梯形薄壁堰如图BP4.3.2所示，底宽为b ，两侧边倾斜角均为θ，水面高恒为h ，
试求水流的体积流量Q 。

提示：本题与三角堰流量计属同一类型，设法利用三角堰的结果可简化计算
答：3/24
(tan )5
Q b h θ=
+ 解：左右两块三角形正好拼成孔口角为2θ的三角堰，按例B4.3.1B 2/51)(tan 215
8
h g Q θ= 矩形部分流量为 2/30
2
/30
223
2
3
2
22bh g z b g bdz gz Q h h
=
==⎰
总流量为
)tan 5
4
(232232)(tan 21582/32/32/521θθh b h g bh g h g Q Q Q +=+=
+= BP4.3.3 为测量水管中的流速，在管壁和轴线上安装U 形管测压计如图所示。

水管直径d =
50 cm ，U 形管内液体的密度为ρ1= 800 kg/m 3，液位差为Δh =30 cm ，试求轴线上的速度V 。

提示：本题是另一种形式的毕托测速管装置，U 形管内的工作液体比水轻。

答：V =1.08 m/s
解：沿轴线列伯努利方程，O 点为驻点 22
1
V p p 0ρ+
=，1/20])/[2(ρp p V -= (a ) 设U 形管中左、右液面为2、3，左液面离管壁距离为b ，由静力学关系轴心压
强为
h
g p p d b h g p p d b g h g p d b g p p ∆-=-++∆+=++∆+=++=)()
2/()
2/()2/(1030132ρρρρρρ
代入（a ）式可得
m/s 1.08)(0.3m)m/s )2(9.811000800(12)1(1/2
22
/11=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡∆-=h g V ρρ
BP4.3.4 集流器通过离心式风机从大气中吸取空气，在d = 200 mm 的流通管壁上接单管测
压计到一水槽内，如图所示。

若水面上升高度为 h = 250 mm ，试求集流器中的空气流量Q ，空气密度为ρ=1.29 kg/m 3。

提示：取无穷远处为一参考点；集流器壁测压管口的压强为负压强。

答：Q =1.94 m 3
/s
解：取无穷远处为参考点列伯努利方程，且对静止大气 V ∞= 0, p ∞= 0
ρρρ/2,02222p V g
p g V g p
g V -==+=+∞∞ 设水的密度为ρ1，单管测压计测得p = -ρ1g h m/s 61.7000/1.29))(0.25m)(12(9.81m/s /221===
ρρgh V
/s m 1.94(0.2m)4
π
(61.7m/s)
4
322====d V
VA Q π
BP4.3.5 图BP4.3.5示一虹吸管将贮水池A 的水吸出，流入下方的贮水池B 。

虹吸管直径
为6.8 cm ，A 池水面离管出口垂直距离为H = 3m ，虹吸管最高处C 点与A 池水面的垂直距离为h = 3 m ，不计流动损失，试求（1）虹吸管中的体积流量Q （m 3/h ）；（2）最高处C 的压强（m H 2O ）；(3)若将虹吸管出口延伸至B 池水中，试讨论管内流量应由什么因素决定？以上计算对已知条件是否有限制？
提示：（3）将虹吸管出口延伸到池水中后，取两池的水面为参考位置列伯努利方程；限
制条件可考虑保证管内流动连续的条件。

答：Q =100 m 3/h ，c p =-6 mH 2O 解：（1）对①，②截面列伯努利方程
g
p
z g V g p z g V ρρ2222112122++=++
由V 1= 0，p 1 = p 2 = 0， m/s 7.67)(3m)m/s 2(9.812)(22212===-=
gH z z g V
/h m 100.3/s m 0.028(0.068m)4
π
m/s)
(7.673322====A V Q （2）对②，③截面列伯努利方程
g
p
z g V g p z g V ρρ2222332322++=++ 由V 2 = V 3，p 2 = 0,
m 6)(123
-=+-=-=H h z z g
p ρ （3）当虹吸管伸入B 池水中后管内流量由两池液位差决定；限制条件是 h + H ≤10 m
BP4.3.6 图示一大水池水深h = 5m ，池底有一根排水管长l = 10 m ，出口处装有闸门。

放水
前水池中的水保持平静，闸门突然打开后，水池水位逐渐下降，试求出水口的流速随时间变化的规律（不计流动损失）。

提示：本题为一维定常流，取大水池液面和排水管出口为参考位置列不定常伯努利方程。

答：V = 9.9tanh (0.495t )
解：对①，②截面列不定常流伯努利方程
⎰∂∂+++=++l
s
t V
g
g p z g V g p z g V 022221121d 122ρρ （a ）
排水管内速度V 2沿l 不变，积分项可得
⎰=∂∂l
dt
V l s t V 02
d d 由V 1= 0，p 1 = p 2 = 0，由（a ）式gh z z g dt
dV
l V =-=+)(221222 或
l
t V gh V 2d 2d 222=
- 积分得
C l t
gh
V gh +=-2)2(tanh 2121 （b ）
当t = 0时V 2 = 0, tanh -
10 = 0, C = 0；
m/s 9.9)(5m)m/s 2(9.8122==gh
1-s 495.010m
2m/s
9.922=⨯=l gh ，由（b ）式可得 )495.0tanh(9.9)22tanh(
22t t l
gh
gh V ==
BP4.4.1 有多个出入口的密封贮水容器如图所示，各出入口的流量与平均速度分别为Q 1 =
19.8 l/s ，V 1= 45.7 m/s ；Q 2 =28.3 l/s ，V 2=18.3 m/s ；Q 3 =31.2 l/s ，V 3=30.5 m/s ；Q 4= 22.7 l/s ，V 4= 36.6 m/s 。

