数列通项公式和前n项和求解方法(全)
通项公式的求法及前n项和公式的求法
第一章 数列通项公式的求法1.1、定义法与公式法一，定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=】注意：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
练习1 已知：等差数列{a n }中，a 3 + a 4 = 15，a 2a 5 = 54，公差d < 0. 求数列{a n }的通项公式a n2 在等比数列{a n }中，30a a ,27a a a 42321=+=⋅⋅，求数列{a n }的通项公式a n二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 注意：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．练习：1.设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，......3,2,1=n 求首项1a 与通项n a 。
求数列通项公式+求数列前 N项和的常用方法
的前n项和Sn 解：
点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显 的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差 数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后 把两个数列的和再求和。 三.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使 得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n项和。
例题3：求数列
(n∈N*)的和 解：
点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的 规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项 相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。
四.用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于
等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列 {an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在 和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后 即可以求出前n项和。
例题4：求数列{nan}(n∈N*)的和 解：设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan①
则：aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1② ①-②得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an nan+1③ 若a = 1则：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n =
求数列 前N项和的常用方法 核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式， 再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为 基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律， 找到适合的方法解题。
一.用倒序相加法求数列的前n项和
求前N项和方法技巧及公式
求前N项和方法技巧及公式前N项和是指将一个数列的前N项相加得到的和。
计算前N项和可以使用不同的方法和技巧，包括数学公式、推导公式和逐项相加等。
一、数学公式法对于一些特定的数列，存在求前N项和的数学公式，可以直接使用这些公式计算前N项和，而无需逐项相加。
1.等差数列的前N项和公式对于等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
前N项和公式如下：Sn = (a1 + an) * N / 2 = N * (a1 + a1 + (N-1)d) / 2 = N *(2a1 + (N-1)d) / 22.等比数列的前N项和公式对于等比数列，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
前N项和公式如下：Sn=a1*(1-r^N)/(1-r)3.平方数序列的前N项和公式对于平方数序列，其通项公式为an = n^2，其中n为正整数。
前N项和公式如下：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6二、推导公式法对于一些特殊的数列，我们可以通过推导得到求前N项和的公式。
推导过程中可以使用数学归纳法、代数运算等方法。
1.等差数列的前N项和公式的推导设等差数列的首项为a，公差为d，第N项为an，则有：an = a + (N-1)dSn=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(N-1)d)根据等差数列的性质，可以将Sn分为两部分：Sn=(a+(N-1)d)+(a+(N-2)d)+...+(a+d)+a将两式相加，可得：2Sn=(N*a)+(N*a+(N-1)*d)+...+((N-1)d+a)+(Nd)化简后得到等差数列的前N项和公式。
2.等比数列的前N项和公式的推导设等比数列的首项为a，公比为r，第N项为an，则有：an = a * r^(N-1)Sn=a+a*r+a*r^2+...+a*r^(N-1)Sn*r=a*r+a*r^2+...+a*r^N将两式相减Sn*(1-r)=a*(1-r^N)化简后得到等比数列的前N项和公式。
求数列通项公式和前N项和的方法
求数列前N 项和的方法1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和: q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，,特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1］ 已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和。
解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 (利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 ［例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N ＊,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值。
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n ｝的前n 项和，其中{ a n }、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列.［例3］ 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解:由题可知,｛1)12(--n x n }的通项是等差数列｛2n －1}的通项与等比数列｛1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ ［例4］ 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，｛n n 22}的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② (设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减)1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习:求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+（4n —3)x n —1① ①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+（4n —3）x n ②①—②得,（1-x)S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ nx ）-（4n —3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n —3)=2n 2—n 当x ≠1时，S n =1 1—x ［ 4x(1-x n） 1-x +1-（4n —3）xn]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。
数列通项公式、前n项和求法总结（全）
数列通项公式、前n项和求法总结（全）⼀.数列通项公式求法总结：1.定义法 —— 直接利⽤等差或等⽐数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型（等差或者等⽐）．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等⽐数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.变式练习：1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式2. 在等⽐数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的⾸项、公⽐及前n 项和.2.公式法求数列{}n a 的通项n a 可⽤公式≥?-=?=-2111n S S n S a n n n 求解。
特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。
（1）13-+=n n S n 。
（2）12-=n s n变式练习：1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满⾜n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。
2. 已知数列{}n a 的前n 项和212n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最⼤值为8，试确定常数k 并求n a 。
