数列通项公式和前n项和求解方法(全)

数列通项公式和前n项和求解方法(全)
数列通项公式的求法详解
n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…（2） ,17
164,1093,542,
2
11（3） ,5
2,21,32
,
1（4） ,5
4,43,32,
21-- 答案：（1）
1
10-=n
n
a （2）
;
1
22
++=n n n a n （3）
;1
2
+=
n a n
（4）
1
)1(1+⋅
-=+n n
a n n .
公式法1：特殊数列
例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，
b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。

答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1
例3. 等差数列{}n
a 是递减数列，且4
32
a a a
⋅⋅=48，4
32
a a a
++=12，
则数列的通项公式是（ ）
(A) 12
2-=n a
n
(B) 4
2+=n a
n
(C) 12
2+-=n a
n
(D)
10
2+-=n a n 答案：(D)
例4. 已知等比数列{}n
a 的首项1
1
=a ，公比10<<q ，设数列{}n
b 的
通项为2
1+++=n n n
a a b
，求数列{}n
b 的通项公式.
简析：由题意，3
21
++++=n n n a a b
，又{}n
a 是等比数列，公比为q ∴
q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2
13
21，故数列{}n
b 是等比数列，易得)
1()1(1+=⋅+=-q q q q q b
n n n
.
点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比. 公式法2： 知n
s 利用公式 ⎩⎨
⎧≥-==-2
,1,11n S S n s a
n n n
.
例5：已知下列两数列}{n
a 的前n 项和s n 的公式，求}{n
a 的通
项公式.（1）1
3-+=n n S
n
. （2）1
2-=n s
n
答案：（1）n
a =32
32
+-n n
，（2）⎩⎨
⎧≥-==)
2(12)1(0
n n n a
n
点评：先分n=1和
2
≥n 两种情况，然后验证能否统一.
【型如)(1
n f a a n
n +=+的地退关系递推关系】 简析：已知a a =1,)(1n f a a n
n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、
二次函数、指数函数、分式函数，求通项n
a .
①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得
例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. 答案：)
(52N n n a n
∈+=
例 6. 若在数列{}n
a 中，3
1
=a
，n
n n a a
21
+=+，求通项n
a .
答案：n
a =1
2
+n
例7.已知数列}{n
a 满足3
1
=a
，)
2()
1(1
1≥-+
=-n n n a a
n n
，求此数列的通
项公式. 答案：n
a
n
12-
=
【 形如1
+n a =f (n)·n a 型】
（1）当f(n)为常数，即：q
a
a n
n =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n
a =1
1
-⋅n q a
.
（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.
例8：在数列｛n a ｝中，1
a =1, (n+1)·1
+n a =n ·n a ，求n a 的
表达式. 例9： 已知数列{}n
a 中，3
11=a ，前n 项和n S 与n
a 的关系是 n
n a n n S )12(-= ，试求通项公式n
a . .
答案：.)
12(12(1
-+=n n a n 思考题1：已知1
,111
->-+=+a n na a
n n ,
求数列{a n }的通项公式.
分析：原式化为 ),1(11
+=++n
n a n a 若令1
+=n n
a b
,则问题进一
步转化为n
n nb b =+1
形式，累积得解.
构造1：【形如0
(,1
≠+=+c d ca a
n n ,其中a
a
=1
)型】 （1）若c=1时，
数列{n
a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n
a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n
a }为线性递推
数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.
方法如下：设)
(1
λλ+=++n n a c a
,得λ
)1(1
-+=+c ca a
n n ,与题设,
1
d ca a
n n +=+比
较系数得)0(,1≠-=c c d λ， 所以：)1
(11-+=-+
-c d a c c d a
n n
,即⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧-+
1c d a
n 构成
以1
1
-+
c d a
为首项，以c 为公比的等比数列.
例10：已知数}{n
a 的递推关系为1
21
+=+n n a a ，且1
1
=a
求通项n
a .
答案：1
2-=n n
a
构造2：相邻项的差为特殊数列 例11：在数列{}n
a 中，1
1
=a
，2
2
=a
，n n n a a a
3
13212
+=
++，求n
a .提示：
变为)
(3
1
112
n n n n a a a a
--=-+++.
