解析几何,吕林根,课后习题解答一到五

a
＝－
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e1
+3
e2
+2
e3
,
b ＝4 e1 －6 e2 +2 e3 ， c ＝－3 e1 +12 e2 ＋11 e3 共面，
其中 a 能否用 b , c 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.
[证明]：
9．证明三个矢量 a b, b c, c a 共面。
证明：
§1.5 标架与坐标 3. 在空间直角坐标系{O; i , j, k }下，求 P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：
的线性组合。 解：
3. 设一直线上三点 A, B, P 满足 AP ＝ PB (－1),O 是空间任意一点，求证： OP ＝ OA OB 1
解：
图 1-7
4. 在 ABC 中,设 AB e1, AC e2 . (1) 设 D、E 是边 BC 三等分点,将矢量 AD, AE 分解为 e1, e2 的线性组合; （2）设 AT 是角 A 的平分线(它与 BC 交于T 点),将 AT 分解为 e1, e2 的线性组合
解：
5．在四面体 OABC 中，设点 G 是 ABC 的重心（三中线之交点），求矢量 OG 对于矢量 OA,,OB,OC 的分解式。
解
6．用矢量法证明以下各题 （1）三角形三中线共点 证明：
7．已知矢量 a, b 不共线，问 c 2a b 与 d 3a 2b 是否线性相关？
解：
8.
证明三个矢量
8. 已知矢量 a , b , c 的分量如下： (1) a ＝{0, －1, 2}， b ＝{0, 2, －4}， c ＝{1, 2, －1}； (2) a ＝{1, 2, 3}， b ＝{2, －1, 0}， c ＝{0, 5, 6}.
试判别它们是否共面？能否将 c 表成 a ， b 的线性组合？若能表示，写出表示式. [解]:
点分别为 E 、 F ，求 EF ．
解：
3 设 AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ， CD 3(a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．
解：
4 在四边形 ABCD 中，AB a 2 b ，BC 4 a b ，CD 5 a 3 b ，证明 ABCD
为梯形． 解：
6. 设 L、M、N 分别是ΔABC 的三边 BC、CA、AB 的中点，证明：三中线矢量 AL , BM , CN 可 以构成一个三角形.
解
,
13．在 12 题的条件下，设 P 是任意 点，证明 证明：
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 1．在平行四边形 ABCD 中，
（1）设对角线 AZ a, BD b, 求 AB, BC,CD, DA.
解
（2）设边 BC 和 CD 的中点 M 和 N，且 AM P, AN q 求 BC,CD 。 2．在平行六面体 ABCD-EFGH 中，设 AB e1, AD e2 , AE e3 , 三个 面上对角线矢量设为 AC p, AH q, AF r, 试把矢量 a p q r 写成 e1, e2 , e3
1.要使下列各式成立，矢量 a,b 应满足什么条件？ （1） a b a b ; （2） a b a b; （3） a b a b; （4） a b a b; （5） a b a b.
解：
§1.3 数量乘矢量
1 试解下列各题．
⑴ 化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ．
⑵ 已知 a e1 2 e2 e3 ， b 3e1 2 e2 2 e3 ，求 a b ， a b 和 3 a 2 b ．
⑶
从矢量方程组
3
x
4y
a
，解出矢量
x
，
y
．
2 x 3 y b
解：
2 已知四边形 ABCD 中， AB a 2 c ， CD 5 a 6 b 8 c ，对角线 AC 、 BD 的中
第一章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.
解：
2. 设点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，
在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、
OF 、 AB 、 BC 、 CD 、 DE 、 EF
O
和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解]：
3. 设在平面上给了一个四边形 ABCD，点 K、L、M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证： KL ＝ NM . 当 ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？
7. 设 L、M、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明
OA OB + OC = OL + OM + ON . 解：
8. 如图 1-5，设 M 是平行四边形 ABCD 的中心，O 是任意一点，证明
OA + OB + OC + OD ＝4 OM . 解：
9 在 平 行 六 面 体 ABCDEFGH （ 参 看 第 一 节 第 4 题 图 ） 中 ， 证 明
AC AF AH 2 AG ．
证明：
． 10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．
解
11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分. 解
图 1-4
12. 设点 O 是平面上正多边形 A1A2…An 的中心，证明: OA1 + OA2 +…+ OAn ＝ 0 .
7．已知 A,B,C 三点坐标如下：
（1）在标架 O;e1,e2 下， A0,1, B2,2,C 2,4. （2）在标架 O;e1,e2 ,e3 下， A0,1,0, B1,0,2,C 2,3,4
[证明]：
图 1-1
.
4. 如图 1-3，设 ABCD-EFGH 是一个平行六面体， 在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相 反矢量的矢量：
(1) AB 、CD ; (2) AE 、CG ; (3) AC 、
EG ;
(4) AD 、 GF ; 解：
(5) BE 、 CH .
图 1—3
§1.2 矢量的加法