3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，22.求数列{}n a 的通项公式。
3.由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为)(1n f a a n n +=+对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利⽤累加法求解。
例3. 已知数列{}n a 满⾜211=a ，a a n n +=+211，求n a 。
变式练习：1. 已知数列{}n a 满⾜11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
通项及前N项和的求法的方法总结(全)
常见数列通项公式的求法1、 定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 中即可. 2、 累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法.例1、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 满足11322,.n n n a a n a a +=++=且求练习2：已知数列{}n a 中，111,32n n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.练习3：已知数列{}n a 满足11211,,2n n a a a n n +==++求求{}n a 的通项公式.3、 累乘法形如()1n n a f n a +=()1a 已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.例2、已知数列{}n a 满足11,2,31n n n n a a a a n +==+求.练习1：数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n++==, 求{}n a 的通项公式.练习2:设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，求{}n a 的通项公式.3、待定系数法（构造法）例3、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .练习：已数列{}n a 中，11a =且111,____.2n n n a a a +=+=则 例4、已知数列{}n a 中，1113,33n n n a a a ++==+, 求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 中，113,22n n n a a a -=-=+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，112,3433n n n a a a +==+⋅, 求{}n a 的通项公式.例5、已知数列{}n a 满足11162,1,n n n a a a ++=+=求.n a练习1：设数列{n a }满足n n n a a a 23,111+==+，则=n a ________．练习2：已知数列{}n a 中，111511,632n n n a a a ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，求n a .4、利用n a 与n S 的关系如果给出条件是n a 与n S 的关系式,可利用111,2n n n an a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.例6、已知数列{}n a 的前n 项和为322+-=n n S n ，求{}n a 的通项公式.练习1：已知数列{}n a 的前n 项和为2134n S n n =-+，求{}n a 的通项公式.练习2：若数列{}n a 的前n 项和为33,2n n S a =-求{}n a 的通项公式.5、倒数法例7、已知数列{}n a 满足1=1a ，1232nn n a a a +=+，求{}n a 的通项公式.练习：已知数列{}n a 中，113,,12nn na a a a +==+则n a ________.=例8、已知数列{}n a 满足1=1a ，11234n n n a a a --=+，求{}n a 的通项公式.练习：已知数列{}n a 中，1122,,31n n na a a a +==+则n a ________.=数列前n项和的求法总结一、公式法（1）等差数列前n项和： S n=n(a1+a n)2=na1+n(n+1)2d（2）等比数列前n项和： q=1时， S n=na1；q≠1时， S n=a1（1−q n）1−q（3）其他公式： S n=1+2+3+⋯+n=12n(n+1)S n=12+22+32+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1)S n=13+23+33+⋯+n3=[12n(n+1)]2二、倒序相加法3、设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2三、裂项相消法4、求数列(n∈N*)的和四、错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
(完整版)求数列的通项公式和前N项和的几种类型总结,推荐文档
求数列的通项公式和前N 项和的几种类型总结熟练掌握求数列通项公式常用的几种方法，并能够在理解的基础上灵活应用； 熟练掌握求数列前n 项和常用的几种方法，并能够在理解的基础上灵活应用；在一些复杂问题中，将求通项公式与求和综合运用，对分析问题能力，计算能力要求较高重点应该提高对代数式的敏感，提高模式识别能力.知识讲解一、求数列的通项公式的方法1：观察法：此方法适用于小题和大题中的先猜后证；2：公式法等差数列通项公式：)()1(1m n d a a n d a a m n n -+=-+=等比数列通项公式mn m n n n q a a q a a --⋅=⋅=113：递推关系累加法：)(1n f a a n n =--21321(1)(2)(1)n n a a f a a f a a f n --=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=-⎩ 累乘法：)(1n f a a n n=-321121(1)(2)(1)n n n a a aa f f f n a a a a -=⋅⋅⋅=⋅⋅- 构造法：（1）),,0,1,0(1为常数q p q p p q pa a n n ≠≠≠+=-：令λλ++=-1n n n a a b ，则n b 为等比数列（2）),1,0(1为常数p p p p pa a n n n ≠≠+=-令nnn p a b =,则n b 为等差数列（3）),,0,1,0(1为常数q p q p p q pa a n n n ≠≠≠+=-令nnn p a b =,则转化为第一类（4）),,,0(11为常数q p s spq qpa sa a n n n ≠+=--令nn a b 1=,则转化为第一类（5）)(1n f n n a a -=令n n a b lg =,则用累乘法4：退位相减法⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 二、求数列的前n 项和的方法1、观察法： 此方法适用于小题和大题中的先猜后证；2、公式法等差数列前n 项和公式：n da n d n n d n a n a a S n n )2(2)1(22)(1211-+=-+=+=等比数列前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--⋅==)1(11)1(11q q q a q na S nn几个常用的等差数列求和公式，最好记住：（1） ；（2） ()11232n n n +++++= ()213521n n++++-= （3） ()24621n n n ++++=+ 3、倒序相加法：首尾对称类型4、乘公比错位相减法等差和等比组合数列，123(1)n n S a a a a =++++ 2341(2)n n qS a a a a +=++++ 解出.1n n n n S qS a a +-=-11(1)(2)1(1)n n a q q S qna q ⎧-≥⎪=-⎨⎪=⎩5、裂项相消法（分母可以写成两个数相减为常数）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+++-=+n n nn n n n n 111111)1(16、分组求和法（等差数列和等比数列相加）例题精析【例题1】在数列{n a }中，31=a ，)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .【例题2】已知数列满足，前项和，求的通项公式.{}n a 11,a =n 23n n n S a +={}n a 【例题3】数列{}n a 满足2,2311=-=-a a a n n ，求n a .【例题4】已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -（n ∈N *），求数列{}n b 的前n 项和n T .【例题5】求和：.1111212312n+++++++++ 【例题6】已知数列的前项和为，且，数列满足{}n a n n S 22,*n S n n n N =+∈{}n b 。
数列,通项公式方法,求前n项 和例题讲解和方法总结
的前n项和为
，
为等比数列，且
（Ⅰ）求数列
和 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
例2．已知数列的首项，，…． （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）数列的前项和．
2．设数列 的前n项和为 ， 为等比数列，且
（Ⅰ）求数列 和
的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和
. 三、分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适 当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其 合并即可. 2、已知数列的通项公式为，则它的前n项的和 3：求数列的前n项和。
数列求和练习
1、已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和． (1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公差为3的等差数列，求{bn}的通项公式及 前n项和Tn.