构造3：倒数为特殊数列【形如s
ra pa a n n n
+=
--11】
例12： 已知数列｛n
a ｝中1
1
=a
且1
1
+=
+n n n a a a
（N n ∈），
，求数列的通项公式. 答案 n
b a n n
1
1==
例13：设数列}{n
c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对
应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n
解析：设1
)1(-+-+=n n
bq d n a c
建立方程组，解得. 点评：用
待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{n
a 为等差数列：则c
bn a
n
+=，
cn
bn s n +=2（b 、ｃ为常数），
若数列}{n
a 为等比数列，则1
-=n n
Aq a
，)
1,0(≠≠-=q Aq A Aq s
n n
.
例14：（1）数列{n
a }满足0
1
=a
,且)
1(2121
-=++++-n a a a a
n n ,求数列{a n }的通项公式. 解析：由题得
)1(2121-=++++-n a a a a n n ①
2
≥n 时，
)2(2121-=+++-n a a a n ②
由①、②得⎩⎨
⎧≥==2
,21
,0n n a
n
.（2）数列{n
a }满足1
1
=a
,且
2
121n a a a a n n =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式
（3）已知数列}{n
a 中，,2
121,211
+=
=+n n a a a
求通项n
a .
八、【讨论法-了解】（1）若d
a a
n n =++1
（d 为常数），则数列{n
a }
为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论.
（2）形如)
(1
n f a a
n n =⋅+型①若p
a a
n n =⋅+1
(p 为常
数)，则数列{n
a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)
1(1-=⋅-n f a a
n n
，两
式相除后，分奇偶项来分求通项.
例15： 数列{n
a }满足0
1
=a
,2
1
=++n n a a
,求数列{a n }的通项公
式.
专题二：数列求和方法详解（六种方法）
1
、等差数列求和公式：
d n n na a a n n 2
)
1(2)(123-+==+=
-
2、等比数列求和公式：⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q
a a q q a q na S n n n
[例1] 已知3
log 1
log
23-=
x ，求⋅
⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x
x 32
的前n 项和.
答案
x
x x s n n --=
1)
1(
[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *
,求1
)32()(++=n n
S
n S
n f 的最大值. 答案n ＝8时，50
1
)
(max =
n f
方法简介：此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：
1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n
x n x x x S ………………………
①(1≠x )
解析：由题可知，{1
)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通
项与等比数列{1
-n x }的通项之积：
设n
n
x n x x x x xS
)12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②
①－②得 n
n n
x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错
位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
n
n n x n x
x x S x )12(1121)1(1
----⋅+=--.
∴
2
1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=
+.
试一试1：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n 前n 项的和.
答案： 1
22
4-+-
=n n
n S
方法简介：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1
n
a a +，然后再除以2得解.
[例4] 求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 .
答案S ＝44.5
方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组；
[例5] 求数列的前n 项和：2
31,
,71,
41,111
2
-+⋅⋅⋅+++-n a a
a n ，…
答案
2
)13(11n
n a a a s n n -+
--=-.
试一试 1 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.简析：由于与n
k
k k a =-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅)110(9199999111111
1 个个、分别求和.
方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）)
()1(n f n f a
n
-+= ；（2）1
1++=
n n a n =
n
n -+1；（3）
n
n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+；4）
1
1
1)1(1+-
=+=n n n n a n （5）
)
1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n .
[例6] 求数列
⋅
⋅⋅++⋅⋅⋅++,2
1
,
,4
21,
3
11n n 的前n 项和.
[例7] 在数列{a n }中，1
1211++⋅⋅⋅++++=
n n
n n a n
，又1
2
+⋅=
n n n
a a b
，求数
列{b n }的前n 项的和.
试一试1：已知数列{a n }：)
3)(1(8
++=
n n a n
，求前n 项和. 试一
试2：
100
321132112111
1+++++++++++ ..
方法简介：针对一些特殊的数列，将
某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可
将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+
cos179°的值.
答案 0
[例9] 数列{a n }：n
n n a a a a a a
-====++12321
,2,3,1，求S 2002
.（周期数列）
[例10] 在各项均为正数的等比数列中，若
10
3231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值; 答案 10。