试求使该容器保持静止所需加的力F 。

提示：取包围贮水器的控制体，所求之力F 为作用在控制体上的外合力，用具有多个
出入口的动量方程求解。

答：F x = 829.3 N ，F y = 130.1 N
解：取包围容器的控制体CV , 建立y 轴垂直向上的坐标系oxy 由动量方程
F V V =-∑∑in out
m
m
)()( x 方向分量式为
x F V Q V Q V Q =︒--︒+︒-)60cos ()60sin 45sin (334422ρρρ
因ρQ 1=（103 kg/m 3）(19.8×10 – 3 m 3/s) = 19.8 kg/s, ρQ 2=28.3 kg/s, ρQ 3=31.2 kg/s, ρQ 4=22.7 kg/s
F x = (-28.3 kg/s) (18.3 m/s) 0.707 + (22.7kg/s) (36.6m/s)0.866 + (31.2kg/s)
⋅(30.5m/s) 0.5 = -366.1N + 719.5 N + 475.8 N = 829.3 N
y 方向分量式为
y F V Q V Q V Q V Q =︒+--︒+︒-)60sin ()60cos 45cos (33114422ρρρρ F y = (-28.3 kg/s) (18.3 m/s) 0.707 + (22.7kg/s) (36.6m/s)0.5 + (19.8kg/s) (45.7m/s) -(31.2 kg/s) (30.5 m/s) 0.866 = -366.1N + 415.4 N + 904.9N -824.1 N =
130.1N
BP4.4.2 图示为人腹主动脉示意图，血液从腹主动脉1流入右左髂总动脉2、3。

已知血管
直径为d 1=1.764 cm ，d 2 = 1.18 cm ，d 3 = 1.173 cm ；平均流量与流速为Q 1 = 5 cm 3/s ；V 1= 2 cm/s ； Q 2 = 2.52 cm 3/s, V 2 = 2.3 cm/s; Q 3 = 2.48 cm 3/s, V 3 =2.29 cm/s ；右左分叉角为α
2 =27.8°，α
3 =33.4°。

试求血流对腹主动脉的冲击力（不考虑压强影
响），血液密度为ρ=1055 kg/m 3。

提示：取包围血管的控制体，所求之力F 为作用在控制体上的外合力的负值，用具有
多个出入口的动量方程求解。

答：6
64.510N,
1.410N x y F F --=⨯=⨯
解：取包围血管的控制体CV ，设血流冲击力F 如图示，忽略重力，不考虑压强影响、
由动量方程式
∑∑-=-F v v in out
m
m
)()( 在坐标系oxy 中分量式为
x 方向：x F sin V Q sin V Q -=-333222αραρ
F x = -(1055 kg/m 3) (2.52×10- 6 m 3/s) (2.3×10-
2 m/s) (0.4664) + + (1055 kg/m 3) (2.48×10 -
6 m 3/s) (2.29×10 –2 m/s)
(0.55) = (-2.85 + 3.3)×10 –
5 N = 4.5×10 –
6 N
y 方向：ρQ 2V 2 cos α1+ ρQ 3 V 3 cos α2-ρQ 1V 1= - F y
N
101.4N 1010.55)5.0)5.41(m/s)10/s)(2m 10)(5kg/m (1055)m/s)(0.83510/s)(2.29m 10)(2.48(1055kg/m 6)m/s)(0.88410/s)(2.3m 10)(2.521055kg/m (6-5-2
-3
6
-3
2-36-3-23-63⨯=⨯+--=⨯⨯++⨯⨯--
⨯⨯-=y F
BP4.4.3 图示一90°转角收缩弯管，水从直径为d 1 = 15 cm 的大管流入弯管，流速为V 1=2.5
m/s ，压强为p 1= 6.86×104 Pa ，再流入直径为d 2 = 7.5 cm 的小管，试求为保持弯管静止的力F 。

提示：取包围弯曲喷管的控制体，作用在控制体上的外合力除所求之力F 外，还应包
括两端的压强合力。

答：538.0N,
1322.7N x y F F ==
解：由不可压缩流体连续性方程V 1A 1 = V 2A 2，可得 m/s 10)m/s (2.5)7.5
15
()(A 212211212====
V d d V A V 由伯努利方程（忽略重力）
g
2g g 2g 222121ρρp
V p V +=+，可得
2
2433222
2
1
2
2212N/m )N/m ()kg/m )(/s m (
221725106.86102
10
2.5=+=+-=⨯-p V V p ρ
22211m )m 0.01767(0.154
4
==
=π
π
d A 22222m )m 0.00442(0.0754
4==
=
π
πd A
Q = V 1A 1=（2.5 m/s ）(0.01767m 2) = 0.0442 m 3/s
取包围喷管的控制体CV ，由一维流动动量方程
∑=-F V V 2)(1m
， (∑F 包含压强影响)。