3、已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
则S13的值为( )
5、已知数列 是等差数列，且 ， 是数列 的前
项和． (Ⅰ)求数列
的通项公式 及前 项和 ；
(Ⅱ) 若数列 满足 ，且 是数列 的前 项和，求 与 ．
6． 设是正数组成的数列，其前n项和为 并且对于所有的自然数与2 的等差中项等于与2的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)令 求证：
7、已知数列 是等差数列， ；数列 的前n项和是 ，且 ．
(1)公式法
①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方 法：____________； ②等比数列前n项和Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n项和： a．1＋2＋3＋…＋n＝________________； b．2＋4＋6＋…＋2n＝ _________________； c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝_____________；d． e．
数列的通项公式与前n项和公式
数列的通项公式与前n项和公式数列是数学中常见的概念，它是按照一定规律排列的一系列数字的集合。
在数列中，每个数字称为该数列的项。
数列的通项公式是指能够用数列的项的位置n表示数列的每一项的公式。
通常，我们使用字母来表示数列的项，如an。
而数列的前n项和公式，则是指数列前n项的总和的表达式，通常表示为Sn。
本文将详细探讨数列的通项公式与前n项和公式的求解方法及应用。
一、数列的通项公式数列的通项公式可以通过观察数列中的规律，推导出数列项与项位置之间的数学关系。
下面以几种常见的数列为例，介绍求解通项公式的方法。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻的两项之间的差值固定的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a + (n - 1) * d。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻的两项之间的比值固定的数列。
设等比数列的首项为a，公比为q，则等比数列的通项公式为an = a * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
设斐波那契数列的首项为a，第二项为b，则斐波那契数列的通项公式为an = a * φ^(n-1) + b * (1- φ^(n-1))，其中φ为黄金分割比（φ≈1.618）。
二、数列的前n项和公式数列的前n项和公式用于求取数列前n项的总和，即前n项和Sn。
下面以等差数列为例，介绍求解前n项和公式的方法。
对于等差数列，其前n项和公式可以通过求解数列项与项数之间的数学关系得到。
设等差数列的首项为a，公差为d，则等差数列的前n项和公式为Sn = (2a + (n - 1)d) * n / 2。
三、数列的应用举例1.等差数列的应用等差数列的应用非常广泛，例如计算机科学中的循环结构、物理学中的等速度直线运动等。
通过等差数列的通项公式和前n项和公式，可以方便地进行数列项的求解和数值计算。
2.等比数列的应用等比数列在金融领域、物理领域等方面有重要应用。
数列的前n项和与通项公式
数列的前n项和与通项公式数列是数学中的重要概念之一，它是由一系列按照某种规律排列的数所组成的序列。
而数列的前n项和以及通项公式则是数列研究中的关键概念，对于数学的发展和应用都具有重要意义。
一、数列的前n项和数列的前n项和是指数列中前n项数的和。
对于某些特定的数列，我们可以通过一定的方法来求解其前n项和。
例如，对于等差数列，其前n项和可以通过求和公式来计算。
假设等差数列的首项为a，公差为d，则前n项和Sn可以表示为Sn= (n/2)(2a + (n-1)d)。
同样地，对于等比数列，其前n项和也可以通过求和公式来计算。
假设等比数列的首项为a，公比为r，则前n项和Sn可以表示为Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指数列中的每一项的一般表示形式。
通过通项公式，我们可以根据数列的位置来计算其对应的数值。
通项公式的推导需要根据数列本身的特点和规律进行分析和推理。
以等差数列为例，其通项公式可以表示为an = a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以根据数列的位置来计算出对应的数值。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，其首项a为1，公差d为2，那么第n项可以表示为an = 1 + (n-1)2。
同样地，对于等比数列，其通项公式可以表示为an = ar^(n-1)，其中a为首项，r为公比，n为项数。
通过这个公式，我们可以根据数列的位置来计算出对应的数值。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32，其首项a为2，公比r为2，那么第n项可以表示为an = 2 * 2^(n-1)。
三、数列的应用数列的前n项和和通项公式在数学的各个领域都有广泛的应用。
在数学分析中，数列的前n项和可以用于求解极限问题。
通过计算数列的前n项和，我们可以逼近数列的极限值，从而求解一些复杂的极限问题。
在数学建模中，数列的前n项和可以用于描述和分析一些实际问题。
数列的通项公式与前n项和的计算
数列的通项公式与前n项和的计算数列是我们在数学中经常遇到的内容之一，它由一系列按特定规律排列的数字组成。
在解决数列相关问题时，通项公式和前n项和的计算是两个基本且重要的概念。
在本文中，我们将详细介绍数列的通项公式和前n项和的计算方法，并通过具体案例来加深理解。
一、数列的通项公式数列的通项公式是表示数列中任意一项与其序号之间的关系的数学公式。
通项公式的存在可以方便我们计算数列中任意一项的值，而无需逐个列举。
常见的数列通项公式包括等差数列和等比数列的通项公式。
对于等差数列来说，其通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，an代表第n个数，a1代表数列的首项，d代表公差，n代表数列中的项数。
而对于等比数列来说，其通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表第n个数，a1代表数列的首项，r代表公比，n代表数列中的项数。
二、前n项和的计算前n项和是指数列中前n个数的和，也是另一个重要的计算概念。
计算前n项和可以帮助我们更好地理解数列的总体性质和规律。
对于等差数列，前n项和的计算公式为：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中，Sn表示前n项和，n表示数列的项数，a1表示首项，d表示公差。
对于等比数列，前n项和的计算公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。
三、实例分析为了更好地理解和应用数列的通项公式和前n项和的计算方法，我们来看一个具体的案例。
案例：求解等差数列1，4，7，10，13...的第20项以及前20项的和。
解析：首先，我们可以确定这是一个等差数列，通过观察相邻两项的差为3，可以得出公差d=3。
根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，代入已知条件可以计算得出第20项的值：a20 = 1 + (20-1) * 3 = 1 + 19 * 3 = 1 + 57 = 58接下来，我们来计算前20项的和，根据等差数列前n项和的计算公式Sn=(n/2)(2a1 + (n-1)d)，代入已知条件可以计算得出前20项的和：S20 = (20/2)(2*1 + (20-1)*3) = 10(2+57) = 10*59 = 590所以，等差数列1，4，7，10，13...的第20项为58，前20项的和为590。
数列,通项公式方法,求前n项和例题讲解和方法总结
数列的通项公式1.通项公式如果数列{}a n 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。
2.数列的递推公式（1）如果已知数列{}a n 的第一项，且任一项n a 与它的前一项-1n a 之间的关系可以用一个公式来表示。
（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可3.数列的前n 项和与数列通项公式的关系数列{}a n 的前n 项之和，叫做数列的前n 项和，用n S 表示，即123=n n S a a a a ++++n S 与通项n a 的关系是11(1)(2)={n n S n n S Sn a -=-≥4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项2）前n 项和n S 与n a 的关系法，⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)3）、累（叠）加法：形如)(1n f a a n n +=+∴112211=()()()n n n n n a a a a a a a a ----+-++-+4）. 累（叠）乘法：形如nn a n f a )(1=+∴13211221=n n n n n a a a aa a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5）.待定系数法 ：形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0），（设a 1+n +k=p （a n +k ）构造新的等比数列） 6) 倒数法 ：形如11n n n a a ka b--=+（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）7). 对数变换法 ：形如，11()lg lg lg p n n n n a c a a p a c ++=⋅⇒=+（然后用待定系数法或是等差数列）8).除幂构造法: 形如11111n n n n n n na q a a qa d d d d d++++=+⇒=+ (然后用待定系数法或是等差数列) 9). 归纳—猜想—证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.通项公式方法及典型例题1.前n 项和n S 与n a 的关系法例1、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。
求数列通项公式及前n项和常见方法
数列求通项及前n 项和常见方法求n a一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项公式注意：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、累加法求形如a n -a n-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。
例2．已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ． 注意：累加法是反复利用递推关系得到n —1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n —1项的和，要注意求和的技巧三、迭代法求形如1n n a qa d +=+(其中,q d 为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。
例3．已知数列{a n }满足a 1=1，且a n+1=3n a +1，求n a注意：因为运用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误，导致走进死胡同四、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n ΛΛΛΛΛ求解。
例4．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式；注意：利用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n ΛΛΛΛΛ求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．五、累乘法 对形如1()n n a f n a +=的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累乘求得通项。
数列的通项公式及前n项和的的求法
数列的通项公式及前n 项和的求法1．两个基本公式（1）等差数列的通项公式：d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=（2）等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --==2．三个基本方法（1）n S 法：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （2）累加法 （3）累乘法一．n S 法（利用关系11(1)(1)n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩） 1．已知数列}{n a 的前n 项和21n S n n =++，求}{n a 的通项公式。
注：要先分n=1和1n >两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
2．已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式。
注：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.二．累加法（1()n n a a f n +-=型数列）3．已知111,21(2)n n a a a n n -=-=-≥，求{}n a 的通项公式。
4.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
三．累乘法（1()n na f n a +=型数列） 5.已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.注：将1n na a +表示出来，对n 从1开始取值。
四．构造法（构造等差或等比数列）6．已知数列{}n a 的首项12a =，()2,12*1≥∈+=-n N n a a n n ，求n a 。
注:构造新数列的实质是通过1()()n n a x q a x ++=+来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.7． 已知数列{}n a 满足，*111,5,3N n a a a a a n n n n ∈⋅+==++，（1）求证：1{}na 是等差数列 （2）求数列{}n a 通项公式.8、若数列{}n a 满足11=a ，且nn n a a a +=+11， （1） 求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式9、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式10、已知数列{}n a 满足132n n n a a +=+，11a =，求数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式、前n项和求法总结全
2n2+n
变式练习：
1.已知数列｛an｝满足an厂an•2n •1,a^1，求数列佝｝的通项公式
2. 已知数列:
3. 类型2特征：递推公式为an彳=f（n）an
变式练习：
1.已知数列Q匚中，3 = 2，an d= 3an，求通项公式an。
2.设G｝是首项为1的正项数列，且（n+1）a；卅-na；+a^an= 0（n= 1，2， 3，…），求数 列的通项公式是an类型3特征：递推公式为an1二pan• q（其中p，q均为常数）
*
(1)求an,bn；
⑵求数列:an-bn［的前n项和Tn.
2.若公比为c的等比数列的首项为a^1，且满足an二a22甌(n二3,4,...)。
(1)求c的值；(2)求数列｛nan｝的前n项和Sn
3.倒序相加法
如果一个数列订奁，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写 与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特^E： a1an=a?an4 =...
设an，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
anan +b2
bnbn，再转化为类型1 （累加法），求出bn之后得a^ pnbn
p
例6•已知数列｛an｝满足an^2an43n」，a^1,求数列®｝的通项公式。
变式练习：已知数列：an*满足a1=1，an=3n• 2an」（n一2），求an.
二
1.公式法
（1）等差数列前n项和：Sn二"去 空=门a1^^d
2 2
(2)等比数列前n项和:
(2)求数列 ｛俎｝ 的前n项和Sn。
第十节 数列的通项公式与前n项和求解方法
数列的通项公式与前n 项和求解方法1. 熟练掌握等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式；2. 掌握常见的递推关系下通项公式的求解方法； .一、通项公式求解的常见方法 1.公式法借助等差与等比数列的定义、等差中项、等比中项，结合等差数列通项公式与等比数列通项公式求解.（1）常见的等差数列的通项公式①()11n a a n d =+-；②()n m a a n m d =+-；③n a pn q =+. （2）常见的等比数列的通项公式 ①11n n a a q-=⋅；②n mn m a a q-=⋅.2.退位相减（除）法退位相减法适用于递推关系中同时含有n S 与n a 的形式（其中12n n S a a a =+++ ），求解数列{}n a 通项公式时借助关系：11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，操作时一般两种思路：思路一：将条件中所有的n a ，全部转化为n S 的形式，即使得递推关系中只含有n S ，进而视{}n S 为新数列，先求出n S 的通项公式，再结合11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出n a ；思路二：将条件中所有的n S 形式退位，再原递推关系式与退位过后的递推关系作差，将其转化为只含有n a 的形式，再构造等比或等差数列求出{}n a 的通项公式.退位相除法适用于递推关系中同时含有n T 与n a 的形式（其中12n n T a a a = ），借助()12nn n T a n T -=≥，可以求出n a 在2n ≥条件下的表达式，最后验证下首项即可. 【注】不论是退位相减法还是退位相除法，一般都需要验证首项符不符合，在不符合的条件下，书写通项公式时，注意分段表达. 3.()()*1N n n a a f n n +=+∈（累加法） 具体如下：先得到如下1n -个式子，()()()()213211212n n a a f a a f a a f n n --=-=-=-≥再将上述1n -个式子左右分别累加，可以得到：()()()1121n a a f f f n -=+++- ，即()()()()11212n a a f f f n n =++++-≥ ，求和化简后，再验证1n =是否成立即可. 4.()()1*N n na f n n a +=∈（累乘法） 具体如下：先得到如下1n -个式子，()()()()213211212nn a f a a f a a f n n a -===-≥再将上述1n -个式子左右分别累乘，可以得到：()()()()11212na f f f n n a =⋅⋅⋅-≥ ，即()()()()11212n a a f f f n n =⋅⋅⋅⋅-≥ ，求积化简后，再验证1n =是否成立即可. 5.待定系数法①()11,0n n a pa q p q +=+≠≠；设()1n n a p a λλ++=+（其中λ为待定系数），通过比较系数，可以求出1qp λ=-，只需验证101q a p +≠-，即可得到数列{}n a λ+为等比数列，首项为11q a p +-，公比为p ，从而可以求出数列{}n a λ+的通项公式，进而可以求出{}n a 的通项公式. ②()11,0n n a pa qn r p q +=++≠≠.设()()112121n n a n p a n λλλλ++++=++（其中12,λλ为待定系数），通过比较系数，可以求出12,λλ，只需验证1120a λλ++≠，即可得到数列{}12n a n λλ++为等比数列，首项为112a λλ++，公比为p ，这样即可求出数列{}12n a n λλ++的通项公式，进而可以求出{}n a 的通项公式.6.取倒数法一般适用于：①1n n n pa a qa r +=+；②11n n n pa a qa r++=+；③110n n n n pa qa ra a ++++=.针对1=n n n pa a qa r ++或11n n n pa a qa r++=+，通过对等式两边同时取倒数，将其转化为类型：111n nx y a a +=+，此时若1x =，直接借助等差数列通项公式求解即可；若1x ≠，结合前面的待定系数法求解即可.针对递推关系为：110n n n n pa qa ra a ++++=的形式，可以在等式两边同除1n n a a +，再令1n nb a =，将其转化为类型：1n n b pb q +=+，进而可以求出{}n a 的通项.7.()()11n n a pa f n p +=+≠（同除法、系数化为一）将等式两边同除1n p +，转化为：()111n n n n n f n a a p p p +++=+，再令nn n a b p =，()()1n f n g n p+=将其转化为()1n n b b g n +=+，再结合累加法求出{}n b 的通项公式，进而求出{}n a 的通项公式.有些时候也可以等式两边同除以n p ，视具体情况而定. 8.()10,0qn nn a pa a p +=>>（取对数法）针对递推关系：()10qn na pa p +=>，处理时，可以将等式两边同取常用对数：()1lg lg q n n a pa +=，即1lg lg lg n n a q a p +=+，再令lg n n b a =，lg r p =可以得到：1n n b qb r +=+，这样就可以求出{}n b 的通项公式，进而求出{}n a 的通项公式.二、数列求和的常用方法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n 2＝ ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1 1－q n1－q ，q ≠1. 2．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． 3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．此方法适用于当n n n c a b =⋅，求123n n S c c c c =++++ ，其中{},{}n n a b 分别为等差、等比数列，其中{},{}n n a b 的公差与公比分别为(),1d q q ≠，求和过程如下：12311223312231111231(1)(2)(1)(2)(1)()n nn n n n n n n n n n n n S c c c c S a b a b a b a b qS a b a b a b a b q S a b d b b b a b -++=++++=++++=++++--=++++- 由得再对23n b b b +++ 部分等比数列实施求和，需注意，此时数列的项数为1n -项，（通常这块求和时，使用公式11n n a a qS q-=-，可避免对项数的讨论），另外需注意，1n n a b +前面的符号为“-”，化简的过程需细心.整个过程中，若没有给出公比的限制条件，还需要对公比q 的数值进行讨论.4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． （1）适用于1n n n mc a a +=⋅，求123n n S c c c c =++++ ，其中{}n a 为等差数列，公差为d ，m 为常数.求和过程如下：先裂项1111n n n n n m m c a a d a a ++⎛⎫==- ⎪⋅⎝⎭，再求和：123122334111111111n n n n m m m m S c c c c d a a d a a d a a d a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122334*********nn m d a a a a a a a a +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111n m d a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ （2）适用于2n n n mc a a +=⋅，求123n n S c c c c =++++ ，其中{}n a 为等差数列，公差为d ，m 为常数. 求和过程如下：先裂项22112n n n n n m m c a a d a a ++⎛⎫==- ⎪⋅⎝⎭，再求和：1231324352111111112222n n n n m m m m S c c c c d a a d a a d a a d a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭132421111112n n m d a a a a a a +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 121211112n n m d a a a a ++⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦（3）高中阶段其他的裂项形式①()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦1k=；③()ln 1ln ln k n k n n ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭； ④()()121112212n n nn n n n n -+=-⋅+⋅⋅+⋅；⑤；2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭；2=<=；⑦()()()11111111111n n n n n q q q q q q q ++⎛⎫=-≠ ⎪-----⎝⎭； 5．分组求和适用于当n n n c a b =+，求123n n S c c c c =++++ ，其中{},{}n n a b 为两类不同性质的数列，诸如等差、等比数列等.求和过程如下：123112233123123()()()()()()n n n n n n n nS c c c c a b a b a b a b a a a a b b b b T H =++++=++++++++=+++++++++=+6．分段求和问题一般分为三种：①常规分段；②奇偶分段；③周期分段.求和的结果一般需写成分段的形式.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n 项和时使用公式S n ＝n a 1＋a n2较为合理．( )(2)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( )(3)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1.( )(4)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋1，则S 5＝________.(2)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. (3)12＋24＋38＋…＋n2n 等于________．例1.（1）已知数列}n a 为等差数列，且前n 项和为n S ，若420S =，756S =，求数列{}n a 的通项公式.（2）已知数列{}n a 为等比数列，且前n 项和为n S ，若37S =，663S =，求数列{}n a 的通项公式.例2.已知数列{}n a 中，112a =，12141n n a a n +=+-，求数列{}n a 的通项公式.【巩固练习】已知数列{}n a 满足1112,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式.例3. 已知数列{}n a 满足：12a =，122nn n a a a +=+()*N n ∈，求{}n a 的通项公式.例4.已知数列{}n a 中，112a =，()*12n n n a a n N +=∈，求数列{}n a 的通项公式.例5. （1）已知数列{}n a 满足1a =1，142n n a a +=+.求{}n a 的通项公式.（2）已知数列{}n a 满足1a =1，1321n n a a n +=+-.求{}n a 的通项公式.【巩固练习】（1）已知数列{}n a 满足1a =1，121n n a a +=+.求{}n a 的通项公式. （2）数列{}n a 中，()*112,431N n n a a a n n +==-+∈，求{}n a 的通项公式.例6.数列{}n a 满足12211152()222n n a a a n n N *+++=+∈ ，求数列{}n a 的通项公式.【巩固练习】已知数列{}n a 满足：2112333323n n a a a a n -++++=+ ，求{}n a 的通项公式.例7.（1）已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且142()n n S a n N *+=+∈,求数列{}n a 的通项公式.（2）正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*11N 2n n n S a n a ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式.【巩固训练】（1）数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：0n a >()*2N 2n a n +=∈，求{}n a 的通项公式.（2）数列{}n a 的前n 项和n S ，且11a =，()*13N n n a S n +=∈，求{}n a 的通项公式.（3）数列{}n a 的前n 项和n S ，且129a =，1(2)n n n a S S n -=≥，求{}n a 的通项公式.例8.已知数列{}n a 满足2121()n a a a n n N *⋅⋅⋅=+∈ ，求数列{}n a 的通项公式. 例9. 在数列{}n a 中，11a =，()1*122n n n a a n n N ++=+⋅∈，求{}n a 的通项公式.例10. 已知12a =，点()1,n n a a +在函数()22f x x x =+的图象上，其中*N n ∈.（1）证明数列(){}lg 1n a +是等比数列；（2）设()()()12111n n T a a a =+⋅++ ，求n T 及数列{}n a 的通项.例11．（1）若数列{}n b 满足：12b =，132n n b b n ++=+，求数列{}n b 的通项公式.（2）若数列{}n b 满足：12b =，112n n n b b ++⋅=，求数列{}n b 的通项公式.例12．（1）已知数列{}n a 满足*12211,3,44().n n n a a a a a n N ++===-∈求数列{}n a 的通项公式.（2）已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求数列{}n a 的通项公式.例13．已知数列}{n a 满足性质： ()*1423n n n a a n N a ++=∈+，且,31=a 求}{n a 的通项公式.例14．已知数列}{n a 满足：对于*n N ∈，都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求n a ；（2）若,31=a 求n a ；（3）若,61=a 求n a .例15．求和：n++++++++++21132112111.【跟踪训练】在数列{}n a 中，12111n n a n n n =++++++ ，又12n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .例16．数列{}n a 满足*111,(1)(1),n n a na n a n n n N +==+++∈.(1)证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)设3nn b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【跟踪训练】（1）求和：2311357(21),R n n S x x x n x x -=++++⋅⋅⋅+-∈.（2）等差数列{}n a 中，0d ≠，{}n a 的部分项组成的数列123,,,,n k k k k a a a a 恰为等比数列，且1231,5,17k k k ===. （1）求数列{}n k 的通项公式； （2）数列{}n k 的前n 项和n S ．例17．若|415|n a n =-，其前n 项和n S .【跟踪训练】若421,32,4n n n n a n --≤⎧=⎨≥⎩，其前n 项和n S .例18．已知数列{}n a 满足，11a =，()2211nn n a a -=+-，()*2123N n n n a a n +=+∈．（1）求357,,a a a 值；（2）求21n a - (用含n 的式子表示)；（3）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S （用含n 的式子表示）．【跟踪训练】设()()211nn a nn =-++，且数列{}n a 的前n 项和为n S .1.若数列{}n a 的前n 项和为322+-=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式.2.数列{}n a 满足1a =1, 2a =32，且()111122n n n n a a a -++=≥，求数列{}n a 的通项公式.3.设数列{}n a 满足)3)((31,313421121≥-=-==---n a a a a a a n n n n ，，求数列{}n a 的通项公式.4.设数列{n a }是首项为1的正数数列，且),3,2,1(0)1(1221 ==+-+++n a a na a n n n n n ，求数列{}n a 的通项公式.5.已知数}{n a 的递推关系为4321+=+n n a a ，且11=a ，求数列{}n a 的通项公式.6.已知数列{}n a 满足：,21,111nnn a a a a +==+求数列{}n a 的通项公式.7.设数列{}n a 满足231213333n n a a a n a -++++=…，n ∈*N ．求数列{}n a 的通项公式.8.已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是(21)n n S n n a =- ，试求通项公式n a .9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．求数列{}n a 的通项n a ；10.已知数列{}n a 满足：n n n a a a 23,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.11.已知数列}{n a 满足：413n n a a +=，17a =，求数列}{n a 的通项公式.12.在数列}{n a 中，,7,121==a a )3(3221≥+=--n a a a n n n ，求n a .13.在数列}{n a 中，,5,121==a a 且2145---=n n n a a a ，求n a .14.已知数列{}n a 的通项公式为nn a n ++=11 ，求它的前n 项的和.15.已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ； （2）令211n n b a =-(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．17.已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ； （2）令211n n b a =-（*n N ∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.已知数列{}n a 中，11a =，且当2n ≥时，1()2n n n S a S =-； （1）求n S ，n a（2）求{}n S 的前n 项和n T19.已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和n S 满足()2*12n n a S n N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.（1）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式； （2）求证.211121<+++nS S S20.已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
数列知识(求通项公式前n项和全部方法)
数列重点备注：部分题目有些错误，这个是修正后的版本一、数列通项公式的求法1、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目.两种常见的特殊数列:等差数列 d n a a n )1(1-+= (为公差为首项d a ,1) 等比数列 11-=n n q a a (为公比为首项q a q a n ,,0,01≠≠)例 已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.求数列{}n a 的通项公式;解答： 依题意设)0(231≠=-q q a n n ，∵234,2,4S S S -成等差数列 ∴342242S S S =+-即)(2)(4)(2321432121a a a a a a a a a ++=+++++- 整理得0243=+a a 即032332=+q q 解得21-=q ∴12123-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n n a练习：1.已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅= ，求d 及数列{}n a 的通项公式；解答：依题意设1)1(1+-=-+=d nd d n a a n ，则d a d a 21,132+=+= ∵2336S S ⋅= ∴36))((32121=+++a a a a a整理得)0(01032>=-+d d d 解得2=d∴12-=n a n2.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-.求数列{}n a 的通项公式； 解答：依题意设)0(11≠=-q qa a n n ，∵4S ，2S ，3S 成等差数列∴2342S S S =+ 即)(2213214321a a a a a a a a a +=++++++ 整理得0243=+a a 又23418a a a ++=-∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+1802312113121q a q a q a q a q a 解得⎩⎨⎧-==231q a ∴1)2(3--⋅=n n a3.设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.若{}n b 是等差数列，求数列{}n b 的通项公式.解答：依题意设a d nd d n a a n +-=-+=)1(，则()2)2(21d nd a n a a n S n n -+=+=cn d nd a cn a d n cn d nd a cn d nd a cn d nd a n c n d nd a n c n nS b n n +-+-+-=+-+--++-+=+-+=+=2222222222)2(22)1(2)2(2)2(2)2(2)2(由{}n b 是等差数列知{}n b 的通项公式不含二次项，且为B A b n n +=型（B 为常数）∴02)2(22=+-+cn d nd a cn 又022≠-+d nd a ∴0=c ∴22)1(ad n b n +-=2、累加法求形如)(1n f a a n n =--（)(n f 为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令1,....,3,2-=n n 得到1-n 个式子累加求得通项112211......a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---例 已知数列{}n a 中，11a =，对任意自然数2≥n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a .解答：依题意当2≥n 时，有11231112113121 (1111111)321....)1(1)1(1....112211+-=++-=+-++--++-=+⨯++-++=+-++-+-=---n n n n n n n n n n a a a a a a a a n n n n n当1=n 时，1111231=+-=a 也满足上式 ∴1123+-=n a n练习：1.已知数列{}n a 中，11a =，),2(311+--∈≥+=N n n a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式 解答：依题意当2≥n 时，有213131)31(313...33. (1211)12211-=+--=++++=+-++-+-=------n n n n n n n n n a a a a a a a a 当1=n 时，121311=-=a 也满足上式 ∴213-=n n a2.{}n a 是首项为1的正数数列，)(0)1(11+++∈=+-+N n a a na a n n n n n ，求n a .解答：由0>n a 及0)1(11=+-+++n n n n a a na a n 得)1(11)1(11+=-++n n na a n n n设nn na b 1=，则11=b ，)1(11+=-+n n b b n n∴11212111 (1111111)121...)1(1)1(1 (1)12111+-=+-++--++-=+⨯++-++=+-++-+-=-++n n n n n n n n n b b b b b b b b n n n n n ∴当2≥n 时，n b n 12-=，又1=n 时，11121=-=b 也满足上式∴nn n b n 1212-=-=，∴12-=n a n3.已知数列{}n a 中，)(34,4,11221+++∈-===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式 解答：依题意得：)(3112n n n n a a a a -=-+++，于是设n n n a a b -=+1 ∴n n b b 31=+，又03121≠=-=a a b ∴31=+nn b b 即{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列 ∴nn b 3= 即n n n a a 31=-+∴213131)31(313...33. (111)12111-=+--=++++=+-++-+-=+--++n n n n n n n n n a a a a a a a a ∴当2≥n 时，213-=n n a ，又当1=n 时，121311=-=a 也满足上式 ∴213-=n n a3、累乘法对形如1()n naf n a +=的数列的通项，可用累乘法，即令1,....,3,2-=n n 得到1-n 个式子累加求得通项。
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数列通项公式和前n项和求解方法(全)数列通项公式的求法详解n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 答案：（1）110-=nna （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n（4）1)1(1+⋅-=+n na n n .公式法1：特殊数列例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。
答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1例3. 等差数列{}na 是递减数列，且432a a a⋅⋅=48，432a a a++=12，则数列的通项公式是（ ）(A) 122-=n an(B) 42+=n an(C) 122+-=n an(D)102+-=n a n 答案：(D)例4. 已知等比数列{}na 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}nb 的通项为21+++=n n na a b，求数列{}nb 的通项公式.简析：由题意，321++++=n n n a a b，又{}na 是等比数列，公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}nb 是等比数列，易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q bn n n.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比. 公式法2： 知ns 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s an n n.例5：已知下列两数列}{na 的前n 项和s n 的公式，求}{na 的通项公式.（1）13-+=n n Sn. （2）12-=n sn答案：（1）na =3232+-n n，（2）⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n an点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然后验证能否统一.【型如)(1n f a a nn +=+的地退关系递推关系】 简析：已知a a =1,)(1n f a a nn =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. 答案：)(52N n n a n∈+=例 6. 若在数列{}na 中，31=a，nn n a a21+=+，求通项na .答案：na =12+n例7.已知数列}{na 满足31=a，)2()1(11≥-+=-n n n a an n，求此数列的通项公式. 答案：nan12-=【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：qaa nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，na =11-⋅n q a.（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例8：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式. 例9： 已知数列{}na 中，311=a ，前n 项和n S 与na 的关系是 nn a n n S )12(-= ，试求通项公式na . .答案：.)12(12(1-+=n n a n 思考题1：已知1,111->-+=+a n na an n ,求数列{a n }的通项公式.分析：原式化为 ),1(11+=++nn a n a 若令1+=n na b,则问题进一步转化为nn nb b =+1形式，累积得解.构造1：【形如0(,1≠+=+c d ca an n ,其中aa=1)型】 （1）若c=1时，数列{na }为等差数列; （2）若d=0时，数列{na }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{na }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a,得λ)1(1-+=+c ca an n ,与题设,1d ca an n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d an n,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d an 构成以11-+c d a为首项，以c 为公比的等比数列.例10：已知数}{na 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a求通项na .答案：12-=n na构造2：相邻项的差为特殊数列 例11：在数列{}na 中，11=a，22=a，n n n a a a313212+=++，求na .提示：变为)(31112n n n n a a a a--=-+++.构造3：倒数为特殊数列【形如sra pa a n n n+=--11】例12： 已知数列｛na ｝中11=a且11+=+n n n a a a（N n ∈），，求数列的通项公式. 答案 nb a n n11==例13：设数列}{nc 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n解析：设1)1(-+-+=n nbq d n a c建立方程组，解得. 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{na 为等差数列：则cbn an+=，cnbn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{na 为等比数列，则1-=n nAq a，)1,0(≠≠-=q Aq A Aq sn n.例14：（1）数列{na }满足01=a,且)1(2121-=++++-n a a a an n ,求数列{a n }的通项公式. 解析：由题得)1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时，)2(2121-=+++-n a a a n ②由①、②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n an.（2）数列{na }满足11=a,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式（3）已知数列}{na 中，,2121,211+==+n n a a a求通项na .八、【讨论法-了解】（1）若da an n =++1（d 为常数），则数列{na }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论.（2）形如)(1n f a an n =⋅+型①若pa an n =⋅+1(p 为常数)，则数列{na }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a an n，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例15： 数列{na }满足01=a,21=++n n a a,求数列{a n }的通项公式.专题二：数列求和方法详解（六种方法）1、等差数列求和公式：d n n na a a n n 2)1(2)(123-+==+=-2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na S n n n[例1] 已知3log 1log23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和.答案xx x s n n --=1)1([例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nSn Sn f 的最大值. 答案n ＝8时，501)(max =n f方法简介：此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n nx n x x x S ………………………①(1≠x )解析：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积：设nnx n x x x x xS)12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②①－②得 nn nx n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--.∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+.试一试1：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.答案： 1224-+-=n nn S方法简介：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1na a +，然后再除以2得解.[例4] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 .答案S ＝44.5方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组；[例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a aa n ，…答案2)13(11nn a a a s n n -+--=-.试一试 1 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.简析：由于与nkk k a =-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅)110(91999991111111 个个、分别求和.方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）)()1(n f n f an-+= ；（2）11++=n n a n =nn -+1；（3）nn n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+；4）111)1(1+-=+=n n n n a n （5）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n .[例6] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,21,,421,311n n 的前n 项和.[例7] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n，又12+⋅=n n na a b，求数列{b n }的前n 项的和.试一试1：已知数列{a n }：)3)(1(8++=n n a n，求前n 项和. 试一试2：1003211321121111+++++++++++ ..方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+cos179°的值.答案 0[例9] 数列{a n }：nn n a a a a a a-====++12321,2,3,1，求S 2002.（周期数列）[例10] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值; 答案 10。